【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之80平面向量坐标运算
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之80平面向量坐标运算
一、选择题（共40小题；共200分）
1. 已知a=1,2，b=0,1，c=k,?2，若 a+2b⊥c，则k=
A. 2
B. ?2
C. 8
D. ?8
2. 向量a=1,2,b=x,1,c=a+b,d=a?b，若c∥d，则实数x的值等于
A. 1
2B. ?1
2
C. 1
6
D. ?1
6
3. 设A a,1，B2,b，C4,5为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投
影相同，则a与b满足的关系式为
A. 4a?5b=3
B. 5a?4b=3
C. 4a+5b=14
D. 5a+4b=14
4. 已知两点A1,0，B 1,3,O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设OC=?2OA+λOBλ∈R，则λ等于
A. ?2
B. 1
C. ?1
D. 2
5. 已知a=1,?2，b=3,4，则a在b方向上的投影是
A. 1
B. ?1
C. 5
D. ?5
6. 若向量a，b满足a+b=2,?1，a=1,2，则向量a与b的夹角等于
A. 45°
B. 60°
C. 120°
D. 135°
7. 已知向量a=1,1，b=2,x，若a+b与4b?2a平行，则实数x的值是
A. ?2
B. 0
C. 1
D. 2
8. 若向量a=x+1,2和向量b=1,?1平行，则∣a+b∣=
A. B. 10
2C. D. 2
2
9. 设向量a=1,?2，向量b=?3,4，向量c=3,2，则 a+2b?c=
A. ?15,12
B. 0
C. ?3
D. ?11
10. 在下列向量组中，可以把向量a=3,2表示出来的是
A. e1=0,0,e2=1,2
B. e1=?1,2,e2=5,?2
C. e1=3,5,e2=6,10
D. e1=2,?3,e2=?2,3
11. 已知a=2,?3，b=1,?2，c⊥a且b?c=1，则c的坐标为
A. 3,?2
B. 3,2
C. ?3,?2
D. ?3,2
12. 和直线3x?4y+7=0平行的向量a及垂直的向量b分别是
A. a=3,4，b=3,?4
B. a=?3,4，b=4,?3
C. a=4,3，b=3,?4
D. a=?4,3，b=3,?4
13. 已知向量a=5,2，b=?4,?3，c=x,y，若3a?2b+c=0，则c=
A. ?23,?12
B. 23,12
C. 7,0
D. ?7,0
14. 平行四边形ABCD的对称中心为O，AD=3,7，AB=?2,3，则CO等于
A. ?1
2,5 B. ?1
2
,?5 C. 1
2
,?5 D. 1
2
,5
15. 若向量a=1,2,b=?3,4，则 a?b a+b等于
A. 20
B. ?10,30
C. 54
D. ?8,24
16. 已知a在b上的投影为52
2
，b在x轴上的投影为2，∣∣b∣∣≤14，设a=4,3，则b为
A. 2,14
B. 2,?2
7C. ?2,2
7
D. 2,8
17. 已知向量a=4,2，向量b=x,3，且a∥b，则实数x等于
A. 9
B. 6
C. 5
D. 3
18. 已知点A0,1，B3,2，向量AC=?4,?3，则向量BC=
A. ?7,?4
B. 7,4
C. ?1,4
D. 1,4
19. 已知M3,?2，N?5,?1且MP=1
2
MN，则点P的坐标为
A. ?8,1
B. 1,3
2C. ?1,?3
2
D. 8,?1
20. 已知平面直角坐标系内的两个向量a=1,2，b=m,3m?2，且平面内的任一向量c都可以
唯一的表示成c=λa+μb（λ，μ为实数），则m的取值范围是
A. ?∞,2
B. 2,+∞
C. ?∞,+∞
D. ?∞,2∪2,+∞
21. 任意向量a=a1,a2，b=b1,b2，定义运算?：a?b=a2b2,a1b1，下列等式中（“ +”和
“ ?”是通常的向量加法和数量积，λ∈R），不恒成立的是
A. a?b=b?a
B. a? b+c=a?b+a?c
C. λa?b=λ b?a
D. a? b?c= a?b?c
22. 已知向量a=x+1,2，b=?1,x．若a与b垂直，则∣∣b∣∣=
A. 1
B.
C. 2
D. 4
23. 设O0,0，A1,0，B0,1，点P是线段AB上的一个动点，AP=λAB，若OP?AB≥PA?PB，
则实数λ的取值范围是
A. 1
2≤λ≤1 B. 1?2
2
≤λ≤1
C. 1
2≤λ≤1+2
2
D. 1?2
2
≤λ≤1+2
2
24. 已知向量集合M=a∣a=1,2+λ3,4,λ∈R，N=a∣a=?2,?2+λ4,5,λ∈R，则
M∩N=
A. 1,1
B. 1,1,?2,?2
C. ?2,?2
D. ?
25. 设向量a=1,2，b=2,3，若向量a?λb与向量c=?5,?6共线，则λ的值为
A. 4
3B. 4
13
C. ?4
9
D. 4
26. 已知向量m=sin A,1
2
与向量n=3,sin A+3cos A 共线，其中A是△ABC的内角，则角A 的大小为
A. π
6B. π
4
C. π
3
D. π
2
27. 已知a=1,3，b=?2,?1，则3a+2b?2a+5b等于
A. 10+610?95
B. 55
C. 15
D. 205
28. 设两个向量a=λ+2,λ2?cos2α和b= m,m
2
+sinα ，其中λ,m,α为实数．若a=2b，则λ
m
的取值范围是
A. ?6,1
B. 4,8
C. ?1,1
D. ?1,6
29. 设F1、F2是双曲线x2
3
?y2=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1?PF2的值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
30. 若点O和点F?2,0分别为双曲线x2
a2
?y2=1a>0的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP?FP的取值范围为
A. ?7
4,+∞ B. 7
4
,+∞
C. 3?23,+∞
D. 3+23,+∞
31. 过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则
FA?FB+FC?FD的最大值等于
A. ?4
B. 8
C. 4
D. ?16
32. 定义平面向量之间的一种运算" ⊙ " 如下：对任意的a=m,n，b=p,q．令a⊙b=mq?
