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普朗克黑体辐射公式推导 - 副本

普朗克黑体辐射公式的推导

所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐

射能量相等时，辐射达到热平

衡状态。

实验发现：

热平衡时，空腔辐射的能量密

度，与辐射的波长的分布曲

线，其形状和位置只与黑体的

绝对温度 T 有关而与黑体的

形状和材料无关。

实验得到：

1. Wien 公式

从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：

ννννρνd T C C d )/exp(231-=

Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. ννπ

νρνd kT C

d Jeans Rayleigh 238=

-公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=?∞

0v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得

的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，

σ叫做Stefan-Bolzmann 常

数。

3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与

腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定：

（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；

（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和

吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。得到：

νννπνρνd kT h C h d ???

? ??-=1)/exp(1

833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-? 4，普朗克的推导过程：

把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为

)

.(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=

每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()νννν

d g G ?=0。借助几何方法求出()3

338νπνc

V G =

，取微分得()ννπννd c

V d g 2

38=

令E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，()ννd T u ,代表单位

体积,频率间隔在()νννd +,内的能量，于是()ννεννd g d T u V E

??∞

∞

==0

)(,，

的振子的平均能量代表频率为νε，()()ννπ

νννd c

g V d g 23~

81=≡

代表单位体积内频率间隔在()νννd +,内的振动自由度数。

应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为KT =ε与振子的频率无关，代入()()ννενd g d T v u ~

,=可以得到()ννπνd kT c

d T v u 2

38,=

，这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。

普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，

()()ννπ

νννd c

g V d g 23~

81=≡依旧认为他正确，但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦——波尔

滋蔓分布不对，问题出在振子能量取连续值上。Planck 假定：黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为v 的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即()ννεεnh n =→，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦——玻尔兹曼分布，即()

νβε

ανn

e a n --=)(代表频率为v 对的振子处于能级()v n ε的平均

数，于是振子的平均能量为()()∑∑∑∑-

n n

e e e e βε

βεβε

αβε

ανενεε，即

()()νβ

νεZ ln ??

= 其中()()

∑∞

=-=0

n n

e Z νβε

ν代表频率为v 的振子的配分函数，可以得到

()ν

βνβνh n h n e

e Z -∞

=--=

=∑11

。 ()()1

ln -=-=??-

=kT

h h e

h e h Z ννβνννβνε由此可以知道振子的平均能量与其

频率有关，能量均分定理不成立。把上式代入()()ννενd g d T v u ~

,=得到：

()1

8,/33-=kT h d e h c d T v u νν

νπν这就是普朗克辐射公式。此时辐射场的内能为

()()???∞

=∞

===-==-==0

33454

334

0/33

158,18/,18,n x n kT h n c h k a aT dx e x h kT c E kT hv x e

d h c d T u E ππννπ

ννν其中得令,

5，对 Planck 辐射定律的讨论：νννπνρνd kT h C h d ???

? ??-=1)/exp(1833 （1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)，

于是 Planck 定律化为 Wien 公式。

νννπνρνd kT h C h d ???

? ??-=1)/exp(1

833变为νννπνρνd kT h C h d )/exp(833-= ννννρνd T C C d Wien )/exp(231-=公式

2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h

v /kT)，则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。

普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式推导 The document was finally revised on 2021

Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans 公式 ννπνρνd kT C d Jeans Rayleigh 2 38= -公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且 ∞→=?∞ v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是 4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。 3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。得到： νννπνρνd kT h C h d ??? ? ??-=1)/exp(1 833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10 626.634 -? 4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为 ).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏α αk C 2,1=

普朗克黑体辐射公式推导(精.选)

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans 公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且 ∞→=?∞ v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4 T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。 3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。得到： νννπνρνd kT h C h d ??? ? ??-=1)/exp(1 833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634 -? 4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为) .(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1= 每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在( )νννd +,内的自由度数为()ννd g ，

黑体辐射公式的推导

普朗克和瑞利-金斯黑体辐射公式的推导 1 引言马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。

2 公式推导 2.1 普朗克公式和瑞利-金斯公式的推导黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体。黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程： 2222u+k u 0 (k )ωμε?== （1）用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)= 则（1）式可分解为三个方程： 22 2 22 222200 0x y z d X k X dx d Y k Y dy d Z k Z dz ?+=???+=???+=?? 其中2222x y z k k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为： 112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin ) x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =+++由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n E n ?=?及0D E ?=可得：

