3.2均值不等式
济南历城第二中学高二数学组
学案 出题人:梁金山 审题人 :李金霞 班级 姓名 学号
莫等闲,白了少年头,空悲切
!
3.2.1均值不等式
学习目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式
的几何意义，会用基本不等式证明一些简单的不等式和求函数最值问题
要点提示：
1、重要不等式：对于实数a 、b, 都有2
2
a b +____ 2ab ，当且仅当_______时等号成立。
2、基本不等式：对于任意正实数a 、b,都有2
a b
+
仅当____ 等号成立
3、基本不等式的变形：对于任意正实数a 、b,都有ab____
()2
4
a b +,
当且仅当____ 等号成立、
4、两个正数a 、b 的算术平均数是_______，几何平均数是_____，任何两个正数的算术平均数__________它的几何平均数。
5、基本不等式的几何意义是_____________________.
6、利用基本不等式
2
a b
+≥
:
①a 、b 必须是______;
②求积的最大值时,和必须为________,求和的最大值时,积必须为________;
③等号必须成立,且等号成立的条件是___________.
典例精析:
㈠证明一些简单的不等式:
例1:已知ab>0,求证:2b a
a b
+≥,并指出等号成立的条件.
练习1:已知a 、b 、c R +∈,求证:()()()8a b b c c a abc +++≥
㈡、求函数的最大值和最小值问题:
例2:⑴、一个矩形的面积为1002m .问这个矩形的长、宽各为多少
时,矩形的周长最短？最短周长是多少?
⑵、已知矩形的周长为36m.问这个矩形的长、宽各为多少时它的面积最大？最大面积是多少?
注:设x,y 是正实数
①若x+y=S(和S 为定值),则当_______时,积xy 最大值为____; ②若xy=P (积P 为定值),则当______时,和x+y 最小值为____;
练习2:一段长为l m 的篱笆围成一个边长靠墙的矩形菜地,矩形的长、宽各为多少时,菜地的面积最大?求出这个最大值.
例3:求函数()()223
0x x f x x x
-+=>的最小值及取得最小值是
x 的值
练习3:求函数()()226
11
x x f x x x -+=>-+的最小值
能力达标:
1、 关于不等式给出下列命题: ① 若a>0,b>0,
≤
2a b +,
≤2a b
+,则a>0,b>0: ③ 若a ≠b,
2a b +;
2
a b
+,则a ≠b.
其中正确的命题是() A:①② B ①③C ①④D ①②③④
2、下列结论正确的是:( ) A 当x>0且1x ≠时,1
lg 2lg x x
+
≥; B 当2x ≥时,1
x x
+
的最小值为2: C 当0x ≥时
2≥; D ≤1
当0 + +≥ ??????? 3.2均值不等式 学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。 学习过程 一、新课导学 ※ 探索新知 如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 探究： 1、正方形ABCD 的面积S=__________ ２、四个直角三角形的面积和S ’=______ ３、S 与S ’有什么样的不等关系？ 若a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，（当且仅当a=b 时，取“=”号） 思考： （1）该结论成立的条件是什么 ？ （2）公式中等号成立的条件是什么？ （3）不等式左右两边有何种运算结构？ 由此公式，我们可以变形为：22 ,,2 a b a b R ab +∈≤若则 以下不等式成立吗？ ,,a b a b a b 如果用、分别代替，又能得到什么结论呢？ 此时的需要满足什么条件呢？ 均值定理：若a>0 b>0，，（当且仅当a=b 时，等号成立） 2a b ab 我们习惯上，把上述公式写成 +≥ 1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 作用： 当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；（积定和最小） 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值；（和定积最大） 注意： 在运用均值不等式求最值时，要注意使用条件，即一正，二定，三相等，而在寻找定值时，有时条件不够明显，常通过恰当的拆项，添项，变形等配凑的技巧，化隐为显，使问题快速解决， 常见变形应用： 以下不等式中的,,a b c 均是正实数 1、2()2 a b ab +≤ 2、2222()()a b a b ++≥ 3、2 2 112a a b a a b ++2+b b 24、33 a b c abc ++请熟记以上公式，以后经常用到。 均值不等式的应用 1. 凑系数 例2. 当04< 1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于 121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域 董燕 【教学目标】 1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域. 2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想； 3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。 【教学重点】 从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式 （组）表示的平面区域。 【教学难点】 如何确定不等式0( Ax By C ++>或<0)表示0 Ax By C ++=的哪一侧区域. 【教学过程】 一．创设情境，引出问题 在现实生活中，许多问题都可以用数学知识来解决。数学里有相等的关系，也有各种不同的不等关系，这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系，即二元一次不等式（组）及它的解集。（板书课题） 现看一个实际例子： 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？ 问题1：如果你是信贷部的主管，你该如何分配资金？ 教师引导,问题分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？ 2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？ 3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？ 把实际问题 转化数学问题： 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言 转化符号语言） （资金总数为25 000 000元）?25000000 x y +≤ （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）?(12%)x+(10%)y30000 ≥即12103000000 x y +≥ （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?0,0 x y ≥≥ （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件： 25000000 12103000000 0,0 x y x y x y +≤ ? ? +≥ ? ?≥≥ ? 二．新课解读 （一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义: 问题2：你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗？ 教师引导，类比于一元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）的定义。 （1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 （2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 （二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集: 1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。 2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。 （三）二元一次不等式（组）解集的表示方法: 1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？ 是数轴上的区间。 2.探究: 问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ 教师引导：有序数对（x，y）可以看作平面直角坐标系内的点，而二元一次不等式的解集有点的坐标构成，这些点又构成什么图形呢？ 单选题： 1、用复数的棣莫弗公式，可以推导 A. 一元二次方程的求根公式 B. 点到直线的距离公式 C. 三角函数的n 倍角公式 2.下列说法，哪一个是错误的： A. 戴德金分割和有理数区间套定义是等价的； B. 戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”“不漏”“不乱”三个条件； C. 戴德金分割的下集存在最大数时，上集存在最小数。 3、“等价关系”和“顺序关系”的区别在于，前者具有： A. 反身性 B.对称性 C.传递性 4、高中代数课程的基本主线是： A. 方程 B. 函数 C. 数列 5、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的----. A. 恒等变换 B. 形式推导 C. 直观理解 6、点到直线的距离公式，可以用--------推出： A. 排序不等式 B. 均值不等式 C. 柯西不等式 7、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有： A. 稠密性 B. 连续性 C. 可数性 D. 完备性 8、加权平均不等式和下列哪种不等式有内在联系： A. 均值不等式 B. 柯西不等式 C. 排序不等式 9、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为： A. 方程和函数； B. 数列和算法 C. 古典代数和近代代数； D. 抽象代数和近世代 10、下列说法，哪个是正确的； A. 复数集是一个有序域； B. 复数可以排序； C. 复数可以比较大小； 11、下列哪个说法是错误的: A. 用尺规作图可以二等分角 B. 用尺规作图可以画出根号5的数 C. 用尺规作图可以三等分角 D. 用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线 12、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有： A. 可数性； B. 连续性； C. 完备性 D. 稠密性 13、用下列哪种方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。 A. 拉格朗日插值公式 B. 数列的母函数 C. 高阶数列的求和公式 14、加权平均不等式和下列哪种不等式有联系： A. 排序不等式 B. 均值不等式 C. 柯西不等式 15、下列说法，哪一个是错误的： A. 自然数集是可数的； B. 有理数集是可数的； C. 实数集是可数的； 16、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为 A. 结构； B. 关系； C. 序偶； D. 对偶 17、不定方程求解的算理依据是： A. 孙子定理 B. 单因子构件法 C. 辗转相除法 D. 拉格朗日插值法 18、点到直线的距离公式，可以用--------推出： A. 均值不等式 B. 柯西不等式 C. 加权平均不等式 D. 排序不等式 19、复数集按照“字典排序”关系，是一个：A.全序集B.有序域C.复数域 20、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为 A. 序偶 B. 结构 C. 对偶 D. 关系 21、一个收敛的有理数列，其极限可以不是有理数，这说明有理数不具有： A. 稠密性 B. 可数性 C. 连续性 判断题： √22、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。 √23、《孙子算经》、《周髀算经》、《九章算术》并称为我国最古老的数学 《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计 教学目标：1. 理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判断方法 2. 能作出二元一次不等式（组）表示的平面区域 教学重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域 教学难点：一次不等式（组）表示的平面区域 教学方法：引导、探究、归纳 教学过程： 一、 预备知识 回顾：一次函数的图象是什么？画出函数的x y -=8图象。 学生：利用特殊点（0,8），（8,0）两点确定一条直线画出图象。 引导：为了更快找到特殊点，函数x y -=8可变形为方程08=-+y x 疑问：直线上的点都满足方程08=-+y x ？ 满足方程的点),(y x 都在这条直线上？ 归纳：方程08=-+y x 表示一条直线，直线把平面分为了三个部分。满足方程的点都在直线上，满足不等于0的点在直线以外，即是在直线两边的区域。 追问：方程0123=+-y x 在直角坐标系中表示什么？ 方程020=-+y x 在直角坐标系中表示什么？ 方程02=-x 在直角坐标系中表示什么？ 这四个例子有什么共同特点？ [归纳结论]：二元一次方程)0,(0不同时等于B A C By Ax =++在直角坐标系中表示一条直线。 二、建立模型 问题：为了按期完成“鸟巢”工程的建设，根据发改委要求，工程每天至少需要浇铸60根钢柱。已知负责生产的首钢、鞍钢分别只有4个和6个车间有能力浇铸此型钢柱，但其中至多只有8个车间可同时投入生产。首钢和鞍钢每个车间每天分别能完成10根和8根钢柱的浇铸。问两厂每天最多能浇铸多少钢柱？最少需要多少个车间？ 学生：按照缺少了“至多、至少”四个字的题意列出关系式（找一个学生在黑板上写出来） 解：设首钢有x 个车间投入生产，鞍钢有y 个车间投入生产，根据题意， ???=+=+60 8108y x y x [师生共同分析] 代数意义：满足等式的x 和y 构成有序实数对),(y x 就是方 柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. ||ac bd + 或 ||||ac bd + ac bd +. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++L L （当且仅当1212n n a a a b b b ===L 时取等号，假设0i b ≠） 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++≥++???+L . 定理：设,αβu r u r 是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u r g . 等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r 共线） 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ ≥ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1 ：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ 全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解） 基本均值不等式2 b a a b +≤ （一） 学习目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理 中的不等号“≥”取等号的条件. 