3：函数四性
3.2.1函数的单调性 (2)(1)
邹平一中2020级高一数学导学案018 主备人：刘学兰审核人：贾新日期：10.12 3.2.1 函数的单调性 【学习目标】 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性． 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性． 3．会求一些具体函数的单调区间． 【自主学习】 一、设计问题，创设情境 问题1：观察上面几个函数的图象，说说它们各自有什么样的特点？ 问题2：以上三个函数图象，它们分别反映了相应函数的什么性质？ 二、学生探索、尝试解决 问题3;再去观察二次函数图象，在y轴左侧，函数值随着自变量的增大有怎样的变化趋势, y轴的右侧呢？ 问题4;你能用符号语言来描述这种变化趋势吗？ 问题5：尝试总结出单调递增和增函数的定义. 问题6;类比于单调递增和增函数的定义，写出单调递减和减函数的定义.
问题7：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？ 问题8：函数y ＝－1x 在定义域上是减函数吗？ 问题9：学习了增函数和减函数的定义后，你能给出函数单调性的定义吗? 三、运用规律，解决问题 例1 根据定义，判断函数f (x )＝3x+2在区间R 上的单调性并给出证明. 例2 根据定义,研究函数f (x )＝kx+b (k ≠0)的单调性. 例3 物理学中的玻意耳定律p= k V (k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试对此用函数的单调性证明.
例4 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数． 四、变练演练，深化提高 1. 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(1,+∞)上是增函数 2.. 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f (x )＝－1x ； (2)f (x )＝????? 2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1； 五、信息交流，教学相长 你能总结出用定义去证明函数单调性的步骤吗？
1.3.1函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 （1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.
▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数； （3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商
高一数学中函数的单调性4种求法
高一数学中函数的单调 性4种求法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减
函数的单调性及函数解析式的求法
知识点五：函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以 x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))； (4)方程思想：已知关于f (x )与f ? ?? ??1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)． 例6 （1）已知f ? ?? ??x ＋1x ＝x 2＋1 x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 变式．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式； (2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． 例7 已知2f （1/x ）+f （x ）=x(x ≠0) 。 求f （x ） 变式 已知f （1/x ）+af （x ）=ax(x ≠0，a ≠±1) 。 求f （x ）
函数单调性与最大（小）值 知识点一 增函数、减函数、单调性、单调区间的概念： 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间 如果对于内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 已知函数单调性求参数（简单） 一、选择题 1.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则() A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0 2.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是() A． (－∞，－2] B． (－∞，－1] C． [2，＋∞) D． [1，＋∞) 3.若函数f(x)＝a ln x＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是() A． (－∞，－2] B． (－∞，－1] C． [1，＋∞) D． [2，＋∞) 4.已知f(x)＝a ln x＋x2，若对任意两个不等的正实数x 1，x2都有>0成立，则实数a的取值范围是() A． [0，＋∞) B． (0，＋∞) C． (0,1) D． (0,1] 5.已知函数f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是() A． (－∞，) B． [，＋∞) C． (，＋∞) D． (－，) 6.函数f(x)＝e x－ax－1在R上单调递增，则实数a的取值范围为() A．R B． [0，＋∞) C． (－∞，0] D． [－1,1] 7.