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相似三角形综合提高训练

相似三角形综合提高训练

相似三角形综合训练

一、【基础知识精讲】

1、相似三角形的判定

判定定理1:两角对应相等,两三角形相似. 补充:(1)有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

(2)顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似.

2、直角三角形相似的判定:

在直角三角形中,斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.

二、【例题精讲】

1. 如图OA=OB ,∠ACB=90°,AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E,AC 平分∠EAB 。 (1) 求证:OC ⊥ED;

(2) 若AB=6,AE 24

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5

=, 求BD 和BC 的长。

2. 如图,已知ABCD 是正方形,点F 在BC 的延长线上,点E 在AF 上,OC=OB=OE,OE

⊥AF,CF=4。

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求:(1)AD 的长;(2)CE 的长。

3、如图,Rt ?ABC 中,∠ACB=90°,C D ⊥AB 于D,分别以AC 、BC 为边向形外作等边

和ACE ?BCF ?。求证:DE ⊥DF

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4、如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点G , E 为AD 的中点,连接BE 交AC 于点F ,连接FD ,若∠BFA=90°,判断下列四对三角形是否相似,若相似,给予证明。①与BEA ?ACD ?;②

与F E D ?DEB ?;③与CFD ?ABG ?;④与ADF ?FDE ?

5、如图,在等腰梯形ABCD 中,A D ∥BC,AD=6cm,BC=14cm, ∠B=60°,

P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合),连接AP ,过点P 作PE 交DC 于点E,使得∠APE=∠B 。问:在底边BC 上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3 ?如果存在,求

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BP 的长;如果不存在,说明理由。

6、如图,在正方形ABCD 中,AD=8,点E 是边CD 上(不包括端点)的动点,AE 的中垂线FG 交AD 、AE 、BC 于F 、H 、K,交AB 的延长线于点G.

(1) 设DE=m,FH

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t HK

=,用含m 的代数式表示t 。 (2) 当t=1

3

时,求BG 的长。

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7、如图,在ABC ?中,∠BAC=90°,AD 是BC 边上的高;E 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合),EF ⊥AB,EG ⊥AC 。 (1) 求证:

EG CG

AD CD

=; (2) FD 与DG 是否垂直;若垂直,给予证明;若不垂直,

说明理由; (3) 当AB=AC 时, FDG ?为等腰直角三角形吗?并说明理由。

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8、如图,ABC ?是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 方向匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm

s

,点Q 运动的速度是2cm s

,当点Q 到达点C

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时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t(s)。 (1) 当t=2时,判断BPQ ?的形状,并说明理由; (2) 设BPQ ?的面积为S 2

(

)cm ,求S 与t 的函数关系式;

(3) 作Q R ∥BA 交AC 于点R ,连接PR ,当t 为何值时,APR

?∽PRQ ??

9、如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm ,BC=6cm ,点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发,用t(s)

表示移动的时间(0≤t ≤6),那么:

⑴ 当t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形?

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⑵ 求四边形QAPC 的面积;提出一个与计算结果有关的结论; ⑶ 当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似?

10.已知:如图,在直角三角形ABC 中,

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∠BAC= 90°,AB= AC ,D 为BC 的中点,E 为AC 上一点,点G 在BE 上,连结DG 并延长交AE 于F ,若∠FGE= 45°, (1)求证:BD ·BC= BG ·BE ; (2)求证:AG ⊥BE ;

(3)若E 为AC 的中点,求EF ∶FD 的值。

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11.如图1,在正方形ABCD 中,点P 是对角线AC 上一动点,PM ⊥PN,PM 交BC 于Q,PN 交CD 于R.

(1)求证;PQ=PR

(2)求证:PA ·PN=PC ·PM

(3)如图2,(若正方形变矩形),(2)中的结论是否成立,如果32=BC AB ,试探求:的关系与A

P PC

PM PN

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B

A

12. 如图1,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC ,点O 是AC 边上一点,连接BO 交AD 于F ,OE ⊥BO 交BC 边于点E . (1)求证:△ABF ∽△COE ;

(2)当O 为AC 边中点,2=AB

AC

时,如图2,求OE OF 的值;

(3)当O 为AC 边中点,n AB

AC

=时,请直接写出

OE OF 的值.

B

A

B

B

A

A

C

E D D

E C

O

F

图1

图2

F