np．下面说法错误的是
A. 若a与b共线，则a⊙b=0
B. a⊙b=b⊙a
C. 对任意的λ∈R，有λa⊙b=λ a⊙b
D. a⊙b 2
+ a?b2=∣a∣2∣∣b∣∣2
33. 设O是坐标原点，点A?1,1，若点M x,y为平面区域x+y≥2,
x≤1,
y≤2
上的一个动点，则
OA?OM的取值范围为
A. ?1,0
B. 0,1
C. 0,2
D. ?1,2
34. 已知O是坐标原点，点A?2,1，若点M x,y为平面区域x+y≥2,
x≤1,
y≤2
上的一个动点，则
OA?OM的取值范围是
A. 0,1
B. 0,2
C. ?1,0
D. ?1,2
35. 设两个向量a=λ+2,λ2?cos2α和b= m,m
2
+sinα ，其中λ,m,α均为实数．若a=2b，
则λ
m
的取值范围是
A. ?6,1
B. 4,8
C. ?∞,1
D. ?1,6
36. 已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足∣∣AP∣∣=1，PM=MC，则
∣∣BM∣∣2
的最大值是
A. 43
4B. 49
4
C. 37+63
4
D. 37+233
4
37. 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3=λA1A2λ∈R，
A1A4=μA1A2μ∈R，且1
λ+1
μ
=2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C c,0，D d,0
（c,d∈R）调和分割点A0,0，B1,0，则下面说法正确的是
A. C可能是线段AB的中点
B. D可能是线段AB的中点
C. C,D可能同时在线段AB上
D. C,D不可能同时在线段AB的延长线上
38. 设双曲线x2
a2?y2
b2
=1 a＞0,b＞0的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，
B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OP=λOA+μOB（λ,μ∈R），λ?μ=3
16
，则双曲线的离心率为
A. 23
3B. 35
5
C. 32
2
D. 9
8
39. 已知P x,y是不等式组x+y?1≥0,
x?y+3≥0,
x≤0
表示的平面区域内的一点，A1,2，O为坐标原点，则
OA?OP的最大值为
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
40. 集合A=x,y∣x,y∈R，若x,y∈A，已知x=x1,y1,y=x2,y2,定义集合A中元素间的
运算x?y，称为“?”运算，此运算满足以下运算规律：
①任意x,y∈A有x?y=y?x
②任意x,y,z∈A有x+y?z=x?z+y?z其中x+y=x1+x2,y1+y2
③任意x,y∈A,a∈R有ax?y=a x?y
④任意x∈A有x?x≥0，且x?x=0成立的充分必要条件是x=0,0为向量．
如果x=x1,y1,y=x2,y2，那么下列运算属于“?”正确运算的是
A. x?y=x1y1+2x2y2
B. x?y=x1y1?x2y2
C. x?y=x1+x2y2+1
D. x?y=2x1x2+y1y2
二、填空题（共40小题；共200分）
41. 设平面向量a=3,5，b=?2,1，则a?2b=．
42. 已知向量a=2,3，b=1,m，且a⊥b，那么实数m的值为．
43. 若三点A2,2，B a,0，C0,6（ab≠0）共线，则1
a +1
b
的值等于．
44. 已知OA=?1,2，OB=3,m，若OA⊥OB，则m=．
45. 在平面直角坐标系xOy中，已知OA=?1,t，OB=2,2，若∠ABO=90°，则实数t的值
为．
46. 已知向量a=1,2，b=?2,t，若a∥b，则实数t的值是．
47. 已知向量a=1,2，b=?2,3，c=x,1，若c与a+b平行，则x = ．
48. 已知向量a=1,?2，b=x,2，若a⊥b，则实数x=．
49. 已知向量a=2x+1,4，b=2?x,3，若a∥b，则实数x的值等于．
50. 已知向量a=1,3，b=?2,1，c=3,2．若向量c与向量ka+b共线，则实数
k=．
51. 已知点A2,4，向量a=3,4，且AB=2a，则点B的坐标为 .