已知a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，则a＋b的取值范围为() A． (0，] B． [，＋∞) C． (0,1) D． (1，＋∞) 8.已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是() A．－3 B．－2 C． 2 D． 3 9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是() A． (－∞，－)∪[，＋∞) B． [－，] 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 基础过关练 题组一利用导数研究函数的图象变化 1.如图所示的是导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是() A.(x1,x3) B.(x2,x4) C.(x4,x6) D.(x5,x6) 2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为() 3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是() 4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 . 题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间 5.函数f(x)=x+ln x( ) A.在(0,6)上是增函数 B.在(0,6)上是减函数 C.在(0,1 e )上是减函数,在(1 e ,6)上是增函数 D.在(0,1 e )上是增函数,在(1 e ,6)上是减函数 6.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( ) A.y=sin x B.y=xe x C.y=x 3-x D.y=ln x-x 7.(2020河南开封五县高二上期末联考)函数y=1 x +3ln x 的单调递增区 间为( ) A.(0,1) B.(0,1 3) C.(1,+∞) D.(13 ,+∞) 8.(2020广西来宾高二下期末)函数f(x)=x 2ln x 的单调递减区间为( ) A.(0,√e ) B.(√e e ,+∞) C.(√e ,+∞) D.(0,√e e ) 9.求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3x2-2ln x; (2)f(x)=x2·e-x; . (3)f(x)=x+1 x 10.(2020天津部分区高二上期末)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R). (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值; (2)若a>0,求f(x)的单调区间. 已知函数单调性求参数范围 教学目标 1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题; 2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法; 3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点 已知单调性,利用导数求参数范围. 教学难点 不同问题的处理方法. 教学过程 (一)知识梳理 函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ). 1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则? ??==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立. (二)典例分析 例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值. 例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围. 例3 函数)0(22 1ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围. 例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围. 例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围. (三)课时小结 本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围. (四)备用练习 1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值. 2.函数)0(1)(2>+=a ax e x f x 在R 上为单调函数, 求a 的取值范围. 3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间） （3,0上有极值点，求参数k 的取值范围。 (五)作业布置 <<状元之路>>第48页 11,12 利用单调性求参数取值范围 学习目标 1. 能够根据函数的单调性求参数的取值范围 学习重点 1. 能够根据函数的单调性求参数的取值范围 难点 自主学习 (时间15 分钟) 自主探究下列问题 1.已知函数f(x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数，求参数a的取值范围 变式： 1 )已知函数f (x) 32 x3 ax2 3x 1 在[2,4] 上是单调递减函数，求参数 a 的取值范围； 2)已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在R上是单调函数，求参数a的取值范围。 3)已知函数f (x) X ax 3x 1在R上不是单调函数，求参数 a 的取值范围； (4)已知函数f(x) x3(1 a)x2 a(a 2)x b(a,b R)若函数f (x)在区间(1,1) 上不单调，求a的取值范围? (5)设f (x)= ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间 合作交流8分钟 1 3 3 2 2.