普朗克公式

普朗克公式的那些事材料科学与工程学院材料物理张培学号：1043011023 19世纪末，经典统计物理学在研究黑体辐射时遇到了巨大的困难：由经典的能量均分定理导出的瑞利-金斯公式在短波方面得出同黑体辐射光谱实验结果相违背的结论。同时，维恩公式则仅适用于黑体辐射光谱能量分布的短波部分。也就是说，当时还未能找到一个能够成功描述整个实验曲线的黑体辐射公式。为了解决经典物理学19世纪末面临的“紫外灾难”，普朗克吸收了维恩公式和瑞利－金斯公式的长处，利用热力学理论和熵能关系，于1900年10月19日“猜测”出了普朗克公式，经鲁本斯实验验证完全正确，很好地解决了前人的黑体辐射理论与实验结果的矛盾。b5E2RGbCAP 物理学中，普朗克黑体辐射定律<也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）<英文：Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率的函数： p1EanqFDPw 这个函数在时达到峰值。如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为

注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。因而和并不等价。它们之间存在有如下关系：DXDiTa9E3d 通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换：下表中给出了函数中每一个物理量的意义和单位：物理量含义国际单位制厘M-克-秒制辐射率，在单位时间内从单位表面积和单位立体角内以单位频率间隔或单位波长间隔辐射出的能量焦耳·秒-1·M -2·球面度 -1·赫兹-1，或焦耳·秒-1·M -2·球面度- 1·M -1 尔格·秒-1·厘M-2·赫兹-1·球面度-1 频率赫兹 (Hz> 赫兹波长 M (m> 厘M 开尔文普朗克常数焦耳·秒 (J·s> 尔格·秒厘M ／秒尔格／开尔文 (erg/K>

普朗克黑体辐射公式推导

量子力学结课论文：对普朗克黑体辐射公式的推证及总结

摘要：黑体辐射现象是指当黑体（空腔）与内部辐射处于平衡时，腔壁单位面积所发射出的辐射能量与它所吸收的辐射能量相等。实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状和组成物质无关。基于能量量子化的假设，普朗克提出了与实验结果相符的黑体辐射能量公式： ρv dν=8πhν3 3 ? 1 e hv kT?1 普朗克的理论很好地解释了黑体辐射现象，并且突破了经典物理学在微观领域内的束缚，打开了人类认识光的微粒性的途径［1］。本文主要介绍了普朗克公式的推导过程及其能量假设并将普朗克对黑体辐射的解释做了总结。关键词：黑体辐射能量量子化普朗克公式麦克斯韦-玻尔兹曼分布 1.普朗克的量子化假设：黑体以hν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的光子的能量. 且能量单位hν称为能量子，h为普朗克常量（h=6.62606896×10?34J?S） 2.普朗克公式的推导过程： 2.1任意频率ν下的辐射能量：

假设有一处于平衡状态的黑体，其内有数量为N 的原子可吸收或发出频率为ν的光子，其中N g 为这些原子中处在基态的原子数，N e 为处在激发态（此处指可由基态原子受频率为ν的光子激发达到的能态）的原子数，n 为频率为ν的光子平均数。则由统计力学中的麦克斯韦-玻尔兹曼公式[2]知： N e ∝N e ?E e N g ∝ N e ?E g 由此可得 N e N g =e ?Ee ?Eg =e ?h ν(2.1.1) 平衡状态下，体系内原子在两能级间相互转化的速率相等，且其速率正比于转化的概率和该状态下的原子数目。结合爱因斯坦系数关系［3］可得：N g n=N e (n+1)(2.1.2) 结合(2.1.1)，可解得：n =1 e h νkT ?1(2.1.3) 则该状态下光子总能量为： ε0= nhv =hv e h νkT ?1 (2.1.4) 2.2 v ~v +d v 频率段中可被体系接收的频率数目设所求黑体为规整的立方体，其长，宽，高分别为L x ，L y ，L z 。体积为V 0。不妨先讨论一维情况：体系线宽为L ，则L 必为光子半波长的整数倍，设其波数为K ，有

