概率统计简明教程习题答案
习题三解答
1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .
解 4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P
)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==
3.04.06.05.01=+--=
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解 1078
9
989981989910090910=
?=????=
p . 3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P
(1) .327.058.019
.0)()()|(===
A P A
B P A B P (2) 678.028
.019
.0)()()|(===
B P AB P B A P . 4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：
),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P =
解 )(2
1
3.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====
)(5.07.035
.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==
)(3.05
.015
.0)()()|(B P A P AB P A B P ====
)(5
.015
.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，
若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
解 =B {迟到}，=1A {坐火车}，=2A {坐船}，=3A {坐汽车}，=4A {乘飞机}，则
4
1==i i BA B ，且按题意
25.0)|(1=A B P ，3.0)|(2=A B P ，1.0)|(3=A B P ，0)|(4=A B P .
由全概率公式有：
∑==?+?+?==4
1145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，
14/8)|(2=A B P ，所以
70
41
1482110621)|()()|()()(2211=
?+?=
+=A B P A P A B P A P B P (2) 12
72414)(==
B P 7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 02.04.004.035.005.025.0?+?+??
%45.30345.0008.00140.00125.0==++=
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出""?和""-，由于通信受到干扰，当发出""?时，分别以概率0.8和0.2收到""?和""-，同样，当发出信号""-时，分别以0.9和0.1的概率收到""-和""?。求(1) 收到信号""?的概率；(2) 当收到""?时，发出""?的概率。
解 记 =B {收到信号""?}，=A {发出信号""?} (1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=
52.004.048.01.04.08.06.0=+=?+?=
(2) 13
12
52.08.06.0)()|()()|(=?==
B P A B P A P B A P .
9．设某工厂有C B A ,,三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的
25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间C B A ,,生产的概率。
解 为方便计，记事件C B A ,,为C B A ,,车间生产的产品，事件=D {次品}，因此 )|()()|()()|()()(C D P C P B D P B P A D P A P D P ++= 02.04.004.035.005.025.0?+?+?= 0345.0008.0014.00125.0=++=
362.00345.005
.025.0)()|()()|(=?==
D P A D P A P D A P
406.00345.004
.035.0)()|()()|(=?==D P B D P B P D B P
232.00345
.002
.04.0)()|()()|(=?==D P C D P C P D C P
10．设A 与B 独立，且q B P p A P ==)(,)(，求下列事件的概率：)(B A P ，)(B A P ，
)(B A P .
解 pq q p B P A P B P A P B A P -+=-+=)()()()()(
pq q q p q p B P A P B P A P B A P +-=---+=-+=1)1(1)()()()()( pq B P A P AB P B A P -=-==1)()(1)()(
11．已知B A ,独立，且)()(,9/1)(B A P B A P B A P ==，求)(),(B P A P . 解 因)()(B A P B A P =，由独立性有 )()()()(B P A P B P A P =
从而 )()()()()()(B P A P B P B P A P A P -=- 导致 )()(B P A P =
再由 9/1)(=B A P ，有 2))(1())(1))((1()()(9/1A P B P A P B P A P -=--== 所以 3/1)(1=-A P 。最后得到 .3/2)()(==A P B P
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，
2/3，求目标被命中的概率。
解 记 =B {命中目标}，=1A {甲命中}，=2A {乙命中}，=3A {丙命中}，则 3
1==i i A B ，
因而
.98
9113121321)()()(11)(32131=-=??-=-=???
? ??-==A P A P A P A P B P i i 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率
为p ，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。
解 记 =A {通达}，
=i A {元件i 通达}，6,5,4,3,2,1=i
则 654321A A A A A A A =， 所以
)()()()(654321A A P A A P A A P A P ++= )()()()(654321652165434321A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P +---
642)1()1(3)1(3p p p -+---=
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解 0512.0)8.0()2.0(352
3=???
? ??=p .
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解 104.0096.0008
.0)2.0(8.023)2.0(332
3=+=?????
? ??+???? ??=p . 16．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .
解 记=i A {A 在第i 次试验中出现}，.3,2,1=i )(A P p =
依假设 332131)1(1)(12719
p A A A P A P i i --=-=???
? ??== 所以， 27
8
)1(3=-p ， 此即 3/1=p .
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 =i A {第i 道工序为次品}，.3,2,1=i 则次品率
097.090307.0195.097.098.01)()()(132131≈-=??-=-=???
? ??==A P A P A P A P p i i
18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。
解 记 =A {译出密码}， =i A {第i 人译出}，.3,2,1=i 则
7075
.02925.016.065.075.01)()()(1)(32131=-=??-=-=???
?
??==A P A P A P A P A P i i 图3.1
1 2 3 4
5 6
19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？
解 (1) 256632151010
=??
? ?????? ?? ； (2) 106
42110??
?