52. 已知平面向量a=1,2，b=?2,m，且a∥b，则∣∣b∣∣=．
53. 已知向量a=?2,1，b=1,0，则∣2a+b∣=．
54. 在平面直角坐标系xOy中，已知OA=3,?1，OB=0,2．若OC?AB=0，AC=λOB,则实
数λ的值为．
55. 关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a?b=a?c，则b=c；②若a=1,k，b=?2,6，a∥b，则k=?3；③若非零向量a
和b满足∣a∣=∣∣b∣∣=∣∣a?b∣∣，则a与a+b的夹角为60°．
其中真命题为．（写出所有真命题的序号）
56. 已知向量OA=k,12，OB=4,5，OC=?k,10，且A，B，C三点共线，则k=．
57. P=a∣a=?1,1+m1,2,m∈R，Q= b∣b=1,?2+n2,3,n∈R 是两个向量集合，
则P∩Q等于．
58. 平面向量a=1,2，b=4,2，c=ma+b m∈R，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则
m=．
59. 已知向量a=?2,?1，b=t,1，且a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．
60. a1，a2，?，a n，?是按先后顺序排列的一列向量，若a1=?2015,13，且a n?a n?1=1,1，
则其中模最小的一个向量的序号为．
61. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，BD=1
3BC，AE=1
3
AB，DE的延长线交CA的
延长线于点F，则AD?AF的值为．
62. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2．若BD=2DC，AE=λAC?ABλ∈R，且
AD?AE=?4，则λ的值为．
63. 在直角坐标系xOy中，已知点A0,1和点B?3,4，若点C在∠AOB的平分线上且∣∣OC∣∣=2，
则OC=．
64. 设向量a=3,3，b=1,?1．若 a+λb⊥ a?λb，则实数λ=．
65. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD =120°，点 E ，F 分别在边 BC ，DC 上，BC =3BE ，DC =λDF ．若 AE
?AF =1，则 λ 的值为 ． 66. 已知向量 a = 3,1 ，b = 1,3 ，c = t ,2 ，若 a ?c ⊥b ，则实数 t 的值为 . 67. 边长为 2 的正三角形 ABC 内（包括三边）有点 P ，PB
?PC =1，求 AP ?AB 的范围 ． 68. 已知向量 a = 2,1 ，b = 1,?2 ，若 ma +nb = 9,?8 m ,n ∈R ，则 m ?n 的值为 ．
69. 关于平面向量 a ，b ，c ．有下列三个命题： ① 若 a ?b =a ?c ，则 b =c ；
②若 a = 1,k ，b = ?2,6 ，a ∥b
，则 k =?3； ③非零向量 a 和 b 满足 ∣a ∣=∣∣b ∣∣=∣∣a ?b ∣∣，则 a 与 a +b 的夹角为 60°．
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
70. 已知向量 m = λ+1,1 ，n = λ+2,2 ，若 m +n ⊥ m ?n ，则 λ= ．
71. 在实数集 R 中，我们定义的大小关系”>“为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量
D = a ∣a = x ,y ,x ∈R ,y ∈R 上也可以定义一个称“序”的关系，记为“?”，定义如下：对于
任意两个向量 a 1 = x 1,y 1 ，a 2 = x 2,y 2 ，”a 1 ?a 2 “当且仅当“x 1>x 2”或“x 1=x 2且y 1>y 2”，按上述定义的关系“?”，给出如下四个命题： ①若 e 1 = 1,0 ，e 2 = 0,1 ，0 = 0,0 ，则 e 1 ?e 2 ?0 ； ②若 a 1 ?a 2 ，a 2 ?a 3 ，则 a 1 ?a 3 ；
③对于 a 1 ?a 2 ，则对于任意 a ∈D ,a 1 +a ?a 2 +a
； ④对于任意向量 a ?0 ，0 = 0,0 ，若 a 1 ?a 2 ，则 a ?a 1 >a ?a 2 ．
其中真命题的序号为
72. 设双曲线
x 2a
?
y 2b =1 a >0,b >0 的左焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两条渐近线
于 M ， N 两点，且与双曲线在第二象限的交点为 P ，设 O 为坐标原点，若 OP =mOM +nON m ,n ∈R ，且 mn =18
，则双曲线的离心率为 ．
73. 在 △ABC 中，已知 AB
?AC =9，sin B =cos A sin C ，S △ABC =6，P 为线段 AB 上的点，且 CP
=x CA
∣CA
∣+y
CB
∣CB
∣，则 CP ?BP
的最小值为 ． 74. 正三角形 ABC 边长为 2，M ，N 分别为边 AB ，AC 的中点，点 P 为线段 MN 上的动点，则
BP ?CP 的取值范围是 ；若 BP =xAB +yAC ，则 x +1 ?y 的最大值为 ．
75. 在平面内，若有 ∣a ∣=a ?b =1，∣∣b ∣∣=2， c
?a ? 2c ?a ?b =0，则 ∣c ∣ 的最大值为 ．
76. 已知向量 a = 1, ，b = ?2,0 ．若 c ⊥b c ≠0 ，当 t ∈ ? 3,2 时，∣∣∣a ?t c ∣∣c ∣
∣∣
∣∣ 的取值范围为 ．
77. 在棱长为 2 3 的正方体 ABCD ?A 1B 1C 1D 1 中，正方形 BCC 1B 1 所在平面内的动点 P 到直线
D 1C 1，DC 的距离之和为 4，则 PC 1 ?PC 的取值范围为 ．
78. 设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:V→R满足：对任意向量a=x1,y1∈V,b=
x2,y2∈V，以及任意λ∈R，均有f λa+1?λb=λf a+1?λf b，则称映射f具有性质P．现给出如下映射：
①f1:V→R,f1m=x?y,m=x,y∈V；
②f2:V→R,f2m=x2+y,m=x,y∈V；
③f3:V→R,f3m=x+y+1,m=x,y∈V．
其中，具有性质P的映射的序号为．（写出所有具有性质P的映射的序号）
79. 如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点．若
AC=xDE+yAP（xy≠0），则以下说法正确的是：．（请将所有正确命题的序号填上）
①若点E和A重合，点P和B重合，则x=?1，y=1；
②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧BD的中点；
③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y=3；
④若点E和B重合，点P为圆弧BD上任一点，则动点x,y的轨迹为双曲线的一部分．
80. 已知点A1,?1，B4,0，C2,2．平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC（1≤λ≤a，
1≤μ≤b）的点P x,y组成的区域．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为．
三、解答题（共20小题；共260分）
81. （1）若向量a=?1,x与b=?x,2共线且方向相同，求x．
（2）在直角坐标系xOy中，已知A?3,?13，B0,2，C2,12，求证：A、B、C三点共线．
82. 已知点O0,0，A1,2，B4,5及OP=OA+tAB．
（1）当t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第三象限内；
（2）四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
83. 已知点A2,3，B5,4，C7,10．若AP=AB+λAC,λ∈R．
（1）试求λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上．
（2）试求λ为何值时，点P在第三象限内．
84. 已知向量a=cosωx?sinωx,sinωx，b= ?cosωx?sinωx,23cosωx ，设函数f x=a?
