第7章 实验六牛顿插值
第7章 实验六牛顿插值多项式
实验目的：掌握牛顿插值多项式公式，会用牛顿插值多项式公式，明确牛顿插值多项式与拉格朗日插值公式的区别。
7.1 牛顿插值多项式
定理7.1 已知1+n 个节点n x x x ,,,10 ，（b x x x a n ≤<<<≤ 10，）及节点对应的函数值)(,),(),(10n x f x f x f 。则唯一存在一个n 次多项式)(x N n ，具有性质：
n j y x f x N j
j j n ,,1,0)()( ===
该多项式形式为：
)())(](,,,[)](,[)()(110100100----++-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x f x f x N
插值余项)(x R 为：
)(],,,,[)()()(110x x x x x f x N x f x R n n n +=-=ω 。 其中010110)()(],[x x x f x f x x f --=
，1
21021210]
,[],[],,[x x x x f x x f x x x f --=，……，
110110]
,,,[],,[],,,[x x x x x f x x f x x x f n n n n --=
- 。
牛顿插值多项式公式的优点是具有承袭性，当给出了n+1点坐标，求出)(x N n 表达式后，再给出一个点坐标),(22++n n y x ，则有插值公式：
))(())(](,,,,[)()(1101101n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x N x N ----+=-++ 。
牛顿插值源代码：
清单7.1
function [C,D]=newpoly(X,Y)
% 输入：x （节点的向量）, y （节点对应的函数值向量）
% 输出：C （是牛顿插值多项式系数向量）, D （是计算差商的矩阵） n=length(X); % 节点的个数 D=zeros(n,n) % n ×n 维的零矩阵
D(:,1)=Y' % D 的第一列Y （节点对应的函数值向量）
for j=2:n for k=j:n
D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); % 计算差商 end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k))) % 计算插值多项式的系数 m=length(C); C(m)= C(m)+D(k,k); End
7.2 牛顿插值插值多项式
例7.1 将区间[-5,5]等分5份、10份，求函数)
1(12x y +=的牛顿插值插值
多项式，作出函数)
1(1
2x y +=的原图像，观察龙格现象得出什么结果？
解：将区间[-5,5]等分5份，由清单7.2可计算出牛顿插值多项式的系数：
C=[ 0 0.0019 0 -0.0692 0 0.5673 ]
清单7.2
clear,clf,hold on X=-5:2:5; Y=1./(1+X.^2); [C,D]=newpoly(X,Y) x=-5:0.01:5; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'.') grid on xp=-5:0.05:5; z=1./(1+xp.^2); plot(xp,z,'r')
图7.1 5等份的插值多项式曲线与函数)
1(12x y +=的曲线
将区间[-5,5]等分10份，由清单7.3可计算出牛顿插值多项式的系数：
C =[ -0.0000 0.0000 0.0013 0.0000 -0.0244 -0.0000
0.1974 0.0000 -0.6742 0.0000 1.0000 ]
清单7.3
clear,clf,hold on
X=[-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5];
Y=[0.0385,0.0588,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,0.0588,0.0385]; [C,D]=newpoly(X,Y) x=-5:0.01:5; y=polyval(C,x); plot(x,y,X,Y,'--') grid on xp=-5:0.05:5; z=1./(1+xp.^2); plot(xp,z,'r')
图7.2 10等份的插值多项式曲线与函数)
1(1
2x y +=的曲线
例7.2 基于5个点4,3,2,1,0)),cos(,(=k k k ，构造)cos()(x x f =的差商表，并用它找出4,3,2,1,0=k 的系数k α和4个牛顿插值多项式4,3,2,1),(=k x N k 。
解：为简单起见，将结果四舍五入到小数点后第七位，在表5-1中列出。
表7-1 差商表用于构造牛顿多项式
使用表中的节点0x ，1x ，2x ，3x ，4x 和对角线元素1α，2α，3α，4α可写出前4个牛顿多项式：
)
0.3)(0.2)(0.1)(0.0(146568.0)0.2)(0.1)(0.0(1465592.0)
0.1)(0.0(2483757.00.0)0.5403023(0000000.1)()
0.2)(0.1)(0.0(1465592.0)
0.1)(0.0(2483757.00.0)0.5403023(0000000.1)()0.1)(0.0(2483757.00.0)0.5403023(0000000.1)(0.0)
0.4596977(-0000000.1)(4321--------+--+--=---+--+--=-----=-=x x x x x x x x x x x N x x x x x x x N x x x x N x x N
下面的计算实例说明了如何计算系数2α：
[][][]4596977.00.00.10000000
.15403023.0,010110-=--=--=x x x f x f x x f