?????? ??∑=k k .
20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率
均为0.75，求：
(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解 (1) 256
255
)25.0(1)75.01(144=
-=-- (2) 1282741436)25.0()75.0(242
2
2
2=??? ?????? ???=???
? ?? (3) 25681
43)75.0(4
4=
??
? ??=
习题四解答
1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1）5,4,3,2,1,0,15==
i i
p i ； （2）()3,2,1,0,652=-=i i p i ； （3）5,4,3,2,41
==i p i ；
（4）5,4,3,2,1,25
1
=+=i i p i 。
解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证i p 是否满足下列二个条件：其一条件为 ,2,1,0=≥i p i ，其二条件为1=∑i
i p 。
依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变
量的分布律，因为06
4
6953<-=-=
p ；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为∑=≠=5
1
12520
i i p 。
2. 试确定常数c ，使()()4,3,2,1,0,2
===i c
i X P i 成为某个随机变量X 的分布律，并求：
()2≤X P ；??? ??<<252
1
X P 。
解 要使i c 2成为某个随机变量的分布律，必须有12
4
0=∑=i i c ，由此解得3116
=c ；
（2） ()()()()2102=+=+==≤X P X P X P X P
31
28
412113116=
??? ??++=
（3）()()21252
1=+==??
?
??< 12 41213116= ??? ??+= 。 3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为-3，1，2，且()()()6 12,211,313=====-=X P X P X P ，即X 的分布律为 X -3 1 2 概率 3 1 2 1 6 1 X 的分布函数 0 3- ()()x X P x F ≤== 3 1 13<≤-x 6 5 21<≤x 1 2≥x 4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数。 解 依题意X 可能取到的值为3，4，5，事件{}3=X 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即()1013513=??? ? ??= =X P ；事件{}4=X 表示随机取 出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时 ()103352314=???? ?????? ???==X P ；同理可得()106352415=??? ? ??? ??? ???==X P 。 X 的分布律为 X 3 4 5 概率 10 1 10 3 10 6 X 的分布函数为 0 3 ()=x F 10 1 43<≤x 10 4 54<≤x 1 5≥x 5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律。 解 依题意X 服从参数6.0,5==p n 的二项分布，因此，其分布律 ()5,,1,0,4.06.055 =??? ? ??==-k k k X P k k ， 具体计算后可得 X 1 2 3 4 5 概率 3125 32 625 48 625 144 625 216 625 162 3125 243 6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 （1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 （1）设事件 ,2,1,=i A i 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意， ,,,1n A A 相互独立，且() ,2,1,13 10==i A P i 而 ()()()() () ,2,1,13 10 1331 1 111=? ? ? ??====---k A P A P A P A A A P k X P k k k k k 即X 服从参数13 10=p 的几何分布。 （2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为1，2，3，4， ()()()(). 2861 10111213101234,143511121310233,26512131032,13101=??????===????===??=== =X P X P X P X P X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 13 10 26 5 143 5 286 1 （3）X 可能取到的值为1，2，3，4， ()()()(). 2197 6 1313131234,21977213131312233,1693313131132,13101=????===????===??=== =X P X P X P X P 所求X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 13 10 169 33 2197 72 2197 6 由于三种抽样方式不同，导致X 的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量()p B X ,6~，已知()()51===X P X P ，求p 与()2=X P 的值。 解 由于()p B X ,6~，因此()()6,,1,0,1666 =-??? ? ??==-k p p k X P k k 。 由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655 p p p p -=- 解得2 1=p ； 此时，()64 1521!25621212626 2 62=??? ????=? ? ? ????? ?????? ??==-X P 。 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X 表示出现国徽的次数，求X 的分布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为2 1，因此X 服从2 1,4==p n 的二项 分布，即 ()4,3,2,1,0,212144=? ? ? ????? ?????? ??==-k k k X P k k 由此可得X 的分布函数 0， 0 16 1， 10<≤x ()=x F 16 5 ， 21<≤x 16 11， 32<≤x 16 15， 43<≤x 1， 4≥x 9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？ 解 设至少要进n 件物品，由题意n 应满足 ()(),99.0,99.01≥≤<-≤n X P n X P 即 ()99.0! 4110 4<=-≤∑ -=-n k k e k n X P ()99.0!40 4 ≥=≤∑=-n k k e k n X P 查泊松分布表可求得 9=n 。 10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。 