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概率书后习题

第一章

习题 1.1

1．试说明随机试验应具有的三个特点．

2．指出下列事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件? A =“一副扑克牌中随机地抽出一张是黑桃”；

B =“没有水分，水稻种子发芽”；

C =“一副扑克牌中随机地抽出14张，至少有两种花色”(除大小王)．

3．按语文、数学成绩衡量学生是否合格．若A 表示“语文及格”，B 表示“数学及格”试分别陈述B A B A ,与B A 的意义，并说明B A 与B A 的关系．

4．如果事件A 与B 互斥，是否必有A 与B 互逆?反之如何?试举例说明． 5．要使以下各式成立，事件A 与B 之间具有何种包含关系? (1) A AB =； (2) A B =A ．

6．设A ，B ，C 为同一随机试验中的三个随机事件．用A ，B ，C 的运算表示下列各事件: (1)“A 与B 发生，C 不发生”；(2)“A 、B 、C 中恰有两个发生”；(3)“A 、B 、C 中至少有一个发生”．

7．某人向一目标连续射击3次，设=i A “第i 次击中”， )3,2,1(=i ．试用1A ，2A ，

3A 的运算表示:

(1)“恰好一次命中”; (2)“第一次和第二次中而第三次不中”．

8．穴种三粒种子321,,a a a ，以321,,A A A 分别表示321,,a a a 出苗．试用321,,A A A 表示以下事件:

(1)只有一粒出苗； (2)三粒都未出苗； (3)至少有一粒出苗；( 4)只有a 2出苗．

习题1.2

1．是不是试验次数越多，频率值就越接近概率值？ 2．如果一个事件发生的概率是

,是不是就说明在10次试验中这个事件肯定会发生3次？

3．对某村调查结果的统计表明，有黑白电视机的家庭占80%，有彩电的家庭占18%，没有电视机的家庭占15%，如果随机地到一家去，试求(1)没有彩电的概率；(2)有电视机的概率；(3)有黑白电视机或无电视机的概率；(4)彩电和黑白电视机都有的概率．

4．某人在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别是0.26, 0.30, 0.20, 试求此人在一次射击中:(1)射中8环及8环以上的概率； (2)不足8环的概率．

5．设A ，B ，C 两两互不相容，且()0.2,()0.3,()P A P B P C ===，求

[()]P A

B C -．

6．已知1()()(),4P A P B P C ===

()(),16

P AC P BC ==()0,P AB =求事件A ，B ，C 全不发生的概率．

7．设A ，B 是两事件，且()0.6,()0.7,P A P B ==问：（1）在什么条件下，()P AB 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下，()P AB 取到最小值，最小值是多少？

习题1.3

1．在一批10件产品中有4件次品，从这批产品中任取5件，求其中恰有3件次品的概率?

2．袋中5个白球，3个黑球，一次取两个（1）求取到的两个球颜色不同的概率；（2）求取到的两个球中有黑球的概率；（3）求取到的两个球颜色相同的概率

3．某城市的电话号码是七位数，每位数字可以是0、1、2、…、9中的任一个数．问: (1)如果某人忘记了要拨打的电话号码，那么他一次拨号就能拨对的概率是多少? (2)若该人知道在拨打的电话号码中由七个互不相同的数字组成，那么他一次拨号就能拨对的概率又是多少?

4．一纸盒中混放着60支外形相同的电阻，其中甲厂生产的占

31，乙厂生产的占3

2．现从中任取3支，求其中恰有一支是甲厂生产的概率．

5．一只盒子中装有100个零件，其中包含10个废品．现从中任取4个零件，求“没有废品”，“没有合格品”两个事件的概率．

6．一个设备由5个元件组成，其中有2个元件已损坏．在设备开动前，随机替换两个元件，求换掉的元件皆未损坏的概率．

7．在一副52张扑克牌中任意取出5张，求其中至少有一张黑桃牌的概率．

8．设仓库有100个产品，其中有5个废品，从中不放回地取两次，每次取一个产品，求第二次取到废品的概率．

9．10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率． 10．两封信随机的投入四个邮筒，求前两个邮筒没有信的概率及第一个邮筒内只有一封信的概率．

11．一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽4张，求4张花色各异的概率．

12．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：

1A =“三个数字中不含0和5”，2A =“三个数字中不含0或5“，3A =“三个数字中含0但不

含5”．

13．两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h 和2h ，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率．

习题1.4

1．在什么情况下一个事件的条件概率就等于这个事件的概率． 2．一批产品100件,80件正品, 20件次品, 其中甲厂生产60件,有50件正品, 10件次品,余下的40件均由乙厂生产．现从该批产品中任取一件, 记A=“正品”,Ｂ=“甲厂生产的产品”．求下列概率：(),(),(),(|),(|)P A P B P AB P B A P A B ．

