最新人教版八年级数学下册二次根式全章导学案(可编辑修改word版)
a
a
4
一、学习目标
第 16 章二次根式导学案
16.1二次根式(1)
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：
二、学习重点、难点
≥ 0(a ≥ 0) 和( a )2=a(a ≥ 0)
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
难点：综合运用性质≥ 0(a ≥ 0) 和( a )2=a(a ≥ 0) 。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）已知x2= a，那么a 是x 的; x 是a 的, 记为,
a 一定是数。
（2）4 的算术平方根为2，用式子表示为=；
正数a 的算术平方根为，0 的算术平方根为；
式子≥ 0(a ≥ 0) 的意义是。
（二）提出问题
1、式子表示什么意义?
2、什么叫做二次根式？
3、式子≥ 0(a ≥ 0) 的意义是什么？
4、( a )2=a(a ≥ 0) 的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习
自学课本第 2 页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，-
2、计算：
，3 4
a ≥ 0)
3 ，
(1) (4) 2(2) ( 3)2
a
a
a
3 16 x 2+1
3x - 4
2 + 2
x 3
a - 3 a a 5 5 -x （3） ( 0.5)2
（4） (
1 )2
3
根据计算结果，你能得出结论： ( a )2 = ，其中a ≥ 0 ,
( a )2 = a (a ≥ 0) 的意义是
。
3、当 a 为正数时 指 a 的
， 而 0 的算术平方根
是 ，负数
，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根
式
中，字母 a 必须满足
,
才有意义。
（三）合作探究
1、学生自学课本第 2 页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：
x 取何值时，下列各二次根式有意义？
①
③
2、（1 - 有意义，则 a 的值为 ．
（2）若 在实数范围内有意义，则 x 为（ ）。
A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数
（四）展示反馈 (学生归纳总结)
1. 非负数 a 的算术平方根 (a≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数 a 必须是非负数。
2. 式子 a (a ≥ 0) 的取值是非负数。
（五）精讲点拨
1、二次根式的基本性质( )2=a 成立的条件是 a≥0，利用这个性质可以
求二次根式的平方，如( )2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方
形式，如 5=( )2.
3 - a - 1
2 - x
x 2 - 4 2x + y 3 - x 3 2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 （五）拓展延伸
1、(1)在式子
1+ x
中，x 的取值范围是
.
(2)已知 + ＝0，则 x-y ＝
.
(3)已知 y ＝ + - 2 ,则
y x = 。
2、由公式( a ) )2 = a (a ≥ 0) ，我们可以得到公式 a=
( a )2
,利用此公式可以
把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1) 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
5
0.35
(2) 在实数范围内因式分解
x 2 - 7
4a 2
-11
（六）达标测试
A 组
(一)填空题：
1、 = ; ? ?2
? 2、?在5实?数范围内因式分解：
（1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ）(x- )
（2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2
= (x+ ) (x-
)
（二）选择题： 1、计算 （ ）
A. 169
B.-13 C±13 D.13 2、已知= 0,则x 为（ ） A. x>-3 B. x<-3
C.x=-3 D x 的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
1- 2x
x - 3
a 2 9 + 4 4 ? 9 9 4 - 2 25 36 A. 3= ( 3)2
B 0.5= ( 0.5)2
C . (
（一）选择题：
0.3)2 =0.3
D (5 B 组
7 )2 =35 1、下列各式中，正确的是（ ）。
A. =
C
= 9=+
- B = ? D
=
2、 如果等式( - x )2 = x
成立，那么 x 为（ ）。 A x≤0;
B.x=0 ;
C.x<0;
D.x≥0
（二）填空题:
1、 若 a - 2
2、分解因式：
= 0 ，则 a 2 - b = 。
X 4 - 4X 2 + 4= .
3、当 x= 时，代数式 其最小值是
。
二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质： = a
2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质
难点：综合运用性质 三、学习过程
（一）复习引入： = a ．
= a 进行化简和计算。 （1） 什么是二次根式，它有哪些性质？
a 2 a 2 4
4 4 2
5 6
42
202
a (-4)2
a a ? ?
（2） 有意义，则 x 。
（3） 在实数范围内因式分解：
x 2-6= x 2 - （ ）2= （x+
）(x-
)
（二）提出问题 1、式子
2、如何用
= a
表示什么意义?
= a
来化简二次根式? 3、在化简过程中运用了哪些数学思想?
（三）自主学习
自学课本第 3 页的内容，完成下面的题目：
= 0.22 = = =
1、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：
当 a > 0时, =
2、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a < 0时, =
3、计算：
（四）合作交流
1、归纳总结
=
当 a = 0时, =
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
? a = a = ?