解 设X 为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X 服从0001.0,1000==p n 的二项分布，即()0001.0,1000~B X ，由于n 较大，p 较小，因此也可以近似地认为X 服从1.00001.01000=?==np λ的泊松分布，即()1.0~P X ，所求概率为 ()()() . 004679.0090484.0904837.01! 11.0!01.0110121 .011.00=--=--≈=-=-=≥--e e X P X P X P 11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X 的分布律。 解 设事件i A 表示第i 次试验成功，则()75.0=i A P ，且 ,,,1n A A 相互独立。随机变量X 取k 意味着前1-k 次试验未成功，但第k 次试验成功，因此有 ()()()()()75.025.011111---====k k k k k A P A P A P A A A P k X P 所求的分布律为 X 1 2 … k … 概率 0.75 75.025.0? … 75.025.01?-k … 12. 设随机变量X 的密度函数为 ()=x f x 2， A x <<0 0， 其他， 试求：（1）常数A ；（2）X 的分布函数。 解 （1）()x f 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为()0≥x f ；其 二为()?+∞∞ -=1dx x f ，因此有?=A xdx 012，解得1±=A ，其中1-=A 舍去，即取1=A 。 （2）分布函数 ()()()?∞-=≤=x dx x f x X P x F = ??????+++∞-∞-∞-x x x dx xdx dx xdx dx dx 10 1 000020200 1 100 ≥<≤ 1 2x 1 100≥<≤ 13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,，求：（1）系数A ；（2）()10< （3）X 的分布函数。 解 （1）系数A 必须满足?+∞∞ --=1dx Ae x ，由于x e -为偶函数，所以 ???+∞∞-+∞+∞---===12200dx Ae dx Ae dx Ae x x x 解得2 1=A ； （2）()()1101012 121 2 110----===< （3）()()?∞ -=x dx x f x F = ???-∞--∞--+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 ≥ = ???-∞-∞-+x x x x x dx e dx e dx e 00212121 00≥ = () x x e e --+121 2121 00≥ x x e e --2 1121 00≥ ()=x f 22 c x e c x - <≥x x （c 为正的常数） 为某个随机变量X 的密度函数。 证 由于()0≥x f ，且()120 22 0222 22 =-=??? ? ? ?--==+∞ -∞+-∞+∞ -∞+∞-- ? ??c x c x c x e c x d e dx e c x dx x f ， 因此()x f 满足密度函数的二个条件，由此可得()x f 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 ()=x f 25.05.0x e 2 200 >≤<≤x x x 对应的分布函数()x F 的表达式。 解 当0≤x 时，()()??∞-∞-===x x x x e dx e dx x f x F 5.05.0 当20≤ -∞-+=+==0025.05.025.05.0x dx dx e dx x f x F x x x 当2>x 时，()15.05.0025.05.00220=+=++=???∞ -x x dx dx dx e x F 综合有 ()=x F , 1,25.05.0, 5.0x e x + .2;20;0≥≤≤≤x x x 16. 设随机变量X 在()6,1上服从均匀分布，求方程012=++Xt t 有实根的概率。 解 X 的密度函数为 ()=x f ,5 1 61< ,0 其他. 方程012=++Xt t 有实根的充分必要条件为042≥-X ，即42≥X ，因此所求得概率为 () ()()()?= +=≥+-≤=≥-≤=≥6225 451 022224dx X P X P X X P X P 或。 17. 设某药品的有效期X 以天计，其概率密度为 ()=x f () ,10020000 3 +x 0>x ; 0， 其他. 求：(1) X 的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。 解 (1) ()()?∞-=x dx x f x F = (), 10020000,00 3 dx x x ? + .0; 0≥ (), 10010000 1, 02 +- x . 0;0≥ 9110020010000 11200120012002 =??? ? ? ?+--=-=≤-=>F X P X P 。 18. 设随机变量X 的分布函数为 ()=x F (), 11, 0x e x -+- >≤x x 求X 的密度函数，并计算()1≤X P 和()2>X P 。 解 由分布函数()x F 与密度函数()x f 的关系，可得在()x f 的一切连续点处有()()x F x f '=，因此 ()=x f , 0, x xe - 其他 0>x 所求概率()()()112111111---=+-==≤e e F X P ； ()()()()()223211121212--=+--=-=≤-=>e e F X P X P 。 19. 设随机变量X 的分布函数为()+∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan ，求(1) 常数B A ,； (2)()1 解：(1)要使()x F 成为随机变量X 的分布函数，必须满足()()1lim ,0lim ==+∞ →-∞→x F x F x x ，即 ()()1 arctan lim 0arctan lim =+=++∞ →-∞ →x B A x B A x x 计算后得 12 02 =+ =-B A B A π π 解得 π 1 21= =B A 另外，可验证当π1,21==B A 时，()x x F arctan 12 1π +=也满足分布函数其余的几条性质。 （2） ()()()()11111--=<<-= ()??????-+-+= 1arctan 1211arctan 121ππ 2 4141πππππ=??? ??-?-?= （3）X 的密度函数 ()()() +∞<<-∞+= '=x x x F x f ,11 2 π。 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min ）服从5 1=λ的指数分布， 其密度函数为()=x f ,515x e - 其他 >x ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就 离开。 （1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率； （2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。 解 （1）设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X 服从5 1=λ的 指数分布，且顾客等待时间超过10min 就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为 ()?∞ +--==≥10 25 5 110e dx e X P x ； （2）设Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y 服从2,5-==e p n 的二项分布，所求概率为 ()()() ()() () ()() 4 2 24 2 25 20 2141115105101-------+=-??? ? ??