如果函数f(x) x x 2x 1在定义域内的一个子区间(k,k+3)上单调递增，求 3 2 k的取值范围。 变式：如果函数f(x) 2x2 In x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数，求k的取值范围。 小组展示8分钟 1.已知函数f (x) x ax2 In x(a 0)若f (x)是单调函数，求a的取值范围 教师点拨6分钟 达标检测3分钟 1.已知函数f (x) In x 2x 3,若函数g(x) -x3 x2f '(x) m(其中 f (x)为f(x) 3 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m的取值范围 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 利用导数求单调性与已知单调性求参数范围，天差地别，你了解了吗？ 前面小数老师已经讲过两道了，分别是“通过分类讨论求函数的单调区间”与“不等式恒成立问题”，大家还记得吗？今天又是一道导数题，小数老师带大家来看第三种常考的类型，“已知函数的单调性，求参数的取值范围”，大家往下看吧！还是建议同学自己先试着做一下！ 这道导数题，函数解析式看着不是很复杂，第（1）问求函数的单调区间与最值，也不需要讨论，因为参数k的值已知，按照我们以前说的方法求解即可；第（2）问已知函数的单调性，求参数取值范围，是一个容易出错的点，下面小数老师重点与大家一起分析下！ 回顾1、对于函数y=f(x)， 若导数f’(x)在区间M上大于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递增； 若导数f’(x)在区间M上小于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递减。 2、对于函数y=f(x)， 若函数y=f(x)在区间M上单调递增，则导函数f’(x)在区间M上大于等于0； 若函数y=f(x)在区间M上单调递减，则导函数f’(x)在区间M上小于等于0； 3、关于含参不等式的恒成立问题，你还记得怎么做吗？ 小数老师再提醒下：首先先看能否参变量分离，如果能分离是最好的，如果不能分离，就按照之前说的规律寻找最值即可。有疑问的同学可以翻一下历史消息哈！ 4、关于函数单调性的说法，并不仅仅是像题目中直接告诉你哦，你看到的也有可能是这样的，还有可能是这样的： 这两种情况，都是告诉你函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增哦。好了，接下来跟小数老师一起来解题吧！ 解析 （1）当k=0时，所以 x (0,1) 1 (1,+ ∞) f’(x)+ 0 - f(x) 递增极大值递减 所以y=f(x)的最大值是f(1)=2. 注意：求函数的单调区间之前，千万别忘了函数的定义域哈！ （2）函数y=f(x)在区间[1,2]上单调，（未说明单调增还是单调减，所以此处应该有分类讨论） ①若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增，根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≥0，x∈[1,2], ②若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递减， 根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≤0，x∈[1,2], 课题：___函数的单调性___ 教学任务 教学过程设计 函数的单调性 一、选择： 1、如果函数y =)(x f 是R 上的奇函数又是减函数,那么函数))((x f f 是（ B ） (A )减函数、奇函数 (B )增函数、奇函数 (C )减函数、偶函数 (D )增函数、偶函数 2、下列函数中,在区间(－∞,0)上是增函数的是（ D ） (A )y ＝x 2－4x ＋8 (B )y ＝ax ＋3(a ≥0) (C )1 2 +-=x y (D ))(log 5.0x y -= 3、已知y=f(x)是偶函数,且在),0[+∞上是减函数,则f(1－x 2)是增函数的区间是（ D ） A ．),0[+∞ B ．]0,(-∞ C ．[1,0),(1,)-+∞ D ．(,1],(0,1]-∞- 4、已知f(x)是定义在R 上的偶函数,它在),0[+∞上递减,那么一定有（ B ） A ．)1()4 3(2+->-a a f f B ．)1()4 3(2+-≥-a a f f C ．)1()43(2+-<-a a f f D ．) 1()4 3(2+-≤-a a f f 5、函数 y =f (x )在A 上是增函数,在B 上也是增函数,则在A ∪B 上的单调性为（ C ） (A )增函数 (B )减函数 (C )不确定 (D )先增后减 二、填空： 6、一次函数y=kx+b,当k___＞0______时,函数为增函数,当k____＜0____时,函数是减函数. 7、函数y 的递减区间为 1,1?+? 8、如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(-∞,4]上是减函数,则a 的取值范围是 (],3-∞- 9、函数)86(log 2 2 1-+-=x x y 的单调递减区间为 [)2,+∞ ；函数2y x =-的单调递增区间为 ()2,3 10、函数y=f(x) (x ≠0)是奇函数,且当x ∈R +时是增函数,若f(1)=0,则不等式1[()]02 f x x -< 的解集为 __11,2??+? ? ???? ___________ 三、解答 11、已知函数()f x 式定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上式增函数,且(3)0f =,求满足()0f x ≥的x 的取值范 围. 答案：(] [),33,-∞-+∞ 12、证明函数4 ()f x x x =+在(),2-∞-上是增函数. 