3．一百年来的气象资料知：一年中甲市有20%的天数为雨天，乙市有18%的天数为雨天，两地同时为雨天的日数为12%，求

(1) 甲乙两地至少有一天出现雨天的概率；

(2) 已知甲地为雨天时，乙地也为雨天的条件概率； (3) 已知乙地为雨天时，甲地也为雨天的条件概率．

4．某校学生中“三好学生”的比例为10%，而“三好学生”中，“三好学生标兵”的比例为10%．现从全校学生中任意抽出一名，求其是“三好学生标兵”的概率．

5．十名学生从十个题签中抽取其一进行口试，抽后不放回，求 (1) 第一名同学抽到5号签的概率； (2) 第二名同学抽到5号签的概率；

(3) 第一名同学抽到5号签的条件下，第二名同学抽到6号签的概率

6．某仓库有同样规格的产品六箱，其中三箱是甲厂生产，二箱由乙厂生产，另一箱由丙厂生产，且它们的次品率依次为1/10，1/15，1/20，现从中任取一件产品，试求取得的一件是正品的概率．

7．根据某保险公司的统计资料，已知在所投保10年期简易人身险的保户中，35岁以下的保户占20%，35岁到50岁之间的保户占35%，50岁以上的保户占45%，并根据以往的赔付情况可知，三个年龄组的保户在保险期内发生意外事故的概率分别为2.5%，2．2%，1．6%．在以上所有保户中任选一位，他在保险期内发生意外事故的概率是多少？

8．某地区位于河流甲与乙的汇合处，任一河流泛滥时，该地区便被淹没，据历史资料，每年涨水季节，甲河泛滥的概率为0.1，乙河泛滥的概率为0.2，在甲河泛滥时乙河泛滥的条件概率为0.3．求

(1)该地区在涨水季节被淹没的概率；

(2)在乙河泛滥时，甲河也泛滥的条件概率．

9．甲箱中有3个白球，2个黑球;乙箱中有一个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任意取出一球，问从乙箱中取出白球的概率是多少?

10．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率．

11．111

(),(|),(|),()432

P A P B A P A B P A B =

==求． 12．设事件,A B 满足：()0.7,()0.5,()0.3P A P B P A B ==-=，求

(),(),(|)P AB P B A P B A -

13．设事件,A B 互斥，且0()1P B <<，试证明：()

(|)1()

P A P A B P B =-．

习题1.5

1．如果有n 个事件两两独立，那么它们相互独立吗？ 2．如果A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？ 3. 三人分别向同一目标射击，击中目标的概率分别为

53，31，4

．求目标被击中的概率．

4．某电路的电源由电池A 和两个并联的电池B 、C 串联而成，如下图．设电池A 、B 、C 损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为0．3，0．2，0．2．求电路间断的概

率．

5．甲乙两人射击，甲击中的概率为0．8，乙击中的概率为0．7，同时射击且独立，求下列概率：（1）两人都击中；（2）甲中乙不中；（3）甲不中乙中．

6．某商品可能有A 和B 两类缺陷中的一个或两个，缺陷A 和B 的发生是独立的，且

03.0)(,05.0)(==B P A P ，求商品有下述各种情况的概率:(1)A 和B 都有；( 2)有A ，没

有B ；（3)A 、B 中至少有一个．

7．一个自动报警装置由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵．如果使用100小时后，雷达失灵的概率为0．1，计算机失灵的概率为0．3，且二者独立，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率．

8．设每次试验成功的概率为(01)p p <<，现进行独立重复试验，求直到第10次试验才取得第4次成功的概率．

9．一批产品的一级品率是25%，问最少应随机地取出多少件产品，才能保证取出的一级品的概率超过95%?

10．一批产品中有20%的次品，进行有放回地重复抽样检查，共取5件样品，计算这5件样品中，(1)恰好有三件次品；(2)至多有三件次品的概率．

11．在三次贝努利试验中，事件A 至少出现一次的概率为

，试问在一次试验中A 出现的概率是多少?

12．随机掷一颗骰子，连续6次，求下列概率：（1）恰有1次出现6点；（2）恰有两次出现6点；（3）至少有1次出现六点．

13．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为0．1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

综合练习一

一．填空题

1．抽查三个零件，设A =“三件中至少有一件是次品”， B =“三件都是正品”，问:A ，

A ∪

B ，A B ，A -B 各表示的事件是，，，和．

2．设A ，B 为两个随机事件，且)(,A P A B ?=0．8则P (A ∪B )= ． 3．10件产品中有2件次品，从中任取3件，恰有一件次品的概率是．

4．已知随机事件A 的概率P (A )=0.5，随机事件B 的概率P (B )＝0.6及条件概率P (B |A )=0．8，则和事件A ∪B 的概率P (A B )= ．

