五年级数学0基础班-第13讲数论入门之数的整除

五年级数学0基础班

数论入门之数的整除

一、知识站点：

1．数的整除性质；

2．整除问题中的常用方法；

3．整除性质的综合运用。

二、知识讲解与相关例题：

1．数的整除性质：

⑴尾数系除数：2，5，4，25，8，125；

⑵和系除数：3，9，99；

⑶奇偶段数系除数：7，11，13；

⑷综合除数系：如6，45，72等。

(★)

有如下几个自然数：12，14，117，152，195，253，434，575，1001，1375中，哪些是2，4，8的倍数？哪些是5，25，125的倍数？哪些是3，9的倍数？哪些是7，11，13的倍数？

2．整除问题中的常用方法：

⑴因数拆分法：

⑵试除法：

3．整除性质的综合运用：

运用整除性质可以帮助我们解决很多的问题，如数字谜，简单应用题等。

(★★)

四位数1A6B是45的倍数，请求出A、B的和。

(★★)

从1~9九张数字卡片中选出4张组成一个四位数，使它是99的倍数。这个四位数最小是多少？

(★★)

四位数20AB是17的倍数，那么两位数AB的最小值是多少？

(★★★)（2012数学解题能力展示五年级初赛）

一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101。如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么ABCD＝。

【本讲小结】

1．数的整除性质；

2．整除问题中的常用方法；

3．整除性质的综合运用。

附送

思思

你见，或者不见我

我就在那里

不悲不喜

你念，或者不念我

课就在那里

不来不去

你爱，或者不爱我

有效期就在那里

不增不减

你跟，或者不跟我

我的手就在你手里

不舍不弃

来我的班里

或者

五年级奥数精品讲义 第1讲 数的整除(有精讲,有分层精炼)

五年级奥数讲义 第一讲 数的整除 一、学法指导 数的整除特性： （1）能被2（或5）、3(或9)整除的数的特征（自己回忆整理）。 （2）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 （3）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个数的末三位能被8（或125）整除这个数就能被（或）125整除。 （4）能被11整除的数的特征：如果一个整数奇数位数字与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。 （5）能被7、11、13整除的数的特征：一个整数末三位与末三位以前的数的差（大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。 补充结论： 1.abcabc 能被7、11、13整除。 2.如果数a 能同时被数b 、c 整除，而且b 、c 互质，那么a 就能被b 、c 的乘积整除。举例：比如能被72整除的数的特征，就是这个数能同时被8、9整除。因为72=8×9，而8、9互质，根据上面的结论，一个数能否被72整除，我们只要分析这个数能否同时被8和9整除就可以了。 有了这个结论，我们研究整除特性的范围就被大大地扩展，很多很多我们没学过的数的整除特征，都可以据此找到规律了。如能被20，26，28，45，91，99整除的数的特征等。我们研究整除特性有了有利的工具。 二、例题： 例1、 整数6427B A 能被72整除，这个数有那些可能？ 例2、 四位数Y X 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，那么这个四位数是

多少？ 例3、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、7整除，这个七位数最小是多少？ 例4、一个六位数B A1997，能被99整除，A和B各是多少？ 例5、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是□□□□□□。 例6、已知45|Y X1993,求所有满足条件的六位数？ 三、练习 A卷、基本能力训练 154能被72整除，求X+Y是多少？ 1、XY 2、1997□□□能被4、5、6整除，那么这个七位数最小是多少？ 3、一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整除的最大的两位数。这个四位数是□□□□。 4、在 5、 6、7的公倍数中，是五位数且最小的是________。

五年级奥数第一讲：因数与倍数

五年级奥数 第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如：15的因数有哪些？ 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 ②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、常见数字的整除判定方法： （1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数 注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质： ①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除 ②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 ③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除 6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

第1讲 数的整除(1)

第一讲数的整除（1） 【知识梳理】 1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。 2、一些数的整除特征： ①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）； ②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数； ③被5整除的特征：数的个位上是0、5； ④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数； ⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数； ⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。 【例题精讲】 例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。 （1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）； （2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）； （3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。 分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。 解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。 （2）这个数可能是4670、4675。 （3）这个数是4670。 例2、判断47382能否被3或9整除？ 分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。 47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。 解答：47382能被3整除，不能被9整除。 例3、判断：1864能否被4整除？ 分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。 解答：1864能被4整除，29375能被125整除。 例4、29372能否被8整除？ 分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。 解答：29372不能被8整除。 【巩固练习】 1、在□里填上合数的数，使四位数7□6□能被5整除，也能被3整除。

