22.2 根的判别式学案

22.2.补充判别一元二次方程根的情况

学习内容

用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．学习过程

一、复习（学生活动）用公式法解下列方程．

（1）2x2-3x=0 （2）3x2（3）4x2+x+1=0

请观察上表，结合b-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。

（结论）（1）当时，一元二次方程?有

2）当时，一元二次方程有即

（3）当时，一元二次方程

例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0

（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0

例2当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0

(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．

三、巩固练习

1. 不解方程判定下列方程根的情况:

（1）x2+10x+26=0 2）x2-x-3

4

=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+

1

16

=0

2.已知a，b，c是△ABC的三边的长，方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0有实数根吗？．

四、应用拓展

例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

解：

五、归纳小结

本节课应掌握：

六、作业

1．教材P42复习巩固4 2．选用课时作业设计．

一、选择题

1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．

A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解

C．∵b2-4ac=8，∴方程有解 D．∵b2-4ac=8，∴方程无解

2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．

A．a=0 B．a=2或a=-2 C．a=2 D．a=2或a=0

3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）． A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数

二、填空题

1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．

2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（?填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．

3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）?=0的根的情况是________．

三、综合提高题

1．不解方程，试判定下列方程根的情况．

（1）2+5x=3x2（2）x2-（

2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．

3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．

4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．

一元二次方程根的判别式教学设计

一元二次方程根的判别式 一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 教学重点：根的判别式的正确理解和运用 教学难点：根的判别式的运用。 教学关键：对根的判别使用条件的透彻理解。 二、学情分析 学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对根的判别式的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究根的判别式的作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。 三、教学目标

依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法： 1、培养学生的探索、创新精神； 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。 情感态度价值观： 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美； 2、加深师生间的交流，增进师生的情感； 3、培养学生的协作精神。 四、教学策略： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、

人教版九年级数学上册《21章 一元二次方程 测试 试卷讲评》优质课教案_5

《一元二次方程》试卷讲评课教案 一．教学目标 1、通过画知识框架图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系； 2、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 3、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟 练根据方程特征找出最优解法； 4、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用。 二．教学重点 1、理解并掌握一元二次方程的概念及解法，会运用方程模型解决实际问题。三．教学难点 对于背景较复杂、等量关系不太明显的实际问题的解决。。 四．教学方法 1．启发诱导、合作探究、评---讲---练等 五．教学过程 一、试卷评价二、答题分析三、试卷讲评四、师生总结五、作业教学内容 一：试卷评价 本张试卷全面考查学生所学的基础知识与基本技能，数学活动过程，数学思考以及解决问题能力。 二：答题分析 1.存在问题 从评卷情况看，学生存在一些问题，主要表现在以下几个方面： A、书写潦草，字迹模糊，卷面乱，答题不够规范，计算还比较粗心； B、审题不清，题目中的重要条件不注意，还有些同学作完题后都不知道此题最后求什么 C、不会运用已学过的基本理论解决相关问题； 三．试卷讲评 【试题回放】 8.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+ m2-1=0有一根为0，则m的值为（）

A．1 B．-1 C．1或-1 D．1/2 点拨：本题错选“C”原因在于一元二次方程定义不熟，或已忘记。 【趁热打铁】 若方程k x2+x=3 x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是（） 【试题回放】 12.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是（） 点拨：题意未理解清楚，导致做错。 【趁热打铁】 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11,12两个月营业额的月均增涨率 【试题回放】 22.已知关于x一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根。 （1）求k的取值范围 （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值 点拨：本题学生出错的原因是题意未理解清楚，根的判别式算错，从而得到错误的结果 【趁热打铁】 已知关于x的方程x2+ax+a-2=0 (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根： 四．小结： 通过这次考试谈谈你有哪些收获和遗憾，说说你今后努力方向。 五．作业：1.订正错题，分析错因： 2.作出得失分统计分析，结合个人实际，拟订出下阶段学习方略。

