椭圆综合题中定值定点、范围问题总结1

椭 圆

一、直线与椭圆问题的常规解题方法:

1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）

2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

3.联立方程组；

4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

5.根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）

?OA OB ⊥ ?121K K ?=- ?0OA OB ?= ? 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”

?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题”

?12120x x y y +>>0；

③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”

（如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）；

⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系；

⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的

合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求

出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、

三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等

式的方法等再解决；

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，

关键是积累“转化”的经验；

椭圆中的定值、定点问题

一、常见基本题型：

在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题

1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012

x x

y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n

则0000001

212022x n

m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432

0000

2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-?

∴ 直线PN 的斜率为432000003200004288

2(34)n y x x x x k m x y x x -++--==

---+ 从而直线PN 的方程为： 43200000032

0004288

()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)

14288

y x x x y x x x x --+=+++--

从而直线PN 恒过定点(1,0)G

2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为

2

2

，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ?=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；

2、解：（1）设椭圆方程为22

221y x a b +=，由题意可得

2,2,22a b c ===，所以椭圆的方程为22

142y x +=

则12(0,2),(0,2)F F -，设0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=---

22

1200(2)1PF PF x y ∴?=--= 点00(,)P x y 在曲线上，则

2200 1.24x y += 2

2

0042

y x -∴= 从而2

2

004(2)12

y y ---=

，得0y =P

的坐标为。

（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，

设PB 斜率为(0)k k >，则PB

的直线方程为：(1)y k x =-

由22(1)

124y k x x y ?=-??+

=??

得222

(2)2))40k x k k x k +++-=

设(,),B B B x y

则222

2(2

122B k k k x k k --=-=++

同理可得2222A k x k +-=+

，则2

2A B x x k

-=+ 2

8(1)(1)2A B A B k

y y k x k x k

-=----=+ 所以直线AB

的斜率A B

AB A B

y y k x x -=

=-

3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22

:

155

3

x y C +=相交于A B 两点,已知点 7

(,0)3

M -， 求证：MA MB ?为定值.

3、 解: 将(1)y k x =+代入

22

155

3

x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4

2

2

2

364(31)(35)48200k k k k ∴?=-+-=+>，

2122631k x x k +=-+，212235

31

k x x k -=+

所以112212127777

(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ?=+

+=+++ 2121277

()()(1)(1)33

x x k x x =+++++

2221212749

(1)()()39

k x x k x x k =++++++

222

2

22

2357649(1)()()313319

k k k k k k k -=+++-++++ 422

2

316549319

k k k k ---=+++49=。

4、 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:13

x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C

于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ， 射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于

点(3,)D m -.（Ⅰ）求22

m k +的最小值；（Ⅱ）若2

OG OD =?OE ，求证：直线l 过定

点；

椭圆中的取值范围问题

一、常见基本题型：

对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.

（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。

5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22

:21C x y +=交于相异两点A 、B ，

且3AP PB =，求m 的取值范围．

（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.

6、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ?=．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若

181275

NA NB -

?-≤≤，求 直线l 的斜率的取值范围. 6、解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =-，(3, 0)MN =-，(1, )PN x y =--.

由已知得2

2

)()1(6)4(3y x x -+-=--，

化简得2

2

3412x y +=，得22

143

x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13

42

2=+y x . （Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，

不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .

由22(1),

14

3y k x x y =-???+=??消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.

因为N 在椭圆内，所以0?>.

所以21222

1228,34412.34k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ?=--+=+--

]1)()[1(21212++-+=x x x x k

2

222222

43)

1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=，

所以22

189(1)127345

k k -+--+≤≤. 解得2

13k ≤≤.

(3)利用基本不等式求参数的取值范围

7、已知点Q 为椭圆E ：22

1182

x y +

=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ? 的取值范围．

8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.（1）求椭圆的方程.

（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的 取值范围.

9. 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2

2

定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E .

（I ）求曲线E 的方程；

（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两 点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=， 求λ的取值范围.