五年级奥数-数的整除

专题一数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的 数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的 数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。 练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数） 练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。 例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。 例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。 练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。 例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个

高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步

第一讲整除问题初步 从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论. 什么是数论呢？ 人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中， 探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律， 吸引了古往今来的许多数学家， 于是就出现 了数论这门学科. 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 . 我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧 . X :: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数 ;论是数学的皇冠” ? 整除的定义 如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除, 也可以说b 能整除a,记作b | a . 「丁M 丄 ［EfiA I 邑 九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以 G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2. 鼻、4. $、隔一亍？ 貝侔的推列浚记件 yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停! * w

如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a. 整除的一些基本性质: 1. 尾数判断法 3.奇偶位求差法 |能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI 我们把一个数从右往左数的第 1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数 的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字 之和”简称为“ 偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质 . 例题1.判断下面11个数的整除性： 23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？ (2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ (4) 哪些数能被11整除？ 【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性 判断一下. 练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除, 哪些数能被3整除，哪些数能被 11整除？ 如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被 11整除.从中我们可 以总结出如下规律: 和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数 a 整除，那它们的和与差也都能被 a |能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除. ||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除. 1 数字求和法 能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被 3或9整除.| (1) (2) (3) 2.

数的整除的特性(五年级)

第四讲：数论初步（二） ——整除问题 一、训练目标 知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。 能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。 思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。 二、知识与方法归纳 1、熟悉并掌握 2、 3、5、9的倍数的特征。 2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。（4×25=100）。 （8×125=1000。） 3、一个数的末三位数能被8或125整除。那么这个数就能被8或25整除。 4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差 （7×11×13=1001。）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。（很常用，请牢记。） 5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。 6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。 7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。即如果a︱b，b︱c，则a︱c。 8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。 三、经典例题 例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。 解： 答：。 例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？ 解：

五年级数的整除

数的整除 一、整除的概念： a÷b=c，整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数（或者余数为零）就叫做a能被b整除，或者说b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数 二、整除的性质 （1）如果数a是b的倍数，c是整数，那么积ac也是b的倍数 例：24是8的倍数，5是整数，5×24的积也是8的倍数 （2）如果数a和b都是c的倍数，那么（a+b）与（a-b）也是c的倍数 例：24和30都是6的倍数，那么（24+30）与（30—24）也是6的倍数（3）如果a是b的倍数，b又是c的倍数，那么a也是c的倍数 例：24是12的倍数，12又是6的倍数，那么24也是6的倍数（4）如果a同时是b、c的倍数，而且b和c是互质数，那么a一定是bc的倍数例：24是2、3的倍数，2、3互质，24也是2×3的倍数 （5）如果数b是a的因数，或者a含有因数b,那么a就是b的倍数 例：60含有因数15，那么60就是15的倍数 三、整除的特征 （1）4或25的倍数的特征：如果一个自然数的末两位的数字所组成的数能被4、25整除，那么这个数就是4或25的倍数 例：58372的末两位是72, 72是4的倍数，那么58372就是4的倍数57325的末两位是25,25是25的倍数，那么58325就是25的倍数（2）8或125的倍数特征：如果一个自然数的末三位的数字所组成的数能被8、125整除，那么这个数就是8或125的倍数 例：58272的末三位是272, 272是8的倍数，那么58272就是8的倍数57375的末三位是375,375是125的倍数，那么58375就是125的倍数（3）7,11,13的倍数的特征：如果一个自然数的末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7,11,13整除，那么这个数就是7,11,13的倍数 例：1059282是否是7的倍数：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，又777能整除7，所以1059282是7的倍数 若一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，那么这个数就是11,的倍数 例：123456789的奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，因为25—20=5，因为5不能被11整除，所以123456789不能被11整除 1.判断3546725能否被13整除？ 2.一个四位数9（）2（）既有因数2，又是3的倍数，同时又能被5整除，这 四个数最大是多少？ 3.378287、ABCABC这两个数能否被7，11,13整除？