普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式推导 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans 公式 ννπ νρνd kT C d Jeans Rayleigh 238= -公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且 ∞→=?∞ v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是 4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。 3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。得到： νννπνρνd kT h C h d ??? ? ??-=1)/exp(1 833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10 626.634 -? 4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为 ).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏α αk C 2,1= 每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在( )νννd +,内的自由度数为()ννd g ，

黑体辐射定律

基尔霍夫热辐射定律基尔霍夫热辐射定律(Kirchhoff热辐射定律),德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫于1859年提出的传热学定律,它用于描述物体的发射率与吸收比之间的关系。简介一般研究辐射时采用的黑体模型由于其吸收比等于1(α=1),而实际物体的吸收比则小于1(1>α>0)。基尔霍夫热辐射定律则给出了实际物体的辐射出射度与吸收比之间的关系。 ?M为实际物体的辐射出射度,M b为相同温度下黑体的辐射出射度。而发射率ε的定义即为所以有ε=α。所以,在热平衡条件下,物体对热辐射的吸收比恒等于同温度下的发射率。而对于漫灰体,无论就是否处在热平衡下,物体对热辐射的吸收比都恒等于同温度下的发射率。不同层次的表达式对于定向的光谱,其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于半球空间的光谱,其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于全波段的半球空间,其基尔霍夫热辐射定律表达式为 ?θ为纬度角,φ为经度角,λ为光谱的波长,T为温度。参考文献

?杨世铭,陶文铨。《传热学》。北京:高等教育出版社,2006年:356-379。 ?王以铭。《量与单位规范用法辞典》。上海:上海辞书出版社普朗克黑体辐射定律普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱物理学中,普朗克黑体辐射定律(也简称作普朗克定律或黑体辐射定律)(英文:Planck's law, Blackbody radiation law)就是用于描述在任意温度T下,从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率就是频率的函数[1]: 这个函数在hv=2、82kT时达到峰值[2]。如果写成波长的函数,在单位立体角内的辐射率为[3]

普朗克黑体辐射量子理论

普朗克的假设在热力学中，黑体（Black body），是一个理想化的物体，它能够吸收外来的全部电磁辐射，并且不会有任何的反射和透射。随着温度上升，黑体所辐射出来的电磁波则称为黑体辐射。

“紫外灾难”：在经典统计理论中，能量均分定律预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机。）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释

光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。爱因斯坦的光电子假设

4.1普朗克黑体辐射理论

4.1普朗克黑体辐射理论【学习目标】 1．了解什么是热辐射及热辐射的特性，了解黑体与黑体辐射。 2．了解黑体辐射的实验规律，了解黑体热辐射的强度与波长的关系。 3．了解能量子的概念。【学习过程】一、黑体与黑体辐射 1．热辐射：我们周围的一切物体都在辐射__________，这种辐射与__________有关，所以叫热辐射。2．黑体如果某种物体能够____________入射的各种波长的电磁波而不发生________，这种物体就是绝对黑体，简称黑体。 3．黑体辐射：黑体虽然不反射___________，却可以_________________电磁波。注意：①一般物体的辐射与__________、____________、_______________有关，但黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的______________有关。 ②绝对黑体不存在，是理想化的模型二、黑体辐射的实验规律 1．辐射强度按波长分布与温度的关系特点：随温度的升高 ①各种波长的辐射强度都在_____________； ②辐射强度的最大值向_____________方向移动。 2．经典物理学所遇到的困难（1）维恩的经验公式：__________符合，____________不符合。（2）瑞利-金斯公式：___________符合，_____________荒唐。 3．超越牛顿的发现 1900年10月，_______________在德国物理学会会议上提出黑体辐射公式与实验结果非常吻合。三、能量子（1）普朗克的假设：组成黑体的振动着的带电微粒能量只能是某一最小能量值ε的__________，这个不可再分的最小能量值ε叫做__________。（2）能量子公式： ε＝hν，其中ν是电磁波的频率，h称为______________，h＝6.62607015×10-34J·s。（3）能量的量子化：在微观世界中能量是量子化的，或者说是微观粒子的能量是________的。

黑体辐射定律.