解：（Ⅰ）.0,2=?=AM NP AP AM

∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|

又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===

∴b c a

∴曲线E 的方程为.12

22

=+y x （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，

设直线GH 方程为,12

,222

=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2

3

0.

034)2

1

(22

2

>>?=+++k kx x k 得由

设22122122112

13

,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=

+-=+则 )2,()2,(,

2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又

λ

λλλλ212

22212

22122121)1(

.

,)1(,

x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴，

λλλλ2

22

2

22)1()121(316,213

)1()214(

+=

++=++-∴k

k k k 整理得 .33

1

.31621

4.

316

323164,232

2<<<

++

<∴<+<∴>λλ

λ解得k k .13

1

,

10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在，方程为.3

1

,31,0===λx

)1,3

1[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴

10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H .

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值

范围.

11.已知椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>

的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短

半轴长 为半径的圆与直线20x y -+=相切．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满 足OP t OB OA =+（O 为坐标原点），当PB PA -＜25 时，求实数t 取值范围．

椭圆中的最值问题

一、常见基本题型：

（1）利用基本不等式求最值，

12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为

2

2

，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ?=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。 （2）利用函数求最值，

13.如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||2||DM DP =．当点P 在圆

221x y +=上运动时。 （I ）求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点22

(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C

于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。

14、已知椭圆2

2:14

x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点.

将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.

选做

1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x m 上的三点，其中点A 的坐标为

)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==?．

（1）求椭圆m 的方程；

（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．

2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP

上，点G 在MP 上，且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0．

（1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；

（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ， 使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

3、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以

AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M

（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；

（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

参考答案

1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n

则0000001

212022x n

m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432

0000

2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-?

∴ 直线PN 的斜率为4320000032

00004288

2(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 43200000032

0004288

()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即32000432

00002(34)

14288

y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G

2、解：（1）设椭圆方程为22

221y x a b +=，由题意可得

2,2,22a b c ===22

142y x +=

则122),(0,2)F F -，设0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--

221200(2)1PF PF x y ∴?=--= 点00(,)P x y 在曲线上，则

2200 1.24x y += 2

2

0042

y x -∴= 从而2

2

004(2)12

y y ---=，得02y =P 的坐标为2)。

（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，

设PB 斜率为(0)k k >，则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-

由222(1)124y k x x y ?-=-??+

=??

得222

(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=

设(,),B B B x y 则222

2(2)222

122B k k k k x k k ---=-=++

同理可得222222A k k x k +-=+，则2

422A B k

x x k

-=+ 2

8(1)(1)2A B A B k

y y k x k x k

-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A B

AB A B

y y k x x -=

=-为定值。

3、 解: 将(1)y k x =+代入

22

155

3

x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4

2

2

2

364(31)(35)48200k k k k ∴?=-+-=+>，

2122631k x x k +=-+，212235

31

k x x k -=+

所以112212127777

(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ?=+

+=+++ 2121277

()()(1)(1)33

x x k x x =+++++

2221212749

(1)()()39

k x x k x x k =++++++

222

2

22

2357649(1)()()313319

k k k k k k k -=+++-++++ 422

2

316549319

k k k k ---=+++49=。 4、 解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,

由22

13

y kx n

x y =+???+=??消y 得:222

(13)6330k x knx n +++-=, 2222

364(13)3(1)?=-+-k n k n ×2

2

12(31)0k n =+->

设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:

12x x +=

2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002

313kn

y kx n k n k

-=+=?+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2

)13n

k

+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上，

所以OE OD k K =，即133

m

k -

=-， 解得1m k =，

所以22m k +=

2

2

12k k

+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2.

（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3

m y x =-

, 所以由223

1

3

m y x x y ?=-????+=??得交点G 的纵坐标为22

3G m y m =+, 又因为2

13E n y k

=+,D y m =,且2

OG OD =?OE ，所以222313m n m m k =?++, 又由（Ⅰ）知: 1

m k

=

,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解：（1）当直线斜率不存在时：1

2

m =±

（2）当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴22

21

y kx m

x y =+??

