关于黎曼映射定理
关于黎曼映射定理
Ashot Vagharshakyan
美国国家科学院数学研究所，Bagramian 24-b，Yerevan，Armenia.
电子邮件地址: vagharshakyan@https://www.wendangku.net/doc/9914286747.html,
摘要：在这篇论文里对著名的黎曼映射定理我将给出新的证明。我所使用的建议性的证明方法适用对黎曼映射定理在三维情况下近似的证明。
关键词：拟保角映射，黎曼定理
1 介绍
根据刘维尔定理，参见[2], p. 130,在三维情况下，只有等距，伸缩，逆变换的叠加是保角的。在黎曼映射定理模型中，引入一组拟保角映射。这组映射范围更广，然而没有例如在二维情况下的保角映射的自然模型。在这篇论文中我将引入一组新的映射，名为弱保角映射，进而得到更为普遍的黎曼定理的一般形式。
这篇论文主要结论的证明也适用于二维情况。实际上，我给出的黎曼经典定理的证明将不会用到复杂的分析方法。这就允许我们在三维情况下证明一个相似的定理。
2 几类映射
对任意矩阵设特征值为，则
设为连续可微映射。则雅可比矩阵
设得到
定义1 若对于每一点，存在一个数，使得
则对一个连续可微一对一映射是保角的，其中且。
引理1 雅可比矩阵，，是连续可微映射。当且仅当，则是保角的。
证明设矩阵G的特征值是非负的。由引理得，仅当所有特征值相等，如
时,
等式成立。
例逆变换，点映射入，使得
则
得
满足引理1的条件，因此这个映射是保角的。
定义2 拟保角映射是连续可微同胚
，
对有球面
映射入
椭球面主对角线斜率为
对所有点是均匀有界的。
在这篇论文中我将引入一组新的映射，是保角映射的一般形式，名为弱保角映射，进而得到更为普遍的黎曼定理的一般形式。
定义3 弱保角映射是连续可微同胚
，
对有球面
映射入
椭球面主对角线斜率为
对所有点呈几何级数。
引理2 雅可比矩阵，，是连续可微映射。当且仅当
是保角的。
证明矩阵的一系列特征值，可写为
因此
经过简单变换后，我们得到
这个式子的等价形式为
这个结果说明矩阵呈几何级数。
3 在上的格林函数
在这部分我将引入格林函数并证明它的部分性质
定义4 设属于，为定义域为的格林函数，如果它满足如下条件
1 是左连续的，且
2 对已知某点有调和函数，写作
3 设为定义域为的任意一调和函数，且满足条件
在三维条件下，如果，替换第二个条件同理可定义格林函数为如下形式
已知的边界是正向的，则得到格林函数的特殊形式，参见，特别的，当时是单连通的，得到格林函数。
取任意一点，对任意数t, ，记作
对任意属于的值是连通的，格林函数为。
引理3 是调和函数
对任意点有
证明对任意和，有
所以
当时趋于极值，得证。
注在情况下这个近似结果同样适用。
定理1 区域是在上单连通区域为的格林函数
证明设，，
其中
区域是连通的。对足够小的数满足
对于开集
集合A由偶数分量组成。然而，在函数的邻域中，我们能找到一点
所以为局部极值，与变量调和函数矛盾。而且，集合A不只包含两个分量。如果包含两个分量边界是平滑的。根据引理1，得
所以区域A至少含有4个连通分量。这说明开集由两个以上连通分量组成。因为这个区域是单连通区域，因此其中有一个分量是有界的，完全包含于。显然函数
是常量函数，等价于。与已知矛盾。
因此定理1，“单连通”条件，是必要条件。实际上，对于区域定理1是无效的。
4 黎曼定理的新证明
这部分我将在保角映射的基础上给出著名的黎曼定理的新的证明。在证明中我不会使用复杂的分析方法。
设
定理2 集合属于。当时，存在一对一保角映射
其中D为单位圆盘。
证明设固定一点，为定义域为的格林函数，在上，考虑如下动力系统
解方程
得
在每点的邻域里，方程（1）过点有一特解，参见。
在点的邻域里，方程（1）可改写为如下形式
解，得
是范数为一的向量。
对每点，能找到一个特殊向量，使得过点方程有一个解，同时点的邻域满足如下条件
定义一个映射
，取任意一点，让
显然是一对一映射而且
设为方程（1）的两个解。设在向量和向量的角度之间。
取任意数，组成有界区域U，边界曲线为
设是在点上区域U边界的单位外法线。对任意点，有
解，得
如果，我们有，是区域边界的单位外法线。如果，我们有，是区域边界的单位外法。因此
趋于极限，得
根据映射的定义，我们有
可以改写为
让充分小。选和组成等式
向量
和
是正交的。所以圆盘的图像是一个圆圈，作为第一近似值。一旦正交向量
和
满足条件
最后的条件成立，因为
注在点集上构造的映射我们有
在点上我们有
5 上的格林函数
定义5我们说区域是单连通区域，如果
1 对任意有界区域，当时，
2 在区域内的任意闭合曲线
引理4 设是在上的单连通区域。是边界光滑的有界区域，是它的格林函数
证明因为区域边界是光滑的，所以
假设
设是最大数，存在一点使得且
记作