分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化
第!"卷第#期
!$$"年#月
北京理工大学学报
%&’()’*+,-()-./0,1,(23()+,+4+0-.%0*5(-6-27
8-69!":-9#;<&9!$$"
文章编号=>$$>?$@#"A !$$"B $#?$C @$?$"
分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化
赵兴浩D 邓
兵D 陶
然
A
北京理工大学信息科学技术学院电子工程系D 北京>$$$E >B
摘
要=针对分数阶傅里叶变换A F G F %B
快速算法中所要求的量纲归一化与实际工程计算脱节的问题D 对量纲归一化进行了研究D 提出了离散尺度变换和数据补零H 截取!种实用的量纲归一化方法D 研究了!种方法对*5,&<信号参数估计的影响D 导出了采用离散尺度化方法时D 归一化前后的*5,&<信号参数的变换关系I 通过仿真实例说明F G F %快速算法能够应用于实际工程计算I
关键词=分数阶傅里叶变换J 量纲归一化J *5,&<信号J 参数估计中图分类号=%:K
"L M ">文献标识码=;
N O P Q R S O T R U V W T X P U V O Y U Z O T RO RZ [Q N O \O Z U V ]T P ^_Z U Z O T R
T ‘Z [Q a X U b Z O T R U V a T _X O Q X c X U R S ‘T X P
d e ;f g ,(2?5’-D h 0(2/,(2D %;f G ’(
A h 0<’&+i 0(+-.j 60*+&-(,*j (2,(00&,(2D k *5--6-.3(.-&i ’+,-(k *,0(*0’(l%0*5(-6-27D /0,1,(23()+,+4+0-.
%0*5(-6-27D /0,1,(2>$$$E >D m 5,(’
B n o S Z X U b Z =%50.’)+’62-&,+5i -.+50l ,2,+’6*-i <4+’+,-(-.+50.&’*+,-(’6F -4&,0&+&’().-&i A F G F %B &0p 4,&0)+50l ,i 0(),-(’6(-&i ’6,q ’+,-(D r 4+5-s +-l -,+.-&<&’*+,*’6l ,)*&0+0),2(’6,)(-+)0++60l70+9F -&+5,)&0’)-(D +50<’<0&<&0)0(+)+s -0(2,(00&,(2?-&,0(+0li 0+5-l )-.+50l ,i 0(),-(’6(-&i ’6,q ’+,-(9f (0,)*’660l’)+50l ,)*&0+0)*’6,(2+&’().-&i i 0+5-l D ’(-+50&,)*’660l’)+50l ’+’q 0&-?<’l l ,(2H ,(+0&*0<+,-(i 0+5-l 9F 4&+50&i -&0D +50,&0..0*+)-(+50<’&’i 0+0&0)+,i ’+,-(-.+50*5,&<),2(’6’&0)+4l ,0l’(l.-&l ,)*&0+0)*’6,(2i 0+5-l D ’&06’+,-()5, 9w Q xy T X z S =.&’*+,-(’6F -4&,0&+&’().-&i J l ,i 0(),-(’6(-&i ’6,q ’+,-(J *5,&<),2(’6J <’&’i 0+0& 0)+,i ’+,-( 收稿日期=!$$#$#>" 基金项目=国家自然科学基金重点资助项目A @$!C !$>$B J 高校青年教师奖资助项目J 国家部委预研项目A @>#$##"B 作者简介=赵兴浩A >K @K {B D 男D 博士生J 陶然A >K @#{B D 男D 教授D 博士生导师D j ?i ’,6=&’(+’-|r ,+90l 49*( I 分数阶傅里叶变换A F G F %B 作为一种全新的时频分析工具}>~ D 已经引起信号处理领域研究人员的广泛重视I 目前基于分数阶傅里叶变换的*5,&<信号的检测和参数估计已经在雷达!通信等诸多领域获得应用}!D C ~ I 以往人们都在积极研究各种F G F %的快速数值计算方法}#"L ~D 文献}C ~ 提出了一种基于F G F %表达式分解的算法D 这种算法的计算速度几乎与F F %相当D # ##################################################################被公认为目前为止计算速度最快的 一种!"!#数值计算方法$需要特别强调的是%这种快速算法的运算机理决定了在进行!"!