第84课时课题:衣敷的帘采概念
一.教学目标:
1.使学生了解扩充实数集的必要性,正确理解复数的有关概念.掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换;
2.常握复数的运算法则,能正确地进行复数的运算,并理解复数运算的几何意义;
3.掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法.
4.通过内容的阐述,带综合性的例题和习题的训练,继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力.
5.通过数的概念的发展,复数、复平而内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学,继续对学生进行辩证观点的教育.
二.教学重点:复数三角形式表示法及复数的运算法则,复数与实数的区别和联系。
三.教学过程:
(一)主要知识:
1.数的概念的发展,复数的有关概念(实数、虚数、纯虚数、复数相等、共辘复数、模);
2.复数的代数表示与向量表示;
3.复数的加法与减法,复数的乘法与除法,复数的三角形式,复数三角形式的乘法与乘方,复数三角形式的除法与开方;
4.复数集屮解实系数方程(包括?一元二次方程、二项方程)。
复数在过去儿年里是代数的重要内容之一,涉及的知识面广,对能力要求较高,是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化,高考试题比例下降,因此考生要把握好复习的尺度。
从近儿年的高考试题上看:复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用,复平面内复数的儿何表示及复向暈的运算。主要考点为复数的模与辐角主值,共觇复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题;若涉及儿个知识点的试题,往往是中、高档题目,解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换,对有些题目,往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角(主值)等问题,涉及到复数的三角形式,首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算,复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。
基于上述情况,我们在学习“复数” 一章内容时,要注意以下几点:
(1)复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轨
等外,还聲注盍一埜重更而常不弓jn.若有讥丄
X
<4性就是说卄去吐丽且1R快刽甥到”右“丘^片磁圧
R* 又不可能的
复数的三角形式和代数式,提供了将“复数问题实数化”的手段。
复数的儿何意义也是解题的一个重要手段。
(2)对于涉及知识点多,与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型,以及复数本身的综合
题,一直成为学生的难点,应掌握规律及典型题型的技巧解法,并加以强化训练
以突破此难点;
(3) 重视以下知识盲点:
① 不能正确理解复数的几何意义,常常搞错向量旋转的方向; ② 忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数;
③ 盲目地将实数范围内数与形的一些结论,不加怀疑地引用到复数范围屮来;
④ 容易混淆复数的有关概念,如纯虚数与虚数的区别问题,实轴与虚轴的交集问题,复数辐角 主值的范围问题等。 (二)
知识点详析
1. 知识体系表解
/复数的相等
复数的辐角 共辘复数
'复数的模
2. 复数的有关概念和性质:
(1) i 称为虚数单位,规定z 2 =-1 ,形如a+bi 的数称为复数,其中a, bWR.
(2) 复数的分类(下面的a, b 均为实数)
〔分类
,实数 '虑数纯虚数 表示法
代数形式
三角形式
实数
虚数单
位i
'代数形式表示的复数的运算: 复数的」
运算1
加.減、乘5除 三角形式表示的复数的运算: X 乘S 除、乘方、开方
复平面, 表示法\向量
r 加法运算的几何意义 _
减法运算的几何意义
复数的运算 < 乘法运算的几何意义
除法运算的几何意义 In 次方根的几何意义
应用
?复数集中的方程
a 4-bi a = Q)
G>=m
(3)复数的相等设复数Z] =a A +bj, z2 =a2 +b2i(a^b^a2,b2G R),那么z} = z2的充要条件是:
特耳!■ s = a+bt ^>a = b = O.
(4)复数的几何表示复数z=a+bi (a, bWR)可用平面直角坐标系内点Z(a, b)来表示.这时称此平面为复平面,x轴称为实轴,y轴除去原点称为虚轴.这样,全体复数集C与复平面上全体点集是——对应的.
何共规賈SU ?滿帧SU P F的彌劇氐记利那血验劝it复平画上的克关于卿I)捋?且
(Dx + z = 2a> e-c = 2bi v a = a a 4-b11 ?z=iOz€ R.
(6)則ft的模与砂的向■聽示称=
记为|环复数的模启旳实数.特別牛00尸0?