0 ?- a a > 0 a = 0
a < 0 2、化简下列各式：
=
=
(3) =
a 2 a 2 02 a 2
(2x + 3)2
1
x - 2
2 - x x - 2
2 -
x
=
（a <0）
3、请大家思考、讨论二次根式的性质( 区别与联系。 （五）展示反馈 1、化简下列各式
a )2 = a (a ≥ 0) 与 = a 有什么
（1） 4x 2 (x ≥ 0)
(2)
2、化简下列各式 （1） (a ≥ 3)
（2） （x ＜-2）
（六）精讲点拨
利用
= a 可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，
达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。 （七）拓展延伸
(1) a 、b 、c 为三角形的三条边，则 + b - a - c =
.
(2) 把(2-x)
的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ）
A 、
B 、
C 、-
D 、-
(3) 若二次根式有意义，化简│x -4│-│7-x│。
（八）达标测试：
A 组
a 2 x
4
(a - 3)2 a 2 (a + b - c )2 x - 2
(2x - 1)2
(- 4)2
(x -
1
)2+ 4
x
1、填空：（1）、- (2x - 3)2(x ≥ 2) = .
（2）、=
2、已知 2＜x＜3，化简：+x - 3
B 组
1、已知0 ＜x＜1，化简：－
2、边长为 a 的正方形桌面，正中间有一个边长为
a
的正方形方孔．若沿
3
图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
一、学习目标
16.2二次根式的乘除
二次根式的乘法
1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
(x - 2)2
(x +
1
)2- 4
x
4 4 ? 9 16 2
5 100 36
4 16 100 2
5 2 4 难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行
二次根式的化简。
三、学习过程 （一）复习回顾 1、计算：
（1） × 9 =
=
（2） × =
（3） × =
2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）
（2） ×
（3） ×
（二）提出问题
1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的乘法法则进行计算？
3、积的算术平方根有什么性质？
4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习
自学课本第 5—6 页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空： （1）
（3） （2） ×
（4） 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？ 能用数学表达式表示发现的规律吗？
3、二次根式的乘法法则是：
（四）合作交流
6
9 27
5 5a 1
ab 5
5 3a 54
25 ? 49
9 27 1、自学课本 6 页例 1 后，依照例题进行计算： （1） × （2）2 ×3
（3） ·
（4） · ·
2、自学课本第 6—7 页内容，完成下列问题： （1） 用式子表示积的算术平方根的性质：
。
（2） 化简： ① ②
③ ④
（五）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于 × 的运算中不必把它变成后再进行计算，你有什么好办法？
（六）精讲点拨
2
1 b 3
12a 2b 2
100 ? 64
243
(-4) ? (-9) - 4 3a 2b 3 8 6 8 ? 6 16 16 x + 1 x - 1 5 5 5
3 2 1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求：
（1） 被开方数进行因数或因式分解。 （2） 分解后把能开尽方的开出来。
（七）拓展延伸
1、判断下列各式是否正确并说明理由。
（1） ＝ ?
（2） =ab
（3） 6 ×（-2 ）= 6 ? (-2) = - 12
（4） ? =
4 ? ? ＝ 4 ? 3 ＝12
2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -3
(2) - 2a
（八）达标测试：
A 组
1、选择题
（1） 等式 ? = 成立的条件是（ ）
A ．x≥1
B ．x≥-1
C ．-1≤x≤1
D ．x≥1 或 x≤-1
（2） 下列各等式成立的是（ ）．
A ．4 ×2 =8
B ．5 ×4 =20 - 9
3b
48
4 9 16 9
16 2 3
1 2a
x 2 - 1 5
3 2 5
3 2 (-2)2 ? 6 6 6 360 32x
4 18 3 2
75
a c (-4) ? (-6) - 4 - 6 4a 4 4 a 4 22 (a 2 )2 32 + 42 9 + 16 25 132 - 122 (13 + 12)(13 - 12) 13 + 12 13 - 12 25 8
6 C ．4 ×3 =
7 D ．5 ×4 =20
（3） 二次根式 的计算结果是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．6
D ．12
2、化简：
（1） ；
（2）
；
3、计算：
（1） ? ；
（2） ?
；
1、选择题
（1）若 a - 2 + b 2 + 4b + 4 + B 组
= 0 ，则
? ? =（ ）
A ．4
B ．2
C ．-2
D ．1
（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ）
A ． = ? =（-2）×（-4）=8
B ． = ? = ? = 2a 2
C ． = = = 5
D ． = = ? = ?1
2、计算：（1）6 ×（-2 ）；
（2）；
6
30 c 2
- c + 1 4 b 2
8 6 12ab
9 16
9 16
16 36 16 36
4 16
4 16
9 16
9
16
16
36
16
36
4
16
4
16
二次根式的除法
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程
（一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算：（1）3 ×（-4 ）（2）?