#数值计算之前必须先对原始信号进行量纲归一化处理%但是文中所给出的量纲归一化方法是以时间原点对称地对连续信号进行尺度变换%然后再按照规定时间间隔采样得到离散信号序列$这种方法在实际工程应用中不具有操作性%因为在实际工程中%所得到的信号往往是按照一定采样率进行采样得到离散信号的%而且时间取正值$ 为将!"!#快速算法成功地应用于实际工程计算%就必须解决对实际的离散信号进行量纲归一化处理$作者提出了&种实用的量纲归一化方法’离散尺度化法和数据补零(截取法%分析了&种归一化方法对)*+,-信号参数估计的影响$该方法解决了 !"!#快速数值计算中的实际问题%使算法进一步实用化$ .量纲归一化方法 量纲归一化原理如下/01 ’ 假定原始连续信号234 5在时间轴和频率轴上都是紧凑3紧支撑5的%其时域表示限定在区间/647(&%47(&1%而其频域表示限定在区间/627(&%27(&1%47和27分别表示信号的时宽和带宽$信号的时宽带宽积894727$由于时域和频域具有不同的量纲%所以为了!"!#计算处理方便% 应将时域和频域分别转换成量纲为一的域$引入一个具有时间量纲的尺度因子:%并定义新的尺度化坐标 ;94(:%<92:$3=5新的坐标系3;%< 5实现了量纲归一化3量纲为=5$信号在新坐标系中被限定在区间/647(3&:5%47(3&:51和/627:(&%27 :(&1内$为使&个区间的长度相等%选择:9347(275=(&%则&个区间长度都为;79 347275=(& %即&个区间归一化为/6;7(&%;7 (&1$最后%根据采样定理对归一化后的信号进行采样%采样间隔为=(;7%采样点数89;&7 $在实际应用中%能获得的是一组原始连续信号经采样后得到的离散观测数据%其中观测时间4>和采样率2?为已知$如何对这样的离散数据作量纲归一化%是将!"!#快速算法应用于实际的一个重要环节$作者提出了&种实用的量纲归一化方法’ @离散尺度化法A B 数据补零( 截取法$.C .离散尺度化法 对离散数据通过尺度变换作归一化%关键是要选择合适的时宽47D 带宽27D 尺度因子:以及归一化宽度;7%使得尺度化后的离散数据与原始连续信号经尺度变换归一化%再以间隔=(;7采样得到的数据相同$信号的时宽比较容易确定%直接取为观测时间 4>%即4794>%信号的时域表示限定在区间/64>(&%4>(&1$信号的带宽确切值并不知道%但是在实际中信号的采样频率2?是知道的%根据采样定理%采样频率一定大于信号最高频率的&倍$信号带宽27的选取并不要求是最小值%只要满足将信号的全部能量包 含在其中即可$将带宽直接取为采样频率是合适的% 即2792?%信号的频域表示限定在区间/62?(&%2?(&1$在确定了信号的时宽和带宽之后%可以得到尺度因子:和归一化宽度;7分别为 :9347(275=(&934>(2? 5=(& %3&5 ;79347275=(&934>2? 5=(& $305离散数据原来的采样间隔为4?9=(2? %对离散数据按式3=5 作尺度变换%则采样间隔变为4E ?934>2?56=(& 9=(;7 %3F 5而原来的时域区间/64>(&%4> (&1%经尺度变换后变为/6;7(&%;7(&1$因此%所谓离散尺度化法就是以采样率为带宽%以观测时间为时宽%按照式3=5 和式3&5 对离散数据作尺度伸缩变换%就实现了归一化%而且离散数据与对归一化连续信号以=(;7间隔采样所得的离散数据完全相同$ .C G 数据补零( 截取法离散尺度化法是通过对离散数据在时间域上的伸缩实现归一化的$信号尺度的伸缩必然会导致原有信号的某些特征发生畸变%例如对一个)*+,-信号进行尺度伸缩%将使它的调频率变大或变小$数据补零(截取法可以使原有信号不发生畸变而又实现量纲归一化$ 为了保证原有信号不发生畸变%尺度因子只能选=%即:9=$先将时宽定为观测时间%即4794> %带宽定为采样频率%即2792? $在确定归一化宽度;7时%分&种情况$第一种情况’当2?H 4>%则;7直接取两者中的较大值%即;7 92?$由于原始数据的采样间隔为=(2? %时间区间在/64>(&%4>(&1%而归一化后要求采样间隔仍为=(2?%时间区间增加为/62?(&%2?(&1$因此%通过在/62?(&%64>(&1和/4>(&%2? (&1区间以同样的采样间隔进行数据补零%人为地增加信号的时宽%从而实现信号的时宽和带宽归一化%这就是数据补零法实现 = I 0第F 期赵兴浩等’分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化 归一化的原理!第二种情况"当#$%&’(则)*取两者中的较小值(即)*+&’!由于原始数据的采样间隔为,-&’(时间区间在./#$-0(#$ -01(而归一化后要求采样间隔仍为,-&’(时间区间减小为./&’-0(&’-01!