复数z=a+bi(Q,bw/?)?在复平面内还可以用以原点O为起点,以点Z(a, b)
为终戌的向量&耒农示. 層5对面内所有臥澤点尢起克的侨有
向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O,看成零向量).
(7)复数与实数不同处
①任意两个实数可以比较大小,而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小.
②实数对于四则运算是通行无阻的,但不是任何实数都可以开偶次方.而复数对四则运算和开方均通行无阻.
3.有关计算:
⑴7〃(〃AT)怎样计算?(先求n被4除所得的余数,严U (kwN丘N))
⑵吩-”乎、叱弓-爭是1的两个虚立方根,并且:
69, = CO2 (02= 0)} ? + g = —1
⑶ 复数集内的三角形不等式是:llzj-^l < |z, ±z2| < |z,| + |z2| ,其中左边在复数Z" Z?
对应的向量共线月.反向(同向)时取等号,右边在复数勺、Z\对应的向量共线月.同向(反向)时取等号。
(4)棣莫佛定理是:[r(cos& + Zsin&)]" = r n(cosnO+ ismn0)(ne Z)
⑸ 若非零复数z = F (cosa + Zsina),则z 的n 次方根有企个,即:
z k = V/'(cos -------------- + zsin ------------- )(& =0丄2,???,n-\)
n n
它们在复平而内对应的点在分布上有什么特殊关系?
都位于圆心在原点,半径为濟的圆上,并且把这个圆II 等分。
TT
JT
(6) 若 Z] =2,z°=3(cos — isin —)?Z],复数 z 】、Z2对应的点分别是 A 、B,则△AOB (0
- 3 3 _
为坐标原点)的面积是丄x2x6xsin- = 3V3 o
2 3
— 2
(7) z? z= z O
(8) 复平面内复数z 对应的点的儿个基本轨迹: ?argz = &(劝实常数)㈠轨迹为一条射线。
② arg(z - z 0) = &(Zo 是复常数,&是实常数)㈠轨迹为一条射线。 ③ \z-z.\ = r(r 是正的常数)㈠轨迹是一个圆。
?\z-z,\ = \z-z 2|(z P Z2是复常数)0轨迹是一条直线。
⑤ |z-z 』+ |z-Z2| = 2G (Z]
、z?是复常数,G 是正的常数)㈠轨迹有三种可能情形:a)当 2a > Z] -乙2吋,
轨迹为椭圆;b)当2a = z } -z 2吋,轨迹为一-条线段;c)当2a < |z ( -z 2吋, 轨迹不存在。
?Ijz-Zj -\z-z 2^ = 2a(a 是正的常数)㈠轨迹有三种可能情形:a)当2a < \z } -z 2 \时,轨 迹为双曲线;b)当2a = z } - z 2吋,轨迹为两条射线;c)当2a > z, -z 2吋,轨迹不存在。 4 .学习目标
(1) 联系实数的性质与运算等内容,加强对复数概念的认识;
(3) 正确区分复数的有关概念;
(4) 学握复数儿何意义,注意复数与三角、解儿等内容的综合;
(5) 正确掌握复数的运算:复数代数形式的加、减、乘、除;三角 形式的乘、除、乘方、开方及几何意义;虚
数单位,及1的立方虚根
⑵理顺复数的三种表示形式及相互转换:
集
血的性质;模及共辘复数的性质;
(6)掌握化归思想一一将复数问题实数化(三角化、几何化);
(7)掌握方程思想一一利用复数及其相等的有关充要条件,建立相应的方程,转化复数问题。
(三)例题分析:
I?2004年高考数学题选
1.(2004年四川卷理3)设复数3= —£+申i,则1+3 =
A?一3D.丄
co~
2. (2004 重庆卷2))设复数z = l + V2/JlJz2-2z,则Z?_2Z 二()
A. -3
B. 3
C. -3i
D. 3i
3. (2004高考数学试题广东B卷14)已知复数z与(z +2)2-8i均是纯虚数,则z= __________________ II.范例分析
Eft ■
①实数?②虚数?③纯虚数?
m*-3
①复数Z是实数的充要
条件是:
{
n2+5m+6 = 0
n+3^0
???当m =—2时复数z为实数.