第一讲整数与整除的基本性质(一)

第一讲 整数与整除的基本性质（一） 一、整数 基本知识： 关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。 关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。 十进制整数的表示方法 正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+?,四位数1254可以写成410510210123+?+?+?,同样地用字母表示的两位数ab b a +?=10,三位数f e d def +?+?=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且 .10101211121a a a a a a a n n n n n n n ++?+?=----- 经典例题： 例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ） )A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401 解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B 例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ） )A 26 )B 28 )C 36 )D 38 解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3， 227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排

小学五年级数学数的整除

数的整除 五年级数学教案 教学目标 1、使学生理解自然数与整数的意义． 2、使学生掌握整除、约数与倍数的概念． 3、培养学生抽象概括与观察物的能力． 教学过程 一、建议自然数与整数的概念 1、谈话引入：今天这节课，我们 学习 数的整除．（板书课题） 2、教师提问：既然是数的整除，自然就与数有关，同学们都学过什么数？ （教师板书：整数、小数、分数） 同学们会数数吧？（学生数数） （教师板书：1、2、3、4、5、） 继续数下去，能数到头吗？ 数不到头，我们可以用一个什么标点符号来表示呢？ （教师板书：“……”） 3、教师小结：

用来表示物体个数的1、2、3、4、5等等，叫做自然数．（板书：自然数）提问：最小的自然数是几？有最大的自然数吗？ 当一个物体也没有时，我们用几来表示？（板书：0） 二、建立整除的概念 1、教师明确：数的整除，不仅与数有关，还与除有关，一说到除，在家就会想到两个数相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是两个数相除，但是在小学 阶段，我们研究整除不包括“0”． 2、出示卡片 1.2÷4 提问：在数的整除中研究这样的两个数相除吗？为什么？ 3、再出示卡片：10÷20，16÷5，15÷3，36÷9，24÷2 提问：这几个式子中的被除数和除数都是什么数？ 教师明确：被除数和除数都是自然数，这是我们研究数的整除的一个非常重要的条件． 4、教师说明：被除数和除数都是自然数，如：10÷20，我们能不能说10能被20整除呢？还不能，还要看它的商． 组织学生口算出5张卡片的商．（其中16÷5指定回答“商几余几”） 提问：被除数和除数都是自然数，商可能有哪几种情况？ 排除没有整除关系的卡片，指15÷3=5一类的卡片，说明：只有这样的，我们才能说15能被3整除．

小学数学竞赛第一讲 数的整除问题

一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a 不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为 8375，所以829375。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 例如：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11 123456789。 再例如：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例如：判断1059282是否是7的倍数？

五年级数学提优第一讲-----数的整除

五年级数学精英班提优训练（一） 1、在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能同时被9，25和8整除。这个七位数为 分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。 2、已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？ 2.是。提示：7018和1392分别是4205与2813的和与差。 3、如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？ 3、14。 提示：已知这两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是4875的因数。4875= 3×5×5×5×13，用这些因子凑成两个数，使它们的和是64，显然这两个数是3×13=39和5×5=25。它们的差是39-25=14。 4、由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？ 分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节， 因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。 5、现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？若有，可找出几组？ 分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。 要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：

小学五年级奥数解析01-2：数的整除问题

第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 定义：一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a. 否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b┼a。 如果整数a能被整数b整除（约数 b | 倍数a），a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除 a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。 ⑥能被11整除的数的特征：该数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 例1：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为2 5—20＝5，又因为11┼5，所以11┼123456789。 例2：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的 数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例1：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此105 9282是7的倍数。 例2：判断3546725能否被13整除？★ 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8 21—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

第1讲 数的整除(1)-学生讲义

第1讲数的整除 一、知识点 1.整除的概念：整数a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，则称a能被b 整除（或者说b能整除a），记作b|a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。 注意：我们讨论的整除性均在正整数范围内。 2.数的整除特征 （1）一个数的个位数字是0，2，4，6，8中的某一个，那么这个整数就能被2整除。（2）一个数的个位数字是0或者5，那么这个整数就能被5整除。 （3）一个数各数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。（4）一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除，反之一个数能被6整除，则这个数一定能被6的因数（1,2,3,6）整除。 （7）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。（8）能被7（11或13）整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。 3.数整除的性质 （1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被数c整除（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么ac也能被数b整除。 （3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么数a也一定能被数c整除。（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。 二、典例剖析 例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔（每人一支），共付人民币9□.2□元。已知□处数字相同，请问钢笔每支多少元