一元二次方程根的判别式专题 - 教师版

一元二次方程根的判别式专题 知识点一：已知系数直接判断方程根的情况 1．不解方程，直接判断下列方程根的情况． （1）2104 x - = （2）23630x x -+= （3）()2458x x x -=-- 【答案】（1）有两个不等实数根；（2）有两个相等实数根；（3）没有实数根 二、结合字母系数判断方程根的情况 2．判别下列关于x 的一元二次方程根的情况． （1）22125104 x mx m -++= （2）22440x mx m -+= 【答案】无实数根 【答案】有两个相等的实数根 （3）211022x mx m -+-= （4）21402 x mx m -+-= 【答案】有两个实数根 【答案】有两个不相等的实数根 三、结合“0a ≠”确定字母的取值范围 3．若关于x 的一元二次方程()25410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．1a ＞且5a ≠ C ．1a ≥且5a ≠ D ．5a ≠ 【答案】C 4．当m 为何值时，关于x 的一元二次方程()()2212110m x m x -+-+=有两个不相等的实数根？ 【答案】依题意得( )()2221041410m m m ?-≠??---??＞，解得1m ＜且1m ≠-

四、判别式与隐含条件相结合 5．已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，求k 的最大整数值． 【答案】依题意得：()4410k +-＞且10k -≠，解得2k ＜且1k ≠，所以k 的最大整数值为0． 6．已知关于x 的一元二次方程2450kx kx k -+-=有两个相等的实数根，求k 的值． 【答案】依题意得()2016450k k k k ≠???--=??，解得53k =-

根的判别式练习(答案版)

一元二次方程根的判别式练习题 （一）填空 1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____． 2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数． 3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____． 7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2 8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____． 10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____． 11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___． 14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____． 15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解． 16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根． （二）选择 那么α= [ ]． 18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]． 19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]． 则该方程 [ ]． A．无实数根； B．有相等的两实数根； C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根． 22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]． A．2； B．0； C．1； D．3． 23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]． A．1； B．2； C．-1； D．0． 24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]． A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数． [ ]． A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根； C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根． 26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]． A．-1； B．0； C．1； D．2． 29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]． A．4； B．1； C．-2； D．-6． 30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]． A．1； B．2； C．3； D． 4．

专题：一元二次方程根的判别式(含答案)-

一元二次方程根的判别式 姓名 ◆课前预习 1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况可用b 2－4ac?来判定，?b 2－4ac?叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b 2－4ac>0?方程_________；（2）b 2－4ac=0?方程_________； （3）b 2－4ac<0?方程_________． 2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式． ◆互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x 2－5x+3=0； （2）x 2；（3）3x 2+2=4x ； （4）mx 2+（m+n ）x+n=0（m ≠0，m ≠n ）． 【例2】若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围． 【例3】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4（k －12 ）=0．（1）求证：无论k 取什么实数 值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△ABC 有一边长a=4，另两条边长b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长． 【例4】已知关于x 的方程x －2（m+1）x+m 2=0．（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？ （2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根． ◆跟进课堂 1．方程2x 2+3x －4=0的根的判别式△=________． 2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－10x+5=0有实数根，则m 的取值范围是______． 3．如果方程x 2－2x －m+3=0有两个相等的实数根，则m 的值为_______，此时方程的根为________． 4．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0没有实数根，则k 的取值范围是______． 5．若关于x 的一元二次方程mx 2－2（3m －1）x+9m －1=0有两个实数根，则实数m?的取值范围是_______． 6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）． A ．x 2+2x －1=0 B ．x 2 C ．x 2 D ．－x 2+x+2=0 7．如果方程2x （kx －4）－x 2－6=0有实数根，则k 的最小整数是（ ）．A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ）． A ．x 2－x+1=0 B ．x 2－2x+3=0 C ．x 2+x －1=0 D ．x 2+4=0 9．如果关于x 的一元二次方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）． A ．k<1 B ．k ≠0 C ．k<1且k ≠0 D ．k>1 10．关于x 的方程x 2+（3m －1）x+2m 2－m=0的根的情况是（ ）． A ．有两个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根 ◆课外作业 1.在下列方程中，有实数根的是（ ） （A ）x 2+3x+1=0 （B （C ）x 2+2x+3=0 （D ）1x x -=11 x - 2．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数根 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根 3．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a －4＝0有一个实数根是x ＝0．则a 的值为（ ）． A 、1或－4 B 、1 C 、－4 D 、－1或4 4．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ． 5．若0是关于x 的方程（m -2）x 2+3x+m 2-2m -8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．

《一元二次方程的根的判别式》word版 公开课一等奖教案 (2)

