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江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试卷 (有答案)

江苏省七市2020届高三第二次调研考试

数学

(满分160分，考试时间120分钟)

2020．4

参考公式：

柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高．锥体的体积公式：V 锥体＝1

Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a －5，7}．若A ∩B ＝{4}，则实数a 的值是________．

2. 若复数z 满足z

＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．

(第4题)

3. 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则该农作物的年平均产量是________吨．

4. 如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．

5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头，甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是________．

6. 在△ABC 中，已知B ＝2A ，AC ＝3BC ，则A 的值是________．

7. 在等差数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝a 2＋a 4，a 8＝－3，则a 20的值是________．

(第8题)

8. 如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则V 1＋V 2

的值是________．

9. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，

过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q.若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．

10. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T.若PT ＝PO ，则PC 的长是________．

11. 若x ＞1，则2x ＋9x ＋1＋1

x －1的最小值是________．

12. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝e x 在点P(x 0，ex 0)处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(x 0，0)，△PAB 的面积为3，则x 0的值是________．

13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2))，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则A 6A 7→·A 7A 8→

的值是________．

14. 设函数f(x)＝?

???

?|log 2x －a|，0＜x ≤4，f （8－x ），4＜x ＜8.若存在实数m ，使得关于x 的方程f(x)＝m 有4

个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋π4)，sin(α＋π

4))，

其中0＜α＜π

(1) 求(b －a )·a 的值；

(2) 若c ＝(1，1)，且(b ＋c )∥a ，求α的值．

16.(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点．求证： (1) PQ ∥平面ABC ； (2) PQ ⊥平面ABB 1A 1.

17. (本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆

C ：(x －3)2＋y 2＝1，椭圆

E ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b

＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．

(1) 求椭圆E 的方程；

(2) 设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N.当AN ＝12

7AM

时，求直线l 的方程．

某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2∶1的两部分(点D，E分别在边AB，AC上)；再取DE的中点M，建造直道AM(如图)．设AD＝x，DE ＝y1，AM＝y2(单位：百米)．

(1) 分别求y1，y2关于x的函数关系式；

(2) 试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．

若函数f(x)在x0处有极值，且f(x0)＝x0，则称x0为函数f(x)的“F点”．

(1) 设函数f(x)＝kx2－2ln x(k∈R)．

①当k＝1时，求函数f(x)的极值；

②若函数f(x)存在“F点”，求k的值；

(2) 已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)存在两个不相等的“F点”x1，x2，且|g(x1)－g(x2)|≥1，求a的取值范围．

在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝1

8.设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝－1，a n ＋

b n ＝－1

S n －1(n ≥2，n ∈N *)．

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 求证：数列????

b n a n 是等差数列；

(3) 是否存在等差数列{c n }，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n ？若存在，求出所有符合题意的等差数列{c n }；若不存在，请说明理由．

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵A ＝??????01a 0的逆矩阵A －1

＝??????02b 0.若曲线C 1：x 24＋y 2＝1在矩阵A 对应的

变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，已知曲线C 的方程为ρ＝r(r ＞0)，直线l 的方程为ρcos(θ＋π

4)＝ 2.设

直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝27，求r 的值．

C. (选修45：不等式选讲)

已知实数x ，y ，z 满足x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2＝2，求证：x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z

1＋z 2

≤ 2.

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是1

2，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则

调剂1人到该店铺维持营业，否则该店就停业．

(1) 求发生调剂现象的概率；

(2) 设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望．

23.我们称n(n ∈N *)元有序实数组(x 1，x 2，…，x n )为n 维向量，为该向量的

范数．已知n 维向量a ＝(x 1，x 2，…，x n )，其中x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，…，n.记范数为奇数的n 维向量a 的个数为A n ，这A n 个向量的范数之和为B n .

(1) 求A 2和B 2的值；

(2) 当n 为偶数时，求A n ，B n (用n 表示)．

数学参考答案及评分标准

1. 9

2. 5

3. 10

4. 52

5. 23

6. π6

7. －15

8. 1

3 9. 2 10. 13 11. 8 12. ln

13.