第一讲 数的整除

第一讲数的整除 一、基础知识： 1、能被4（25）、8（125）、3（9）、7（11）（13）整除的数的特征； 4（25）：； 8（125）：； 3（9）：；7（11）（13）：。 2、分解质因数：。 二、例题： 例1、一个六位数568abc分别能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？ 例2、六年级有72名学生捐款（处辨认不清），每人捐款 例3、六位数能被66整除，找出所有这样的六位数； 例4、一个2004位数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，求c是多少？ 例5、要使932×975×995×（）的积的最后五个数字都是0，那么在括号内最小应该填几？ 例6、四个班分一批图书，他们所得的本数一个班比一个班多3本，四个班分得图书本数之积是68040。每个班各分得图书多少本？ 例7、24有多少个约数？这些约数的和是多少? 24=23×3 约数个数=（3+1）×（1+1）= -1 31+1–1 ×= 3-1

三、练习： a)四位数8A1B能被2、3、5整除，问这些四位数是多少？ b)能同时被2、9整除，填出 c)已知六位数19 能被35整除，那么这个六位数是多少？ d)84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在 括号里最小应填什么数？ e)五个连续奇数的积是135135，这五个奇数的和是多少？ 四、作业： 1、数学考试结果，某班学生中有1/3得优，3/7得良，其余得中或差，已知 全班人数在40与60之间，得中或差的学生有多少人？ 2、一个六位数能被11和13整除，这个六位数所有的质因数的 和是多少？ 3、四个连续自然数的积是3024，这四个自然数分别是多少？ 4、求4500的约数个数及所有约数的和是多少？ 五、思考题： 在3×3的方格图中填入几个互不相同的自然数，如果每行、每列三个数相乘所得的六个乘积都等于n，那么（1）n可以是1996、1997、1998、1999、2000、2001、2002、2003这八个数中的哪些数？（2）在下面方格中填出一 n=

五年级数学下册因数与倍数第一讲知识点及练习题(人教版)

五年级数学下册因数与倍数第一讲知识点及练习题（人教 版） 二、因数与倍数第一讲 复习： 整除的算式的特征： 1除数、被除数都是自然数，且除数不为０。 2被除数除以除数，商是自然数而没有余数。 例：1能被整除，我们就说，1是的 倍数，是1的因数。 知识点一：因数 问题一：一个长方形，它的面积是12平方厘米，如果长方形的长和宽都是整数，请同学们猜一猜这个长方形的长和宽各是多少？所以12的因数有： 注意：1、在说因数（或倍数）时，必须说明谁是谁的因数（或倍数）。不能单独说谁是因数（或倍数）。2、因数和倍数不能单独存在。 例1 18的因数有那些？ 方法一：想18可以有哪两个数相乘得到18=1×18 18=2×9 18=3×6 方法二：根据整除的意义得到

18÷1=18 18÷2=9 18÷3=6 所以18的因数有： 表示方法： 1列举法︰12的因数有：1，2，3，4，6，12 2用集合表示︰ 练习1：30的因数有哪些？36呢？ 30的因数有： 36的因数有： 观察：18的最小因数是（），最大的因数是（） 30的最小因数是（），最大的因数是） 36的最小因数是（），最大的因数是（） 一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小因数是（），最大因数是（） 你要知道： （1）1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是它本身。（2）除1以外的整数，至少有两个因数。 （3）任何自然数都有因数1。 练习2、把下列各数填入相应的集合圈中。 1 2 3 4 6 7 8 9 10 12 1 16 18 20 24 30 36 6