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 《17.3 一元二次方程根的判别式》 教学目标： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围． 教学重点： 根的判别式定理． 教学难点： 根的判别式定理及逆定理的运用． 教学过程： 你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘． 用公式法解一元二次方程： ()()()2221320296103230x x x x x x ++=-+=-+= （注：找三名学生板演，其余学生在位上做） 请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a 、b 、c 的值，然后求出它的值——2 4b ac -，为什么要这样做呢？ （1）由此可见：在解()22004ax bx c a b ac ++=≠-一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据2 4b ac -的值的符号来判断方程的根的情况，因此，我们把24b ac -叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta ，它是希腊字母）”来表示，即△=2 4b ac -．我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美． 224b ac ≠-（）注意：△而应为：△＝

中考专题：根的判别式

中考专题：根的判别式及相关运算 1.已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+m﹣3=0，其中m＞0．求证：方程总有两个不相等的实数根 2. 已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x=3，求k的值及方程的另一根． 3. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0． （1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根； （2）若两个实数根平方和等于5，求k的值． 4. 已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1=0． （1）求证：此一元二次方程恒有实数根． （2）无论k为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根． 5. 已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+m﹣3=0，其中m≠0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．

6. 已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）． 7. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+（2k﹣1）=0． （1）求证：该方程由两个不相等的实数根． （2）若此方程有一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的等腰三角形的周长． 8. 已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣3）=m2，求证：无论m取何值时方程总有两个不相等的实数根；a，b是此方程的两根且a2+b2=12，求m的值． 9.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根． （1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 10. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．

根的判别式教案

一元二次方程根的判别式 教学目标： 1?了解用配方法求一元二次方程一般式的解的过程； 2.了解一元二次方程根的情况由b2—4ac决定； 3?会利用根的判别式判别一元二次方程根的情况； 4?能利用根的判别式解决相关问题。 教学重难点： 教学重点是会利用根的判别式判别一元二次方程根的情况；教学难点是利用根的判别式解决问题 教学过程： 一、复习一元二次方程求根公式的推导，引入新课： 1 ?回忆用配方法求一元二次方程一般式的解的过程 2?为什么要讨论b2—4ac大于0，等于0，小于0? 3?一元二次方程根的情况由什么决定？ 二、师生归纳总结展示成果 当厶＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当厶=0时，一元二次方程有两个相等的实数根； 当厶＜0时，一元二次方程没有实数根。 反之成立。 三、例题1： 不解方程，判别下列方程的根的情况： (1) 2x2—7x—1=0；(2) 3x(x+2)= —5；( 3) 3 —4x2=0. 生先独立思考，后小组交流：在( 2)、(3)两题中，应注意什么？在(1)、(3)两题中，发 现若a、c异号，则b2—4ac 一定大于0吗？同学们自己还能发现什么规律吗？ 反馈：独立完成课本P42第4题。 例题2：求证：关于x的方程2x2+3(m —1)x+m2—4m—7=0有两个不相等的实数根. 例题3：若关于x的方程x2—2 . ax —仁0有两个不相等的实数根，求a的取值范围. 例题4：若关于x的二次方程kx2+1 = x—x2有实数根，求k的取值范围. 例题5: m取什么数时，关于x的方程(m —2) x2—2mx+m+1=0有实数根？ 分析：题目只说“关于x的方程”，并没说关于x的二次方程，而m—2是否为零确定此方程的次数，因此应分类讨论.

中考专题_一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【重点、难点、考点】 重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。 ②掌握根与系数的关系及应用 难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。 考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。 【经典范例引路】 例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A.m<43 B.m ≤43 C.m>43 且m ≠2 D.m ≥43 且 m ≠2 （2001年山西省中考试题） 【解题技巧点拨】 解 C ①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形 解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0） 方程有两实根Δ方程有两相等实根 Δ方程有两不等实根Δ?≥? ?? ?=?>000 Δ<0?方程没有实根 注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。 例2 先阅读下列第（1）题的解答过程

