最新第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考

习题1.2

1．dx

dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y

dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1

特解为y= e 2x .

2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2

y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y

1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e

特解：y=|

)1(|ln 1+x c 3．dx dy =y

x xy y 32

1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x

x + y

y 2

1+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为： y

y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dx dy =-y

x y x +- 令

x

y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu

即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg

2x y . 6. x dx

dy -y+22y x -=0 解：原方程为：

dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x

y =u dx dy =u+ x dx du 2

11

u - du=sgnx x 1dx arcsin x

y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0

解:原方程为：tgy dy =ctgx

dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x

c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y

e x

y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y

e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

解：原方程为：dx dy =x y ln x

y 令x

y =u ,则dx dy =u+ x dx du

u+ x dx

du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln

x y =cy. 10. dx

dy =e y x - 解：原方程为：

dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dx

dy =(x+y)2 解：令x+y=u,则

dx dy =dx du -1 dx

du -1=u 2 211u

+du=dx arctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2

)(1y x + 解：令x+y=u,则

dx dy =dx du -1 dx du -1=21u

u-arctgu=x+c

y-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1

212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2

+x=c

xy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =2

5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0