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武汉科技大学2010-2011-1线性代数(本科)B卷答案

武汉科技大学

2010-2011-2线性代数期末试卷(本科B)

解答与参考评分标准

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．B A ,为n 阶矩阵，满足0=AB ，则必有（ C ）。 A. 0A = 或 0B =; B. 0A B +=; C. 0A = 或 0B =; D. 0A B +=； 2．设A 为n 阶可逆矩阵，则()*

A -等于（ D ）。 A. *A -； B. *A ； C. ()*n

A -； D. ()

*n A --；

3．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，

k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。

A. 1k α；

B.2k α；

C. 12()k αα+；

D.12()k αα-；

4．n 阶行列式001020

D n = 的值为（ B ）。

A ．!n ; B. (1)2

(1)!n n n --; C. (1)!n n -; D. !n -;

5．n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ）。 A ．互不相同的特征值； B. 互不相同的特征向量； C ．线性无关的特征向量； D. 两两正交的特征向量。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设A 为33?矩阵，B 为44?矩阵，且1A =-，2=B ，则=A B -8 ；

7．行列式1

111111x y y

+++=__xy __；

8．n 元齐次线性方程组0m n A X ?=有非零解的充分必要条件是 ()R A n < ； 9．设()()()1231,1,1,2,1,00,0,1ααα===,则12323ααα+-= ()4,3,1-；

10．设0是矩阵???

? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 。

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．计算行列式

11321

01123011

-- 。

解：

11321130

10111013

23012303100

000

----=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

0130133093

303093

-=--=--=-------．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

12．设0

2001

00000220

11A ??

= ?

?-??，求1A -。

解：因为020010

80002200

A =

=≠-，所以A 可逆； 1200A A A ??= ???，11

11200A A A ---??= ???

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分其中1112110142,,1110242A A --??

?? ? ?== ? ? ?

- ???

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以1

010010002110042110042A -?? ? ? ? ?= ?

?- ???

。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 13．求解齐次线性方程组1234512345

134512345233703230226054330

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 。

解：

2222131413232

23421231

233712

337332113048824A 102260211155

4331061212361233710004/3(1/3)(1/4)0122601004/3220033110011623000000r r r r r r r r r r r r r r r r r ????- ? ?

-----

?-= ? ?----- ? ?

-----????

-????- ?- ?+- ?+-- ???11/30000??

? ?

．．．．．．．．．．．．．．．．6分

所以，同解方程组为152534544

554/34/311/3x x x x x x x x x

x x =

??=??

=--??=??=

?，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

则1204/304/3,111/31001ξξ???? ? ? ? ?

? ?==-- ? ? ? ? ? ?????为一组基础解系，

所以，通解为1122x k k ξξ=+。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 14．设412221311A -?? ?= ? ?-??，132231B -??

= ? ?-??

，求X 使AX B =。

解:()13101222212231131~r r A B ---??- ? ? ?--?? ()31001021010153~001124r ???- ?

- ? ???

．．．．．．．．．．．8分 AX B = 且A 可逆

110

2153124X A B -?? ?

∴==-- ? ???

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

15. 求矩阵1123221311030323A ?? ?---

?= ?-- ?-??

的秩。解：11231123112

3221300390323~~1103002600260323032300

9A ?????? ? ? ?----

? ? ?= ? ? ?-- ? ? ?--??????

．．．．．．．．．．．．．．．6分

11230323~002600

0??

???

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以()3R A =。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

四、解答题（10分）

16．求矩阵100020012B ??

= ? ???

的特征值与对应的特征向量。

解：B 的特征多项式为2100

020(1)(2)012B E λλλλλλ

--=

-=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

当11λ=时，解方程()0B E x -=.由000011010010011000r B E ????

? ?

-= ? ? ? ?????

得基础解系1100P ?? ?= ? ???

，故1(0)kP k ≠是对应于11λ=的全部特征向量. ．．．．．．．．．7分当232λλ==时，解方程()20B E x -=.由1001002000000010010r B E -???? ? ?

-= ? ? ? ?????:

得基础解系2001P ??

= ? ???

，故2(0)k P k ≠是对应于232λλ==的全部特征向量. ．

．．．10分五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设()()()2,1,2,4,2,3,8,8,5,αβγ=-=-=-证明：存在数k 使得。证明：将()()()2,1,2,4,2,3,8,8,5αβγ=-=-=-代入2k αβγ+=得

()()()22,1,24,2,38,8,5k -+-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由此得

448,228,435k k k -=-+=-+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

分

它们有惟一解3k =。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 18. 设,A B 为n 阶方阵，且AB A B =+，证明：,A B 可交换，且1()A B B E -=-。证明：()()AB A B AB A B E E A E B E E =+?--+=?--=，．．．．．．．．．．．．．．2分所以,A E B E --互为逆矩阵，

()()B E A E E AB BA --=?=，即,A B 可交换，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ()()1

AB A B A B E B A B B E -=+?-=?=-。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．