b+λx∈R的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1
2
,1．
（1）求函数f x的最小正周期；
（2）若y=f x的图象经过点π
4,0，求函数f x在区间0,3π
5
上的取值范围．
85. 已知函数f x=a?b，其中a=2cos x,?3sin2x ，b=cos x,1，x∈R．
（1）求函数y=f x的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f A=?1，a=7，且向量m=3,sin B与n=2,sin C共线，求边长b和c的值．
86. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=1,2，n=cos2A,cos2A
2
，且m?n=1．（1）求A的大小；
（2）若b+c=2a=2△ABC的面积并判断△ABC的形状．
87. （1）已知向量a=1,2，b=x,1，u=a+2b，v=2a?b，且u∥v，求x的值．
（2）在直角三角形ABC中，AB=2,3，AC=1,k，求实数k的值．
88. 已知a=cosα,sinα，b=cosβ,sinβ，0<β<α<π．
（1）若∣∣a?b∣∣=2，求证：a⊥b；
（2）设c=0,1，若a+b=c，求α,β的值．
89. 已知向量a=1,2，向量b=?3,2．
（1）若向量a+kb与向量a?3b垂直，求实数k的值；
（2）当k为何值时，向量a+kb与向量a?3b平行?并说明它们是同向还是反向．
90. 已知向量a=sinθ,1，b=1,cosθ，?π
2<θ<π
2
．
（1）若a⊥b，求θ；
（2）求∣∣a+b∣∣的最大值．
91. 设OA=3,1，OB=?1,2，C、D两点满足OA∥BC，OB⊥OC，OA?OC+OD=0，求C、
D两点的坐标（其中O是坐标原点）．
92. 设P x,y是图形F上的一点，将图形F按向量a=?,k平移，得到图形F?，相应地，点
P x,y平移后得到点P?x+?,y+k，我们把上述的变换称之为图形F按照向量a的一个平移变换．
（1）把函数y=cos2x的图象按向量b平移变换后得到y=sin2x的图象，则b可以是
A． ?π
2
,0
B． ?π
4
,0
C．π
2
,0
D．π
4
,0
（2）若点P1,2按照向量a平移后得到点P??2,4，试求平移向量a．
93. 已知平面向量a=3,2，b=?1,2，c=4,1．
（1）求满足a=mb+nc的实数m，n；
（2）若a+kc⊥2b?a，求实数k的值．
94. 已知a=2+sin x,1，b=2,?2，c=sin x?3,1，d=1,k（x∈R，k∈R）．
（1）若x∈ ?π
2,π
2
，且a∥ b+c，求x的值；
（2）若函数f x=a?b，求f x的最小值；
（3）是否存在实数k，使得 a+d⊥ b+c ?若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
95. 已知向量a=1,2，b=cosα,sinα，设m=a+tb（t∈R）．
（1）若α=π
4
，求当∣m∣取最小值时实数t的值；
（2）若a⊥b，则是否存在实数t，使得向量a?b与向量m的夹角为π
4
?若存在，请求出实数t；若不存在，请说明理由．
96. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a=1,0，b=0,2．设向量x=a+1?cosθb，
y=?ka+1
sinθ
b，其中0<θ<π．
（1）若k=4，θ=π
6
，求x?y的值；
（2）若x∥y，求实数k的最大值，并求k取最大值时θ的值．
97. 己知向量m=3sin x
4,1，n=cos x
4
,cos2x
4
．记f x=m?n．
（1）若cos2π
3?x =?1
2
，求f x=m?n的值；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2a?c cos B=b cos C，求函数f A的取值范围．
98. 已知椭圆x2
a +y2
b
=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，在第一象限椭圆上的一点M满足
MF2⊥F1F2，且∣MF1∣=3∣MF2∣．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设MF1与y轴的交点为N，过点N与直线MF1垂直的直线交椭圆于A，B两点，若MA?MB+F1A?F1B=54
17
，求椭圆的方程．
99. 已知椭圆C：x2
a +y2
b
=1a>b>0的一个顶点为0,?1，离心率e=2
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过M0,m?1 100. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC=1 3OA+2 3 OB． （1）求证：A，B，C三点共线； （2）已知A1,cos x，B1+sin x,cos x，x∈0,π 2，f x=OA?OC+2m+1 3 ∣∣AB∣∣+m2的 最小值为5，求实数m的值． 答案 第一部分 1. C 【解析】因为a=1,2，b=0,1，所以a+2b=1,4． 又因为 a+2b⊥c，所以 a+2b?c=k?8=0，解得k=8． 2. A 3. A 4. B 【解析】因为∠AOC=120°， 所以设点C坐标为 x,?3x ， 由OC=?2OA+λOB，得 x=?2+λ ? 3x=3λ 解得λ=1． 5. B ． 【解析】提示：a在b方向上的投影是a ?b ∣∣b∣∣ 6. D 7. D 【解析】解法一：因为a=1,1，b=2,x， 所以a+b=3,x+1，4b?2a=6,4x?2， 由于a+b与4b?2a平行，得6x+1?34x?2=0，解得x=2．解法二：因为a+b与4b?2a平行， 则存在常数λ，使a+b=λ 4b?2a，即2λ+1a=4λ?1b， 根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x=2． 8. C 【解析】依题意得，?x+1?2×1=0，得x=?3， 又a+b=?2,2+1,?1=?1,1， 所以∣a+b∣=2． 9. C 【解析】因为a=1,?2，b=?3,4， 所以a+2b=1,?2+2?3,4=?5,6． 因为c=3,2， 所以 a+2b?c=?5,6?3,2=?5×3+6×2=?3． 10. B 【解析】提示：只要e1,e2非零不共线即可． 11. C 【解析】设c=x,y，则 c?a=2x?3y=0,???① b?c=x?2y=1.???② 由①②，得 x=?3, y=?2. 12. C 【解析】3x?4y+7=0的方向向量为4,3． 13. A 14. B 【解析】AD=3,7，AB=?2,3，AC=AB+AD=1,10，则CO=?1 2 AC= ?1 2 ,?5． 15. B 【解析】a?b=?3+8=5，a+b=?2,6， 所以 a?b a+b=5×?2,6=?10,30． 16. B 【解析】∵b在x轴上的投影为2，∴设b=2,y．∵a在b上的投影为52 2 ，∴∣a∣cos< a,b>=52 2，即∣a∣?a ?b ∣a ∣∣b∣ =52 2 ，∴ 2 =52 2 ，解得y=?2 7 或y=14．∵∣∣b∣∣=4+y2≤14， ∴y2≤192，∴y=?2 7，故b=2,?2 7 ． 