②复数z是虚数的充要条件:
為产{:;:盼-2 Q 42 -2
???当mH -3且mH-2时复数z为虚数
③复数z是纯虚数的充要条件是:
f m m - 2 = o |m = -2或m = LSm尹-3
< m + 3 j w j 口<=>m = l
|m2+5m + 6/0 帖?込尹-3
当m=l时复数z为纯虚数.
【说明】要注意复数z实部的定义域是uiH-3,它是考虑复数z是实数,虚数纯虚数的必要条件.
要特别注意复数z=a+bi(a, bER)为纯虚数的充要条件是a=0且bHO.
鶴法2.由已知可得尸2櫃K ??????①醐躺平方可得
Z |2=(2-|Z |)2+1 = 4-4|Z | + |Z |2+1,所以|z| = -,代入①得z = j + Z ,故选B.
解法3:选择支中的复数的模均为番卜1,又同10,而方程右边为2+i,它的实部,丿為:部 均为正数,因此复数Z 的实部,虚部也必须为正,故选择B ?
【说明】解法1利用复数相等的条件;解法2利用复数模的性质;解法3考虑选择题的特点.
EM31己知复孤港足=
★告€R
求:Z
【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a 、b,而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可 求出a^ b 确定
乙
芙斷一个真暫是否为好馀用定恥卜 还可用水R ??=iW
运算简化.
解:设 z=x+yi(x, y e R)
将 z=x+yi 代入|z —4| = |z-4i|可得
x=y, /.z=x+xi
由妙対瞬可捋
--fe-
(M2] ttJOfo 犠J&关躺 rfi?|=2+i> 那
解祛h
bC R)iC>Ha+bi+>A 2 *b 2 =2+i a4-*/a.a *b a =2
b = l ?
= 13
ft)当i = 8f底I?则有?=0
(2) 当|z— 1|2 =13 时,即有x2— x-6=0 则有x=3 或x=-2
综上所述故z=0或z=3+3i或z=-2-2i
【说明】注意熟练地运用共觇复数的性质?其性质有:
(-0 = 24-i
=i+2-i-【说明】计算时要注意提取公因式,要
注意利用i 的基的周期性,
要记住常用的娠 Cl±i )2=±2i,冷7 穿:
硯谢“再钟
1
I4=iq> ?+r=2R(s )> s-r=aKs)> ""厨=|ij\
ww 瞬⑴嗇屮t ■(爭r
2i
(2)原式=
盘卜2if ?狂⑵尸
RftE朋充分耕0)3=乔3=], 3+莎(0^ = 1, o2= 药2 = 3. w 耳两二1+Cl)
+0)2=0( 14■帀+运2丸这空性质(3 =? 卜务)
(3)解法1:原式=(l+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+???+(997+998i-999-1000i)
=250( - 2 - 2i)= - 500 - 500i
.?.(l-i)S=l+i+/2+-+z999-lOOOz1000
解法2:设S=l+2i+3^+???+1000广",则is = i+2z2 +3 z3+? -+999/"9 +1000/1000 , 半-iOOO
l-l
3 l+2i+3 产+???+1000产"
【说明】充分利用i 的幕的周期性进行组合,注意利用等比数列求和的方法.
?- a )H ?
⑵解法 由 1^1= Wil * Zj =
0. A Zj =—
Z
1
I P 円 i ■丄* 勺一匕
上1 2
解法齢???冋|=1?5?勺=1
it-f
-as*-i2?
他和 熱较运用刘嗾的性st 其性质有■啊+皿严 心朋?庇?瑞+1?|讣自■曾“臥kff*博 jffitt 曲H 2 =|于=”或随端去烦值昶的朋用. 【例6】已知三边都不相等的三角形ABC 的三内角A 、B 、C 满足
sin A cos B + sin B = sin A cos C + sin C,设复数=cos 0 + i sin 0(0 < 0 v 龙且 0 工彳)、 z 2 =血(cos A + i sin A ),求 arg (z, z 2)的值.