[][][]9564491.00
.10.25403023
.04161468.0,121221-=---=--=
x x x f x f x x f
[][][]2483757
.00
.00.24596977
.09564491.0,,,,021*******-=-+-=--=
=x x x x f x x f x x x f α 图7.3分别给出了)cos(x y =和)(),(),(),(4321x N y x N y x N y x N y ====的曲线图，清单7.4是对应的程序。
01234
01234
01234
图7.3 牛顿插值多项式与函数)cos(x 图形
清单7.4
clear,clf,hold on
for k=1:4;
X=0:1:k;
Y=cos(X);
[C,D]=newpoly(X,Y);
x=0:0.1:k;
y=polyval(C,x);
xp=0:0.01:4;
z=cos(xp);
axis([0,4,-1,1]);
subplot(2,2,k), plot(xp,z,'r',x,y,X,Y,'.') grid on
end
练习题
1. 已知5.7
x
f，
=x
x
,5.4
,
)
(=
求：（1）计算函数差商表。
。
（2）写出牛顿多项式4,3,2,1
N
x
),
k
(=
k
的值。（3）在给定值x处求牛顿多项式4,3,2,1
N
x
(=
k
),
k
（4）比较（c）中的结果与实际函数值。
2. 已知5.3
=x
(2=
x
x
fπ，
)
3
),
6/
(
sin
,5.1
求（1）计算函数差商表。
（2）写出牛顿多项式4,3,2,1
。
N
x
),
(=
k
k
的值。（3）在给定值x处求牛顿多项式4,3,2,1
(=
k
N
x
),
k
（4）比较（3）中的结果与实际函数值
牛顿插值法的C语言编程
Newton 插值 Newton 插值函数 Newton 插值函数是用差商作为系数，对于01,,,n x x x …这1n +个点，其一般形式为： 00100120101011()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ?=+?+??++???…………对于011,,,n x x x ?…这n 个点， 100100120101012()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ??=+?+??++???…………差商的定义 若已知函数()f x 在点(0,1,2,,)i x i n =???处的函数值()i f x 。则称： 00[]()f x f x =为函数()f x 在点0x 的0阶差商； 100110 [][] [,]f x f x f x x x x ?= ?为函数()f x 关于01,x x 的1阶差商； 120101220 [,][,] [,,]f x x f x x f x x x x x ?= ?为函数()f x 过点012,,x x x 的2阶差商； 依此类推，一般地称 121012101210 [,,,,][,,,,] [,,,,,]k k k k k k k f x x x x f x x x x f x x x x x x x ??????????????= ?为函数()f x 关于01,,,k x x x ???的 k 阶差商。 表1 差商表 i x ()i f x 1阶差商 2阶差商 3阶差商 4阶差商 0x 1x 2x 3x 4x …… 0()f x 1()f x 2()f x 3()f x 4() f x …… 01[,]f x x 12[,]f x x 23[,]f x x 34[,]f x x …… 012[,,]f x x x 123[,,]f x x x 234[,,] f x x x …… 0123[,,,]f x x x x 1234[,,,] f x x x x …… 01234[,,,,]f x x x x x …… 根据Newton 插值函数编写的C 语言编程 根据Newton 插值函数并对照上面的差商表，可编写出Newton 插值法的C 语言程序如下： #include
插值法数值上机实验报告
插值法数值上机实验报告 实验题目： 利用下列条件做插值逼近，并与R (x) 的图像比较 考虑函数：R x y=1 1+x2 （1）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的10次Newton插值多项式的图像； π),i=0,1,...,20.给出它的20次Lagrange插值多项式（2）用节点X i=5cos(2i+1 42 的图像； （3）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段线性插值函数的图像；（4）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的三次自然样条插值函数的图像； （5）用等距节点X i=?5+i,i=0,1,...,10.给出它的分段三次Hermite插值函数的图像； 实验图像结果：
实验结果分析： 1.为了验证Range现象，我还特意做了10次牛顿插值多项式和20次牛顿插值多项式的对比图像，结果如下图（图对称，只截取一半） 可以看出，Range现象在高次时变得更加明显。这也是由于高次多项式在端点处的最值随次数的变大很明显。可以料定高次多项式在两侧端点处剧烈震荡，在更小的间距内急剧上升然后下降，Range现象非常明显。
2.分析实验（2）的结果，我们会惊讶地发现，由于取21个点逼近，原本预料的Range现象会很明显，但这里却和f(x)拟合的很好。（即下图中Lagrange p(x)的图像）。可是上图中取均匀节点的20次牛顿多项式逼近的效果在端点处却很差。料想是由于节点X i=5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 取得很好。由书上第五章的 知识，对于函数y=1 1+x ，y 1 2对应的cherbyshev多项式的根恰好为X i= 5cos2i+1 42 π ,i=0,1,...,20 。由于所学限制，未能深入分析。 （3）比较三次样条插值图像和Hermit插值图像对原函数图像的逼近情形。见下图：