17. B 18. A 19. C 【解析】设P x,y，由x?3,y+2=1 2??8,1，所以x=?1，y=?3 2 ． 20. D 【解析】a与b不共线即可． 21. D 22. B 【解析】因为a与b垂直，所以x=1，所以∣∣b∣∣=2．23. B 【解析】由AP=λAB得，P1?λ,λ，于是 OP?AB≥PA?PB 解得：1?2 2≤λ≤1+2 2 ． 因点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1?2 2 ≤λ≤1．24. C 【解析】设a=x,y，由a=1,2+λ3,4，得 x=1+3λ, y=2+4λ, 消去λ，得 4x?3y=?2.??① 由a=?2,?2+λ4,5，同理可得 5x?4y=?2.??② 联立①②，解得x=?2, y=?2. 25. A 【解析】由已知可得，a?λb=1?2λ,2?3λ，因为a?λb与c=?5,?6共线，所以?61?2λ=?52?3λ，即?6+12λ=?10+15λ，解得λ=4 3 ． 26. C 【解析】因为m∥n， 所以sin A sin A+3cos A ?3 2 =0， 所以2sin2A+23sin A cos A=3， 化为1?cos2A+A=3， 所以sin2A?π 6 =1， 因为A∈0,π， 所以2A?π 6∈ ?π 6 ,11π 6 ． 所以2A?π 6=π 2 ，解得A=π 3 ． 27. C 28. A 【解析】提示：由已知可得λ+2=2m???① λ2?cos2α=m+2sinα???② ，由于①②可得 λ2?λ 2?1=cos2α+2sinα，由此求出λ的取值范围为?3 2 ≤λ≤2，所以λ m =2λ λ+2 ∈?6,1． 29. B 【解析】从双曲线方程可以看出c2=a2+b2=4，c=2． 不妨设点P为双曲线的右支在x轴上方的一个点，且P x,y， 则S=1 2 ?4?y=2?y=1，解出x=6，所以可求出PF1?PF2=3． 30. D 【解析】设P x,y x>a，则OP=x,y，FP=x+2,y，所以OP?FP=x x+2+y2． 因为双曲线中c=2，b=1，所以a=3，所以y2=x2 3 ?1， 所以OP?FP=4 3x2+2x?1=4 3 x+3 4 2 ?7 4 x>3， 所以OP?FP>3+23． 31. D 【解析】如图所示， 由抛物线x2=4y可得焦点F0,1． 设直线AB的方程为：y=kx+1k≠0， 因为AB⊥CD，可得直线CD的方程为y=?1 k x+1．设A x1,y1，B x2,y2，C x3,y3，D x4,y4． 联立y=kx+1, x2=4y,化为x 2?4kx?4=0， 得x1+x2=4k，x1x2=?4． 同理可得x3+x4=?4 k ，x3x4=?4． 所以 FA?FB=x1,y1?1?x2,y2?1 =x1x2+y1?1y2?1 =1+k2x1x2 =?41+k2. 同理可得FC?FD=?41+1 k2 ． 所以 FA ?FB +FC ?FD =?4 2+k 2+1 2 ≤?4 2+2 k 2?1 k 2 =?16, 当且仅当 k =±1 时取等号． 所以 FA ?FB +FC ?FD 的最大值等于 ?16． 32. B 【解析】对于 A ：若 a ，b 共线，则 mq ?np =0, 从而 a ⊙b =mq ?np =0, 所以 A 正确； 对于B ：因为 b ⊙a =np ?mq , a ⊙b =mq ?np , 所以 B 错误； 对于C ：因为 λa ⊙b =λmq ?λnp ,λ a ⊙b =λ mq ?np , 所以 C 正确； 对于D ：因为 a ⊙ b 2 + a ?b 2 = mq ?np 2+ mp +nq 2 = m 2+n 2 p 2+q 2 =∣a ∣2∣∣b ∣∣2 , 所以 D 正确． 33. C 【解析】设点 M x ,y ，则 z =OA ?OM =?x +y ．所以根据线性规划，在点 1,1 和点 0,2 处 z 取得最值，所以 OA ?OM 的取值范围为 0,2 ． 34. D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，设 z =OA ?OM ， 因为 A ?2,1 ，M x ,y ，所以 z =OA ?OM =?2x +y ，即 y =2x +z ，平移直线 y =2x +z ． 由图象可知当y=2x+z经过点D1,1时，直线截距最小，此时z最小为z=?2+1=?1．经过点E0,2时，直线截距最大，此时z最大为z=2，即?1≤z≤2． 35. A 【解析】因为2b=2m,m+2sinα,所以λ+2=2m,λ2?cos2α=m+2sinα, 所以2m?22?m=cos2α+2sinα,即4m2?9m+4=1?sin2α+2sinα=2?sinα?12,又因为?2≤2?sinα?12≤2,所以?2≤4m2?9m+4≤2,解得1 4 ≤m≤2． 所以1 2≤1 m ≤4,又因为λ=2m?2,所以λ m =2?2 m ,所以?6≤2?2 m ≤1． 36. B 【解析】由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°．∣∣DA∣∣=∣∣DB∣∣=∣∣DC∣∣=2．以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系， 则A2,0，B ?1,?，C ?1,． 设P x,y，由已知∣∣AP∣∣=1，得x?22+y2=1， 又PM=MC，所以M x?1 2,y+3 2 ， 所以BM=x+1 2,y+33 2 ． 所以BM2=x+12+ y+332 4 ， 它表示圆x?22+y2=1上点x,y与点 ?1,?33距离平方的1 4 ， 所以 BM2 max =1 4 32+ ?332+1 2 =49 4 ． 37. D 【解析】由调和分割的定义可得AC=λAB?c,0=λ1,0，即λ=c；同理AD=μAB?d,0=μ1,0，即d=μ． 又1 λ+1 μ =1 c +1 d =2，依次判断各选项： 选项 A：若C为AB的中点，则λ=1 2，又1 λ +1 μ =1 c +1 d =2，可知不存在μ值使得不等式成立，故 A 错；同理B选项也为假命题；对于C选项：若C,D均在线段AB上，则0<λ<1,0<μ<1，故 1λ+1 μ >2，这与已知定义不符，故命题错误．事实上，如果C,D同时在线段AB的延长线上，则 λ<0,μ<0，1 λ+1 μ <0，与定义不符，故D正确． 38. A 【解析】双曲线的渐近线为：y=±b a x，设焦点F c,0，则 A c,bc a ，B c,?bc a ，P c,b2 a ， 因为OP=λOA+μOB， 所以 c,b 2 a =λ+μc,λ?μbc a ， 所以λ+μ=1，λ?μ=b c ， 解得：λ=c+b 2c ，μ=c?b 2c ， 又由λμ=3 16，得：c 2?b2 4c2 =3 16 ， 解得：a 2 c2=3 4 ， 所以，e=c a =23 3 ． 39. D 【解析】点P x,y所在的平面区域为△BCD，如图所示： 要求OA?OP的最大值，只需找出OP在OA方向上的投影最大值即可，很明显OB符合所求，所以OA?OP的最大值为6． 40. D 【解析】排除法，设x=x1,y1，根据④有x?x≥0，且x?x=0成立的充分必要条件是x=0,0为向量． 对于选项 A，x?x=3x1y1≥0不恒成立； 对于选项 B，x?x=x1y1?x1y1=0,不符合题意； 对于选项 C，x?x=x1+x1y1+1≥0不恒成立； 对于选项 D，x?x=2x12+y12≥0恒成立的． 