【解】?/ sin A cos B + sin B = sin A cos C + sinC /. sin /(cos B 一 cos C) = sinC- sin B . A £ . B + C ? B_C 、 ? B_C B + C ?令
24sin — cos —(-sin -------- xsin ------- ) = -2sin ------- cos .......... ...... 》廿
2 2 2 2 2 2 B + C 7t A B + C . A ? B + C A p B — C ?.? ---- = ------- ??? cos ---------- = sin —, sin ------ = cos —< X ------ H 0,
2 2 2 2 2 2 2 2 ...sin 4 H o, sin 色二£工0.上式化简为cos2 4二丄.?./ =兰……6分
2 2 2 2 2
Z]z 2 = "[cos(&- —) + /sin(&- —)] ..... 9 分.?.当o < & < 兰时,arg(Z|z 2) = — + 0
2 2 2 2
当—<0 < 加寸,arg(z/2)= 0 — — ... 12 分
【例 7】设zi=l-cosO+Zsin0,么2=/+如(。丘R ),若Z1Z2HO, Z]Z2+Z]Z2=O ,问在(0, 2兀)内是否存 在。使⑵p )2为实数?若存在,求出0的值;若不存在,请说明理由.
【分析】这是一道探索性问题.可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件, 直接进行解答. 【解】假设满足条件的0存在.
因牛2工0, Z1Z2+Z]Z2=O,故Z]Z2为纯虚数. 又 zjZ2=( 1 ~cos0+zsin6)(a 2+az)
=[a 2(l -cos0)_asinO]+[a( 1 -cos0)+a 2sin0]Z,
2 ?
a (l-cos0)_^sin0=0 , d(l-cos0)+/sin0H0
由②知G HO.
另一方面,因(ZIPPER,故z\~z 2为实数或为纯虚数.又zi-Z2=l _cos0-tz 2+(sinO-6f)z,于是 sin0-a=0, 或 1 一
cos0-tf=0 ?
于是,
因 0E (0, 2K ),故 cosBHl.于是, 市①得 sin 。
a
1-cosG
若 sin0-tz=Ot 则rh 方程组
sin0-a=0,
sinO a= 1一cosO'
cinA H 3 兀
得下融円诚,故cose=0, T-是Op或
若1 -cosO-/=o,贝ij由方程组
I-COS O P =0, _
得(H S9)2=1_COS0-
sin()
"1-cosO,
由于sin20= 1 -cos20=( 1 +cosO)( 1 -cosO),故1 +cos0=(l-cosO)2.
n 3兀
解得cos6=0,从而0-y 或Op
综上所知,在(0, 2兀)内,存在0寸或()罟,使(Z1-Z2)2为实数.
【说明】①解题技巧:解题中充分使用了复数的性质:zH0,z+z=0ozW^虚数Q器;J 以及z2GR<=>z eR或zG{纯虚数}.(注:Re(z), Im⑵分别表示复数z的实部与虚部)
②解题规律:对于“是否型存在题型”,一般处理方法是首先假设结论成立,再进行正确的推理,若无矛盾,则结论成立;否则结论不成立.
【例8】设Q为实数,在复数集C中解方程:Z2+2|Z|=?.
【分析】由于z2=a-2fzl为实数,故z为纯虚数或实数,因而需分情况进行讨论.
【解】设|z|=r.若aVO,则,=a-2|z|V0,于是z为纯虚数,从而r2=2r-a.
解得?*=1 + y/l~a(r=l-寸KO,不合,舍去).故z=±(l+
若a$0,对r作如下讨论:
(1)若虫芬,则z2=a~2|z|^0,于是z为实数.
解方程r2=(7-2r,得尸T+ y[\+a(r=~\~ ^l+aVO,不合,舍去). 故z=±(-l + 兀).
(2)若厂>% 则z2=a~2\z\<0f于是z为纯虚数.
解方程P=2r~ci,得r= 1 + 寸]-°或r= 1- yj 1 ~a(a W1)? 故z=±(l土寸1 -Q)/(Q W 1).
综上所述,原方程的解的情况如下:
当aVO 时,解为:z=±(l + yj\~a)i\
当OWdWl 时,解为:z=±(T+ pl+a), z=±(l±yj 1 ~a)i:
当a>l 时,解为:z=±(T+ 寸1+a).
