新人教B版高中数学(必修4)2.3.2《向量数量积的运算律》word教案2篇

数学学科必修4模块第二单元教学设计方案第七学时～第八学时:第一方案

教师为学生课后自主探究提供相应的理论与技

术支持

对知识与技能目标的达成度，可以通过纸笔测

2.3.2 向量数量积的坐标运算

一、教学目标

1.知识与技能：

掌握平面向量的数量积坐标运算及应用

2.过程与方法：

（1）通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性；

（2）从具体应用体会向量数量积的作用

3.情感、态度与价值观：

学会对待不同问题用不同的方法分析的态度

二、教学重点、难点

重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式难点：条件和公式的应用

三、教学方法

用学过的知识带动学生探求新知识

四、教学过程

学环节教学内容师

生互动计意

图

习引入

平面向量基本定理及向量的坐标表

示

向量数量积的定义及性质、运算率

学

生思考回答

上节课内容

故知

新

义形成

向量具有几何性和代数性，上节课根据向

量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了

运算率及性质。那么这一定义如何由它的代数

性反映出来？

那么向量数量积的性质如何由它

的坐标表示出来？

结论：已知两个非零向量)

,

(

1

1

y

x

a

，

教

师引导学生，

从向量的坐

标出发，根据

数量积的定

义推导出数

量积的坐标

运算。从而

很容易推导

出三个公式

和一个条件

学生

自己

联系

旧知

识推

导新

内

容，

体会

自己

),(22y x b =

则b a

?2121y y x x +=

从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）

向量的长度、距离和夹角公式 （1）设),(y x a = ，则222||y x a +=

或

22||y x a +=

(长度公式)

（2）如果表示向量a

的有向线段的

起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=

(距离公式)

(3)

co s θ

=|

|||b a b

a ??

2

2

2

22

1

2

12121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹

角公式)

向量垂直的充要条件

设),(11y x a =

，),(22y x b = ，

则b a

⊥ ?02121=+y y x x

创作的乐趣

义深化

对于从前的射影的概念，我们进行重新的

认识 向量在轴上的正射影： 作图

定义：|b |cos θ叫做向量b 在a

所在轴上的正射影

正射影也是一个数量，不是向量；当

θ为锐角时正射影为正值；当θ为钝角时正射影为负值；当θ为直角时正射影为0；当θ = 0?

时正射影为|b |；当θ = 180?时正射影为-|b |

挖掘向量在轴上的正射影的定义，和

我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）

练习：P108 例1

学

生主导发现问题，教师引导提出和解决问题

注

意：射影是可正可负可为零的

学中，学生不太容易理解

的，

也不

经常用到

的概念，变作例题形式有利于加深印象

用举例

例1.已知a

=（3，-1），b

=（1，-2），

求a b

，|a

|，|b

|，

,b

>

例 2.求证菱形的两条对角线互相垂

直.

练习.已知点A（1，2），B（2，3），

C（-2，5），求证AB AC

⊥

例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），

求BAC

∠的正弦值

练习.已知a

=(3,4)，求：（1）a

的单

位向量；

（2）与a

垂直的单位向量；（3）与a

平行的单位向量

主

要体会向量

代数运算的

方便和简便，

以及几何性

质的直观

练准

确的

运用

向量

数量

积进

行运

算，

并对

某些

结论

性的

内容

有所

了解

堂小结

1.数量积的定义、性质、运算率

2.几种特殊情况的讨论（注意事项）

教师提出问题：向量的运算已经接触

到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么

它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数

量积的运算，同是乘法，有何区别？

主

要学

生总

结，教

师不

做过

学生

掌握

最主

要的

内

业1、看书总结平面向量数量积

的注意事项（分别从定义、运算率、性质、

与数乘的区别总结）

2、总结一些你认为很有用的

式子（可以从例题、习题总结）

多引

导

容；

大多

数学

生知

道还

有某

些注

意事

项

?注意：

1、找向量夹角时，向量必须同起点；

2、定义中注意垂直时数量积为0；

3、两个向量的数量积称为内积，写成a?b；符号“·”在向量运算中既不能省略，也不能

用“×”

4、数量积不满足结合率和消去率：

在实数中，若a≠0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a?b=0，不能推出b=0因为其中cosθ有可能为0

已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ? a=c但是a?b = b?c a = c

在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c≠a(b?c)

5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定