+=?得 222

(2)210k x kmx m +++-=

22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴?=-+-=-+> （*）

212122221

,22

km m x x x x k k --+==++

∵3AP PB =，∴123x x -=，

∴122

2

122

23x x x x x x +=-??=-?. 消去2x ，得2

12123()40x x x x ++=，

222

221

3()4022

km m k k --∴+=++ 整理得2

2

2

2

4220k m m k +--=

2

14m =时，上式不成立； 214

m ≠时，22

22241m k m -=-，

∴22

2

22041m k m -=≥-，∴211-<≤-m 或12

1

≤

2

2241m k m -=-代入（*）得211-<<-m 或12

1

<

<<-m 或12

1

<

<≤-m 或12

1

≤

由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--，

化简得2

2

3412x y +=，得22

143

x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13

42

2=+y x . （Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，

不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .

由22(1),

14

3y k x x y =-???+=??消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.

因为N 在椭圆内，所以0?>.

所以2

122

2

1228,34412.34k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ?=--+=+--

]1)()[1(21212++-+=x x x x k

2

222222

43)

1(943438124)1(k

k k k k k k ++-=+++--+=， 所以22

189(1)127345

k k -+--+≤≤. 解得2

13k ≤≤. 7、 解： (1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--，

(3)3(1)36AP AQ x y x y ?=-+-=+-．

∵221182

x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +?≥，∴－18≤6xy ≤18．

则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．

3x y +的取值范围是[－6，6]．

∴36AP AQ x y ?=+-的取值范围是[－12，0]． 8、解：（1）依题意可设椭圆方程为2

221x y a

+=

，则右焦点)

F

3=，解得23a =，

故所求椭圆的方程为2

2 1.3

x y +=

（2）设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ，

P 为弦MN 的中点，由2

213

y kx m x y =+??

?+=?? 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=

直线与椭圆相交，

22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴?=-+?->?<+ ①

2

3231

M N P x x mk

x k +∴==-+，从而231P P m y kx m k =+=+， 21313P AP

P y m k k x mk +++∴==-，又||||,,AM AN AP MN =∴⊥

则：23113m k mk k

++-=-，即2231m k =+，②

把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得221

03

m k -=

>，解得12m >.

综上求得m 的取值范围是

1

22

m <<. 9、解：（Ⅰ）.0,2=?=AM NP AP AM

∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|

又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===

∴b c a

∴曲线E 的方程为.12

22

=+y x （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，

设直线GH 方程为,12

,222

=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2

3

0.

034)2

1

(22

2

>>?=+++k kx x k 得由

设22122122112

13

,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=

+-=+则 )2,()2,(,

2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又

λ

λλλλ212

22212

22122121)1(

.

,)1(,

x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ2

22

2

22)1()121(316,213

)1()214(

+=++=++-∴k

k k k 整理得

.33

1

.31621

4.

316

323164,232

2<<<

++

<∴<+<∴>λλ

λ解得k k .13

1

,

10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在，方程为.3

1

,31,0===λFH FG x

)1,3

1[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 10、解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴3b =

．

∴所求的椭圆的标准方程为：22

143

x y +=． （2）设)

,(00y x M )20±≠x （，则 22

00143

x y +=． ① 且),(00y x t MP --=，),2(00y x MH --=，

由MH MP ⊥可得0=?MH MP ，即

∴0)2)((2

000=+--y x x t ． ②

由①、②消去0y 整理得

3241)2(02

00-+-=-x x x t ． ∵20≠x

∴2

3

411)2(4100-=---=x x t ．

∵220<<-x ， ∴ 12-<<-t ．

∴t 的取值范围为)1,2(--.

11、 解：（Ⅰ）由题意知22

c e a ==， 所以2222

22

12c a b e a a -===． 即2

2

2a b =． 又因为2

111

b =

=+，所以22a =，21b =． 故椭圆C 的方程为12

22

=+y x ． （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在.

设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，

由22

(2),1.2y k x x y =-???+=??得2222

(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ?=-+->，212

k <

. 2122812k x x k +=+，2122

82

12k x x k -=+.