【说明】解题技巧:本题还可以令z=x+yi(x> yWR)代入原方程后,由复数相等的条件将复数方程化归为关于x, y的实系数的二元方程组来求解.
【例9】(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18)
2x +1
已知实数p满足不等式仝二<0,试判断方程z2-2z + 5-p2= 0有无实根,并给出证明.
x + 2
【解】由彎<0,解得-2VXV-*, ??.-2vpv-*.方程z?-2z + 5-屛=0的判别式A = 4(^2 -4).
【例10]给定实数a, b, c.己知复数Z|、Z2、Z3满足
⑴
⑵求丨azi+bz2+cz3丨的值.
【解】解法一由|zi|=|z2|=|z 3|=l,可设令=cos9+zsin0,各=cos (p+/sin (p, z 2 Z3
-—~~ =cos(0+(p)~/sin(0+(p).因合 + 各 + 尹=1,其虚部为 0,
Z2 Z] Z2 Z3 Z]
Z3 Z2
■ ■ 0+q ) 0~(p 0+(p 0+(p 故 0=sin0+sin (p-sin(0+(p)=2sin —^cos -^--2sin-
C ? O +(P Z e_
- . o+(p . 0 ?业
=2sin^^ (cos -2~-cos'^'=4sm^^*sin 尹nj.
故 0=2^Ji 或(p=2I 或 8+(p=23 , PWZ.因而 Z|=Z2 或 z 2=z 3 或 Z3=Z|. 若 Z]=Z2, 代入(2)得』=±/,此时
I az\+bz^czy I =|zi|?|a+b±cZ 丨 ^(a+b)1 + c l . 类似地,如果习=习,则丨 az\+bz 2+cz 3 I =yj(b+c)z ^ a z ; 如果 Z3=zi ,贝lj 丨 az\+bz2^~cz3 I =\j(a^-c)2^- b 2 .
知f 1 + Z2
由(1)得舟伙=1, 2, 3),代入上式,得g +
即 Z12Z3+^22Z 1 ^Z^Z 2=Z2Z 3+Z^Z\ +z]?Z 2,分解因式,
得⑵-Z2)to _^3)fo _^l)=0, 于是Zi=Z 2或Z2=Z3或Z3=Z].下同解法一 ?
【说明】①解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件:泻ROW ,以及视g ‘ g 等为整体,
从而简化了运算.
②解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔,而不注意充分观察题目的已知条件,结论特 征等,从而使问题的求解或是变得异常的复杂,或干脆就无法解出最终的结果.
(四)巩固练习:
f|Zll=|Z2Hz 3|,
互+互+仝=1.
lZ2 Z3 Z1
【分析】注意到条件(1), 充要条件进行求解.
不难想到用复数的三角形式;注意到条件(2),可联想使用复数为实数的 解法二由(2)
Z3
直_£1 +空+直
Z1 Z? Z3 Z]
即互+
Z2
Zo Z3
互=3+空+空.