（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β的值。 解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根 ∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2 ∴α2＝7－2αβ2＝7－2β ∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2 ×（－2）＝32 解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22 ∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22) ＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32 解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7 ∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2 ＋4α＝B ∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ① A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ② ①＋②得：2A＝64 ∴A＝32 请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题 （2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22 ＋3x2－66的值。 解∵x1、x2是方程x2－x－9＝0的两根 ∴x1＋x2＝1 且x12－x1－9＝0 x22－x2－9＝0 即 x12＝x1＋9 x22＝x2＋9 ∴x13＋7x22＋3x2－66＝x1(x1＋9)＋7(x2＋9)＋3x2－66 ＝x12＋9x1＋10x2－3＝x1＋9＋9x1＋10x2－3＝10(x1＋x2)＋ 6＝16 【同步达纲练习】 一、填空题

湘教版九年级上册数学：2.3 一元二次方程根的判别式学案(无答案)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 2.3 一元二次方程根的判别式 【学习目标】： 1.会熟练运用求根公式解一元二次方程. 2.了解 b2?4ac 的值与一元二次方程根的情况的关系. 【体验学习】： 一、新知探究 1.一元二次方程 ax2+ bx + c =0的求根公式是什么？ 2.能用求根公式解一元二次方程的前提是什么？为什么？ 3.阅读教材第 43、44 页的“议一议”内容，b2?4ac的值有哪几种情况？它与一元二次方程 ax2+ bx + c =0的根的情况有什么关系？ 学法指导：在应用根的判别式之前，一 定要先把一元二次方程化为形式. 4.一个一元二次方程，你能不解就判断出它根的情况吗？ 学法指导：我们把? = b 2?4ac 叫做一元二次方程 ax 2+ bx + c =0的根的判别式. （1）△＞0?方程 ax 2+ bx + c =0在实数范围内实数根. （2）△=0?方程 ax 2+ bx + c =0在实数范围内实数根. （3）△＜0?方程 ax 2+ bx + c =0在实数范围内实数根. 二、基础演练： 根据以上的探究，自主解决下列问题： 1．已知方程2x2? 3x+1 = 0 ，则b2? 4ac=. 2．已知关于x的方程x2?mx+2=0有两个相等的实数根，那么m的值是：. 3．当k时，方程 2x2? 6x? (k? 4) = 0 没有实数根. 4．不解方程，判断下列二元一次方程根的情况. （1）2x2?5x?4=0；（2）7t2?5t= ?2（3）3y2+25=10y3

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 5．已知关于x的方程x2?3x+k=0，问k取何值时，这个方程： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 三、综合提升： 先尝试独立解决下列问题： 6．已知：关于x的方程x2?(k+1)x+1 4k2+1= 0（1）k取什么值时，方程有两个实数根； （2）如果方程的两个实数根x1，x2满足x1=x2，求k的值. 7．已知a、b、c是?ABC的三边，且方程a(1+x2)+2bx?c(1?x2)=0有两个相等的实数根，判断此三角形的形状. 【当堂检测】： 1.方程x2?x+2=0的根的情况是（） A．只有一个实数根C.有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根D．没有实数根 2.方程kx2?4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________________. 3.不解方程，判定下列方程的根的情况. （1）2y2+4y?3=0（2）x2+9 = 3x（3） 1 x2? 6x+ 21 = 0 42

一元二次方程的根的判别式教学案(一)

一元二次方程的根的判别式教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 1．了解根的判别式的概念． 2．能用判别式判别根的情况． （二）能力训练点： 1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力． 2．进一步考察学生思维的全面性． （三）德育渗透点： 1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神． 2．进一步渗透转化和分类的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：会用判别式判定根的情况． 2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．” 3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac ＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根． 三、教学步骤 （一）明确目标 在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？

这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况． （二）整体感知 在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题． 在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）平方根的性质是什么？ （2）解下列方程： ①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0． 问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用． 2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将 （1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

专题一元二次方程根的判别式含复习资料

一元二次方程根的判别式姓名 ◆课前预习 1．一元二次方程20（a≠0）的根的情况可用b2－4?来判定，?b2－4?叫做，通常用符号“△”为表示．（1）b2－4>0方程；（2）b2－4=0方程；（3）b2－4<0方程． 2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的形式． ◆互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x2－53=0；（2）x2+22=0；（3）3x2+2=4x；（4）2+（）0（m≠0，m≠n）． 【例2】若关于x的方程（m2－1）x2－2（2）1=0有实数根，求m的取值范围． 【例3】已知关于x的一元二次方程x2－（21）4（k－）=0．（1）求证： 无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△有一边长4，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△的周长． 【例4】已知关于x的方程x－2（1）2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根？ （2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根． ◆跟进课堂 1．方程2x2+3x－4=0的根的判别式△． 2．已知关于x的一元二次方程2－105=0有实数根，则m的取值范围是．