第二部分 41. 7,3 42. ?2 3 43. 1 2 44. 3 2 45. 5 46. ?4 【解析】因为a∥b，所以?2 1=t 2 ．解得t=?4． 47. x=?1 5 【解析】a+b=?1,5，又c∥ a+b，则x=?1 5 ． 48. 4 【解析】因为a⊥b， 所以a?b=x?4=0， 所以x=4． 49. 1 2 【解析】由a∥b得32x+1=42?x，解得x=1 2 ． 50. ?1 51. 8,12 52. 2 【解析】提示：由a∥b可得m=?4，则∣∣b∣∣=25． 53. 13 54. 2 【解析】解：因为OA=3,?1，OB=0,2． 所以AB=OB?OA=?3,3． 设OC=m,n，可得OC?AB=?3m+3n=0,???① 又AC=OC?OA=m?3,n+1，AC=λOB， 所以m?3=0且n+1=2λ,???② 将①②联立，可得m=3，n=3，λ=2． 55. ② 【解析】①a?b=a?c?a? b?c=0．向量a与b?c至少有一个为零向量或向量a与b?c垂直． ②a∥b?b=λa?1 ?2=k 6 ?k=?3． ③∣a∣=∣∣b∣∣=∣∣a?b∣∣?a,b,a?b构成等边三角形，a与a+b的夹角应为30°． 56. ?2 3 57. ?13,?23 【解析】P中，a=?1+m,1+2m；Q中，b=1+2n,?2+3n，则?1+m=1+2n, 1+2n=?2+3n,得 m=?12, n=?7,此时a=b=?13,?23．58. 2 【解析】根据a ?c ∣∣a∣∣∣∣c∣∣=b?c ∣∣b∣∣∣∣c∣∣ ，即a ?c ∣∣a∣∣ =b?c ∣∣b∣∣ ，解之即得． 59. ?1 2 ,2∪2,+∞ 【解析】若a与b的夹角为钝角，则它们数量积小于0且两向量不为反向向量． 由a?b=?2,?1?t,1=?2t?1<0，得t>?1 2 ，若为反向向量，则a=λbλ<0， 所以?2=λt ?1=λ，解得 t=2 λ=?1，所以t≠2． 所以实数t的取值范围是t>?1 2，且t≠2，即t∈ ?1 2 ,2∪2,+∞． 60. 1002 【解析】设a n=x n,y n． 由a n?a n?1=1,1，得x n,y n?x n?1,y n?1=1,1， 则x n?x n?1=1, y n?y n?1=1,， 所以x n=?2015+n?1×1=n?2016, y n=13+n?1×1=n+12. 从而∣a n∣2=n?20162+n+122=2n2?4008n+20162+122，于是，当n=1002时，∣a n∣取得最小值． 61. ?4 9 【解析】如图， 分别以AC，AB所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A0,0，C2,0，B0,1， 因为AE=1 3 AB， 所以E0,1 3 ， 又BD=1 3BC，得D2 3 ,2 3 ， 设F m,0，则DE= ?2 3,?1 3 ，EF= m,?1 3 ， 由DE∥EF，得?2 3× ?1 3 +m 3 =0，即m=?2 3 ． 所以AD=2 3,2 3 ，AF= ?2 3 ,0， 则AD?AF=?2 3×2 3 =?4 9 ． 62. 3 11 【解析】如图所示， △ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，BD=2DC，所以 AD =AB +BD =AB +2BC =AB +2 AC ?AB =13AB +23 AC , 又 AE =λAC ?AB λ∈R ， 所以 AD ?AE = 13AB +2 3AC ? λAC ?AB = 13λ?23 AB ?AC ?13AB 2+2 3 λAC 2= 1λ?2 ×3×2×cos60°?1×32+2 λ×22 =?4, 所以 11 3 λ=1， 解得 λ=311 ． 63. ? 105 ,3 10 5 【解析】设 C 2cos θ,2sin θ ，结合题意知 θ∈ π2 ,π ． 因为 C 在 ∠AOB 的平分线上，所以 OC 在 OA ，OB 上的射影相等，从而有 OC ?OA =OC ?OB . 即 2sin θ=?6cos θ+8sin θ . 化简得 tan θ=?3，结合 θ 的范围知 sin θ=3 1010 ，cos θ=? 10 10 ． 其他解法：如图， 可设 C 点坐标为 x ,y ，根据点 C 为 ∠AOB 平分线上的点可知 tan θ=∣∣∣x y ∣∣∣ ，再结合 B ?3,4 可知， tan2θ=34，结合二倍角公式，可解得 x y =?1 3，由题意知 x 2+y 2=4，联立即可得到答案． 64. ±3 【解析】由题意得， a+λb? a?λb=∣a∣2?λ2∣b∣2=0，即a2?λ2b2=18?2λ2=0，解得λ=±3． 65. 2 【解析】提示：由题意，AE?AF= AB+BE? AD+DF= AB+1 3BC? AD+1 λ DC 66. 0 【解析】因为a=3,1，b=1,3，c=t,2，所以a?c=3?t,?1，因为a?c⊥b，所以a?c?b=3?t?3=0，所以t=0． 67. 3?5 2 ,3?5 【解析】以BC中点O为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系， 因为正三角形ABC边长为2， 所以B?1,0，A 0,3，C1,0， 设P的坐标为x,y， 所以PB=?1?x,?y，PC=1?x,?y， 所以PB?PC=x2?1+y2=1， 即点P在x2+y2=2的圆弧即MN上， 如图可以求出sinθ=6 4，cosθ=10 4 ； β=θ?π 6，sinβ=32?10 8 ，cosβ=30+6 8 ， 设∠AOP=φ，则?β≤φ≤β，P φ,φ ， AP=2sinφ,2cosφ?3， 又AB= ?1,?3， 所以AP?AB=?2sinφ?6cosφ+3，?β≤φ≤β， 当φ=?β时，AP?AB最大，AP?AB= ?2× ?32?10 8?6×30+6 8 +3=3?5； 当φ=β时，AP?AB最小，AP?AB= ?2×32?10 8?6×30+6 8 +3=3?5 2 ； 所以AP?AB的范围是3?5 2 ,3?5． 68. ?3 【解析】由a=2,1，b=1,?2， 可得ma+nb=2m,m+n,?2n=2m+n,m?2n， 由已知可得2m+n=9, m?2n=?8.解得 m=2, n=5. 从而m?n=?3． 69. ② 【解析】由a?b=∣a∣∣∣b∣∣cos?a,b?，知命题①明显错误；由两向量平行的充要条件得1×6+2k=0，得k=?3，故命题②正确；由∣a∣=∣∣b∣∣=∣∣a?b∣∣，结合平行四边形法则如图： 可得a与b的夹角为60°，且此平行四边形是菱形，所以a与a+b的夹角为30°，命题③错误． 70. ?3 71. ①②③ 【解析】①因为e1=1,0，e2=0,1，横坐标1>0，所以e1?e2，而0=0,0，横坐标0=0， 纵坐标1>0，所以e1?e2?0，正确； ②若a1?a2，则“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”，若a2?a3，则“x2>x3”或“x2=x3且y2>y3”，可得“x1>x3”或“x1=x3且y1>y3”，故a1?a3，正确； ③若a1?a2，则“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”，对于任意a=x,y∈D，有“x1+x>x2+x”或 “x1+x=x2+x且y1+y>y2+y”，所以a1+a?a2+a，正确； ④对于任意向量a?0，0=0,0，若a1?a2，取a1=4,0，a2=3,2，a=1,1，则a1?a=4，a2?a=5，a?a1 72. 