14. (－∞，1) 15. 解：(1) 因为向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋π4)，sin(α＋π

4))，

所以(b －a )·a ＝a·b －a 2(2分)

＝cos αcos(α＋π4)＋sin αsin(α＋π

4)－(cos 2α＋sin 2α)(4分)

＝cos(－π4)－1＝2

－1.(6分)

(2) 因为c ＝(1，1)，所以b ＋c ＝(cos(α＋π4)＋1，sin(α＋π

4)＋1)．

因为(b ＋c )∥a ，所以[cos(α＋

π4)＋1]sin α－[sin(α＋π

)＋1]cos α＝0.(9分) 于是sin α－cos α＝sin(α＋π4)cos α－cos(α＋π

4)sin α，

从而2sin(α－

π4)＝sin π4，即sin(α－π4)＝1

.(12分) 因为0＜α＜π2，所以－π4＜α－π4＜π4，于是α－π4＝π6，即α＝5π

.(14分)

16. 证明：(1) 取AB 的中点D ，连结PD ，CD.

在△ABB 1中，因为点P ，D 分别为AB 1，AB 中点，所以PD ∥BB 1，且PD ＝1

BB 1.

在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1∥BB 1，CC 1＝BB 1.

因为点Q 为棱CC 1的中点，所以CQ ∥BB 1，且CQ ＝1

2BB 1.(3分)

于是PD ∥CQ ，PD ＝CQ.

所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ ∥CD.(5分)

因为CD ?平面ABC ，PQ ?平面ABC ，所以PQ ∥平面ABC.(7分) (2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC. 又CD ?平面ABC ，所以BB 1⊥CD.

因为CA ＝CB ，点D 为AB 中点，所以CD ⊥AB.(10分) 由(1)知CD ∥PQ ，所以BB 1⊥PQ ，AB ⊥PQ.(12分)

因为AB ∩BB 1＝B ，AB ?平面ABB 1A 1，BB 1?平面ABB 1A 1，所以PQ ⊥平面ABB 1A 1.(14分)

17. 解：(1) 记椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)．

因为右顶点A(a ，0)在圆C 上，右准线x ＝a 2

c 与圆C ：(x －3)2＋y 2＝1相切，

所以?????（a －3）2＋02＝1，????a 2c －3＝1，解得?????a ＝2，c ＝1.于是b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2

＝1.(4分)

(2) (解法1)设N(x N ，y N )，M(x M ，y M )，

显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)．

由方程组????

?y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.

所以x N ·2＝16k 2－124k 2＋3，解得x N ＝8k 2－6

4k 2＋3

.(6分)

由方程组?????y ＝k （x －2），

（x －3）2＋y 2＝1，

消去y ，得(k 2＋1)x 2－(4k 2＋6)x ＋4k 2＋8＝0，所以x M ·2＝4k 2＋8k 2＋1，解得x M ＝2k 2＋4k 2＋1.(8分)

因为AN ＝127AM ，所以2－x N ＝12

7(x M －2)，(10分)

即

124k 2＋3＝127·21＋k 2

，解得k ＝±1.(12分) 所以直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.(14分)

(解法2)设N(x N ，y N )，M(x M ，y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为x ＝ty ＋2(t ≠0)．

由方程组?????x ＝ty ＋2，x 24＋y 23＝1，

消去x ，得(3t 2＋4)y 2＋12ty ＝0，所以y N ＝－12t

3t 2＋4

.(6分)

由方程组?

????x ＝ty ＋2，（x －3）2＋y 2＝1，消去x ，得(t 2＋1)y 2－2ty ＝0，所以y M

＝2t t 2＋1.(8分) 因为AN ＝127AM ，所以y N ＝－12

7y M .(10分)

即

－12t 3t 2＋4

＝－127·2t t 2＋1，解得t ＝±1.(12分)

所以直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.(14分)

18. 解：(1) 因为S △ADE ＝2

S △ABC ，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD ＝x ，

所以12AD ·AE ·sin π3＝23(12×32×sin π3)，所以AE ＝6

x .(2分)

由?