5．设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，他们击中目标的概率分别是0.9与0.8，则

目标被击中的概率是．

6．某射手击中目标的概率是0.6，则他射击4次恰好命中3次的概率是．

7．设A =“产品甲滞销,产品乙畅销”则其对立事件A 为______ ．

8．投掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上的概率是________．

9．零件的加工由两道工序完成,第一道工序的次品率为p ,第二道工序的次品率为q ,则该零件加工的成品率为_______．

二．选择题

1．随机事件是基本空间的( )．

(A ) 子集； (B ) 真子集； (C ) 基本点； (D ) 前三者都不对．

2．事件()

C B A +的含义是( )．

(A ) 事件C 发生； (B ) 事件B A +不发生； (C ) 事件C 发生且A 和B 都不发生；(D ) 事件C 发生,A 和B 中至少有一个发生．

3．设A 和B 为任意两个事件,则( )成立．

(A ) A B B A =-+)(； (B ) A B B A ?-+)(； (C ) A B B A =+-)(； (D ) A B B A ?+-)(． 4．若A 与B 互为对立事件,则( )成立．

(A ) Ω=+B A 且Φ=AB ； (B ) 事件A 与B 也互为对立； (C ) A B A = ； (D )Φ=B A ．

5．设事件A 与B 互不相容,且,0)(,0)(>>B P A P 则( )是正确的．

(A ) 0)|(>A B P ； (B ) 0)|(=A B P ； (C ) )()|(A P B A P =； (D ) )()()(B P A P AB P =．三．计算题

1. 已知P (A )=P (B )=P (C )=

，P (A B )=0，P (A C )=P (B C )=10

1．求事件A ，B ，C 全不发生的概率．

2. 从装有2 个红球，8个白球的口袋中随机抽取2球，按两种抽球方式:

(1)有放回抽样，即第一次取1个球观其色后仍放回口袋，再取第二个球观察其颜色． (2)不放回抽样，即第一次抽取1个球观其色后不放回口袋，第二次从剩余的9个球中抽取第二个球．分别计算

(a )两次都抽到白球的概率;(b )抽到一红球，一白球的概率．

3．保险公司在人奉保险中很重视某一年龄的投保人的死亡率．假如一个投保人能活到70岁的概率是0．6求

(1)三个投保人有一个活到70岁的概率; (2)三个投保人都活到70岁的概率．

4.设6.0)(=A P ,2.0)(=-B A P ,求)(AB P 的值．

5．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别是0．6和0．5,现知目标被击中,则它是由甲射中的概率是多少?

6．袋中有10个球,其中有三个新球,某人无放回地从中依次取球,每次取一个,求第三次才取到新球的概率．

7．某宾馆一楼有3部电梯，现有5人要乘坐，求每部电梯至少有一人的概率．

8．某教研室共11名老师，其中7名男教师，现从中任选3名为优秀教师，求3名优秀者至少有一名女教师的概率．

9．某地区电话号码由8打头的八个数字组成的八位数，求（1）八个数字全不相同的概率（2）八个数字不全相同的概率

10．随机地向半圆0y <<

（a 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域

的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率．

11. 10个考签中有4个难签，三个人参加抽签(无放回)甲先，乙次，丙最后，试问(1)甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少? (2)甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少?

12．一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取后不放回，如果取到一个合格品就不再取下去，求在三次能取到合格品的概率．

13.某商场各柜台受到消费者投诉的事件数为0,1,2三种情形，其概率分别为0.6,0.3,0.1．有关部门每月抽查商场的两个柜台，规定：如果两个柜台受到的投诉之和超过1次，则给商场通报批评；若一年中有三个月受到通报批评则该商场受挂牌处分一年，求该商场受处分的概率．

14．甲乙丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7．如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率为0.2，如果有两人击中飞机，则飞机被击落的概率为0．6，如果有三人击中飞机，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．

15．现有编号为I 、II 、III 的三个口袋，其中I 号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；II 号口袋内有两个1号球与一个3号球；III 号袋内有三个1号球与两个2号球．现先从I 号袋内取一个球，放入与球的号数相同的口袋中，再从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大．

16.某仪器由三个部件组成，假设各部件质量互不影响且其优质率分别为0.8,0.7,0.9．已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.6；如果三部件都不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.9．求：（1）求仪器的不合格率；（2）如果已发生一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大．

第二章

习题2.1

1.区分下面随机变量是离散型还是连续型.

(1)一节课上学生提问的次数； (2)书架上任选一本书的页数； (3)一批零件中的次品数； (4)医院中病人的体温；

(5)某地区的年降雨量；

(6)打电话时一次通话的时间．

2.设随机变量X 的分布函数为

21,

2()0,

A x F x x

x ?

->?=??≤?

试确定常数A 的值，并计算概率{04}P X ≤≤

3.一位顾客在超市付款的时间X （单位：分）是一个随机变量，设它的分布函数为

0()1,0

x F x e x -≤??=?->??