因此需要对原有数据做截取处理(只取出在区间./&’-0(&’ -01内的数据(从而实现信号的时宽和带宽归一化(这就是数据截取法实现归一化的原理! 2归一化方法对34567信号参数估计 的影响 分数阶傅里叶变换在某个分数阶域对给定调频率的89:;<信号具有最好的能量聚集特性(利用这一特性(可实现89:;<信号的检测和参数估计!具体方法是先对观测信号分别求所有阶次=>.$(01的分数阶傅里叶变换(形成信号能量在由分数阶域?和分数阶次=组成的二维参数平面@=(?A 上的二维分布(在此平面上按阀值进行峰值点的二维搜索(即可实现89:;<信号的检测(同时估计出峰值所对应的分数阶次=B $和分数阶域坐标?B $!若含噪声的89:;<信号观测模型表示为 &@#A +C $D E <@F G $H F 0I &$#H I J $ #0 A H K @#A (/#$-0L #L #$ -0(@M A 式中K @#A 为加性高斯白噪声(则可得到89:;<信号的调频率J B $N 中心频率&B $和峰值所对应的分数阶次 =B $N 分数阶域坐标?B $之间的对应关系式 .O 1J B $+/8P Q @=B $I -0A (&B $+?B $8’8@=B $ R S T I -0A (@U A 根据式@U A 就可算出89:;<信号的调频率J B $和中心频率&B $ !许多技术人员根据上述原理对89:;<信号进行参数估计时(都是对离散观测数据直接做V W V X 快速数值计算的!然而他们发现(虽然能够检测到89:;<信号(但是算出的调频率和中心频率值与理论值总是不同(这就是忽略了归一化对参数估计的影响!因为离散观测数据在做V W V X 数值计算之前必须要做量纲归一化处理(直接对离散观测数据做V W V X 数值计算相当于对原始数据已经通过离散尺度化法进行了归一化处理!89:;<信号在尺度伸缩归一化后(它的参数值必然发生变化(用V W V X 方法所估计得出的调频率和中心频率是归一化的89:;<信号参数值(而不是实际89:;<信号的参数值(这就是为什么计算得到的参数值与理论值不同的原因!因 此(在得到归一化以后的89:;<信号调频率和中心频率后(还要根据归一化前后参数之间的关系计算真实的89:;<调频率和中心频率! 设归一化前实际信号的调频率为J $ (中心频率为&$(归一化后的信号调频率为J Y $(中心频率为&Y $ (则利用式@,A 和@0A ( 可进行如下推导"J Y $+Z )+&[#-[+J $[0+J $#$-&’ (&Y $+&$[+&$@#$-&’ A ,-0 R S T (@O A 于是(尺度变换归一化前后89:;<调频率和中心频率的变化关系式为 J $+J Y $&’-#$ (&$+&Y $@&’-#$ A ,-0 R S T !@\A 采用尺度变换的方法实现归一化(使得原始信号发生了畸变!而使用数据补零-截取法归一化(原始信号在归一化过程中不会发生变形!若观测信号中含有89:;<信号(则归一化前后89:;<信号的参数值相等!这样(在利用分数阶傅里叶变换进行89:;<信号的参数估计时(所得到参数值就是原始信号的参数值( 而不必像离散尺度化那样(计算出调频率和中心频率值后(还要经过尺度反变换才能得到原始信号的真实调频率值和中心频率值! 总之(从对89:;<信号进行参数估计的角度看( 数据补零-截取法不必坐标的尺度变换就可实现归一化(方法简单!同时89:;<信号在归一化过程中不会发生变形(算出的参数值就是实际的参数值(计算简单!但是(数据补零-截取法只适合于#$和&’相差不大的场合(因为当&’比#$大得多时(需要补很多的零才能满足归一化要求(使得V W V X 的计算量过大] 相反当#$比&’大得多时(数据的截取量很大(使得有效信息损失很多(影响估计精度!因此(只有在#$和&’相差不大的前提下(数据补零-截取法才是一种简单N 方便的归一化方法!由于离散尺度化法通过坐标尺度变换实现归一化(所以不论#$和&’的大小如何(都是直接对原始的离散数据做V W V X 数值计算(计算量只取决于原始离散数据的点数(而与#$和&’无关!但是计算所得的调频率和中心频率并不是真实的值(必须根据归一化前后参数值的关系算出真实的调频率和中心频率值!因此在#$和&’相差很大时(离散尺度化法成为一种高效的归一化方法! ^仿真实例及分析 下面通过0个具体的仿真实例说明0种归一化 U _北京理工大学学报 第0M 卷 方法的具体实现步骤!并对实验结果进行误差分析" 例#观测时间$%&’(!采样频率)( &*%%+,!采样点数为-.%-点!其中含有一个/0123信号! 其参数为4调频率5%&-%%+,6(7-8中心频率)%& -%%+,"干扰为高斯白噪声!信噪比为%9:"因为)(;$% !故采用离散尺度化法实现归一化"具体步骤4将时间原点定为观测时间的中点!信号的时域区间为<7-(!