????0＜AD ＝x ≤3，0＜AE ＝x

6≤3，得2≤x ≤3. (解法1)在△ADE 中，由余弦定理得DE 2＝AD 2＋AE 2－2AD·AE·cos π3＝x 2＋36

2－6. 所以，直道 DE 的长度y 1关于x 的函数关系式为y 1＝

x 2＋36

2－6，x ∈[2，3]．(6分)

在△ADM 和△AEM 中，由余弦定理得AD 2＝DM 2＋AM 2－2DM·AM·cos ∠AMD ①， AE 2＝EM 2＋AM 2－2EM·AM·cos(π－∠AMD) ②.(8分) 因为点M 为DE 的中点，所以DM ＝EM ＝1

DE.

由①＋②，得AD 2＋AE 2＝DM 2＋EM 2＋2AM 2＝1

2DE 2＋2AM 2.

所以

x 2＋(

6x )2＝12(x 2＋36x 2－6)＋2AM 2，所以AM 2＝x 24＋9x 2＋32

. 所以，直道AM 的长度y 2关于x 的函数关系式为y 2＝x 24＋9x 2＋3

，x ∈[2，3]．(10分) (解法2)在△ADE 中，因为DE →＝AE →－AD →

，

所以DE →2＝AE →2－2AE →·AD →＋AD →

2＝(6x )2－2·6x ·xcos π3＋x 2＝x 2＋36x 2－6.

所以，直道DE 的长度y 1关于x 的函数关系式为y 1＝

x 2＋36

2－6，x ∈[2，3]．(6分)

在△ADE 中，因为点M 为DE 的中点，所以AM →＝12(AD →＋AE →

)．(8分)

所以AM →2＝14(AD →2＋AE →2＋2AD →·AE →)＝1

4(x 2＋36x 2＋6)．

所以，直道AM 的长度y 2关于x 的函数关系式为y 2＝x 24＋9x 2＋3

2，x ∈[2，3]．(10分) (2) 由(1)得，两条直道的长度之和为DE ＋AM ＝y 1＋y 2＝x 2＋

x 2

－6＋x 24＋9x 2＋32

≥

x 2·

x 2

－6＋2

x 24·9x 2＋3

(12分) ＝6＋32

2(当且仅当?

??x 2＝36x

2，

x 24＝9

x 2

，即x ＝6时取“＝”)．(14分)

答：当AD ＝6百米时，两条直道的长度之和取得最小值(6＋32

2)百米．(16分)

19. 解：(1) ① 当k ＝1时，f(x)＝x 2－2ln x(k ∈R )，

所以f′(x)＝2（x －1）（x ＋1）

(x ＞0)．令f′(x)＝0，得x ＝1.(2分)

列表如下：

－

＋

所以函数f(x)在x ＝1处取得极小值，极小值为1，无极大值．(4分) ② 设x 0是函数f(x)的一个“F 点”(x 0＞0)．

因为f′(x)＝2（kx 2－1）

x (x ＞0)，所以x 0是函数f′(x)的零点．

所以k ＞0.由f′(x 0)＝0，得kx 20＝1，x 0＝

. 由f(x 0)＝x 0，得kx 20－2ln x 0＝x 0，即x 0＋2ln x 0

－1＝0.(6分) 设φ(x)＝x ＋2ln x －1，则φ′(x)＝1＋2

＞0，

所以函数φ(x)＝x ＋2ln x －1在(0，＋∞)上单调递增，注意到φ(1)＝0，所以方程x 0＋2ln x 0－1＝0存在唯一实数根1，所以x 0＝

＝1，得k ＝1. 根据①知，k ＝1时，x ＝1是函数f(x)的极小值点，所以1是函数f(x)的“F 点”．综上，实数k 的值为1.(9分)

(2) 因为g(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)，所以g′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c(a ≠0)．

因为函数g(x)存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，

所以x 1，x 2是关于x 的方程?

???

?3ax 2＋2bx ＋c ＝0，ax 3＋bx 2＋cx ＝x 的两个相异实数根．由ax 3＋bx 2＋cx ＝x 得x ＝0，ax 2＋bx ＋c －1＝0.(11分) ① 当x ＝0是函数g(x)一个“F 点”时，c ＝0且x ＝－2b 3a ，

所以a(－2b 3a )2＋b(－2b

3a )－1＝0，即9a ＝－2b 2.