学习重点：基本不等式的证明，正确运用基本不等式. 你看到市场买鸡蛋，商贩用不等臂天平秤称量，先把鸡蛋放在左盘，砝码放在右盘，砝码质量为x ，然后把鸡蛋放在右盘，砝码放在左盘，此时，砝码质量为y ，最后商贩告诉你，鸡蛋质量为 2 y x +，并让你付钱，请问你觉得公平吗？ 学习任务：阅读课本第97页至第100页，完成下列问题: 1.对于基本不等式2 b a a b +≤ ，你用能什么方法证明？ 2.比较不等式ab b a 22 2≥+与2 b a ab +≤，它们有什么关系？有什么区别？它们 适用范围和等号成立的条件各是什么？ 3.基本不等式2 b a a b +≤ 有何结构特点？利用这个结构可以解决什么问题？应用时应注意什么？ 4.精读课本P 97例1，思考：0,0>>y x （1）如果y x ?是定值P ，和y x +有最值吗？若有，是多少？何时取得最值？ （2）如果y x +是定值S ，积y x ?有最值吗？若有，是多少？何时取得最值？ 5.动手做例2. 6.证明：0,0>>y x （1） 2≥+x y y x （2）21≥+x x （3）（y x +）（22y x +）（33y x +）≥83 3y x 必做题： P 100练习2、3、4 基本不等式2 b a a b +≤ （二） 学习目标：会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题. 学习重点：会恰当地运用基本不等式求数学问题中的最值. 学习任务： 1．（1）若0>x ，求x x x f 312 )(+=的最小值. （2）若0 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 课标要求与教材分析： 1．课标要求： ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．教材分析： 本单元包含两节，3.3.1主要内容是用平面区域表示二元一次不等式组的解集，3.3.2主要内容是从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。其中 3.3.1是解决二元线性规划问题的基础，应作为本单元的重点要求所有学生掌握。 学情分析： 在初中，学生已学过一元一次不等式组的的解法，学生普遍具有利用不等式组解决问题的思想，能熟练解一元一次不等式组及有关应用问题，这用利于学生理解列二元一次不等式组解实际问题。也有利于学生理解二元一次不等式组解法。 在必修2中，学生已学习了直线方程的有关知识，多数学生能画出二元一次方程表示的直线，这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式的解集，也有利于学生理解线性规划问题中最优解的确定方法。 教案目标： 1．.知识与技能目标： 了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．过程与方法目标： 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想，数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标： 通过解决线性规划实际问题，使学生体会数学在解决工作生活问题时巨大作用，增强学生学习的主动性通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 教案目标: 1．知识与技能目标： 了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 2．过程与方法目标： 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标： 通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。 教案重点与难点: 重点：求二元一次不等式表示的平面区域。 难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。 教案方法与手段: 必修五：基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< 均值不等式 定义 Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。 其中： 1、调和平均数： 2、几何平均数： 3、算术平均数： 4、平方平均数（均方根）： 一般形式 设函数（当r不等于0时）； （当r=0时）特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形。 特例 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）： 当n=2时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。 记忆 调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。 均值不等式的 变形 (1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b) (4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 (6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab (7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 (8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 (10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3) 证明 均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。 注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于：((a1＋a2＋…＋an)／n)^n≥a1a2…an。 当n＝2时易证； 假设当n＝k时命题成立，即 ((a1＋a2＋…＋ak)／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2，…，a(k＋1)中最大者，则 ka(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。 设s＝a1＋a2＋…＋ak， {[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) ＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) ≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理 ＝(s／k)^k*a(k＋1) ≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1 /n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 均值不等式的应用 3.2《一元二次不等式及其解法》教案（第1课时） 【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点及难点】 教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 一.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：2 50x x -<…………………………(1) 二.