3．如果方程x2－2x－3=0有两个相等的实数根，则m的值为，此时方程的根为． 4．若关于x的一元二次方程2+2x－1=0没有实数根，则k的取值范围是．5．若关于x的一元二次方程2－2（3m－1）9m－1=0有两个实数根，则实数m?的取值范围是． 6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）． A．x2+2x－1=0 B．x2+23=0 C．x21=0 D．－x22=0 7．如果方程2x（－4）－x2－6=0有实数根，则k的最小整数是（）．A．－1 B．0 C．1 D．2 8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）． A．x2－1=0 B．x2－23=0 C．x2－1=0 D．x2+4=0 9．如果关于x的一元二次方程2－69=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）． A．k<1 B．k≠0 C．k<1且k≠0 D．k>1 10．关于x的方程x2+（3m－1）2m2－0的根的情况是（）． A．有两个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 ◆课外作业 1.在下列方程中，有实数根的是（） （A）x2+31=0 （B） 1 （C）x2+23=0 （D）= 2．关于x的一元二次方程x2＋－1=0的根的情况是 A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根 C、有两个相等的实数根 D、没有实数根 3．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为（）．

一元二次方程根与系数的关系公开课教案

一元二次方程根与系数的关系公开课教案 Revised on November 25, 2020

一元二次方程根与系数的关系教案 教材出处：义务教育课程标准实验教科书实践与探索第1课时根与系数的关系。 授课时间：2016年8月31 教学目标： 1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。 2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。 3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。 教学重点：根与系数的关系的推导、运用。 教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。 教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。 教学过程： 一、问题情境，导入新课： 观察上面的表格，你能得到什么结论 （1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 之间有什么关系 （2）关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1x ，2x 与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢你能证明你的猜想吗 二、探究新知： 1、根与系数关系： （1）关于x 的方程220(40)x px q p q q ++=-≥、为常数，p 的两根1x ，2x 与系数p ，q 的关系是： 12x x p +=-，12x x q =。 引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢

根的判别式练习(答案版)

一元二次方程根的判别式练习题 令狐采学 （一）填空 1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数． 3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2 8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____． 10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____． 11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___． 14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____． 15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p （1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根． （二）选择

初中九年级数学3 一元二次方程根的判别式教案

第二十二章一元二次方程 第七课 初三（ ）班 姓名：_________ 学号： 一、学习内容：一元二次方程根的判别式。 二、学习目标：理解一元二次方程根的判别式，并能用判别式判定根的情况； 三、学习过程： 将一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)用配方法将其变形为 即 (x ＋a b 2) 2＝2244a a c b - ∵a ≠0，∴4 a 2＞0。这样，我们有： （1）当b 2－4 ac >0时，方程右边是一个正数，因此，方程有 x 1＝a ac b b 242-+-，x 2＝a ac b b 242--- 这样两个 （相等，不相等）的实数根； （2）当b 2－4 ac =0时，方程右边是0，因此，方程有 x 1＝x 2＝ 这样两个 （相等，不相等）的实数根； （3）当b 2－4 ac <0时，方程右边是一个 数，而方程左边(x ＋ a b 2) 2不可能是一个 数，因此，方程 （有，没有）实数根。 综上所述，由ac b 42-=?的值可判别一元二次方程根的情况： 当0>?时，有两个不相等的实数根； 当0=?时，有两个相等的实数根； 当0=-??-=?）（ 解： 16y 2 - +9=0 ∴原方程有 的实数根 ∵=? ∴原方程有 的实数根

（3） 5（x 2+1）-7x=0 （4）0.2x 2-5=2 3x 解：方程化为一般式得： 解：方程化为一般式得 ∵0)<>=?，（ ∵=? ∴原方程有 的实数根 ∴原方程有 的实数根 (5) 3x 2+4x-2=0 (6) 2y 2 +5=6y (7)4p(p-1)-3=0 (8)x 2+5=25x B 组：1、试判别方程x 2 +2mx+m-1=0 的根的情况； 2、当k 取何值时，方程4x 2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根？求出这时方程的根。 3、已知关于x 的方程2x 2-（4k+1）x+2k 2-1=0 当k 取何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。