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 牛顿插值法的分析与应用 学生： 班级： 学号： ： 指导教师： 成绩： 一．定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 （2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。 步骤4：若i 数值分析实验报告记录 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值分析实验报告 （第二章） 实验题目： 分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程 的根，观察不同初始值下的收敛性，并给出结论。 问题分析： 题目有以下几点要求： 1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。 2.选定不同的初始值，比较收敛性。 实验原理： 各个迭代法简述 二分法：取有根区间的重点，确定新的有根区间的区间长度仅为区间长度的一版。对压缩了的有根区间重复以上过程，又得到新的有根区间，其区间长度为的一半，如此反复，……，可得一系列有根区间，区间收敛到一个点即为根。 牛顿迭代法：不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。迭代格式为 割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1.618. 迭代格式为 史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。至少是平方收敛的。迭代格式为 这里可采用牛顿迭代法的迭代函数。 实验内容： 1.写出该问题的函数代码如下： function py= f(x) syms k; y=(k^2+1)*(k-1)^5; yy=diff(y,k); py(1)=subs(y,k,x); py(2)=subs(yy,k,x); end 2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下： 二分法： function y=dichotomie(a,b,e) i=2; m(1)=a; while abs(a-b)>e t=(a+b)/2; s1=f(a); s2=f(b); s3=f(t); if s1(1)*s3(1)<=0 b=t; else a=t; end m(i)=t; i=i+1; end y=[t,i+1,m]; end 牛顿迭代法： function y=NewtonIterative(x,e) i=2; en=2*e;m(1)=x; while abs(en)>=e s=f(x); t=x-s(1)/s(2); en=t-x; x=t; m(i)=t; i=i+1; end y=[x,i+1,m]; end 牛顿割线法： function y=Secant(x1,x2,e) i=3; m(1)=x1,m(2)=x2; while abs(x2-x1)>=e s1=f(x1); s2=f(x2); t=x2-(x2-x1)*s2(1)/(s2(1)-s1( 1)); x1=x2; x2=t; m(i)=t; i=i+1; end 第8讲 牛顿插值公式 §1.4 差商与差分及其性质 1 差商的概念: 称 10110)()(],[x x x f x f x x f --= 为函数f (x )的一阶差商； 称 21021210] ,[],[],,[x x x x f x x f x x x f --= 为函数f (x )的二阶差商； 一般地，称0 10110] ,...,[],...,[],...,,[x x x x f x x f x x x f n n n n --= -为函数f (x )的n 阶 差商； 特别地，定义)(][00x f x f =为函数f (x )关于x o 的零阶差商。 由此可知，高阶差商总是由比它低一阶的的两个差商组合而成。 2 （a ）n 阶差商可以表示成n +1个函数值01 ,,,n y y y 的线性组合,即 ∑ -----==+-k i n i i i i i i i i k x x x x x x x x x x x f x x f 011100)())(())(() (],...,[ 该性质说明：k 阶差商 ],...,,[10n x x x f 计算是由函数值f (x 0 ),f (x 1 ),…f (x k )线 性组合而。 如: ],,[],,[],,[012201210x x x f x x x f x x x f ==； 011100010110) ()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+ -=--= ))(() ())(()())(()()()()()()()() ()()()(],[],[],,[1202221011201000 21 221210111000 11100020 10112120 21021210x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x x x f x f x x x f x f x x x x f x x f x x x f --+ --+--= --+ ------=-+ -=---- --=--= . 牛顿插值法一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 x?x)f(二、实验内容：给定函数，已知： 4832401.2)?.?1449138f(2.f.f(20)?1.414214(2.1) 549193.)