36的因数60的因数 知识点二：倍数 问题二：2的倍数有哪些？2的倍数有：2，4，6，8 … 例1、小蜗牛找倍数（找出3的倍数）。练习3、的倍数有哪些？7的倍数呢？ 的倍数： 7的倍数： 一个数的倍数的个数是（），一个数的最小的倍数是（），（）最大的倍数。 用字母表示因数与倍数的关系：a x b = (a、b、都是不为0的整数）a、b都是的因数，是a和b的倍数。因数和倍数是相互依存的。 说一说：在0、3、4、7、1、16、77、31、62中择两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 1、根据算式：4×8＝32 说一说，谁是谁的因数？谁是的倍数？ 2、根据算式：63÷7＝9 说一说，谁是谁的因数？谁是的倍数？ 3、判断：12÷02＝6我们能说02和6是12的因数；12是02的倍数，也是6的倍数吗？为什么？

五年级数学下册因数与倍数第一讲知识点及练习题(人教版)

五年级数学下册因数与倍数第一讲知识点及练习题（人教版）二、因数与倍数第一讲复习：整除的算式的特征： 1.除数、被除数都是自然数，且除数不为０。 2.被除数除以除数，商是自然数而没有余数。例：15能被5整除，我们就说，15是5的倍数，5是15的因数。知识点一：因数问题一：一个长方形，它的面积是12平方厘米，如果长方形的长和宽都是整数，请同学们猜一猜这个长方形的长和宽各是多少？所以12的因数有：注意：1、在说因数（或倍数）时，必须说明谁是谁的因数（或倍数）。不能单独说谁是因数（或倍数）。2、因数和倍数不能单独存在。例1 18的因数有那些？方法一：想18可以有哪两个数相乘得到18=1×18 18=2×9 18=3×6 方法二：根据整除的意义得到18÷1=18 18÷2=9 18÷3=6 所以18的因数有：表示方法： 1.列举法?U 12的因数有：1，2，3，4，6，12 2.用集合表示?U 练习1：30的因数有哪些？36呢？ 30的因数有： 36的因数有：观察：18的最小因数是（），最大的因数是（） 30的最小因数是（），最大的因数是） 36的最小因数是（），最大的因数是（）一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小因数是（），最大因数是（）你要知道：（1）1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是它本身。（2）除1以外的整数，至少有两个因数。（3）任何自然数都有因数1。 练习2、把下列各数填入相应的集合圈中。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 16 18 20 24 30 36 6 36的因数 60的因数 知识点二：倍数问题二：2的倍数有哪些？ 2的倍数有：2，4，6，8 … 例1、小蜗牛找倍数（找出3的倍数）。练习3、5的倍数有哪些？7的倍数呢？ 5的倍数： 7的倍数：一个数的倍数的个数是（），一个数的最小的倍数是（），（）最大的倍数。用字母表示因数与倍数的关系：a x b = c (a、b、c都是不为0的整数）a、b 都是c的因数，c是a和b的倍数。因数和倍数是相互依存的。说一说：在0、3、4、7、15、16、77、31、62中择两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 1、根据算式：4×8＝32 说一说，谁

第一讲 数的整除(1)

第一讲数的整除(1) 【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。 解析：我们可设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a－1和a＋1，这三个数之和为a－1＋a＋a＋1＝3a，所以我们可以说三个连续的正整数之和一定能被3整除。 【知识点】 1、整数和整除的意义 整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。 注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数； (2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。 2、自然数和整数 零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数. 【基本习题限时训练】 1、下列算式中表示整除的算式是（） （A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝3 【解】B 2、下列各组数中，均为自然数的是（） （A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）2 3，3 4 ，4 5 （D） 2，4，6 【解】D 3、下列说法正确的是…………………………………………………… （） （A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1 （C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是1 4、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）3248 ÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。 【解】（1）不正确。零是整数，也是自然数；（2）正确（3）不正确。应该是32能被4整除；（4）正确 5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？ 【解】四个数中能被2整除的数有24、88，共两个。 6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。 【解】a可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36.

第一讲 数的整除问题

第一讲数的整除问题 一．基本概念和知识 1．整除——约数和倍数 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数a 除以整数b（b≠0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b︱a。否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数（或因数）。 2．数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 3．数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整

数。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3 （或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25） 整除。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125） 整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之 和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数 与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 二．例题 例1：已知45︱1993 x y。 x y，求所有满足条件的六位数1993 解：∵45=5×9， ∴根据整除“性质2”可知 5︱____________ x y， 1993 x y，9︱____________ 1993 ∴ y可取0或5。