当你去超市收银台付款时，某人恰好在你前面开始付款，求你等待时间不超过3分钟的概率

以及等待时间超过5分钟的概率．

习题2.2

1.现有10个零件其中有3个不合格，现从中任取一个使用，若取到不合格品则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．

2.设随机变量X

试求：

（1）随机变量X 的分布函数并作出图形；

（2）计算{11}P X -≤≤，{0 1.5}P X ≤≤，{2}P X ≤．

3.一批电子产品20个中有5个废品，任意取4个，求废品数不多于2个的概率．

4.某厂需要12只集成电路装配仪表，已知该型号集成电路的不合格品率为0.1，问需要采购几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？

5.设随机变量()X

P λ，且{1}{2}P X P X ===，求λ．

6.某车间有20布同型号的机床，每部机床开动的概率为0.8，若假定各机床是否开动相互独立，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率．

7．某商店有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1）求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；

（2）若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．

8.已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c ，34c ，58c ，716c

，试确定常数c ，并求概率{10}P X X <≠．

9.一名纺织厂女工照看800个纺锭，每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005.求在这段时间内断头数布多于2的概率．

习题2.3

1.设连续型随机变量X 的概率密度函数为2

100

,100()0,

100

x f x x x ?>?

=??≤?，求（1）分

布函数()F x ；（2）{200}P X ≤；（3）{300}P X >．

2. 设连续型随机变量X 的分布函数为2,

0()0,

x A Be x F x x -?+>=?

≤?，求：（1）A ，B

的值；（2）{11}P X -<≤；（3）概率密度函数()f x ．

3. 某种包裹的快递规定：每包不得超过1公斤，令X 表示任选一个包裹的重量，其概率密度为

0.5,01()0,

x x f x +<≤?=?

?其它

求（1）这类包裹的重量至少0.75公斤的概率；（2）这类包裹的重量最多为0.5公斤的概率；（3）{0.250.75}P X ≤≤．

4. 设连续型随机变量X 服从[2,5]上的均匀分布，现对X 进行3次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率．

5.某电脑显示器的使用寿命X （单位：千小时）服从参数为1

λ=

的指数分布．生产厂家承诺：购买者使用一年内显示器损坏将免费予以更换，求：

（1）假设用户一般每年使用电脑2000小时，求厂家需免费为其更换显示器的概率；（2）显示器至少可以使用10000小时的概率；

（3）已知某台显示器已经使用10000小时，求其至少还能再用10000小时的概率．

6.设2(50,10)X N ，求下列概率：{20}P X ≤，{4562}P X ≤≤，{70}P X >．

7.设(0.5,4)X

N ，

（1）求{0.5 1.5}P X -<<，{}

0.52P X +<，{0}P X ≥；（2）求常数a ，使{}0.8944P X a >=．

8．资料显示，某年龄段妇女心脏的收缩压X 服从均值120μ=mm 和标准差10σ=mm 的正态分布．求：

（1）X 介于110到140之间的概率；（2）X 超过145的概率；（3）X 低于105的概率．

9.某工厂在工人中增发高产奖，按过去生产状况对月生产额最高的5%的工人发放该奖．已知

过去每人每月生产额X （单位：公斤）服从正态分布2(4000,60)N ．试问高产奖发放标准应把月生产额定为多少？

习题2.4

试求：（1）a ；（2）2

1Y X =-的概率分布． 2. 设随机变量X 的概率分布为1{}2k

P X k ==，k =1，2，…，求s i n 2Y X π??= ???

的概率分布．

3.设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数X

Y e =的概率密度． 4.设随机变量()X

e λ，求1Y X -=的概率密度．

5.设随机变量X 的概率密度为,

0()0,

x X e x f x x -?>=?

≤? 求2X

Y e

-=的概率密度．

习题2.5

1. 设10件产品中有3件次品，现任取一个使用，若取到次品就丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取到的次品数的数学期望．

2.设5次重复独立试验中，每次试验的成功率为0.9，求失败次数的数学期望．

3.一枚均匀硬币连抛5次，（1）写出正面出现次数X 的概率分布；（2）求X 的数学期望和方差．

4. 设随机变量X

求（1）()21E X -；（2）()

E X ．

5. 已知(,)X B n p ，且()3E X =，()2D X =，试求X 的全部可能的取值，并计

算{8}P X ≤．

6. 设连续随机变量X 的概率密度为

01()00,

b ax x f x a b ?<<=>?

?（,）

其它

已知()0.75E X =，求a ，b 的值．

7. 设连续随机变量X 的概率密度为

,0()0,

x e x f x x -?>=?

≤?