?1f(2.4516575(f2.3)?1. 三、实验要求：以此作为函数2.15插值多项式在处的值，用牛顿插值法求4 次Newton（ 1）2.15?N(2.15)。在MATLAB中用内部函数ezplot绘制出的近似值4次Newton插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB中用内部函数ezplot可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor编辑器，输入Newton插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); 0 / 3 . %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： §2 差商、牛顿插值多项式 在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。 一、 差商及其性质： 1、相关定义 设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值 ，则有： 称],[10x x f 1010 ()() f x f x x x -=-为函数 )(x f 在 0x 、1x 点的一阶差商。 一阶差商的差商 ],,[210x x x f 1 21020] ,[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。 1-n 阶差商的差商 ],,,[10n x x x f Λ1 12020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f ΛΛ 称为函数)(x f 在n x x x ,,,10Λ点的n 阶差商。 见插商表4-1 2、性质： 性质1 ：差商],,,[10n x x x f Λ可表示为函数值的线性组合，即 ∑==n i i i n x f a x x x f 010)(],,,[Λ ， 其中：∏≠=-=n i j j j i i x x a ,0)(/ 1。 该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即： ],,,[10n x x x f Λ＝],,,[01n x x x f Λ＝…＝ ],,,[01x x x f n Λ 这就是差商的对称性。 性质 2 101010 [,,][,,] [,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --= -L L L 01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=Q L L 11100 [,,][,,,] n n n f x x f x x x x x --= -L L 实验报告：牛顿差值多项式&三次样条 问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数2 1()25f x x 作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 实验要求： 1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。 实验原理： 详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。 实验内容： （1）牛顿插值多项式 1.1 当n=10时： 在Matlab 下编写代码完成计算和画图。结果如下： 代码： clear all clc x1=-1:0.2:1; y1=1./(1+25.*x1.^2); n=length(x1); f=y1(:); for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms F x p ; F(1)=1;p(1)=y1(1); for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i); end syms P P=sum(p); P10=vpa(expand(P),5); x0=-1:0.001:1; y0=subs(P,x,x0); y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0); plot(x0,y0,x0,y2) grid on xlabel('x') ylabel('y') P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0 并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。 Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形 从图形中我们可以明显的观察出插值函数在两端点处发生了剧烈的波动，产生了极大的误差，即龙格现象，当n=20时，这一现象将更加明显。 1.2 当n=20时： 对n=10的代码进行修改就可以得到n=20时的代码。将“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。运行程序，我们得到n=20时的牛顿插值多项式，结果为：P20(x)= 260188.0*x^20 - 1.0121e6*x^18 + 2.6193e-12*x^17 + 1.6392e6*x^16 + 2.248e-11*x^15 - 1.4429e6*x^14 - 4.6331e-11*x^13 + 757299.0*x^12 + 1.7687e-11*x^11 - 245255.0*x^10 + 2.1019e-11*x^9 + 49318.0*x^8 + 3.5903e-12*x^7 - 6119.2*x^6 - 1.5935e-12*x^5 + 470.85*x^4 + 1.3597e-14*x^3 - 24.143*x^2 - 1.738e-14*x + 1.0 同样的，这里得到了该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.2）。 