基尔霍夫热辐射定律基尔霍夫热辐射定律（Kirchhoff热辐射定律），德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫于1859年提出的传热学定律，它用于描述物体的发射率与吸收比之间的关系。简介一般研究辐射时采用的黑体模型由于其吸收比等于1（α=1），而实际物体的吸收比则小于1（1>α>0）。基尔霍夫热辐射定律则给出了实际物体的辐射出射度与吸收比之间的关系。 ?M为实际物体的辐射出射度，M b为相同温度下黑体的辐射出射度。而发射率ε的定义即为所以有ε=α。所以，在热平衡条件下，物体对热辐射的吸收比恒等于同温度下的发射率。而对于漫灰体，无论是否处在热平衡下，物体对热辐射的吸收比都恒等于同温度下的发射率。不同层次的表达式对于定向的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于半球空间的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于全波段的半球空间，其基尔霍夫热辐射定律表达式为 ?θ为纬度角，φ为经度角，λ为光谱的波长，T为温度。

参考文献 ?杨世铭，陶文铨。《传热学》。北京：高等教育出版社，2006年：356-379。 ?王以铭。《量和单位规范用法辞典》。上海：上海辞书出版社普朗克黑体辐射定律普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱物理学中，普朗克黑体辐射定律（也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）（英文：Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度T下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率的函数[1]：这个函数在hv=2.82kT时达到峰值[2]。如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为[3]

黑体辐射公式及基尔霍夫公式重新推导论证

实际原子的热辐射公式及爱因斯坦吸收系数确定彭国良福建省武夷山市环保局 ( 354300 ) E-mail (pengguoliang513@https://www.wendangku.net/doc/9f14381756.html, ) 摘要：本文通过假定绝对黑体同一般物质一样由分子组成，称为黑体分子。黑体分子满足在截面内所有频率的光子都被吸收，在截面外全部不吸收，也称为绝对黑体分子的吸收截面。对所有频率的光子都相同，所有真实的物质原子的吸收截面都不大于黑体分子的吸收截面，黑体分子的吸收截面也是黑体分子的辐射截面，所有实际原子的辐射截面都相同，都与黑体分子的吸收截面相等。在此基础上，根据基尔霍夫公式和普朗克公式可以推导出一个实际原子在各种温度下辐射热能谱的公式；根据原子中电子跃迁的几率与原子吸收相应光子的速率存在对应关系，可确定爱因斯坦吸收系数A ，吸收系数B 的函数关系。本文还推导了在两个不同温度原子之间辐射与吸收光子的相应关系。关键词：黑体辐射；活化光子吸收截面；辐射截面；爱因斯坦吸收系数。 1引言所有物体都能发射热辐射，而热辐射与光辐射一样，都是一定频率范围内的电磁波。1859年【1】，基尔霍夫（G.R.Kirchhoff ）证明，黑体与热辐射达到平衡时，辐射能量密度),(T f u 随频率变化曲线的形状与位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。1893年，维恩（W.Wien ）发现黑体辐射的位移律实验测得黑体辐射本领在不同温度下，随波长的变化规律。根据维恩位移公式，可以确定黑体的辐射本领极大值所对应的频率f m 与黑体绝对温度成正比。1900年10月19日，基尔霍夫的学生普朗克，在德国物理学会会议上提出了一个黑体辐射能量密度的分布公式。但普朗克黑体辐射公式只能应用于黑体辐射情况，而不能对实际原子的热辐射情况进行预测，实际上，现代就没有各种物质原子的热能谱辐射公式。原子能级之间的跳跃一般伴随着辐射的吸收和发射，这是原子体系与辐射场相互作用的结果。爱因斯坦在1917年提出的辐射的发射和吸收理论，他用清晰的物理概念简洁地给出了受激发射与自发发射，吸收系数三者之关系，即著名的A 、B 系数；并推导出A 、B 系数之间的关系,但爱因斯坦没能给出A 、B 系数单独存在的物理函数关系;本文将推导和阐明A 、B 系数单独存在的物理公式及其物理意义。 2. 黑体原子或黑体分子的热辐射场原子之间的碰撞也可以改变原子内部运动状态，引起原子激发，从而发出电磁辐射。原子动能越大，通过碰撞引起的原子激发就越高，从而发出的辐射量子的频率也就越高。而这种辐射量子的频率，则与辐射原子的内部能级结构有关[1][2][3][4][5]。考虑由大量原子组成的宏观系统。一定温度下，原子的动能有一个分布，则发出的辐射量子的频率也有一个分布。这时的辐射场，是由大量具有不同频率的辐射量子组成的宏观体系。其中具有哪些频率，