（1）设21Y X =+，求()E Y ，()D Y ．（2）设2X

Z e

-=，()E Z ，()D Z ．

综合练习二

一、填空题

1. 设随机变量X 的概率分布为{}k

P X k a

，（1,23

k =），则a =

．

2. 一批零件的次品率为0.01，有放回抽样，每次一件取3件，则取到的次品数X 服从

的分布为．

3. 设随机变量(2,)X B p ，(3,)Y B p ，若5

P X ≥=，则{1}P Y ≥= ．

4. 设()X

P λ，且{1}{2}P X P X ===，则{3}P X == ．

5. 设随机变量X 的概率密度为2

100()0,

100

C x f x x x ?≥?=??

6. 设随机变量X 的分布函数为51,0

()0,

e x F x x -?-≥?=?= ．

7. 设随机变量X 的概率密度为()x

f x ae

-=()x -∞<<+∞，则a = ．

8．设连续型随机变量X 的概率密度为()X f x ，则X

Y e =的概率密度

()Y f y = ．

9. 设(3,)X

B p ，且1

{1}27

P X <=

，则()1E X -= ． 10. 设随机变量X 服从泊松分布且{1}{2}P X P X ===，则()32E X -= ． 11. 设随机变量X

的概率密度为2

()x f x -=

，则()

E X = ．

12. 设随机变量X 的概率密度为2,

11()0,

x x f x <

?其它

，则()D X = ．

二、选择题

1. 下列函数为某随机变量概率密度的是（）．

（A ）sin ,0()20,x x f x π?<

x x f x π?

?=???其它

（C ）sin ,0()0,x x f x π<

其它 2. 设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（）．

（A ）0

()1()a

F a f x dx -=-

（B ）0

()()2a F a f x dx -=-?

（C ）()()F a F a -= （D ）()2()1F a F a -=-

3. 设1个零件的使用寿命X 的概率密度为1,0()10000,

e x

f x x -?>?

=??≤?，则3个这样

的零件恰好有1个使用寿命超过1000的概率为（）．

（A ）1

e - （B ）1123(1)e e --- （C ）1

3e - （D ）()3

1e -

4. 设(1,1)X

N ，其概率密度为()f x ，分布函数为()F x ，则正确的结论是（）．

（A ）{0}{0}P X P X ≤=≥ （B ）{1}{1}P X P X ≤=≥ （C ）()()F x F x -= （D ）()()f x f x -= 5. 设随机变量X 的概率密度为()f x ，则Y X =-的概率密度为（）．（A ）()()p y f y =- （B ）()1()p y f y =- （C ）()()p y f y =- （D ）()1()p y f y =-- 6. 已知随机变量X 的数学期望为()E X ，则必有（）．

（A ）(

)()2

E X E X =???? （B ）()()2

E X E X ≥????

（C ）(

)()2

E X

E X ≤???? （D ）()()2

21E X E X +=????

7. 设X 服从泊松分布，且()32D X +=，则{0}P X ==（）．

（A ） 0 （B ）22e - （C ）2

e - （D ）12

三、解答题

1. 盒子中有6个球，分别标注数字为3,3,1,1,1,2--，现从盒子中任取一球，试求取得的球上标注的数字的概率分布和分布函数．

2.某工厂为了保证设备正常工作，需要配备一些维修工．如果各台设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01.试在以下条件下，求设备发生故障而不能及时维修的概率．

（1）一名维修工负责20台设备；（2）3名维修工负责90台设备．

3. 设X 的分布函数为0,0

()sin ,

021,2

x F x A x x x ππ

=≤≤??>?

，求常数A 及{}6

P X π

<．

4. 一台电话总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%，试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率．

5.设随机变量X 的概率密度为,()(0)0,

x c e x a

f x λλλ-?>=>??其它，求常数c 及

{11}P a X a -<≤+

6. 据调查某年纪的学生完成一道作业题的时间X （小时）是一个随机变量，它的概率

密度为2,00.5

()0,

cx x x f x ?+≤<=??其它，

（1）确定常数c ；

（2）求X 的分布函数；

（3）求在20分钟内完成一道作业题的概率；（4）求在10分钟以上完成一道作业题的概率． 7.设2(,)X

N μσ，若{9}0.975P X ≤=，{2}0.062P X <=，计算,μσ的值并

求{6}P X >．

8. 某单位招聘员工，共有10000人报考．假设考试成绩服从正态分布，且已知90分以上的359人，60分以下的1151人．现按照考试成绩从高分到低分依次录用2500人，试问被录用者中最低分为多少？

9. 某车间生产的圆盘其直径服从区间[,]a b 上的均匀分布，试求圆盘面积的数学期望． 10. 一台设备由三大部件构成，在设备运转中不需调整的概率为0.1,0.2,0.3，假设个部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的期望与方差．

11. 设随机变量X

的概率密度为1()0,x f x <=?

其它

，求X 的期望与方差．

第三章

习题3.1

1．设()Y X ,的分布函数为()y x F ,，试用()y x F ,表示：

(1) {}c Y b X a P <≤≤,; (2) {}b Y P <<0; (3) {}b Y a X P <≥,. 2．设

()?