题目：牛顿插值法在凸轮修正设计中 的应用 算法：Newton插值法 组号：6 组员：赵冬冬闫鹏田二方李婵娟张帅军郑亚军刘洋郭洋波 牛顿插值法在凸轮修正设计中的应用 赵冬冬，闫鹏，田二方，李婵娟，郭洋波，张帅军，郑亚军，刘洋（河南理工大学机械与动力工程学院,河南焦作 454000） 摘要：本文利用牛顿插值法，提出了一种简单实用的凸轮工作轮廓线的修正方法。首先对要进行修正的的曲线附近的一些离散点的数据进行分析处理，确定插值多项式的阶次以满足高精度和低运算量的要求。然后利用Matlab编程计算出插值点的值，并进行误差分析，实现对凸轮的局部工作廓线进行修正。 关键词：凸轮轮廓线；牛顿插值；修正 Interpolation method Newton inthe design of CAM fixed application ZHAO Dongdong,YAN Peng,TIAN Erfang,LI Chanjuan,,GUO Yangbo,ZHANG Shuaijun,ZHENG Yajun,LIU Yang (School of Machinery and power engineering Henan polytechnic uiversity ,Jiaozuo 454000) Abstract: Based on the Newton interpolation method, we put forward a simple but practical solution to the work of the cam contour correction. Firstly,we rehandle the discrete data nearby the premodifying curve and get the order of the polynomial to meet the demand of high precision and low computation.Then The Newton interpolation and error analysis are realized by matlab programming. SO far ,we’ve resolved the problem of the cam contour correction . Key words: Newton interpolation; cam contour;correction 0．问题背景 在自动包装机或包装线中，为保证各个机械间歇运动的快捷与准确，常常采用凸轮机构来实现。包装材料、产品和包装地间歇输送、翻转或转移、工作转台的间歇转位，工作机构带停留段的往复运动，有特定位移、速度或加速度要求的动作等，均属于简谐运动范围，正确设计或选用简谐运动机构，对包装机的运行性能具有关键性的作用。凸轮机构在高速包装机械设备中应用更广泛，是一种不可缺少和替代的重要机构。 1．问题分析及模型 高速包装机械中凸轮工作廓线的设计多采用解析法，这样既保证了凸轮的运动特性，又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析，因此这就使得在不同工况下，凸轮设计的解析方程式往往是不相同的。这样虽然能保证凸轮的精度，但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度，因为只有建立新的解析方程式才能对凸轮进行修正，尤其是只需对凸轮局部曲线进行修正时，也要建立相应的解析方程，这样就使曲线修正的工作量大增，工作效率降低[1]。 牛顿插值法在处理磁化曲线和铁损曲线 中的应用 指导老师：李国霞 院系：物理工程学院 专业：物理电子学 姓名：夏委委 学号：201112131526 一、牛顿插值法简介 在科学研究与其他领域中所遇到的许多实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时候函数虽有明显的解析表达式，但是使用很不方便。因此，在实际应用中，往往需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似替代原来复杂的函数。与用近似数代替准确值一样，这也是计算法中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近。用多项式逼近列表函数的问题即为多项式插值问题。根据函数)(x f 已有的数据表格来计算函数)(x f 在一些新的点x 处的函数值，这就是插值法所要解决的问题。因此，所谓的插值法就是在所给定的函数表格中间在插入一些所需要的新的点上的函数值。 插值法的基本思想：首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数)(x y 作为)(x f 的近似表达式，然后再用)(x y 来计算新的点上的函数值作为 )(x f 的近似值。通常可以选用多项式函数作为近似函数)(x y ，因为多项式具有 各阶的导数，求值比较方便。用代数多项式作为工具研究插值问题，通常称为代数插值。 代数插值法问题的完整提法如下：设函数)(x f y =在区间[]b a ,上是连续的，且已知)(x f 在区间[]b a ,上1+n 个互异点处的函数值，即n i x f y i i ,......1,0),(== 其中，)(j i x x j i ≠≠。寻找一个次数不高于 n 的多项式 0111)(a x a x a x a x P n n n n n +++=-- 使满足条件n i x f x P i i n ,,1,0),()( ==称)(x P n 为)(x f 的插值多项式，),,1,0(n i x i =称为插值结点，[]b a ,称为插值区间。 牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要部分,它向前继承了拉格朗日(Lagrange)插值,向后引出了埃尔米特(Hermite)插值,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。牛顿插值公式为)()()(x R x P x f n n +=，其中)(x P n 是牛顿插值多项式，)(x R n 为牛顿插值余项，)(x P n 和)(x R n 的表达式如下式所示： 实验报告内容： 一：不动点迭代法解方程 二：牛顿插值法的MATLAB实现 完成日期：2012年6月21日星期四 数学实验报告一 日期：2012-6-21 所以，确定初值为x0=1 二：不断迭代 算法： 第一步：将f(x0)赋值给x1 第二步：确定x1-x0的绝对值大小，若小于给定的误差值，则将x1当做方程的解，否则回到第一步 编写计算机程序： clear f=inline('0.5*sin(x)+0.4'); x0=1; x1=f(x0); k=1; while abs(x1-x0)>=1.0e-6 x0=x1; x1=f(x0); k=k+1; fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1) end 显示结果如下： k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700 k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483 k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873 k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993 k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699 k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758 k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216 k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220 k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548 k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074 k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157 >>。。。 以下是程序运行截图： 对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较 摘要：根据对拉格朗日插值法和牛顿插值法的理解，本文主要介绍了拉格朗日插值法和牛顿插值法的相关内容以及它们的区别。 关键词：拉格朗日插值法；牛顿插值法 The leaning and comparison of the Lagrange interpolation and Newton interpolation Abstract: Based on the understanding of the Lagrange interpolation and Newton interpolation ，this paper mainly describes some related knowledge as well as the difference between these two methods. Keywords: Lagrange interpolation ; Newton interpolation 前言 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。 通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)( 使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。 #include (){} 2 1 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)() ()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x = -≤≤=+=-+====-+ = 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点 的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和； 、计算，； 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两 种插值多项式的算法如下： 一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下： 《数值分析》课程实验报告 用拉格朗日和牛顿插值法求解函数值 算法名称用拉格朗日和牛顿插值法求函数值 学科专业xxxxx 作者姓名xxxx 作者学号xxxxx 作者班级xxxxxx xxx大学 二〇一五年十二月 《数值分析》课程实验报告 得到的近似值为。 拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。 2.