+-??? ? ??==+==≤e e e e e e Y P Y P Y P 21. 设X 服从()1,0N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()2.2 （1）()()9861.02.22.2=Φ= （2）()()()0392.09608.0176.1176.1176.1=-=Φ-=≤-=>X P X P ； （3）()()()2177.07823.0178.0178.078.0=-=Φ-=-Φ=- ()()()()8788.019394.02155.1255.1155.1=-?=-Φ=Φ--Φ= （5） ()()()[]15.2215.215.2-Φ-=≤-=>X P X P ()()0124.09938.0125.222=-=Φ-=。 22. 设X 服从()16,1-N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）()44.2 ()5.1->X P ； （3）()8.2- ? ??-Φ-?? ? ??-Φ=≤≤σ μσ μa b b X a P ，借助于该性质，再查标准正态 分布函数表可求得 （1）()()8051.086.04 144.244.2=Φ=?? ? ? ?+Φ= ? ??+-Φ-=->X P ()()()5498.0125.0125.011=Φ=Φ--=； （3）()()()3264.06736.0145.0145.0418.28.2=-=Φ-=-Φ=?? ? ??+-Φ=- ? ??+-Φ-??? ??+Φ= ()()6678.07734.018944.075.0125.1=+-=Φ+-Φ=； （5）()()()175.041541225-Φ-Φ=?? ? ??+-Φ-??? ??+Φ=<<-X P ()()9321.018413.07734.01175.0=+-=+Φ-Φ=； （6）()()()??? ?? ? ??? ??+Φ-??? ??+Φ-=≤≤-=≤--=>-410412*********X P X P X P ()()8253.05987.07724.0125.075.01=+-=Φ+Φ-=。 23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布()01.0,05.2N ，合格品的规格规定为2.02±，求 该厂滚珠的合格率。 解 所求得概率为 ()()()()()927 .09938.019332.05.215.15.25.11.005.28.11.005.22.22.022.02=+-=Φ+-Φ=-Φ-Φ=? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=+≤≤-X P 24. 某人上班所需的时间()100,30~N X （单位：min ）已知上班时间为8：30，他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。 解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为 ()()1587.08413.0111103040140=-=Φ-=?? ? ??-Φ-=>X P ； （2）记Y 为5天中某人迟到的次数，则Y 服从1587.0,5==p n 的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为 ()()()()8192.08413.01587.0158413.01587.01514 50=???? ? ??+????? ??=≤Y P 。 习题五解答 1. 二维随机变量()Y X ,只能取下列数组中的值：()()()0,2,31,1,1,1,0,0?? ? ? ?--，且取这些组值 的概率依次为12 5 ,121, 31,61，求这二维随机变量的分布律。 解 由题意可得()Y X ,的联合分布律为 X\Y 0 31 1 -1 0 12 1 31 0 61 0 0 2 12 5 0 0 2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字3,2,2,1。从这袋中任取一球后，不放回袋中， 再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X 、Y 分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求()Y X ,的分布律及()Y X P =。 解 X 可能的取值为3,2,1，Y 可能的取值为3,2,1，相应的，其概率为 ()()()()()()()()(). 03,3,61 34212,3,1211,3,61 34123,2,6134122,2,6134121,2,12 1 34113,1,6134212,1,01,1====??=======??====??====??====??====??= =====Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 1 2 3 1 0 61 121 2 61 61 6 1 3 12 1 6 1 0 ()()()()6 13,32,21,1= ==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P 。 3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X 、Y 如下： X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。 解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1,0，Y 可能取的值也为1,0，且 ()()()(), 251 1010221,1,2541010820,1, 25 4 1010281,0,25161010880,0=??====??====??====??= ==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 0 1 0 2516 254 1 25 4 25 1 （2）在无放回情形下，X 、Y 可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为 ()()()(), 451 910121,1,458910820,1,458 910281,0,4528910780,0=??====??====??====??= ==Y X P Y X P Y X P Y X P 或写成 X\Y 0 1 0 4528 458 1 45 8 45 1 4. 对于第1题中的二维随机变量()Y X ,的分布，写出关于X 及关于Y 的边缘分布律。 解 把第1题中的联合分布律按行相加得X 的边缘分布律为 X -1 0 2 概率 12 5 61 12 5 按列相加得Y 的边缘分布律为 Y 0 31 1 概率 12 7 12 1 31 5. 对于第3 题中的二维随机变量()Y X ,的分布律，分别在有放回和无放回两种情况 下，写出关于X 及关于Y 的边缘分布律。 解 在有放回情况下X 的边缘分布律为 X 0 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 5 4 5 1 在无放回情况下X 的边缘分布律为 X 1 概率 5 4 5 1 Y 的边缘分布律为 Y 0 1 概率 54 5 1 6. 求在D 上服从均匀分布的随机变量()Y X ,的密度函数及分布函数，其中 D 为x 轴、 y 轴及直线12+=x y 围成的三角形区域。 解 区域D 见图5.2。 易算得D 的面积为4 12 112 1=??=S ，所 以()Y X ,的 密度函数 ()=y x f , , 0,4 ()其他 D y x ∈, ()Y X ,的分布函数 ()()??