2 【解析】设F?c,0，不妨设M在第二象限，N在第三象限，则可得M ?c,bc a ，N ?c,?bc a ，由 OP=mOM+nON m,n∈R可得P点坐标为 ?cm?cn,bc a m?n，由已知可得?cm?cn=?c， 所以m+n=1,???①又mn=1 8 ,???② 高一数学专项练习题 高一数学专项练习题 高一数学专项练习一. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数唯一的零点在区间内，那么下面命题错误的( ) A 函数在或内有零点 B 函数在内无零点 C 函数在内有零点 D 函数在内不一定有零点 2.若，，则与的关系是 ( ) A B C D 3. 函数零点的个数为 ( ) A B C D 4. 已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=0 ( ) A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根 D 以上结论都不对 5. 某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林( ) A 亩 B 亩 C 亩 D 亩 二. 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。 6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是 7.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为 8. 设函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在[a,b]上有实根. 9. 若点(2,1)既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__________________，=__________________ 三. 解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.(本小题13分) 某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少? 11.(本小题14分) 设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程有且仅有一根介于和之间。 12.(本小题14分) 函数在区间上有最大值，求实数的值 B组题(共100分) 四. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A (-2,6) B [-2,6] C {-2,6｝ D (-,-2)(6,+) 数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=? 平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向） 思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作 （2017贵州遵义高一期末）5．如图是一个算法流程图，则输出的n的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=0 执行循环体，n=1 满足条件21≤16，执行循环体，n=2 满足条件22≤16，执行循环体，n=3 满足条件23≤16，执行循环体，n=4 满足条件24≤16，执行循环体，n=5 不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5． 故选：C． 10．（2017安徽马鞍山高一期末）如图所示，程序框图的输出结果为（） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】EF：程序框图． 【专题】27 ：图表型；5K ：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=121时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=1，k=1 满足条件S＜100，S=4，k=2 满足条件S＜100，S=13，k=3 满足条件S＜100，S=40，k=4 满足条件S＜100，S=121，k=5 不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图和算法，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查． （2017湖北荆州高二月考）5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（） A．105 B．16 C．15 D．1 【考点】E7：循环结构． 【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果． 【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构， 它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1） ∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15． 故选C． （2017黑龙江大庆中学高二期中）9．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（） 平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A． B． C． D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A． B． C． D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B． C． D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A． B． C． D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0 资源信息表 （2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充 要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向 量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即 迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 平面向量高考经典试题 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与 b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与 b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______； 答案：3 2 ； 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．