答案： 略 13、已知函数2 1 ++=x ax y 在区间(－2,＋∞)上是增函数,试求a 的取值范围 答案： 12 a ＞ 14、求函数2 22)2()2(28x x y ---+=的值域,并写出其单调区间 答案：函数2 22)2()2(28x x y ---+=在区间)1,(--∞和)1,0[上是增函数；在区间)0,1[- 和]1,(-∞上是减函 数 15、函数()f x =1log (0,1)1a x a a x +<≠-. ⑴求其定义域； ⑵判断其奇偶性及单调性并证明你的结论； 答案：1)()1,1-2)奇；10a ↑↓＞ ，＜a ＜1 一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则0)(≥'x f ;若函数单调递减,则 0)(≤'x f ”来求解. 例：若函数1)(23+-=ax x x f 在]2,1[上单调递减,求实数a 的取值范围. 思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解. )23(23)(2a x x ax x x f -=-=' 解析：方法一：由)(x f 在]2,1[上单调递减知0)(≤'x f ，即0232 ≤-ax x 在]2,1[上恒成立, 即x a 23≥ 在]2,1[上恒成立.故只需max )2 3(x a ≥, 故3≥a . 综上可知，a 的取值范围是［3,+∞). 方法二：当0=a 时，0)(≥'x f ,故)(x f y =在),(+∞-∞上单调递增，与)(x f y =在 ]2,1[上单调递减不符，舍去. 当0a 时，由0)(≤'x f 得0≤x≤ a 32，即)(x f 的减区间为]32,0[a ，由)(x f 在 ]2,1[上单调递减得23 2≥a ,得a≥3. 综上可知，a 的取值范围是［3,+∞). 针对性练习： 1．已知y ＝13 x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( ) A ．b ＜－1或b ＞2 B ．b ≤－2或b ≥2 C ．－1＜b ＜2 D ．－1≤b ≤2 解析 D 由题意，得y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0， 解得－1≤b ≤2. 2．函数f (x )＝13x 3＋12 (2－a )x 2－2ax ＋5在区间[－1,1]上不单调，则a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝x 2＋(2－a )x －2a ＝(x ＋2)(x －a )＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝a .若f (x )在[－1,1] 上不单调，则－10，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 教学目标：掌握含参数单调性的主体思路和步骤，对分类讨论要明确框架做到不重不漏 重点：1、含参数单调性的讨论；2、函数在某个区间单调求参数取值范围 难点：含参数单调性的讨论 一、基本知识点 A 、在参数范围内讨论单调性的解题的主体思路或步骤： 1.先明确定义域（通常针对的是对数函数） 2.求导，这时需要判断导数在定义域范围内是否存在恒正或恒负的情况（对于二次函数型的通过判别式来明确分类讨论的主体框架，对于含有对数函数的，可能需要通过二次求导来判定）。即在定义域范围内恒单调递增或递减。 3.当在定义域范围内导数有正有负，即存在极值点，这时令导函数的值为零，求出极值点（一般会含有2个极值点，这时要比较这2个极值点的相对大小，还有在定义域的相对位置） 4.根据参数的范围划分好单调区间。 B 、函数在给定某个区间内的单调，求参数的取值范围的解题思路或步骤： 主体思路跟上面类似，结合单调区间判定极值点相对位置。 C 、函数是给定的，单调区间是含有参数的解题思路和步骤： 先把函数的单调区间明确，而条件中的单调区间是函数单调区间的某个子集。 二、基础模块 例1. 设函数x kx x x f +-=2 3)( 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间; 例2. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠。求函数()f x 的单调区间与极值点。 例3. 已知函数321()1()3 f x x x ax a R =+++∈求函数()f x 的单调区间 例4. 已知函数f(x)=x 3-x 2 +bx+c.若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围; 例5. 已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围. 例6. 已知函数f （x ）=x 3+3x 2 若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【课题】3.3函数的单调性 【教学目标】 知识目标： ⑴理解函数的单调性的概念； ⑵会借助于函数图像讨论函数的单调性； 能力目标： ⑴通过利用函数图像研究函数单调性，培养学生的观察能力； ⑵通过函数单调性的判断，培养学生的数学思维能力． 【教学重点】 ⑴函数单调性的概念及其图像特征； ⑵简单函数单调性的判断 【教学难点】 定义推理函数单调性 【教学设计】 （1）用学生熟悉的主题活动将所学的知识有机的整合在一起； （2）引导学生去感知数学的数形结合思想．通过图形认识特征，由此定义性质，再利用图形（或定义）进行性质的判断； （3）在问题的思考、交流、解决中培养和发展学生的思维能力． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 Ｃ）随时间 过程行为行为意图间 回答下面的问题： （1）时，气温最低，最低气温为Ｃ，时气温最高，最高气温为°Ｃ． （2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地；6时到14时这个时间段内，气温不断地．