又|g(x 1)－g(x 2)|＝|x 1－x 2|＝????－2b

3a －0≥1，所以4b 2≥9a 2，所以9a 2≤2(－9a)．

又a ≠0，所以－2≤a ＜0.(13分)

② 当x ＝0不是函数g(x)一个“F 点”时，

则x 1，x 2是关于x 的方程?

???

?3ax 2＋2bx ＋c ＝0，ax 2＋bx ＋c －1＝0的两个相异实数根．

又a ≠0，所以???2b

＝b ，c 3

＝c －1，解得????

?b ＝0，c ＝32.

所以ax 2＝－1

2，得x 1，2＝±

－12a

. 所以|g(x 1)－g(x 2)|＝|x 1－x 2|＝2

－1

≥1，得－2≤a ＜0. 综上，实数a 的取值范围是[－2，0)．(16分) 20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 4＝18，所以q 3＝18，解得q ＝1

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(12

)n －

1.(3分)

(2) 证明：由(1)得，当n ≥2，n ∈N *时，(12)n －1＋b n ＝－1

2S n －1 ①，

所以(12)n ＋b n ＋1＝－1

2S n ②，

②－①，得b n ＋1－12b n ＝(1

)n ，(5分)

所以b n ＋1（12）n －b n

（12

）n －1＝1，即b n ＋1a n ＋1－b n a n ＝1，n ≥2，n ∈N *.

因为b 1＝－1，由①得b 2＝0，所以b 2a 2－b 1

a 1＝0－(－1)＝1，所以

b n ＋1a n ＋1－b n a n

＝1，n ∈N *.

所以数列????

b n a n 是以－1为首项，1为公差为等差数列．(8分)

(3) 解：由(2)得b n a n ＝n －2，所以b n ＝n －22n －1，S n ＝－2(a n ＋1＋b n ＋1)＝－2(12n ＋n －12n )＝－n

2n －1.

假设存在等差数列{c n }，其通项c n ＝dn ＋c ，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n ，

即对任意n ∈N *，都有－n 2n －1≤dn ＋c ≤1

2n －1 ③.(10分)

首先证明满足③的d ＝0.若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0.

(ⅰ) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，n ∈N *时，c n ＝dn ＋c ＞1≥1

2n －1＝a n ，这与c n ≤a n 矛盾．

(ⅱ) 若d ＜0，则当n ＞－1＋c

d ，n ∈N *时，c n ＝dn ＋c ＜－1.

而S n ＋1－S n ＝－

n ＋12n ＋n

2n －1

＝n －12n ≥0，S 1＝S 2＜S 3＜…，所以S n ≥S 1＝－1. 故c n ＝dn ＋c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾．

所以d ＝0.(12分)

其次证明：当x ≥7时，f(x)＝(x －1)ln 2－2ln x ＞0.

因为f′(x)＝ln 2－1x ＞ln 2－1

7＞0，所以f(x)在[7，＋∞)上单调递增，

所以当x ≥7时，f(x)≥f(7)＝6ln 2－2ln 7＝ln 6449

＞0. 所以当n ≥7，n ∈N *时，2n －

1＞n 2.(14分)

再次证明c ＝0.

(ⅲ) 若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N *，S n ＝－n 2n －1＞－1

n ＞c ，这与③矛盾．

(ⅳ) 若c ＞0时，同(ⅰ)可得矛盾．

所以c ＝0.

当c n ＝0时，因为S n ＝1－n 2

n －1≤0，a n ＝(12)n －

1＞0，

所以对任意n ∈N *，都有S n ≤c n ≤a n .所以c n ＝0，n ∈N *.

综上，存在唯一的等差数列{c n }，其通项公式为c n ＝0，n ∈N *满足题设．(16分)

数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：因为AA －

1＝E ，所以??

????01a 0??????02b 0＝??????1001，即??????b 0

02a ＝??