∞-∞-=y x dxdy y x f y x F ,, 当2 1- ()202 1244,y y xy dx dy y x F y x y -+==??-； 当12,02 1+≥<≤-x y x 时，()1444,22 1120++==??- +x x dy dx y x F x x ； 当10,0<≤≥y x 时，()2 002 124,y y dx dy y x F y y -==??-； 当1,0≥≥y x 时，()??-+==02 11 20 14,x dy dx y x F 综合有 ,0 02 1 <- ,242y y xy +- 12002 1 +<≤<≤- x y x 且 ()=y x F , ,1442++x x 1202 1+≥<≤-x y x 且 ,22y y - 100<≤≥y x 且 ,1 10≥≥y x 且 7. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数。 解 X 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞-=dy y x f x f X , = , 0, 41 20 ?+x dy 其他0 2 1 <<- x = (), 0, 124+x 其他0 2 1 <<- x Y 的边缘密度函数为 ()()?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y , = , 0, 40 21?-y dx 其他 10< (), 0, 12y - 其他 10< 8. 在第3题的两种情况下，X 与Y 是否独立，为什么？ 解 在有放回情况下，由于()25 160,0===Y X P ，而()()25 165 45 400=?===Y P X P ，即 ()()()000,0=====Y P X P Y X P ；容易验证()()(),101,0=====Y P X P Y X P ()()()()()()111,1,010,1==========Y P X P Y X P Y P X P Y X P ，由独立性定义知X 与Y 相互独立。 在无放回情况下，由于()45280,0===Y X P ，而()()25 16545400=?===Y P X P ，易见 -1 21 - 0 1 x y 1 图5.2 ()()()000,0==≠==Y P X P Y X P ，所以 X 与Y 不相互独立。 9. 在第6题中，X 与Y 是否独立，为什么？ 解 431,41=??? ??-f ，而3 431,241=??? ??=??? ??-Y X f f ，易见?? ? ????? ??-≠ ?? ? ??-314131,41Y X f f f ，所以X 与Y 不相互独立。 10. 设X 、Y 相互独立且分别具有下列的分布律： X -2 -1 0 0.5 Y -0.5 1 3 概率 4 1 3 1 12 1 3 1 概率 21 4 1 4 1 写出表示()Y X ,的分布律的表格。 解 由于X 与Y 相互独立，因此 ()()(),3,2,1,4,3,2,1,,=======j i y Y P x X P y Y x X P j i j i 例如()()()8 12 14 15.025.0,2=?=-=-==-=-=Y P X P Y X P 其余的联合概率可同样算得，具体结果为 X\Y -0.5 1 3 -2 81 161 161 -1 61 121 121 0 241 481 481 0.5 6 1 12 1 12 1 11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，X 服从[]2.0,0上的均匀分布，Y 服从参数为5 的指数分布，求()Y X ,的联合密度函数及()Y X P ≥。 解. 由均匀分布的定义知 ()=x f X , 0,5 其他2.00< 由指数分布的定义知 ()=y f Y , 0, 55y e - 其他 0>y 因为X 与Y 独立，易得()Y X ,的联合密度函数 ()()()==y f x f y x f Y X , , 0, 255y e - 其他 0,2.00>< 概率()()??=≥G dxdy y x f Y X P ,， 其中区域(){}y x y x G ≥=|,见图5.3，经计算有 ()()12 .0052.00051525---=-==≥???e dx e dy e dx Y X P x x y 。 12. 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (), 0, 43y x ke +- 其他 0,0>>y x 求：（1）系数k ；（2）()20,10≤≤≤≤Y X P ；（3）证明X 与Y 相互独立。 解 （1）k 必须满足()??+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x f ，即() 10 430=??+∞+-+∞dx ke dy y x ，经计算得12=k ； （2）()()()()83201 043111220,10--+---==≤≤≤≤??e e dx e dy Y X P y x ； （3）关于X 的边缘密度函数 y 0.2 x 图5.3 ()()?+∞ ∞-==dy y x f x f X , (), 0,12043dy e y x ?+∞ +- 其他 0>x = , 0, 33x e - 其他 0>x 同理可求得Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y , 0, 44y e - 其他 0>x 易见()()()+∞<<-∞+∞<<-∞=y x y f x f y x f Y X ,,,，因此X 与Y 相互独立。 13. 已知二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()=y x f , (), 0, 1y x k - 其他 x y x <<<<0,10 （1）求常数k ；（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（3）X 与Y 是否独立？ 解 （1）k 满足()??+∞∞-+∞∞ -=1,dxdy y x f ，即()??=-10011x ydy x k dx 解得24=k ； （2）X 的边缘密度函数 ()()?+∞ ∞-==dy y x f x f X , (), 0,1240dy y x x ?- 其他 10< = (), 0, 1122x x - 其他 10< Y 的边缘密度函数为 ()=y f Y (), 0,1241 ?-y ydx x 其他 10< 0, 1122 y y - 其他10< （3） 3141212441,21=??=?? ? ??f ，而()()16271694112,23214112= ??==??=y f x f Y X ，易见 ?? ? ????? ??≠??? ??412141,21Y X f f f ，因此X 与Y 不相互独立。 14. 设随机变量X 与Y 的联合分布律为 X\Y 0 1 0 252 b 1 a 253 2 25 1 25 2 且()5 30|1===X Y P ，（1） 求常数b a ,的值；（2）当b a ,取（1）中的值时，X 与Y 是否独立？为什么？ 解 （1）b a ,必须满足∑∑===2 13 11j i ij p ，即 1252251253252=+++++a b ，可推出25 17 =+b a ，另外由 条件概率定义及已知的条件得 ()()()53 25 201,00|1=+===== ==b b X P Y X P X Y P 由此解得253=b ，结合2517=+b a 可得到25 14=a ， 即 2532514= = b a （2）当253 ,2514= =b a 时，可求得()()25 170,2550====Y P X P ，易见 ()()()0025 2 0,0==≠===Y P X P Y X P 因此，X 与Y 不独立。 