-(=!信号的频域区间为<7>%%+,!>%%+,=!尺度因子为?&%@%A (! 归一化后的区间为<7’%!’%="由式B C D 算出归一化后/0123信号的调频率变为5E %&%@’A !中心频率变为)E %&A "然后阶次在<-@%!-@>=内以%@%-为间隔取值! 对观测数据直接求F G F H !并做出二维搜索/0123信号的仿真结果如图-所示" 图-中峰值所对应的二维平面坐标值为I J %&-@-.!K J % &>@L "根据式B .D 可算出/0123信号的调频率为5J E %&%@’A C +,M (7-!中心频率为)J E % &A @%A L +,N 算出的参数值是对尺度变换归一化后/0123信号的参数估计值"最后!根据式B *D 可计算出归一化前实图-利用离散尺度化法实现归一化的O 0123信号检测结果F 1P N -O 0123(1P Q R S 9T U T /U 1V Q2T (W S U X Y91(/2T U T (/R S 1Q PZ T U 0V 9 际/0123信号的参数估计值5J % &-%’@C ’%+,6(7-!)J % &-%-@-C *+,"因为在实际应用中包含着重要信息的调频率是感兴趣的参数!为了主要验证尺度变换法对不同调频率取值的估计性能!设中心频率为%!调频率分别取若干个样值!观测时间[采样频率[信噪比[阶次取 样间隔与前面相同!所做的仿真测试结果如表-所示" 表#离散尺度法的调频率估计实验结果 \]^N #\_‘a b _‘c d a ‘e f g h i b jb ]a __‘a i k ]a i e l^mn i ‘g b _a _‘g ]d i l ok _a h e n 5% p B +,6(7-D 5E %I E %I J E % 5J E % 5J %p B +,6(7-D I J %7I % B 5J %75% D p B +,6(7-D A %%@-’A -@%C L’-@%*%@-’.%A %@A %%@%%%*%@A %-%%%@’A %-@-A .%-@-.%@’A .*-%’@C ’%@%%>%’@C ’-A %%@q C A -@’’*>-@’q %@q C CL -A -@-.%@%%-.-@-.’%%%@A %%-@’L A’-@q %%@A %LA ’%q @*%%@%%>*q @*%’A %%@.’A -@q A A.-@q .%@.q >.’A q @*>%@%%>>q @*q q %%%@C A %-@>%LC -@>-%@C A %*q %%@q ’%@%%%q %@q ’q A %%@*C A -@>A C.-@>.%@**-.q A ’@.>%@%%’>’@.>>%%-@%%%-@A %%%-@A %-@%%%%>%%@%%%@%%%%%@%%>A %-@-’A -@A q C>-@A >-@-q >q >A q @C -%@%%’.q @C -A %%-@’A %-@A C %>-@A C -@’>*’>L L @’*%@%%%>7%@C ’A A %-@q C A -@A L LC -@.%-@q C .>A A %@A .%@%%%q %@A ..%% -@A %% -@.’AC -@.q -@A ’’> .%*@L . %@%%>q *@L .从表-中数据分析可以看出4 r 对于不同的调频率都能得到较好的估计值" s 对于所做的仿真实例! 噪声对调频率估计误差影响很小!调频率估计误差主要由阶次误差决定!而阶次误差随阶次的采样间隔变化"若要减小阶次估计误差!就必须减小阶次的采样间隔!而这样又会增大计算量" t 调频率大于>%%+,6( 7-以后!信号的最高频率已经超过了采样频率的-p ’! 处于欠采样状态!但仍然可以精确地估计出调频率值!具体原因有待进一步研究" 例u 观测时间$%&>(!采样频率)( &’%+,!采样点数为*-点!其中含有/0123信号! 其参数为4调频率5%&’+,6(7-8中心频率)% &>+,8干扰为高斯q .q 第>期赵兴浩等4 分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化 白噪声!信噪比为"#$%虽然&’大于(")但相差不是很大)故采用数据补零法实现归一化比较适合%具体步骤* 将时间原点取在观测时间的中点)信号的时间区间为+,-’)-’.%先将时宽定为("/0’)带宽定为&1/-"23)令尺度因子4/5’)则61直接取(1和&1的大值)61/-"%原有时间区间为+,-’)-’.)归一化后要求时间区间为+,5")5".%所增加的部分必须通过补零实现归一化)因为采样间隔为5761/"8"9)所以需要在区间+,5"),-.和+-)5".内补5:"个")最后分数阶次在+58")-8".