Z
,
Z2 Z3 可
空+互鸟+ 互+互
Z3 Z] Z| Z2 Z3
乎+孑刁,故
Z3 Zi
2|OZ 『|OZ|
JI
兀
解法二、因 0<0<三,故 cosO>0, sin0>0, 0 3cos0 . , 、 2sin0 C5)倔。如4si 』o'血蝕沪V9CO 加4品? JI JI 显然(-迈~,y ),且siny 为增函数. sinv=sin (e-argz)=sinOcos(argz)-cosBsin(argz)和 9 "J 當:?() ___ ] _ 」 < _ ] _1 ^/9csc 20+4sec 20 y)9+9cot 29+4+4tan 20\3+2^/9cot 29-4tan 20 5' 当且仅当9cot 20 = 4tan 20,即 tanG=^,取"=”,此时y,fMX =arctarr^ 解法三、设 Z|=2(cos0+/sin0), Z 2=cos0,则 Z=Z]+Z2,而 Z 】、Z 2> Z 的辐角主值分别为0、0, argz.如图所示,必有y=ZZOZ],且0 TC 勺 ? 在AZOZi 中,由余眩定理得 |OZ||2+|OZ|2-|Z|Z|2 4+4+5cos^-cos 勺 cosy ~2|OZ 『|OZ|- 一― 2 X 2甫+5罰 p4+5cos? 6 2 点 5 + 5*\/4+5COS 20 " 5 * w — 2 1 3~ tanO ? 2tanG 当且仅当tan() =2tan0 ,即 tan0=^^时,取"=” 乂因为正切函数在锐角的范围内为增函数,故当0=arc 设复数z=3cos0+2/sin0,求函数y=0~argz(O<0)的最大值以及对应角0的值. 【分析】先将问题实数化,将y 表示成0的目标函数,后利用代数法(函数的单调性、基本不 等式等)以及数形结合法进行求解. JI , JI 解法一、由 0<0<亍,得 tan()>0,从而 0 2sin0 2 得 tan(argz)-3cos0-3tan0>0. 十口 门 tanO-tan(argz) 尹 1 于疋 F (T+taT 厂*时吾石 [tl z=3cos0+2zsin0, ,y 取最大值为arctan 当. 当且仅当4+5cos 26=6,即cos 。」导时,取“=”? 又因为余眩函数在0<0<迈~为减函数,故当O=arccos^^0t, Mg^arccos 耳 【说明】①解题关键点:将复数问题通过化归转化为实数问题,使问题能在我们非常熟悉的情 景中求解.② 解题规律:多角度思考,全方位探索,不仅使我们获得了许多优秀解法,而且还使我 们对问题的本质认识更清楚,进而更有利于我们深化对复数概念的理解,灵活驾驭求解复数问题的 能力.③解题易错点:因为解法的多样性,反 三角函数表示角的不唯一性,因而最后的表述结果均 不一样,不要认为是错误的. 已知对于x 的方程X 2+ (l-2i) x+3m-i=0有实根,则实数m 满足[] A . n. n^>-4 已知常数且z° H0,复数可满足匕—Zo 冃zj,又复数z 满足zz, =-1,求复平面内z 对应的点的轨迹。 设复数z 二一屁近i,记u 二 (1 )求复数u 的三角形式;(2)如果- + - = z + 2w ,求实数a 、b 的值。 Z U 7、 (2003年普通高等学校招生全国统一考试(理17)) 已知复数z 的辐角为60。,且|z-l|是|z|和|z-2|的等比中项,求|z| 8、 已知复数Z],Z2满足|z]| = |z 2| = l,且\z { -z 2| = >/2 o / 、2 (1)求 z 1 + z 21 的值;(2)求证:—< 0 ; 四.课后作业: 下列说法正确的是 [ ] A. Oi 是纯虚数 B.原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点 C.实数的共辘复数一定是实数, 下列命题屮,假命题是 A.两个复数不可以比较大小B ? C.两个虚数不可以比较大小 D. 1、 2、 虚数的共辘复数一定是虚数D.产是虚数 [ ] 两个实数可以比较大小 一虚数和一实数不可以比较大小 3、 C. IB 4、 复数l+i+产+???+严等于 A. i B. - i D ? 31=— 12 [ 1 D. -2i C. 2i 5、 (3) 求证对于任意实数a,恒有\z{-az^\z{+az^o 9、(1992 ?三南试题)求同吋满足下列两个条件的所有复数z: (l)z+严是实数,且l 参考答案 1、解0i=OER故A错;原点对应复数为OER故B错,i2=-ieR,故D错,所以答案为C。 2、解本题主要考察复数的基本性质,两个不全是实数的复数不能比较大小,故命题B, C, D均正 确,故A命题是假的。 3、解本题考察复数相等概念,由己知 { ^+■+331=0G) -2z-1 = 0 ② 4、解:因为i的四个相邻幕的和为0,故原式=l+i+i2+0+0=i,答案:A。 5、解:zq =—1,???习=一丄,???|」■一Z。冃丄|,即匸+丄|= —(z00) z z z z0 | z0 | ???Z对应的点的轨迹是以_丄对应的点为圆心,以|丄|为半径的圆,但应除去原点。 z°Z Q 6、答案:(1) u = 2>/2 cos —+ i sin —;(2) a = 8,b = —8 7、解:设z = "Os6(T+Fsin60)则复数z的实部z-z = r,zz = r2由题设 2 |z —l|2=|z|?