15. 对于第2题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当2=Y 时X 的条件分布律。 解 易知()2 122===?Y P p ，因此2=Y 时X 的条件分布律为 X|Y=2 1 2 3 概率 3 1 212=?p p 3 1 222=?p p 3 1 232=?p p 16. 对于第6题中的二维随机变量()Y X ,的分布，求当?? ? ??<<-=02 1,x x X 时Y 的条件密 度函数。 解 X 的边缘密度函数为（由第7题所求得） ()=x f X (), 0, 124+x 其他0 21 <<- x 由条件密度函数的定义知当??? ??<<-=021,x x X 时Y 的条件密度函数为 ()()()==x f y x f x y f X X Y ,|| (), 0,1244 +x 其他 120+< 0, 121 +x 其他 120+< 习题六解答 1. 设X 的分布律为 X -2 -0.5 0 2 4 概率 8 1 4 1 81 61 3 1 求出：以下随机变量的分布律。（1）2+X ；（2）1+-X ；（3）2X 。 解 由X 的分布律可列出下表 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 X -2 -0.5 0 2 4 2+X 0 1.5 2 4 6 1+-X 3 1.5 1 -1 -3 2X 4 0.2 5 0 4 16 由此表可定出 （1）2+X 的分布律为 2+X 0 23 2 4 6 概率 8 1 4 1 8 1 6 1 3 1 （2）1+-X 的分布律为 1+-X -3 -1 1 23 3 概率 3 1 61 8 1 4 1 8 1 （3）2X 的分布律为 2 X 0 41 4 16 概率 8 1 4 1 24 7 3 1 其中() ()()24 761812242=+=-=+===X P X P X P 。 2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y , 1,1;1,0>≤X X 若若试求随机变 量Y 的分布律。 解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此 (),,2,1,0,! !11 1 ====--k k e e k k X P k 而 ()()()()11 12! 1!01010---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ； ()()()1211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。 即Y 的分布律为 Y 0 1 概率 12-e 121--e 3. 设X 的密度函数为()=x f , 0,2x , ;10其他< 1+-X ； （3）2X 。 解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函 数。如果()x g y =为单调可导函数，则也可利用性质求得。 （1）解法一：设X Y 2=，则Y 的分布函数 ()()()??? ? ? ≤=≤=≤=22y X P y X P y Y P y F Y = ??1 002202 xdx xdx y 1212002 ≥<≤ = 1 402 y 2 200 ≥<≤ ()()()()y h y h f y f X Y '= = ,0,2122?? y 其他12 0< ,2y 其他 20< （2）设1+-=X Y ，则()()1,1-='=-=y h y h y x ，Y 的密度函数 ()()()()='=y h y h f y f X Y ()()2110 y -?- 其他 1 10<- = ()0 12-y 其他 110<- （3）设2X Y =，由于X 只取()1,0中的值，所以2x y =也为单调函数，其反函数 ()()y y h y y h 1 21,= '= ，因此Y 的密度函数为 ()()()()='=y h y h f y f X Y , 0,1 212y y ? 其他 10< = , 0,1 其他 10< 4. 对圆片直径进行测量，测量值X 服从()6,5上的均匀分布，求圆面积Y 的概率密度。 解 圆面积241X Y π=，由于X 均匀取()6,5中的值，所以X 的密度函数 ()=x f X , 0,1 . ;65其他< 且24 1x y π=为单调增加函数()()6,5∈x ，其反函数 ()()y y y h y y y h πππ π 1 1212 ,24= ? = '= = ， Y 的密度函数为 ()()()()='=y h y h f y f X Y , 0, 1 y π , ; 625其他<< π y = , 0,1y π .; 9425其他ππ< 5. 设随机变量X 服从正态分布()1,0N ，试求随机变量的函数2X Y =的密度函数()y f Y 。 解 ()1,0~N X ，所以()+∞<<-∞= -x e x f x X ,212 2 π，此时2x y =不为单调函数不能直接 利用性质求出()y f Y 。须先求Y 的分布函数()y F Y 。 ()()() =≤=≤=y X P y Y P y F Y 2 ( ) y X y P ≤ ≤-0 ,0;0≥ ( ) ()? ? - --==≤ ≤-y y y y X dx e dx x f y X y P x 22 21π . ()()='=y F y f Y Y , 0, 21 212121 2 2 y e y e y y --+ π π , ;0其他>y = , 0, 21 2 y e y -π . ;0其他>y 6. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数X e Y =的密度函数()y f Y 。 解 ()=x f X , 0, x e - .;0其他>x x e y =的反函数()()y y h y y h 1 ,ln ='=，因此所求的Y 的密度函数为 ()()()()='=y h y h f y f X Y ln 1,0, y e y - , ; 0ln 其他>y = , 0,12y . ; 1其他>y 7. 设X 服从()1,0N ，证明a X +σ服从()2,σa N ,其中σ,a 为两个常数且0>σ。 证明 由于()1,0~N X ,所以()+∞<<-∞= -x e x f x X ,21 2 2 π，记a X Y +=σ，则当0>σ时， a x y +=σ为单增函数，其反函数()()σ σ 1 ,='-= y h a y y h ,因此Y 的密度函数为 ()()()()()+∞<<-∞= ? = '=-- ?? ? ??--y e e y h y h f y f a y a y X Y ,211 212 2 2 221σσσ πσ π ， 即证明了()2,~σσa a X N +。 8. 设随机变量X 在区间[]2,1-上服从均匀分布，随机变量=Y 1,0 0,01,0. X X X >=-<若；若；若 试求随机变量函数Y 的分布律。 解 []2,1~-R X ，则()=x f ,0, 31 . ;21其他<<-x 而 ()()?-==<=-=013 1 3101dx X P Y P ； ()()000====X P Y P ； ()()?==>==203 2 3101dx X P Y P 。 因此所求分布律为 Y -1 0 1 概率 3 1 0 3 2 9. 设二维随机变量()Y X ,的分布律 X\Y １ ２ ３ 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 习题六 1. 设总体X ～)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2 S 小于9.1的概率. 解 X ～)6,(μN ,由2 2 )1(σS n -～)1(2-n χ,于是 {}()(){}(){}22 22 2519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-???