??1001

. 所以?????b ＝1，

2a ＝1，解得??

???a ＝1

2，b ＝1.

所以A ＝?????

???

011

20.(4分)

设P(x′，y ′)为曲线C 1上任一点，则x′2

＋y′2＝1.

又设P(x′，y ′)在矩阵A 变换作用下得到点Q(x ，y)，

则????????01120??????x′y′＝??????x y ，即????????y′x′2＝??????x y ，所以?????y′＝x ，x ′

2＝y ，即?????x′＝2y ，y ′＝x ，代入x′2

＋y′2＝1，得y 2＋x 2＝1，

所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝1.(10分)

B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，于是曲线C ：ρ＝r(r ＞0)的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，表示以原点为圆心，半径为r 的圆．(3分)

由直线l 的方程ρcos(θ＋π4)＝2，化简得ρcos θcos π4－ρsin θsin π

4＝2，

所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.(6分)

记圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝|2|

2＝ 2.

又r 2＝d 2＋(AB

2)2，即r 2＝2＋7＝9，所以r ＝3.(10分)

C. 证明：因为x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 2

1＋z 2

＝2，

所以11＋x 2＋11＋y 2＋11＋z 2＝1－x 21＋x 2＋1－y 21＋y 2＋1－z 2

1＋z 2＝1.(5分)

由柯西不等式得 (x 21＋x 2＋y 21＋y 2＋z 21＋z 2)(11＋x 2＋11＋y 2＋11＋z 2)≥(x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2

)2，

所以(x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2)2

≤2.

所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2

≤ 2.(10分) 22. 解：(1) 记2家小店分别为A ，B ，A 店有i 人休假记为事件A i (i ＝0，1，2)，B 店有i 人休假记为事件B i (i ＝0，1，2)，发生调剂现象的概率为P ，

则P(A 0)＝P(B 0)＝C 02(12)2＝1

4， P(A 1)＝P(B 1)＝C 12(12)2＝12， P(A 2)＝P(B 2)＝C 22(12)2＝14

. 所以P ＝P(A 0B 2)＋P(A 2B 0)＝14×14＋14×14＝18.

答：发生调剂现象的概率为1

.(4分)

(2) 依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，则 P(X ＝0)＝P(A 2B 2)＝14×14＝1

，

P(X ＝1)＝P(A 1B 2)＋P(A 2B 1)＝14×12＋12×14＝1

P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)＝1－116－14＝11

16.(8分)

所以X 的分布列为

所以E(X)＝2×1116＋1×14＋0×116＝13

.(10分)

23. 解：(1) 范数为奇数的二元有序实数对有(－1，0)，(0，－1)，(0，1)，(1，0)，

它们的范数依次为1，1，1，1，故A 2＝4，B 2＝4.(3分)

(2) 当n 为偶数时，在向量a ＝(x 1，x 2，x 3…，x n )的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为1，3，…，n －1进行讨论：

a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或－1，共有C 1n ·2

n －1个，每个a 的范数为n －1；

a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或－1，共有C 3n ·2

n －3个，每个a 的范数为n －3；…

a 的n 个坐标中含n －1个0，其余坐标为1或－1，共有C n －1

n ·2个，每个a 的范数为1；

所以A n ＝C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n

·2， B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －1＋(n －3)·C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n

·2.(6分) 因为(2＋1)n ＝C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋C 2n ·2n －2＋…＋C n n

①， (2－1)n ＝C 0n ·2n －C 1n ·2n －1＋C 2n ·2n －2－…＋(－1)n C n n

②，

①－②2得C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3

＋…＝3n －12，所以A n ＝3n －12

.(8分)

(解法1)因为(n －k)C k n

＝(n －k)·n ！k ！（n －k ）！＝n·（n －1）！k ！（n －1－k ）！

＝nC k n －1，所以B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －

1＋(n －3)·C 3n ·2n －

3＋…＋C n －

·2 ＝n(C 1n －1·2n －1＋C 3n －1·2n －3＋…＋C n －1n －1·2) ＝2n(C 1n －1·2n －2＋C 3n －1·2n －4＋…＋C n －1n －1