讲授新课 1）一元二次不等式的定义 象2 50x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x == 二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集 画出二次函数2 5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2 50x x ->； k AB i >k A C ,即 m ax i +b -m b (ax i +b )-b >m ac +b -m b (ac +b )-b , 整理得 m ax i +b > m b + x i c (m ac +b -m b ), ∴∑n i=1 m ax i +b > ∑n i=1[m b + x i c (m ac +b -m b )] =n m b +m a c +b c ∑n i=1x i -m b c ∑n i=1 x i =n m b + m ac +b -m b (∵∑n i=1 x i =c ) =(n -1) m b +m ac +b . ∴∑n i=1m ax i +b >(n -1) m b + m ac +b . 很明显,(1)、(2)、(3)式都是上式的特 例. 参考文献 1 李康海.引入参数证明不等式.中学数学,1999, 8. 2 马林、王艳萍.根式和下界不等式的一种新证法. 河北理科教学研究,1999,4. 一个不等式的简洁证明 段志强 (云南省大理宾川三中 671600) 文[1]在引言中谈到:在江苏省吴县市召开的1999年全国不等式研究学术会议上,中科院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件Bo t te m a 给出以下不等式的一个“机器证明”: 设a ,b ,c 都是正数,则a b +c + b c +a + c a +b >2.文[]中通过构造长方体给出了一个证明,但证明还是较繁事实上,利用二元均值不等式就可以给出一个简洁的证明证明 ∵ a b + c ≤ a + b +c 2 , ∴ a b +c = a a b +c ≥ a a + b +c 2 = 2a a + b +c ,同理可得 b c +a ≥2b a +b +c , c a + b ≥2c a + b +c .注意到以上三式等号不同时成立,故a b +c +b c +a +c a +b >2. 参考文献 1 杨晓晖、刘建军.长方体中的若干性质及应用.中 学数学月刊,2000,5. 解数列问题的一种技巧 李枝团 (重庆市第36中学 400024)解决数列问题时,等差数列往往以首项与公差奠基,等比数列则以首项与公比搭桥.据此虽然能按条件得结果,但某些问题按此处理则较繁,甚至无法获解.本文介绍一种非常规方法.以得到更简单的解法. 例1 已知一个各项均为实数的等比数列的前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,求此等比数列的公比. (选自《数学通报》1998年第9期第22～24页例4) 分析 原解设等比数列前四项分别为 a ,a q ,a q 2 ,aq 3 ,得关于a ,q 的“二元十次”方 程组,解法相当复杂.根据题设,可以第二、三项的特点作过渡,于是可获得理想的解答. 解 设此数列的第二、三项分别是x ,y ,则由条件得: x +y =10, (x y )=, (根据等比数列性质)故有 x +y =,xy =或 x +y =,xy =, 24 中学数学月刊 2000年第11期 1.. 2 81109 10-9 均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程 叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一 个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做 二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方 程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）~ （4） （5）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （6）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式， 即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即 “代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 6、( 7、加减消元法解二元一次方程组 （1） （2）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫 做加减消元法，简称加减法。 （3）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那 么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即 “乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程， 即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数 的值即“回代”。 5、》 6、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。 考点28 基本不等式 一、选择题 1. （2011·福建卷文科·Ｔ10）若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x 3 -ax 2 -2bx+2在x=1处有极值，则ab 的最大值等于（ ） (A). 2 (B). 3 (C). 6 (D). 9 【思路点拨】先由(1)0f '=得到关于,a b 的关系式，然后再分析求ab 的最大值. 【精讲精析】选D. 由题意得2 ()1222,f x x ax b '=--()1f x x =Q 函数在处有极值， (1)0,12220,f a b '∴=∴--=即6a b +=. 又0,0,a b >>Q 由均值不等式得：226 ( )()9,22 a b ab +≤==故ab 的最大值是9. 2.（2020·北京高考文科·T7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为 8 x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ） （A ）60件 （B ）80件 （C ）100件 （D ）120件 【思路点拨】写出平均每件产品费用的函数，再利用均值不等式求出最值. 【精讲精析】选B.平均每件产品的费用为2 800800800822088x x x y x x x + = =+≥?=当且仅当8008 x x =，即80x =时取等号.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小. 3. （2020·陕西高考文科·T3）设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ） （A ） 2a b a b ab +<< < （B ）2a b a a b b +<< < （c ）2a b a ab b +<<< (D) 2 a b ab a b +<< < 【思路点拨】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较． 【精讲精析】选B （方法一）已知a b <和2 a b ab +< ，比较a 与ab ， 因为22 )()0a ab a a b -=-<，所以a ab < 同理由22 )()0b ab b b a -=->ab b <；作差法：3.2均值不等式
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