普朗克黑体辐射公式推导修订稿

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黑体辐射普朗克公式推导

黑体普朗克公式推导 1．空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。设空腔为立方体，如下图 x 图1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是 ??? ? ? ? ??? =?=?=?222λλλq z n y m x (1) 式中m 、n 、q 为正整数。将x x k λπ 2= 代入(1)式中，有 x m k x ?= π 则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： x x m x m k x ?=?--?= ?π ππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：

??? ? ? ? ????=??=??=?z k y k x k z y x πππ (2) 因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 V z y x k k k z y x 3 3 ππ= ???= ??? (3) x k y 图2 波矢空间在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为 ()k k k k k d 4d 3 4 34233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以 2 d 8d 422k k k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为 V k k V V M k 2 23 d /2ππ== (6)

普朗克黑体辐射公式推导

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 量子力学结课论文：对普朗克黑体辐射公式的推证及总结

摘要：黑体辐射现象是指当黑体（空腔）与内部辐射处于平衡时，腔壁单位面积所发射出的辐射能量与它所吸收的辐射能量相等。实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状和组成物质无关。基于能量量子化的假设，普朗克提出了与实验结果相符的黑体辐射能量公式：普朗克的理论很好地解释了黑体辐射现象，并且突破了经典物理学在微观领域内的束缚，打开了人类认识光的微粒性的途径［1］。本文主要介绍了普朗克公式的推导过程及其能量假设并将普朗克对黑体辐射的解释做了总结。关键词：黑体辐射能量量子化普朗克公式麦克斯韦-玻尔兹曼分布

1.普朗克的量子化假设：黑体以hν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的光子的能量.且能量单位hν称为能量子，h为普朗克常量（h=6.62606896） 2.普朗克公式的推导过程： 2.1任意频率ν下的辐射能量：假设有一处于平衡状态的黑体，其内有数量为N的原子可吸收或发出频率为ν的光子，其中N g为这些原子中处在基态的原子数，N e为处在激发态（此处指可由基态原子受频率为ν的光子激发达到的能态）的原子数，n为频率为ν的光子平均数。则由统计力学中的麦克斯韦-玻尔兹曼公式[2]知： N e N N g N由此可得 == (2.1.1) 平衡状态下，体系内原子在两能级间相互转化的速率相等，且其速率正比于转化的概率和该状态下的原子数目。结合爱因斯坦系数关系［3］可得：N g n=N e (n+1) (2.1.2)

黑体辐射定律

黑体辐射定律黑体辐射定律-概述黑体辐射定律黑体辐射定律，也简称作普朗克定律或黑体辐射定律（Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率ν的函数：式中：

I———辐射率（焦耳·秒-1·米-2·球面度 -1·赫兹-1）v———频率（赫兹） T———黑体的温度（开尔文） h———普朗克常数（焦耳·秒-1） c———光速（米/秒） k———玻尔兹曼常量（焦耳/开尔文）这个函数在时达到峰值。如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。因而I(ν,T)和I(λ,T)并不等价。它们之间存在有如下关系：通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换。黑体辐射定律-历史错误普朗克的“黑体辐射定律”创定在不同温度下，此定律在绝大多数情况下都成立，但如何在极微小的距离中稳定控制物体，达成能量传导的测试有极高的困难度。百多年来，科学家始终无法突破。而普朗克也对此定律在微距物体间是否仍成立，持保留态度。在讨论普朗克黑体辐射定律的历史时都犯了严重的错误。尽管这些错误概念在四十多年前就已经被物理学史的研究者们指出，事实证明它们依然难以被消除。部分原因可能在于，普朗克最初量子化能量的动机并不是能用三言两语就能够道清的，这里面的原因在现代人看来相当复杂，因而