|z —2|即:(z —1)G —l)=|z| J(z —2)(7 —2),???r2 - r +1 = r7r2-2r + 4, 整理得尸2 + 2r- 1 = 0.解得:厂=迈-1,尸=-V2-1(舍去)即| z |= >/2 -1. 8、答案(1) >/2 ; (2)、(3)省略。 9、分析:按一般思路,应设z=x+yi (x, yWR),或z=r (cos 为f 齢整《換元我由z+-GR?i:+-=r4--?fi?tt S S S -tz+ 10 = 0 Vl 又???z 的实部和虚部都是整数,???t=2或t=6 故 z=l ±3i 或 z=3±i 解法二:Tz+^WR, 10 10 ?-10 10 ..X + ■ C +^— f . . X + -=- ■ X 4°^— S £ S 2 即 a-£)a-巴)-o 2 从而Z=y 或五=10.若7=万, 则zGR,因1 掌握复数的基本题型,主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模,共 轨复数,解复数方程等。 二. 教学重点:复数的几何表示,计算复数模,共辘复数,解复数方程等。 三. 教学过程: (一)主要知识: 1.共轨复数规律 = r = + 2. 复数的代数运算规律 (2)co 冷瑋內有 C e> ? = w 2, o 3=i g ■五.(1)? + 力肝1+?叶2=o. 的 / c 、? n ? n+l ?打+2 ?"+3 1 I ? "+1 I ? 〃+ 2 I ? 〃+ 3 八 (3) 1 ? 1 ? 1 ? 1 =—1, 1 +1 十 1 十 1 =0; x=l, 尸 3, (1) i 4w =l, 4w+1 =i, j 4”+2 i 4/,+3=-i; (4〉(i±0 1 = ta. 3.辐角的运算规律 (1) Arg(Z| ? z2 ) =ArgZj +Argz2 (2) Arg— = Arg^i (3)Argz w =nArgz (nEN) (4)=心任[耳中m 为k = 0, L X D …,n—1o (5) QBjtz为贾数■ R.则z+-6 R的充聲条件?|z|=|a| z 或zWR。 ②己卿止G且声* a G为非尊实数)>则宁是莞虚数的充 E +a 要条件是|z| = |a|o (6)z, ? z2 HO,贝I」 I矶FlTq十Pl口'■=触(入€ 险?^M£I H)£O S| 1 4.根的规律:复系数一元n次方程有且只有n个根,实系数一元n次方程的虚根成对共轨出现。 5.求最值时,除了代数、三角的常规方法外,还需注意儿何法及不等式 1忆11一忆2 ||W|Z[ ±Z2 |W|Z] |+忆2 I的运用。 即|Z] 土Z? 0Z] |+忆2 I等号成立的条件是:Z], Z?所对应的向量共线且同向。 \Z}±Z2\^\Z}\~\Z2\^号成立的条件是:Z2所对立的向量共线且异向。 (二)范例分析 I?2004年高考数学题选 1.(2004高考数学试题(浙江卷,6))已知复数萨3+4(,习二出,且可出是实数,则实数戶() 专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算.引入虚数,这是中学阶段对数集的最终扩充.需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系,掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除),了解复数的几何表示.由于向量已经单独学习,因此复数的向量形式与三角形式就不作要求,主要解决代数形式. 【知识要点】 1.复数的概念中,重要的是复数相等的概念.明确利用“转化”的思想,把虚数问题转化为实数问题加以解决,而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现. 2.复数的代数形式:z =a +bi (a ,b ∈R ).应该注意到a ,b ∈R 是与z =a +bi 为一个整体,解决虚数问题实际上是通过a ,b ∈R 在实数集内解决实数问题. 3.复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算. 【复习要求】 1.了解数系的扩充过程.理解复数的基本概念与复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时,复数z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决. 解:(1)当m 2-5m -6=0,即m =-1或m =6时,复数z 为实数; (2)当,即m =4时,复数z 为纯虚数; (3)当,即m =-1时,复数z 为零. 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义,需要对复数的实部、虚部加以研究.应该注意到复数的实部、虚部都是实数,解决复数的问题时实际上是在进行实数运算.这一点大家在后面的运算中更加能够体会到. 例2 判断下列命题的对错: ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m 专题二 复数 【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解 一、复数选择题 1.复数2 1i =+( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i + 2.