-<=<=<=-≥???? 10.050.95.=-= 2. 设1210,,,X X X L 是取自正态总体2 (0,0.3)N 的样本,试求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由() 2 1 2 n i i X u σ=-∑～2 ()n χ，于是 () ()(){}10210221221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==?? ?????? >=>=>=???????????? ∑∑. 3. 设总体X ～(,4)N a ,n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立， () ( )() () () 2 10.1; 20.1; 3{1}0.95.E X a E X a P X a -≤-≤-≤≥ 解 （1） 因为X ～4(,),N a n X ～(0,1),N 从而() 2 4X a n -～2 (1),χ于是 224 1,0.1,40.X a E E X a n n n ? ?- ?=-=≤≥ ? ??? 所以 （2 X ～(0,1),N 所以 2 22222 2 2x x x x E dx xe dx e d ∞∞ ∞ -- - -∞??=== -= ??? ?? 所以( ) 0.1,E X a -= ≤从而800 254.7,255.n n π > =≥故 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 一．填空题 1．ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2．解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5．解：（1）n N n A P ! )(= （2）n n N N n C B P ! )(=、 （3）n m n m n N N C C P --=)1()( 一．填空题 1．0．8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2．解：设i A ：表示第i 箱产品（i =1，2） i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1） )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? （2）同理4.0)(2=B P （3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P （4）4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3） 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 《概率论与数理统计》同步练习册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 2. 161,169,166. 3. 2113. 4. 43,407. 5. 4 3 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,6 24612 11?C ,6246121112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-， 31. 2. 101)2(==X P ，10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. （1）1,21=-=b a ，（2）161 . 5. 2=a ，0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 649,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 34. 6. 3 1. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p . 习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件两次出现的面相同}； (2) 记录某电话总机一分钟， (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数}，取得球的号码是奇数}，取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： ；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；；解是必然事件； 是不可能事件； 取得球的号码是2，4}； 取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； 取得球的号码为奇数，且不小于取得球的号码为5，7，9}； 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10}； 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 在区间[0,2]上任取一数，记，，求下列事件的表达式： ；(2)B；(3)A； 解 或 (3) 因为，所以； 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件： (1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解；AB； ；； ；； ； 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，，试用Ai表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解；(2)A1A2A3；(3)A1A2A3；； 6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，，三次射击恰好命中二次}，三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为A， 则有利于A的样本点数 于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式，样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数，故 ⅱ) 有利于B的样本点数，故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数，故 ⅳ) 有利于D的样本点数，故 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式，样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利 样本点数为，所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为， 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 一、概率公式的题目 1、已知() ()()0.3,0.4, 0.5,P A P B P AB === 求 () .P B A B ? 解：() () () ()()()() () 0.70.51 0.70.60.54 P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?== = =+-?+- 2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求() .P A A B ? 