?≥+<+=1,11

,0,y x y x y x F , 讨论()y x F ,能否成为某二维随机变量的分布函数？

习题3.2

1．求()Y X ,关于X 和Y 的边缘分布律.

2．设二维随机变量()Y X ,的分布函数为()Y X F ,，分布律如下:

试求：(1)?

???<<<

<40,2321

Y X P ;(2){

}43,21≤≤≤≤Y X P ;(3)()3,2F . 3．把一枚均匀硬币抛掷三次，设X 为三次抛掷中正面出现的次数，而Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求()Y X ,的概率分布及()Y X ,关于Y X ,的边缘分布.

4．求例2中的关于Y X ,的边缘分布.

5．盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的

只数，以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律.

习题3.3

1．设D 由2,1,0,1

e x x y x

y ====

围成的平面区域，),(Y X 在D 上服从均匀分布，，求),(Y X 关于X 的边缘概率密度在2=X 处的值.

2. 设随机变量()Y X ,的概率密度为

()()?

?<<<<--=其它,04

2,20,6y x y x k x f X , 试求：(1) 确定常数k ；(2) {}3,1<

3．设平面区域D 是由抛物线2x y =及直线x y =所围，随机变量()Y X ,服从区域D 上的均匀分布，试求：

(1) ()Y X ,的联合密度；(2) Y X ,各自的边缘分布；(3) ?

?????

<<<

<210,210y x P .

4．Y 服从参数X 的指数分布，而X 是服从[]2,1上均匀分布的随机变量，求: (1)()Y X ,的密度函数；(2) Y 的边缘密度函数. 5．()Y X ,的联合概率密度()()

()0,,>=+-y x e y x f y x ，求边缘概率密度.

6．设Y X ,均服从[]4,0上的均匀分布，且{}16

3,3=≤≤Y X P ，求{}3,3>>Y X P

习题 3.4

1．已知()Y X ,的分布及边缘分布如下表：

(1) 求()Y X ,的联合分布表中11p ，12p ，13p 的值；(2) 判断X 与Y 是否独立. 2．设()Y X ,的概率密度函数为

()??

?>>=-其它,

0,0,x

y x e y f y Y . 试求: (1) Y X ,的边缘密度函数；(2) 判断其独立性.

3．设X 和Y 相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)，求:

(1) ()Y X ,的联合概率分布；(2) {}1=+Y X P ；(3) {}0≠+Y X P .

表(a)

4．设随机变量()Y X ,相互独立，X 在区间(0,2)上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则求概率{}1=+Y X P .

5．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在()1,0上服从均匀分布，Y 的概率密度为

()???

??≤>=-0

00,

212y y e y f y

Y . (1) 求X 和Y 的联合概率密度；

(2) 设含a 的二次方程022

=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率.

习题 3.5

1．设()Y X ,的分布律为

试求

: (1) Y X Z +=; (2) XY Z =; (3) Y X Z /=; (4)},max{Y X Z =的分布律.

．设两个独立的随机变量Y X ,的分布律为

求 (1) Y X Z +=的分布律；(2) XY Z =的分布律.

3．设随机变量()Y X ,的概率密度为

()??

?≤+≥≤≤=其它,

,0,10,6,y x y x x y x f . 试求：Y X Z +=的概率密度.

4．设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度函数为

()??

?>=-其它,

,x xe x f x , 如果各周的需求量相互独立，求两周需求量的概率密度函数.

5．设随机变量()Y X ,的概率密度为

()()??

?+∞

<<<<=+-其它,

00,10,,y x be y x f y x . (1) 试确定常数b ；(2) 求()x f X ，()y f Y ；(3) 求函数{}Y X U ,max =的分布函数. 6．设随机变量Y X ,相互独立，其概率密度分别为

()??

?≤≤=其它,01

0,1x x f X ，()???>=-其它

,00,y e y f y Y . 求随机变量Y X Z +=的概率密度.

7．设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从二项分布()p n b ,与()p m b ,，求证：

()p m n b Y X ,~++

习题3.6

1．已知()Y X ,的分布律如下表示:

求 (1) 在1=Y 的条件下，的条件分布律；(2) 在的条件下，Y 的条件分布律.

2．将某一医药公司9月份和8月份的青霉素针剂的订货单数分别记为X 与Y ，据以往积累的资料知，X 和Y 的联合分布律为：

(1) 求边缘分布律；(2) 求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律. 3．求§3.4节例4中的条件概率密度()

y x f Y X 和()x y f X

Y .

4．已知()Y X ,的概率密度函数为

()()??

?≥≥=+-其它

,00

,0,,2

y x kxye y x f y x

(1) 确定常数k ；(2) 求出X 与Y 的边缘概率密度；(3) 判断X 与Y 是否相互独立；

(4) 求条件概率密度()

y x f Y X . 5．设随机变量()Y X ,的概率密度为

()??