1 3 - D ．2 3 - 9（全国2文9）把函数e x y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x + B ．e 2x - C ．2 e x - D ．2 e x + 10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是 A 若 ，则a ＝0或b ＝0 B 若 ，则λ＝0或a ＝0 C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若 ，则b ＝c 13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条 平面向量高考经典试题 海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______； 答案：3 2 ； 解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10） 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为 实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得 2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（） A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________. 15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值． 平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无 关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。 历年平面向量高考试 题汇集 高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 平面向量高考真题精选（一） 一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、 BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N 平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)． 一、多选题 1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=， 2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ） A ．//P B CQ B ．2133 BP BA BC = + C ．0PA PC ?< D ．2S = 3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ） A ．1122AE A B A C → →→ =+ B ．2AB EF →→ = C ．1133 CP CA CB → →→ =+ D ．2233 CP CA CB → →→ =+ 6．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 8．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 高中数学基础知识与练习 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 第一讲集合与逻辑用语 第1节集合及其运算 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示). (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 集合间的基本关系 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少 有一个元素不是A中的元素 A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则 集 合A的补集为?U A 图形表示 意义 {x|x∈A，或 x∈B}{x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且x?A} 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A； ?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )；?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B ). ★练习 1.已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，则(?R A )∩B ＝________. 2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) .4 3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A.(－1，3) B.(－1，0) C.(0，2) D.(2，3) 4.(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q 等于( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1，2) D.(－1，3] 一、选择题 1.(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(?U B )等于( ) A.{1，2，5，6} B.{1}C.{2} D.{1，2，3，4} 2. (2015·南昌监测)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( ) B.1 3.(2015·长春监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝??????x ???x ＋1x －2≥0，则P ∩Q 等于 ( ) A.(－∞，2) B.(－∞，－1] C.[0，＋∞) D.(2，＋∞) 4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ＝{x |－1＜x ≤2，x ∈N }，集合B ＝{2，3}，则A ∪B 等于( ) A.{2} B.{1，2，3} C.{－1，0，1，2，3} D.{0，1，2，3} 5.已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) 2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r高一数学专项练习题
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