解：() ()() () ()()() 0.22 0.70.29 P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????= = = =+?+-。 3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1 (0,1,2)! e P X k k k -== =， 并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求： （1）()P A B ?； （2） ()P A B -； （3） () P B A 。解：（1）()() {}{}1 11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-； （2）(){}{}{}{}1 ()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- （3）() () () {}{}{}{}{}111,201 .20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<== ====<=+= . 4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？ 解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())() ()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨= =+-= 0.660.750.60.50.60.58 ==+- 工程数学考试题 第一题：第五页 第五题 5.用事件A,B,C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 出现，B ，C 都不出现； （2）A ，B 都出现，C 不出现； （3）所有三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现；（7）不多于两个事件出现； （8）三个事件中至少有两个出现。 第二题：第六页 第七题 7.接连进行三次射击，设i A =｛第i 次射击命中｝（i=1，2，3），试用1A ，2A ，3A 表述下列事件。 （1）A=｛前两次至少有一次击中目标｝ （2）B=｛三次射击恰好命中两次｝ （3）C=｛三次射击至少命中两次｝ （4）D=｛三次射击都未命中｝ 第三题：第二十九页 例14 例 14 从次品率为p=0.2的一批产品中，有放回抽取5次，每次取一件，分别求抽到的5件恰好有3件次品以及至多有3件次品这两个事件的概率。 第四题：第二十九页 例 15 例 15 某公司生产一批同型号的医疗仪器，产品的80%无需调试即为合格品，而其余20%需进一步调试。经调试后，其中70%为合格品，30%为次品。假设每台仪器的生产是相互独立的。 （1）求该批仪器的合格率； （2）又若从该批仪器中随机地抽取3台，求恰有一台为次品的概率。 第五题：第三十一页 第一题 1.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，试求P （AB ）及)B A P(。 第六题：第三十三页 第十二题 12.设事件A ，B 相互独立。证明：A ，B 相互独立，B ,A 相互独立。 第七题：第三十三页 第十五题 15.三个人独立破译一密码，他们能独立破译出的概率分别为0.25，.035，0.4，求此密码被破译出的概率。 第八题：第五十一页 例 19 例 19 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布），（2 72σN ，且96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 第九题：第五十四页 第十六题 16.设随机变量X 的密度函数为()?? ?<<=其他， , 0, 40, 2x x x f 试求： （1）常数A ； （2）P(0 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 1、 已知P （A ）=0.7. P （B ）=0?8,则下列判断正确的是（ D ）o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X=3的概率为（C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击，设射击的命中率为02独立射击100次，则至少击中9次的概率为（B ） 100 9 C ?工 C ；(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N （0, 1）,常数c 为以下何值时，统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。（C ） A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为（A ） 7. X P X 2.X 3为总体的样本，下列哪一项是“的无偏估计（A ） A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数（2为（ C ） A.C ；；X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D. 9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设 H。：“ =，则在显著水平a=0.01下，(B ) A.必接受 B.可能接受，也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受，也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分，共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件，则A, B, C至少有一个事件发生表示为：_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s)，贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0 概率统计练习题答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、 B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()=13 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案：D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布，即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又12,,,,n c k k k ， 为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11 n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11 n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )262x x ?-= C 、()312x x e ?-= D 、()()4211x x ?π= + 答案：D 概率论与数理统计复习题 一、计算题： 1、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2．.设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<概率统计习题及答案
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