?<<=-其它,

00,,y

x e y x f y . 试求: (1) ()Y X ,的边缘概率密度；(2) ()Y X ,的条件概率密度；(3) {}

42<>Y X P . 6．已知X 服从[]1,0均匀分布，()1,0~N Y ，且X 与Y 相互独立，求()Y X ,的密度函数.

习题3.7

1．已知()Y X ,的联合分布律为:

试求()

Y X Cov ,.

2．设二维随机变量()Y X ,的联合概率分布如下:

证明: X 与Y 不相关，但不是相互独立.

3．将3个球随机地放入3个盒子里，用Y X ,分别表示放入第一个与第二个盒子的球的个数，试判断X 与Y 是否相关.

4. 设二维随机变量()Y X ,服从二维正态分布，则Y X +=ξ,Y X -=η不相关的充分条件为____.

5．求例5的X 与Y 的相关系数XY ρ和()Y X D +.

6．设二维随机变量()Y X ,在由x 轴，y 轴及直线02=-+y x 所围成的区域G 上服从均匀分布，求X 与Y 的相关系数XY ρ.

7．一商店经销某种商品，每周进化量X 与顾客对该种需求量是相互独立的随机变量，且都服从区间[]20,10上的均匀分布，若商店每售出一单位商品可获利1000元，若需求量超过进货量，商店可以从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利500元. 试求此商店经销该种商品所得利润的期望值.

8．设()2

3y ax +=ω，()()0==Y E X E ，()4=X D ，(),

16=Y D 5.0-=XY ρ，求常数a

使()ωE 最小，并求()ωE 的最小值.

习题3.8

1．设随机变量的方差为25，则根据切比雪夫不等式(){}

≥

<-10X E X P .

2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式{}

≤

≥+6Y X P .

3．将一枚均称硬币独立地重复投掷200次，根据中心极限定理估计下面出现的次数在95到105之间的概率.

4．设某电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，而假定开关时间彼此独立，估计夜晚同时开关的灯的盏数在6800与7200之间的概率. (用中心极限定理与切比雪夫不等式两种方法，并比较哪一种比较精确).

5．某保险公司有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内这些人死亡的概率为0.006，死亡后家属可向保险公司领取1000元，试求:

(1) 保险公司一年的利润不少于6万元的概率； (2) 保险公司亏本的概率.

6．某宿舍有学生500人，每人在今晚大约有10%的时间要占用一个水龙头，设每人占有水龙头是相互独立的，问该宿舍至少需要安装多少个水龙头，才能以95%以上概率保证用水的需要？

7．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元，1.2元，1.5元. 各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5，若售出300只蛋糕，

(1) 求收入至少为400元的概率；

(2) 求出售价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率.

8．某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为0.8，试计算这200名员工至少有150人通过考试的概率.

综合习题三

1．在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，考虑两种试验：(1) 放回抽样；(2) 不放回抽样.

设随机变量Y X ,如下：

?=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品

,1,0X , ?

?=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品

,1,0Y . 试分别就(1)，(2)两种情况求：

(1) X 和Y 的联合分布律；(2) X 和Y 的边缘分布律；(3) 判断X 与Y 是否相互独立.

2．设()Y X ,服从由直线x y x y y -===,,1围成区域D 上的均匀分布， (1) 求()Y X ,的概率密度；(2) 求}2{X Y P <；(3) 求()5.0,5.0F . 3．设随机变量()Y X ,的分布函数为

()??? ??+??? ?

+=3arctan 2arctan ,x C x B A y x F .

试求: (1) 系数C B A ,,；(2) ()Y X ,的概率密度；(3) 边缘密度；(4) {}3,20<<≤Y X P .

4．设二维随机变量()Y X ,的概率密度为

()()()??

???>>+=+-其它,00

,0,21

,y x e y x y x f y x .

(1) 问X 与Y 是否相互独立；(2) 求Y X Z +=的概率密度.

5．设随机变量X 与Y 相互独立，且

{}{}011>====p Y P X P ，{}{}0100>-====p Y P X P ，

定义随机变量Z

?-+=为奇数

为偶数

Y X Y X Z ,

0,1,

问p 为何值时，X 与Z 相互独立.

6．随机变量X 与Y 的联合密度函数为

()??

?>>=--其它,

,0,12,43y x e y x f y x , 分别求下列概率密度函数

概率经典测试题及答案

概率经典测试题及答案一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定【答案】C 【解析】【分析】直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案．【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误；故选：C．【点睛】此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】【分析】【详解】用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团，于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种，所以，所求概率为31 93 ，故选C．

统计概率经典例题(含(答案)和解析)

统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：（1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整；（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解答下列问题：（1）求实验总次数，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？（3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%．类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数；（2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分）（2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论课后习题答案

习题1解答 1、写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案【精选】

【经典例题】【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选A ．【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式为－2≤x－y≤2.