) ＝2n·(3n －

1－12

)＝n·(3n －

1－1)．(10分)

(解法2)①＋②2得C 0n ·2n ＋C 2n ·2n －2＋…＝3n ＋12

. 因为kC k n ＝k·n ！k ！（n －k ）！＝n·（n －1）！（k －1）！（n －k ）！

＝nC k －1

n －1，所以B n ＝(n －1)·C 1n ·2n －

1＋(n －3)·C 3n ·2n －

3＋…＋C n －

·2 ＝n(C 1n ·2n －1＋C 3n ·2n －3＋…＋C n －1n ·2)－[C 1n ·2n －1＋3·C 3n ·2n －3＋…＋(n －1)·C n －1n

·2] ＝nA n －n(C 0n －1·2n －1＋C 2n －1·2n －3＋…＋C n －2n －1

·2) ＝n·(3n －12－3n －

1＋12)＝n·(3n －

1－1)．(10分)

2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．

考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2 只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m， n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．

2018江苏高考数学试卷与解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足i 12i z ?=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则?的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，

cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π?成立的n 的最小值为 ▲ ． 15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；

2020年江苏高考数学试题及答案

2020年江苏高考数学试题及答案参考公式：柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =▲ 2．已知i 是虚数单位,则复数(1i)(2i)z =+-的实部是▲ 3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4,则a 的值是▲ 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是▲ 5．如图是一个算法流程图,若输出y 的值为2-,则输入x 的值是▲ 6．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y ,则该双曲线的离心率是▲ ． 7．已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,()2 3 f x x =,则()8f -的值是▲ ． 8．已知2sin ()4απ +=23 ,则sin 2α的值是▲ ． 9．如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是▲ cm.

10．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π 6 个单位长度,则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ． 11．设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和 221()n n S n n n +=-+-∈N ,则d +q 的值是▲ ． 12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ,则22x y +的最小值是▲ ． 13．在△ABC 中,43=90AB AC BAC ==?，，∠，D 在边BC 上,延长AD 到P ,使得AP =9,若3 ()2 PA mPB m PC =+-（ m 为常数）,则CD 的长度是▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中,已知0)P ,A ,B 是圆C ：2 21()362x y +-=上的两个动点,满足PA PB =, 则△PAB 面积的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,B 1C ⊥平面ABC ,E ,F 分别是AC ,B 1C 的中点．（ 1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（ 2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．

2018年高考理科数学江苏卷(含答案与解析)

数学试卷第1页（共26页）数学试卷第2页（共26页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共160分.考试时长120分钟. 参考公式：锥形的体积公式13 V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B = . 2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5. 函数()f x =的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数ππsin(2)()22y x ??=+-<<的图象关于直线π 3 x =对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条 ,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上, ()cos (2)2102x x f x x x π??? =? ?+?? 0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 . 13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 . 14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------

2020年江苏高考数学试卷

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ 参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ▲ ． 2．已知 i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ． 3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ▲ ． 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ▲ ． 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ▲ ．

6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()2 3 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 8．已知2sin ()4απ+=2 3 ，则sin 2α的值是 ▲ ． 9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm. 10．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π 6 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ． 11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和 221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ▲ ． 12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==?，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若 3 ()2 PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ▲ ．

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．

10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．

2018年江苏省高考数学试卷-最新版下载

2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为． 5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为． 6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为． 8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，

f（x）=，则f（f（15））的值为． 10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为． 13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】

江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． . 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ．【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为．【答案】21 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是．【答案】5 4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】13 5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是．【答案】 6 π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】24 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是．

【答案】4 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且 1294S S =，则12V V 的值是．【答案】32 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 255 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是．【答案】202?? ??? 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是．【答案】3- 12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，， 32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的值是．【答案】22 13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21 ()22 f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是．【答案】() 102 ， 14．若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字

2018年江苏省高考数学试卷

（（（ 2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．5.00分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为． 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为． 5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为． 6．5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为． 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣ 称，则φ的值为． φ＜）的图象关于直线x=对8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，