问题2 下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况. 从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小． 归纳 类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性．质疑 引导 分析 说明 引导 总结 看图 分析 求解 观察 思考 求解 了解 向知 识点 引导 启发 学生 体会 读图 方法 股市 图主 要指 引导 学生 体会 变化 上升 下降 的描 述 引出 函数 单调 性 过 程 行为 行为 意图 间 *动脑思考 探索新知 概念 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性． 类型 设函数()y f x =在区间(),a b 内有意义． （ 一般地，对于函数在给定区间上任意两个不相等的值x 1， x 2，△x=x 2-x 1, ，△y=y 2-y 1, 当x y ??＞0时，那么就说，函数y=f(x)在这个区间上是增函数（图1）； 当 x y ?? ＜0时，那么就说，函数y=f(x)在这个区间上是减函数（图2）。 图（1） 图（2） 如果函数()f x 在区间(),a b 内是增函数（或减函数），那么，就称函数()f x 在区间(),a b 内具有单调性，区间(),a b 叫做函数()f x 的单调区间． 几何特征 函数单调性的几何特征：在自变量取值区间上，顺着x 轴的正方向，若函数的图像上升，则函数为增函数；若图像下降则函数为减函数． 判定方法 判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定． 归纳 说明 仔细 分析 讲解 关键 词语 强调 说明 引导 思考 理解 记忆 领会 理解 观察 了解 体会 带领 学生 总结 上述 图像 特点 得到 增减 概念 充分 讲解 函数 图像 变化 和增 减之 间的 关系 简单 说明 区间 端点 的问 题 数形 已知函数单调性求参数（较难） 一、选择题 1.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是() A． (－∞，＋∞) B． (－2，＋∞) C． (0，＋∞) D． (－1，＋∞) 2.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是() A．－1≤m≤1 B．－1 A． (－5，－1)∪(－1,1) B． (－5，－)∪(－，1) C． (－3，－)∪(－，1) D． (－3，－1)∪(－1,5) 6.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于() A． 1 B． 2 C． 0 D． 7.已知函数f(x)＝x2＋a ln x＋在(1,4)上是减函数，则实数a的取值范围是() A．a≤3 B．a<－ C．a≤－ D．a<3 8.若函数f(x)＝x3－kx2＋(2k－1)x＋5在区间(2,3)上是减函数，则k的取值范围是() A． [1，＋∞) B． [0,1] C． (－∞，0] D． [2，＋∞) 9.函数f(x)＝x3－mx2＋4x在[1,3]上是单调增函数，则实数m的取值范围是() A．m≤5 B．m≤ 函数的单调性 【教学目标】 知识与技能： 1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。 2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。 过程与方法： 1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明 情感态度与价值观： 1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。 2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】 教学重点：函数单调性概念的理解及应用。 教学难点：函数单调性的判定及证明。 【教法分析】 为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了： 1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。 2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。 3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。 【教学过程】 （一）问题情境 教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。 如何用学过的函数图象来描绘这些成语？ 设计意图：创设成语→图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。 （二）温故知新 1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。 观察得到：随着x值的增大，函数图象有 的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一 个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降 趋势。 2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？ 例如：初中研究2 =时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当 y x x>0时，函数值y随x的增大而增大。 回忆初中对函数单调性的解释： 图象呈逐渐上升趋势?数值y随x的增大而增大； 图象呈逐渐下降趋势?数值y随x的增大而减小。 函数这种性质称为函数的单调性。 设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。 （三）建构概念 问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ 利用函数的单调性求参数范围 王冠中 已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。本文将举例说明此类问题的求解策略。 例1 已知在上单调递减，求实数a的取值范围。分析：令，由为减函数知应为增函数，设，则只需恒成立，所以。 另一方面，，即恒成立，因，故，从而。综上所述，。 评注：本题常因没有考虑对数函数的定义域而产生错误。 例2 已知函数。 （1）若在上是增函数，求a的取值范围； （2）求在上的最大值。 分析：（1）设，则恒成立，又，只需，即。 （3）若，则当时，；若，则 ，当且仅当时，。 评注：本题若没有第一小题为铺垫，第二小题的解决会显得很困难。 例3 已知函数在区间（0，1）上是单调递增函数。 （1）求实数a的取值范围； （2）当取a最小值时，定义数列，，若，求证：； （3）在（2）的条件下，是否存在正实数p，使得，对一切整数都成立？若存在则求出的取值范围，若不存在试说明理由。 分析：本题脱胎于2003年石家庄市高三复习教学质量检测题，与2002年全国高考理科压轴题类似。 （1）要使在（0，1）上增函数，必须（0，1），只需，即。 （2）本小题在时，由导出，容易想到数学归纳法。假设，由（1）结论可知，从而。或证 ，当且仅当时取等号，由知（0，1）。 （3）因为，假设存在正实数满足题设条件，只需恒成立，因 故数列为递增数列，只需，即。 评注：本题3个小题的考查目的各有侧重，第（1）小题逆向考查了函数的单调性，并为第（2）小题的解决埋下了伏笔；第（2）小题比较隐蔽地考查了数学归纳法，这是目前高考命题的一个方向，借助函数单调性或基本不等式加以证明， 颇有特色；第（2）小题为存在型探索题，由，要求考生自觉地探求数列 的单调性，匠心独具，令人耳目一新，掩卷沉思，使人回味无穷。 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）y=x2-1;（2）y=-x2+2x+3; （3）y=x+1+(x-2)2;（4）y=x2-6x+9+x2+6x+9 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值作差变形定号下结论 ①取值，即_____________________________； ②作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ③定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 (-∞,+∞)上是减函数. （1）证明：f(x)=-x3+1在 x-x x2在(-∞,0)上是增函数； ▲定义法证明单调性的等价形式： 设x、x∈[a,b]，x≠x,那么 1212 (x-x)[f(x)-f(x)]>0?f(x1)-f(x2)>0?f(x)在[a,b]上是增函数； 1212 12 (x-x)[f(x)-f(x)]<0?1212f(x 1 )-f(x 2 ) <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x-x 12 (2)证明：f(x)=x2+1-x在其定义域内是减函数； （3）证明：f(x)= 1 法一：作差法二：作商 复合函数单调性的求法与含参数问题 （一）求复合函数解析式 例１、（1）设 f(x)=2x -3 g(x)=x 2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。 （2）已知：f(x)=x 2-x+3 求：f(x 1 ) f(x+1) （二）求复合函数相关定义域 一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 例1、（1） 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 （2）设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 （ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- 二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 例2、 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 三、已知复合函数()][x g f 的定义域，求()][x h f 的定义域 例3 、已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。 （三）复合函数的单调性 判断复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型： 例1、已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) (A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 2.1.3函数的单调性 基础练习 1.设（a,b）,（c,d）都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a,b)，x2∈(c,d)，x1已知函数单调性求参数(简单)
5.3.1 函数的单调性
已知函数单调性求参数范围公开课教案
利用单调性求参数取值范围
(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
利用导数求单调性与已知单调性求参数范围
[高中数学]3-4函数的单调性-教师
一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题
高三复习导数与函数---含参数的单调性问题
3.3函数的单调性
已知函数单调性求参数(较难)
必修一：1.3.1函数的单调性-教案
利用函数的单调性求参数范围
1.3.1函数的单调性例题
复合函数单调性的求法与含参数问题
2.1.3函数的单调性