内以"8"5为间隔取值)对补零后的数据求;<;=)做出二维搜索>?@A B 信号的仿真结果如图-所示 % 图-利用数据补零法实现归一化的>?@A B 信号检测结果 ;@C D -E ?@A B’@C F G H #I J I >J @K FA I ’L H J 1M#G J G 3I A K N B G ##@F C 7@F J I A >I B J @K FO I J ?K # 图-中峰值所对应的二维平面坐标值为P Q " /58R 5)S Q " /58R 9%根据式T :U 算出>?@A B 信号的调频率为V Q "/-8"0523W ’,5 )中心频率为&Q " /X 8Y R Z 23D 可见利用数据补零法计算出来的参数值就是原始信号的参数值%数据补零法的误差测试分析与前面类似)由于篇幅原因)不再赘述% [结束语 作者着重对文献+X .所提出的分解型快速算法进行了研究%在将分解型算法应用于工程实际时发 现) 该快速算法所要求的量纲归一化与工程实际脱节)若不进行特殊处理将产生很大误差%针对此问题) 作者提出了离散尺度变换法和数据补零7截取法-种实用的量纲归一化方法) 并研究了-种归一化方法对>?@A B 信号参数估计的影响)导出了采用离散尺度化方法归一化前后的>?@A B 信号参数的变换关系% 本研究解决了;<;=分解型快速算法在实际应用中的一个重要环节)使得分解型快速算法能真正应用于实际工程% 参考文献* +5.\H O I @#G]$D =?I^A G >J @K F G H ;K L A @I AJ A G F ’^K A O G F # J @O I N ^A I _L I F >M A I B A I ’I F J G J @K F ’+‘.D a b b b =A G F ’ c @C F G H d A K >I ’’@F C )5Y Y 0)0-T 55U *X "Z 0,X "Y 5D +-.e ?G K f @F C ?G K )=G K ’I _L I F J @G H I ’J @O G J @K F G H C K A @J ?O ^K A >?@A B ’@C F G H B G A G O I J I A ’+e .D -""X a F J I A F G J @K F G HE K F ^I A I F >I K F h I L A G H h I J i K A jkc @ C F G H d A K >I ’’@F C )h G F l @F C )-""X D +X .齐林)陶然D 基于分数阶;K L A @I A 变换的多分量 ];m 信号的检测和参数估计+‘.D 中国科学b 辑)-""X )X X T Z U *R 0Y ,R 9Y D n @]@F )=G K K ^O L H J @>K O B K F I F J ];m ’@C F G H 1G ’I #K FJ ?I ^A G >J @K F G H ;K L A @I AJ A G F ’^K A O +‘.D c >@I F >I@F E ?@F Gc I A @I ’b )-""X )X X T Z U *R 0Y ,R 9Y D T @FE ?@F I ’I U +0.p 3G j J G ’2m )q L J G Mm \D o @C @J G H >K O B L J G J @K FK ^J ?I ^A G >J @K F G H ;K L A @I AJ A G F ’^K A O +‘.D a b b b =A G F ’c @C F G H d A K >I ’’@F C )5Y Y :)00T Y U *-505,-59"D +9.d I @c E )r I ?m 2D o @’>A I J I ^A G >J @K F G H;K L A @I A J A G F ’^K A O 1G ’I #K FK A J ?K C K F G H B A K l I >J @K F ’+‘.D a b b b =A G F ’c @C F G H d A K >I ’’@F C )5Y Y Y )0R T 9U *5X X 9,5X 0Z D +:.E G F #G F E )q L J G M m \D =?I #@’>A I J I ^A G >J @K F G H ;K L A @I A J A G F ’^K A O +‘.D a b b b=A G F ’c @C F G H d A K >I ’’@F C )-""")0Z T 9U *5X -Y ,5X X R D +R .