不易被外人所理解。丹麦物理学家Helge Kragh曾发表过一篇文章清晰地阐述了这种错误是如何发生的。紫外灾难紫外灾难在经典统计理论中，能量均分定理预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背首先是尽管普朗克给出了量子化的电磁波能量表达式，普朗克并没有将电磁波量子化，这在他1901年的论文以及这篇论文对他早先文献的引用中就可以看到。他还在他的著作《热辐射理论》（Theory of Heat Radiation）中平淡无奇地解释说量子化公式中的普朗克常数（现代量子力学中的基本常数）只是一个适用于赫兹振荡器的普通常数。真正从理论上提出光量子的第一人是于1905年成功解释光电效应的爱因斯坦，他假设电磁波本身就带有量子化的能量，携带这些量子化的能量的最小单位叫光量子。1924年萨特延德拉·纳特·玻色发展了光子的统计力学，从而在理论上推导了普朗克定律的表达式。发展动机另一错误概念是，普朗克发展这一定律的动机并不是试图解决“紫外灾难”。“紫外灾难”这一名称是保罗·埃伦费斯特于1911年提出的，从时间上看这比普朗克定律的提出要晚十年之久。紫外灾难是指将经典统计力学的能量均分定理应用于一个空腔中的黑体辐射（又叫做空室辐射或具空腔辐射）时，系统的总能量在紫外区域将变得发散并趋于无穷大，这显然与实际不符。普朗克本人从未认为能量均分定理永远成立，从而他根本没有觉察到在黑体辐射中有任何“灾难”存

黑体辐射公式的量纲分析

收稿日期：2008.2.13 王明美(1956-)，女，江苏省南京市人，合肥师范学院物理与电子工程系副教授，主要从事普通物理和近代物理的教学和研究。黑体辐射公式的量纲分析王明美（合肥师范学院物理与电子工程系，合肥，230061） [摘要]量纲分析是研究物理问题的重要方法之一。本文对量纲分析的解题步骤做了梳理归纳，并对于黑体辐射公式进行了量纲分析。 [关键词]量纲分析；黑体辐射；矩阵量纲分析是研究物理问题的重要方法之一。利用量纲可以定性地表示出物理量与基本量之间的关系；可以应用它有效地进行单位换算；可以用来检验物理公式、方程的正确与否；特别是可以通过量纲分析法来推测某物理规律，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供定性指导。“在物理学中，仅仅靠量纲分析，也可得到某些重要结论。”[1] 量纲分析法在物理教学中也有重要的作用，通过单位和量纲，可以加深对物理基本概念、基本规律的理解，体会物理与数学的区别，有助于学生科学素质的培养；可以通过量纲分析法来探索某些物理规律，为教学和科研提供指导。 1 量纲分析法的一般步骤量纲是物理量的单位种类。量纲可以分为两类：基本量纲和导出量纲。基本量纲是人们选取的一组完全相互独立的量纲。导出量纲是由基本量纲组合或推导出来的量纲。在国际单位制中，确定了7 个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ，称为基本量纲。任一个物理量Q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，7 654321][x x x x x x x N J I T M L Q Θ=，幂次指数 7654321x x x x x x x 、、、、、、为量纲指数。 1.1 量纲的齐次原则量纲齐次性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲和谐性原理。表达物理过程或规律的方程或等式两边的量纲必须保持完全相同，就是量纲的齐次原则。如，与待求物理量Q 相关的全部物理量为E D C B 、、、、A ，则它们之间必存在物理关系 54321Q x x x x x E D C B A ∏=，其中∏为无量纲常数，54321x x x x x 、、、、为量纲指数。由量纲齐次原则确定了量纲指数，再由实验确定∏常数后，物理量之间的关系就建立起来了。 1.2 ∏定理设n 个有量纲的物理量（包括数）：n Y Y Y 、、21之间存在关系：0,F 21=）（n Y Y Y ，它们之间存在着物理学原因上的相互联系，前)(n m m <个量有基本量纲，而其余量的量纲