（ f （x ）= ，则 f （f （15））的值为． 10．（5.00 分）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为． 11．（5.00 分）若函数 f （x ）=2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则 f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为． 12． 5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l ：y=2x 上在第一象限内的点， B （5，0），以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 =0，则点 A 的横坐标为． 13．（5.00 分）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，∠ABC=120°， ∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD=1，则 4a +c 的最小值为． 14．（5.00 分）已知集合 A={x |x=2n ﹣1，n ∈N*}，B={x |x=2n ，n ∈N*}．将 A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，则使得 S n ＞12a n +1 成立的 n 的最小值为．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15．（14.00 分）在平行六面体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，AA 1=AB ，AB 1⊥B 1C 1．求证：（1）AB ∥平面 A 1B 1C ；（2）平面 ABB 1A 1⊥平面 A 1BC ．

2018高考江苏数学试题与答案解析[解析版]

2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．（1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______．【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．（2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______．【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件．【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件．【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．（4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______．【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．（5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______．【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题．（6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________．【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D

2017年江苏高考数学试卷

年江苏省高考数学试卷2017 填空题一. 2a2}，B={a，∩+3}．若AB={1}，则实数a ．的值为，已知集合．1（5分）A={1 2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件． 4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是． 5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=． 6．（5分）如图，在圆柱OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均21 相切，记圆柱OO的体积为V，球O的体积为V，则的值是．2112

7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数第1页（共31页）．x，则x∈D的概率是 2的右准线与它的两条渐﹣y=1（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线8．PFQ 的面积是．，其焦点是近线分别交于点P，QF，F，则四边形F2112 9．（5分）等比数列{a}的各项均为实数，其前n项和为S，已知S=，S=，63nn．a=则8次，万元/吨，每次购买x运费为610．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，x4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则一年的总存储费用为．的值是 x3af（，其中e=xe﹣2x+是自然对数的底数．若﹣11．（5分）已知函数f（x）2）≤0．则实数a的取值范围是（2a ．﹣1）+f 12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，

[历年真题]2016年江苏省高考数学试卷

2016年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题,每小题5分,满分70分） 1．（5分）已知集合A={﹣1,2,3,6},B={x|﹣2＜x＜3},则A∩B=． 2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）,其中i为虚数单位,则z的实部是． 3．（5分）在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣=1的焦距是． 4．（5分）已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是． 5．（5分）函数y=的定义域是． 6．（5分）如图是一个算法的流程图,则输出的a的值是． 7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是．8．（5分）已知{a n}是等差数列,S n是其前n项和,若a1+a22=﹣3,S5=10,则a9的值是． 9．（5分）定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是． 10．（5分）如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是．

11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数,在区间[﹣1,1）上,f（x）=,其中a∈R,若f（﹣）=f（）,则f（5a）的值是．12．（5分）已知实数x,y满足,则x2+y2的取值范围是． 13．（5分）如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,?=4,?=﹣1,则?的值是． 14．（5分）在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是．二、解答题（共6小题,满分90分） 15．（14分）在△ABC中,AC=6,cosB=,C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值． 16．（14分）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1．求证: （1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

江苏2018年单招高考数学试题和答案

江苏省2018年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1.设集合M ={1，3}，N ={a +2，5}，若N M ={3}，则a 的值为（） A.-1 B.1 C.3 D.5 2.若实系数一元二次方程02=++n mx x 的一个根为1-i ，则另一个根的三角形式为（） A.4sin 4cos ππi + B.）（4 3sin 43cos 2ππi - C.）（4sin 4cos 2ππi + D.????????? ??-+?? ? ??-4sin 4cos 2ππi 3.在等差数列{}n a 中，若20163a a ，是方程0201822=--x x 的两根，则2018133a a ?的值为（） A.31 B.1 C.3 D.9 4.已知命题p ：(1101)2=(13)10和命题q :11=?A （A 为逻辑变量），则下列命题中为真命题的是（） A.p ? B.q p ∧ C.q p ∨ D.q p ∧? 5.用1， 2， 3， 4， 5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是（） A.18 B.24 C.36 D.48 6.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=62，则对角线BD 1与底面ABCD 所成的角是（） A.6π B.4π C.3π D.2π 7.题7图是某项工程的网络图，若最短总工期是13天，则图中x 的最大值为（）