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为，事件“A 、B 、 C 都发生”可表示为， 5、设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三个事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 A 表示。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3），试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ）。（0.7） 15、设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3，概率论与数理统计试题库不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ）；三个事件恰有一个发生为 ABC; ABC ABC ABC ）。；三个事件至少有一个发生为事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ）三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作至少有一个元件正常工作。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

概率经典例题与解析、近年高考题50道带答案

【经典例题】【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 1 2 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选 A ．【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ??0≤x ≤4， 0≤y ≤4，满足条件的关系式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与C 不发生（2）A ，B 都发生，而C 不发生（3）A ，B ，C 中至少有一个发生（4）A ，B ，C 都发生（5）A ，B ，C 都不发生（6）A ，B ，C 中不多于一个发生（7）A ，B ，C 中不多于二个发生（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。（2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ；（7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；（9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～或 X ～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

2011年七年级概率初步经典练习题

必然事件 1、有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、纸箱里装有2个篮球、8个白球，从中任意摸出3个球时，至少有一个是 3、一个不透明的口袋中有10个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n等于（）Ａ、10 Ｂ、11 Ｃ、12 Ｄ、13 4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0 可能事件 1、下列事件：（1）明天是晴天；（2）小明的弟弟比他小：（3）巴西与土耳其进行足球比赛，巴西队会赢；（4）太阳绕着地球转。属于不确定事件的有： 2、下列事件中，属于随机事件的是（） A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过6 B.买一张彩票中奖 C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个是白球 3、下列事件： ①打开电视机，它正在播广告； ②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13； ④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上其中是可能事件的为（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4、下列事件中，属于不确定事件的有（） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5、在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球有3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，?请你写出这个实验中的一个可能事件： _________． 6、篮球投篮时，正好命中，这是事件。在正常情况下，水由底处自然流向高处，这是事件。

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=???? ? ≤ ≤≤ ≤. , 020,20, sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 1). 4 =--+= 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=?? ?>>+-. , 0, 0,0, )43(其他y x A y x e 求：（1）常数A ；（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1）由-(34) (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞ -∞ == =? ??? 得 A =12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞ -∞ = ?? ( 34 ) 3400 12e d d (1e )(1e ) 0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>? ==?? ? ????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12(34) 38 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--. , 0, 42,20),6(其他y x y x k （1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有

统计与概率经典例题(含答案和解析)

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○ ………… 学校: ___ ___ _ _ __ _姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ __ _ _ ___ _ _考号：_ _____ __ ___ ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … …○ … … … … 订… … … … ○ … ………线…………○………… 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a 和b 所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：（1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整；（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

概率论习题答案

第一章随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如：（1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，，在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()；（2）规范性：P ()?=1；（3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。

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一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是 A ．)()(A P B A P =? B ．()()P AB P A = C ．()()|P B A P B = D ．()()()P B A P B P A -=- 2. 设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，{}-P X μσ<= A ．增大 B ．不变 C ．减少 D ．增减不定 3．设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 4．设),(~2σμN X ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本，下列各项不是统计量的是Ａ. 321X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ. 2 3 i 2 i 1X σ =∑ Ｄ．1X μ- 5．在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，显著性水平为α是 A.}{00成立接受H H P B.}{11成立接受H H P C.}{10成立接受H H P D.}{01成立接受H H P 1．A 2.B 3.A 4.C 5.D 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且A B ?，则下面正确的等式是： (A))()()(A P B P A B P -=-； (B))(1)(A P AB P -=； (C))()|(B P A B P =； (D))()|(A P B A P =。 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ (A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 3. 设1{0,0}5 P X Y ≥≥=,2{0}{0}5 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= (A) 15 ; (B) 25 ; (C) 35 ; (D) 45 4. 设总体X ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是 (A) X ; (B) 1n i i X =∑; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D) 123X X X +- 5. 设总体X ~()2,N μσ，其中2σ已知, μ未知, 123, ,X X X 为其样本，下列各项中不是统计量的是

概率论重点附课后题答案

第1章随机事件与概率一、大纲要求（1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算. （2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质. （3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率. 二、重点知识结构图三、基础知识 1.随机试验的特征（1）试验可以在相同的条件下重复地进行. （2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果.

（3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个. 2.样本空间在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用()S Ω或表示，其元素称为样本点，常用ω记之，它是试验的一个可能结果. 3.随机事件在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A B C 、、记之. 4.事件的关系和运算一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件. 5.事件的蕴含与包含若当事件A 发生时B 必发生，则称A 蕴含B ，或者说B 包含A ，记作A B ?. 6.事件的相等若A 与B 互相蕴含，即A B ?且B A ?，则称事件A 与B 相等，记为A B =. 7.事件的互斥(或称互不相容) 若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的. 若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的. 8.事件的对立（或称逆）互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件，常记作A . 9.事件的并（或称和）