普朗克黑体辐射理论

普朗克黑体辐射理论【教学目标】一、知识与技能 1．了解什么是热辐射及热辐射的特性，了解黑体与黑体辐射。 2．了解黑体辐射的实验规律，了解黑体热辐射的强度与波长的关系。 3．了解能量子的概念。二、过程与方法了解微观世界中的量子化现象。比较宏观物体和微观粒子的能量变化特点。体会量子论的建立深化了人们对于物质世界的认识。三、情感、态度与价值观领略自然界的奇妙与和谐，发展对科学的好奇心与求知欲，乐于探究自然界的奥秘，能体验探索自然规律的艰辛与喜悦。【教学重点】能量子的概念。【教学难点】黑体辐射的实验规律。【教学过程】一、复习提问、新课导入教师：介绍能量量子化发现的背景： 19世纪末页，牛顿定律在各个领域里都取得了很大的成功：在机械运动方面不用说，在分子物理方面，成功地解释了温度、压强、气体的内能。在电磁学方面，建立了一个能推断一切电磁现象的Maxwell方程。另外还找到了力、电、光、声等都遵循的规律——能量转化与守恒定律。当时许多物理学家都沉醉于这些成绩和胜利之中。他们认为物理学已经发展到头了。 1900年，在英国皇家学会的新年庆祝会上，著名物理学家开尔文作了展望新世纪的发言：“科学的大厦已经基本完成，后辈的物理学家只要做一些零碎的修补工作就行了。”也就是说：物理学已经没有什么新东西了，后一辈只要把做过的实验再做一做，在实验数据的小数点后面在加几位罢了！但开尔文毕竟是一位重视现实和有眼力的科学家，就在上面提到的文章中他还讲到：“但是，在物理学晴朗天空的远处，还有两朵令人不安的乌云。”这两朵乌云是指什么

呢？一朵与黑体辐射有关，另一朵与迈克尔逊实验有关。然而，事隔不到一年（1900年底），就从第一朵乌云中降生了量子论，紧接着（1905年）从第二朵乌云中降生了相对论。经典物理学的大厦被彻底动摇，物理学发展到了一个更为辽阔的领域。正可谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。点出课题：我们这节课就来学习普朗克黑体辐射理论。二、新课教学（一）黑体与黑体辐射 1．热辐射现象固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到激发而发射电磁波的现象称为热辐射。所辐射电磁波的特征与温度有关。例如：铁块温度↑ 从看不出发光到暗红到橙色到黄白色从能量转化的角度来认识，是热能转化为电磁能的过程。 2．黑体教师：除了热辐射之外，物体表面还会吸收和反射外界射来的电磁波。不同的物体吸收和反射电磁波的能力是不一样的。概念：能全部吸收各种波长的电磁波而不发生反射的物体，称为绝对黑体，简称黑体。不透明的材料制成带小孔的空腔，可近似看作黑体。如图所示。教师注意强调：（1）黑体是个理想化的模型。（2）一般物体的辐射与温度、材料、表面状况有关，但黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的温度有关。 3．黑体辐射：黑体虽然不反射电磁波，却可以向外辐射电磁波，这样的辐射叫作黑体辐射。研究黑体辐射的规律是了解一般物体热辐射性质的基础。（二）黑体辐射的实验规律

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黑体普朗克公式推导 1．空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。设空腔为立方体，如下图 z x z y y x 图 1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是 x m 2 y n (1) 2 z q 2 式中 m、 n、 q 为正整数。将 k x 2 代入 (1)式中，有 x k x m x 则在 x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： m( m1) k x x x x 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：

k x x k y (2) y k z z 因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 3 3 k x k y k z (3) x y z V k z k k y k x 图 2 波矢空间在波矢空间中，处于 k 和 d k 之间的波矢 k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、 d k 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为 4 k 34 k d k 3 4 k 2 dk(4) 3 3 式中 k k 、 d k d k 。根据 (1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此 d k 和 d k 之间的、可以存在于V中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以 4 k 2 d k k 2 d k V k (5) 8 2 由 (3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为 V k k 2 d k M 2 V

式中乘以 2 是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的 2 倍。由于 k 2 ， d k 2 2 d ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波长 d 间隔的光波模式数为： M 8 4V d (7) 2．黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长的函数。可用单色能量密度来描述，其定义为：在单位体积内，波长附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量，量纲为J? m-4。根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度T 的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为 E h c e hc / K T 1 (8) 因此单色能量密度为 M E 8 hc 1 1 (9) V d 5 e hc / K T 即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到此单位面积的能量为c 附录1 4 。按照 (9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为 c 2 hc 2 1 (10) P 5 e hc / K T 4 1 这就是温度T 的黑体的光谱辐出度公式。附录 1 对于作用在如图 1 的空腔表面的驻波，设垂直于面积 A ，且立体角为d的方向上，光通量（单位时间通过的波的能量）为I 和-I，如图 3。

普朗克黑体辐射公式推导教学教材

普朗克黑体辐射公式推导