九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版

九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教 版 (教材P17习题21.2第13题) 无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0， Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0， 所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根． 【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数． 一判断一元二次方程根的情况 方程x2＋7＝8x的根的情况为(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．方程没有实数根 对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4. ∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根． 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长． 【解析】(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论； (2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算． 解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根； (2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，

一元二次方程根的判别式学案

一元二次方程根的判别式学案 一．探究新知： 填空： 1.关于x 的一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的求根公式是 ； 当042>-ac b 时，=1x ，=2x ，1x 与2x 的关系是 ； 当042=-ac b 时，=1x ，=2x ，1x 与2x 的关系是 ； 若042<-ac b 呢？ 总 结 ： 。 二，学以致用 例1.不解方程，判断方程根的情况 1.01322=--x x ， 0442=+-x x 012=++x x 22)1)(1(y y y -=-+ )13(492-=x x 012=-+bx x 0122=-+-k kx x 例2：关于x 的一元二次方程068)6(2 =+--x x a 有实数根，求a 的取值范围。

关于x 的方程068)6(2 =+--x x a 有实数根，求a 的取值范围。 关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有2个不相等的实数根，求k 的取值范围。 若关于x 的方程022)2(22=-++-m x m x 有两个相等实数根，求m 值，并求出这时方程的根 已知：关于x 的一元二次方程01)2(2=---+m x m x ，求证：不论m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。

已知c b a ,,为三角形ABC 的三边，且方程 0))(())(())((=--+--+--a x c x c x b x b x a x 有两个相等实数根， 试判断该三角形的形状。 已知等腰三角形ABC 中，,8=BC AC AB ,的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两个根，求m 的值，并求出三角形的周长。 若代数式4)1(2)12(2+++-m x m 是完全平方式，求m 的值。 已知分式 c x x -+212中，不论x 取何值分式总是有意义，求c 的取值范围。

一元二次方程根的判别式专题训练

一元二次方程根的判别式专题训练 1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________. 3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2 220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________. 4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ） A ．一元二次方程22 452 x x ++=有实数根； B. 一元二次方程23 452 x x ++=有实数根； C. 一元二次方程25 453x x ++= 有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根. 5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42 -满足的条件是 Ａ．ac b 42 -＝0 Ｂ．ac b 42-＞0 Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= . 7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根， 求m 的值及方程的根． 8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？ 9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根. 10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x

初中数学九年级《一元二次方程求根公式的推导》公开课教学设计

课题 21.2.2公式法 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况. 3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 过程 方法 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.； 2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单. 3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯. 情感 态度 1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心. 教学重点 求根公式的推导，公式的正确使用 教学难点 求根公式的推导 教学过程设计 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ？ 二、探究新知 活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？ ○ 1；6x 2 -7x+1=0 ○2()002≠=++a c bx ax 活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 1.移项得到6x 2 -7x=-1，c bx ax -=+2 2.二次项系数化为1得到a c x a b x x x -=+-=-22,6167 3.配方得到 x 2 -76 x+（ 712）2=-1 6 +（712）2 x 2 + b a x+（2b a ）2=- c a +（2b a ）2 4.写成（x+m ）2 =n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a ）2=2244b ac a - 5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2b a ）2=2 244b ac a -是否 可以直接开平方？ 活动3.对（x+2b a ）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2 244b ac a -的值与0的关系进行讨论 活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法. 活动5.初步使用公式解方程6x 2 -7x+1=0. 活动6.总结使用公式法的一般步骤：○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 教师提出问题，学生思考. 学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导 让学生尝试对2 244b ac a -的值进行分析 学生尝试归纳，师生总结 学生初步使用公式，教师规范板书。之后总结使用公式步骤 为推导公式作铺垫，激发学生探索欲望 学生回顾配方法的解题思路，从数字系数过渡到字母系数进行配方，推导公式 对比探究，结合字母表示数的特点，尝试推导求根公式，培养学生发现问题的能力 通过学生亲自解方程的感受与经验，体会数式通性，为感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 对2244b ac a -的值的情况具有不确定性进行讨论 为以后熟练使用公式打基础