=G K #@’>A I J I ^A G >J @K F G H ;K L A @I A J A G F ’^K A O +e .D E a b a F J I A F G J @K F G H E K F ^I A I F >I K ^ )-""5D 0 :X 北京理工大学学报 第-9卷 分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化 作者：赵兴浩， 邓兵， 陶然， ZHAO Xing-hao， Deng Bing， TAO Ran 作者单位：北京理工大学,信息科学技术学院电子工程系,北京,100081 刊名： 北京理工大学学报 英文刊名：TRANSACTIONS OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY 年，卷(期)：2005，25(4) 被引用次数：16次 参考文献(7条) 1.Almeida L B The fractional Fourier transform and time-frequency representations 1994(11) 2.Zhao Xinghao.Tao Ran.Zhou Siyong A novel sequential estimation algorithm for chirp signal parameters 2003 3.齐林.陶然基于分数阶Fourier变换的多分量LFM信号的检测和参数估计[期刊论文]-中国科学E辑 2003(08) 4.OZAKTAS H M.Kutay M A Digital computation of the fractional Fourier transform 1996(09) 5.Pei S C.Yeh M H Discrete fractional Fourier transform based on orthogonal projections 1999(05) 6.Candan C.Kutay M A The discrete fractional Fourier transform 2000(05) 7.Tao Ran.Ping Xianjun.Zhao Xinghao A novel discrete fractional Fourier transform 2001 引证文献(15条) 1.章蕾.许述文.刘韬基于FRFT的非线性调频信号检测[期刊论文]-电子科技 2010(2) 2.路翠华.宋扬.谢鑫.李飞基于时变滤波器的线性调频干扰抑制[期刊论文]-探测与控制学报 2009(6) 3.基于分数阶傅里叶变换补偿多普勒徙动的动目标检测算法[期刊论文]-兵工学报 2009(10) 4.LIU Feng.HUANG Yu.TAO Ran.WANG Yue Chirp-Rate Resolution of Fractional Fourier Transform in Multi-component LFM Signal[期刊论文]-北京理工大学学报(英文版) 2009(1) 5.杜文超.王国宏.孟小芬基于分数阶傅立叶变换估计径向加速度算法研究[期刊论文]-信号处理 2009(3) 6.刘锋.黄宇.陶然.王越分数阶Fourier变换对多分量Chirp信号中心频率的分辨能力[期刊论文]-兵工学报2009(1) 7.陈恩庆.穆晓敏.杨守义.齐林一种新的分数阶Fourier域的Chirp类水印方案[期刊论文]-计算机工程与应用2008(22) 8.邓彬.秦玉亮.王宏强.黎湘一种改进的基于FrFT的SAR运动目标检测与成像方法[期刊论文]-电子与信息学报2008(2) 9.郭斌.张红雨分级计算迭代在Radon-Ambiguity变换和分数阶Fourier变换对chirp信号检测及参数估计的应用[期刊论文]-电子与信息学报 2007(12) 10.赵兆.是湘全一种基于分数阶Fourier变换的雷达运动目标检测算法[期刊论文]-电讯技术 2007(4) 11.邓兵.陶然.杨曦分数阶Fourier域的采样及分辨率分析[期刊论文]-自然科学进展 2007(5) 12.邓兵.陶然.曲长文分数阶Fourier域中多分量chirp信号的遮蔽分析[期刊论文]-电子学报 2007(6) 13.邓兵.陶然.张惠云抽样率转换的分数阶Fourier域分析[期刊论文]-电子学报 2006(12) 14.李炳照.陶然.王越非均匀采样信号的分数阶数字频谱研究[期刊论文]-电子学报 2006(12) 15.李林基于分数阶变换的干扰抑制技术[学位论文]硕士 2006 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/9914060593.html,/Periodical_bjlgdxxb200504019.aspx 授权使用：复旦大学图书馆(fddxlwxsjc)，授权号：a9358dc0-c3e9-482b-a775-9e2c016c65aa 下载时间：2010年11月12日