牛顿插值法 在命令窗口输入： x=[ ]; y=[ ]; xt=; [yt,N]=NewtInterp(x,y,xt) z=::2; yz=subs(N,'t',z); figure; plot(z,sqrt(z),'--r',z,yz,'-b') hold on plot(x,y,'marker','+') hold on plot(xt,yt,'marker','o') h=legend('$\sqrt{x}$','牛顿','$(x_k,y_k)$','$x=$'); set(h,'Interpreter','latex') xlabel('x') ylabel('y') 得到结果及图像如下： yt = N = - *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + 得到√的近似值为，插值函数为 N =- *t^4 + *t^3 - *t^2 + *t + ， 其计算精度是相当高的。 Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f(x)的近似函数P(x)，从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。 实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。 牛顿插值法 一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 二、实验内容：给定函数 x x f =)(，已知： 414214.1)0.2(=f 449138.1)1.2(=f 483240.1)2.2(=f 516575.1)3.2(=f 549193.1)4.2(=f 三、实验要求： （1）用牛顿插值法求4次Newton 插值多项式在2.15处的值，以此作为函数的近似值)15.2(15.2N ≈。在MATLAB 中用内部函数ezplot 绘制出4次Newton 插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB 中用内部函数ezplot 可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton 插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor 编辑器，输入Newton 插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： y =1.4663 wucha =1.0e-06 * -0.4376 -0.3254 -0.3026 0.0888 0.3385 P = - (4803839603609061*x^4)/2305843009213693952 + (7806239355294329*x^3)/288230376151711744 - (176292469178709*x^2)/1125899906842624 + (1624739243112817*x)/2251799813685248 + 1865116246031207/4503599627370496 （2）在MATLAB命令窗口输入： >> v=[0,6,-1,3]; >> ezplot(P),axis(v),grid >> hold on >> x=0:0.1:6; >> yt=sqrt(x);plot(x,yt,':') >> legend('插值效果','原函数') >> xlabel('X') >> ylabel('Y') >>title('Newton插值与原函数比较') 回车即可得到图像1-1。 计算方法实验 题目： 班级： 学号： 姓名： 目录 计算方法实验 (1) 1 实验目的 (3) 2 实验步骤 (3) 2.1环境配置： (3) 2.2添加头文件 (3) 2.3主要模块 (3) 3 代码 (4) 3.1主程序部分 (4) 3.2多项式方程部分 (4) 3.3核心算法部分 (8) 3.4数据结构部分 (13) 4运行结果 (19) 4.1拉格朗日插值法运行结果 (19) 4.2牛顿插值法运行结果 (20) 4.3多项式拟合运行结果 (20) 5总结 (21) 拉格朗日插值法 (21) 牛顿插值法 (21) 多项式拟合 (21) 6参考资料 (22) 1 实验目的 1.通过编程对拉格朗日插值法、牛顿插值法以及多项式拟合数据的理解 2.观察上述方法的计算稳定性和求解精度并比较各种方法利弊 2 实验步骤 2.1环境配置： VS2013，C++控制台程序 2.2添加头文件 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "stdafx.h" 2.3主要模块 程序一共分成三层，最底层是数据结构部分，负责存储数据，第二层是交互部分，即多项式方程部分，负责输入输出获得数据，最上层是核心的算法部分，负责处理已获得的数据。具体功能如下： ●数据结构部分 数据结构部分是整个程序的最底层，负责存储部分。因方程系数作为数据元素插入和删除操作较少，而顺序表空间利用率大且查看方便，故此程序选用顺序表保存系数。数据结构文件中写的是有关顺序表的所有基本操作以供其他文件调用。本次实验使用列主元高斯消元法作为求解方程组的方法，所以也用了二维顺序表存储数组。综上，数据结构部分文件是前两个试验的文件内容和，稍作修改。 ●常系数微分方程部分 多项式方程部分是程序的第二层，内容主要是常系数微分方程导数的计算和显示菜单部分。 ●算法部分 算法部分分为两个文件，一个是插值部分，一个是拟合部分。 插值部分文件负责有关插值的核心算法，处于整个程序最上层部分，负责拉格朗日插值法和牛顿插值法的具体实现过程。调用方程文件的函数，将获得的数据进行处理运算，将结果返回给方程主函数和输出的第二层。每种方法有两个函数，一个为仅仅实现一次插值的算法，另一个是和方程部分联系的牛顿插值法的分析与应用
数值分析实验报告记录
第3讲 牛顿插值公式
牛顿插值法试验报告
4.2 牛顿插值公式
数值分析实验报告-插值、三次样条(教育教学)
牛顿插值法
牛顿插值法的应用
matlab(迭代法-牛顿插值)Word版
对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较
牛顿插值法C语言程序
matlab_牛顿插值法_三次样条插值法
数值分析课程实验报告-拉格朗日和牛顿插值法
牛顿插值法实验报告
计算方法上机作业插值与拟合实验报告