8.若过点P （1,3）和点Q （1,7）的直线l 1与直线l 2：05)73(=+-+y m mx 平行，则m 的值为（） A.2 B.4 C.6 D.8 9.设向量)6,4(),52,2(cos ==b a θ，若53)sin(=-θπ，则 |25|b a -的值为（） A.5 3 B.3 C. 4 D.6 10.若函数c bx x x f +-=2)(满足)-1()1(x f x f =+，且)()(,5)0(x x c f b f f 与则=的大小关系是（） A.)()(x x c f b f ≤ B.)()(x x c f b f ≥ C.)()(x x c f b f < D.)()(x x c f b f > 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.设数组)4,2,1(-=a ，)2,,3(-=m b ，若1=?b a ，则实数m = . 12.若=∈-=θππθθtan ),2 3,(,32sin 则 . 13.题13图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的m 值是 .

2018年高考数学真题

2018年普通高等学校招生全国统一考试(卷) 数学Ⅰ 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么_____=B A I 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_____ 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_____ 4．一个算式的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______ 5．函数1log )(2-=x x f 的定义域为______ 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中选2名学生去参加，则恰好有2名女生的概率为_______ 7．已知函数)22)(2sin(π?π?<<-+=x y 的图象关于直线3 π =x 对称，则?的值是______ 8．在平面直角坐标系xOy 中．若双曲线0)b 0(122 22>>=-，a b y a x 的右焦点F(c ，0)到一条渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是_____ 9．函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R)，且在区间]2,2(-上，??? ??? ?≤<-+≤<=,02,21 ,20,2cos )(x x x x x f π则))15((f f 的值为______ 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_______ 11．若函数)(12)(2 3 R a ax x x f ∈+-=在),0(+∞有且只有一个零点，则)(x f 在[－1，1]上的最大值与最小值的和为_______ 12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限的点，B (5，0)，以 8 99 9 011 (第3题) I ←1 S ←1 While I<6 I ←I+2 S ←2S End While Pnint S (第4题)

2018江苏高考数学试题及答案word版

温馨提示：全屏查看效果更佳。绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 I 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含非选择题（第 1 题 ~ 第 20 题，共 20 题） .本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4.作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 小分，共计70 分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1.已知集合 A{0,1,2,8}, B { 1,1,6,8},那么 A B __________. 2.若复数 z 满足i z 1 2i, 其中i是虚数单位 , 则 z z的实部为 __________. 3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示, 那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 __________. 4.一个算法的伪代码如图所示 , 执行此算法 , 最后输出的S的值为 __________. 5. 函数f x log 2 1 的定义域为__________.

6. 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 , 现从中任选 2 名学生去参加活动, 则恰好选中 2 名女生的概率是 __________. 7. 已知函数y sin(2 x)( 2 )的图像关于直线x对称,则的值是 __________. 23 8. 在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2y21(a0, b0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐a2b2 近线的距离为 3 c ,则其离心率的值是__________. 2 9. 函数f (x)满足f ( x4) f ( x)( x R) ,且在区间 (2,2)上 cos x ,0x2 f ( x)2, 则f ( f (15))的值为 __________. 1 |, | x2x 0 2 10. 如图所示 , 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________. 11.若函数 f (x)2x3ax 21(a R) 在 (0,) 内有且只有一个零点,则 f ( x) 在 [1,1]上的最大值与最小值的和为__________. 12.在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 l : y2x 上在第一象限内的点, B5,0以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ,若 AB CD 0, 则点A的横坐标为 __________. 13.在 ABC 中,角A, B, C所对应的边分别为a,b, c,ABC120o , ABC 的平分线交 AC 于点D,且BD 1,则 4a c 的最小值为__________. 14.已知集合 A x | x2n 1,n N* , B x | x2n , n N*,将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a n, 记S n为数列的前n项和 , 则使得S n12a n 1成立的 n 的最小值为 __________. 二、解答题 15.在平行四边形ABCD A1B1C1D1中, AA1AB, AB1B1C1