在复平面内,复数534i i -(i 为虚数单位)对应的点的坐标为( ) A .()3,4 B .()4,3- C .43,55??- ?? ? D .43,55?? - ??? 3.复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4.已知复数()123z i i +=- (其中i 是虚数单位),则z 在复平面内对应点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 5.已知复数5i 5i 2i z =+-,则z =( ) A B .C .D .6.设1z 是虚数,211 1 z z z =+是实数,且211z -≤≤,则1z 的实部取值范围是( ) A .[]1,1- B .11,22?? - ??? ? C .[]22-, D .11,00,22 ????-?? ????? ? 7.设2i z i +=,则||z =( ) A B C .2 D .5 8.若复数2i 1i a -+(a ∈R )为纯虚数,则1i a -=( ) A B C .3 D .5 9.在复平面内,复数z 对应的点为(,)x y ,若2 2 (2)4x y ++=,则( ) A .22z += B .22z i += C .24z += D .24z i += 10.已知i 是虚数单位,a 为实数,且3i 1i 2i a -=-+,则a =( ) A .2 B .1 C .-2 D .-1 11.复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 12.已知i 是虚数单位,2i z i ?=+,则复数z 的共轭复数的模是( ) A .5 B C D .3 一、复数选择题 1.已知复数1=-i z i ,其中i 为虚数单位,则||z =( ) A . 12 B . 22 C .2 D .2 2.已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数,则实数m =( ) A .-1 B .0 C .1 D .0或1 3.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A ,B 对应的复数分别是1z ,2z ,则12z z -=( ) A 2 B .2 C .2 D .8 4.已知复数5i 5i 2i z =+-,则z =( ) A 5B .52C .32D .255.已知复数5 12z i =+,则z =( ) A .1 B 5 C 5 D .5 6.若复数z 满足421i z i +=+,则z =( ) A .13i + B .13i - C .3i + D .3i - 7.设复数z 满足方程4z z z z ?+?=,其中z 为复数z 的共轭复数,若z 2,则z 为( ) A .1 B 2 C .2 D .4 8.若复数()4 1i 34i z += +,则z =( ) A . 4 5 B . 35 C . 25 D . 25 9.若1i i z ,则2z z i ?-=( ) A . B .4 C . D .8 10.设复数z 满足41i z i =+,则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 11.已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数,则a b +=( ) A .4 B .2 C .0 D .1- 12.复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线,对应的点在第三象限,且10z =,则z =( ) A .68i + B .68i - C .68i -- D .68i -+ 13.已知i 是虚数单位,设复数22i a bi i -+=+,其中,a b ∈R ,则+a b 的值为( ) A .7 5 B .75- C . 15 D .15 - 14.若i 为虚数单位,,a b ∈R ,且2a i b i i +=+,则复数a bi -的模等于( ) A B C D 15.题目文 件丢失! 二、多选题 16.已知复数2020 11i z i += -(i 为虚数单位),则下列说法错误的是( ) A .z 的实部为2 B .z 的虚部为1 C .z i = D .||z =17.已知复数z 满足2 20z z +=,则z 可能为( ). A .0 B .2- C .2i D .2i+1- 18.已知复数z 满足2 20z z +=,则z 可能为( ) A .0 B .2- C .2i D .2i - 19.下面是关于复数2 1i z =-+的四个命题,其中真命题是( ) A .||z = B .22z i = C .z 的共轭复数为1i -+ D .z 的虚部为1- 20.已知复数12z =-,则下列结论正确的有( ) A .1z z ?= B .2z z = C .31z =- D .2020122 z =- + 21.已知复数(),z x yi x y R =+∈,则( ) A .2 0z B .z 的虚部是yi高考文科数学二轮专题复习:11 复数
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