3、填空：（1）= ，=
（2）= ，=
（3）= ，=
（二）提出问题：
1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的除法法则进行计算？
3、商的算术平方根有什么性质？
4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？
（三）自主学习
自学课本第 8 页—第 9 页内容，完成下面的题目：
1、由“知识回顾 4 题”可得规律：
6ab3
2 5
3 4
2 3
2 5
3 2 3
64
2、利用计算器计算填空:
（1）
= （2）
= （3） =
规律：
3 2 2 4
3
5
3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：
。
把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：
。
（四）合作交流
1、 自学课本例 4，仿照例题完成下面的题目：
计算：（1）
（2）
÷
2、自学课本例 4，仿照例题完成下面的题目：
化简：（1）
（2）
（五）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1） 被开方数不含分母；
3 4 2 3
12 3
1 8
64b 2
9a 2
3 3 ? 3 2 5 5 ? 5
2 6
1
3 2
1 12
10 2 5
2 1
3 1 2 5 2
3
（2） 分母中不含有二次根式。
（六）拓展延伸 阅读下列运算过程：
= = 3 ， 3
= =
2 5
5 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1)
= （２） =
(３)
= (４)
=
（七）达标测试： A 组
1、选择题
（1）计算 ÷ ÷ 的结果是（ ）
．
A. 2
7
B. 2 C ． 7
D ．
2 7
（2）化简
-3 2 的结果是（ ）
27
A ．- 2
3 B ．- C ．- 6
3
D ．- 2、计算： 2 （1）
（2）48 1 3 2 5 11
3 5
2
2
2x 3
8x
1 4 96x 4
（3）
（4）
用两种方法计算： （1）
B 组
（2）
最简二次根式
一、学习目标
1、理解最简二次根式的概念。
2、把二次根式化成最简二次根式．
3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、学习重点、难点
重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。 三、学习过程 （一）复习回顾
1、化简（1） （2
2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质
化简二次根式达到的要求是什么？
9x 64 y 2
1 16
64 8
6 4 3
27
1 2 3 2 1 3 2.8 2
3
4
（二）提出问题： 1、什么是最简二次根式？
2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？
3、如何进行二次根式的乘除混合运算？ （三）自主学习
自学课本第 9 页内容，完成下面的题目： 1、满足于 ,
的二次根式称为最简二次根式.
2、化简:
(1)
(3) (4)
（四）合作交流
1、计算：
÷ ?
2、比较下列数的大小
（1） 与 （2） - 7
6与- 6
A
3、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
B
C
8 20
1 2 5
7
1? ( 2 - 1)
( 2 + 1)( 2 - 1)
1? ( 3 - 2) ( 3 + 2)( 3 - 2) 3 2 1
2 -
3 1 2 + 1
1 3 + 2
1 2009 + 2008
2009 AC=3cm ，BC=6cm ，求 AB 的长．
（五）精讲点拨
1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。
2、判断是否为最简二次根式的两条标准：
（1） 被开方数不含分母；
（2） 被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于 2．
（六）拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根 式：
= = 2 - 1 = 2 - 1 - 1，
=
=
3 - 2 = - ，
3 - 2
同理可得： = 2 -
，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（
+
+ ……+
）（ + 1）的值．
（七）达标测试：
A 组
1、选择题
1 2 + 1 2 1
3 + 2
3
x
y
x y
xy - a - 2 - a - 2
a - 2
x 4 + x 2 y 2 1 3 4 7 4 x 2
- 4 + 4 - x 2
+1
（1） 如果
（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．
A ． （y>0）
B ． （y>0）
C ． xy （y>0）
D ．以上都不对 y
（2） 化简二次根式a 的结果是
A 、
B 、-
C 、
D 、- 2、填空：
（1）化简 =
．（x≥0）
（2） 已知 x =
3、计算： ，则 x - 1
的值等于 .
x
（1） ÷ ?
(2) 3
? (- 1 8 1 4 ) ÷ 7
1、计算：
2
ab 5
? (- 3 b 2
B 组
a 3
b ) ÷ 3 （a>0,b>0）
2、若 x 、y 为实数，且 y= ，求 x + 2
? x - y 的值。
-
a + 2
a
2
a - 2
1
5 - 2
1
2
3 1 2 1 5 1
4 2 b a x + y
8 18
7 7 48 1
3
一、学习目标
16.3 二次根式的加减法二次根式的加减法
1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。 二、学习重点、难点
重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。 三、学习过程
（一）复习回顾
1、什么是同类项？
2、如何进行整式的加减运算？
3、计算：（1）2x-3x+5x
（2） a 2b + 2ba 2 - 3ab
（二）提出问题
1、什么是同类二次根式？
2、判断是否同类二次根式时应注意什么？
3、如何进行二次根式的加减运算？
（三）自主学习
自学课本第 10—11 页内容，完成下面的题目： 1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：
（1） 2 2与3 （2） 2与
（3） 5与 （4） 18与 从中你得到：
。
2、自学课本例 1，例 2 后，仿例计算：
（1） + （2） +2 +3
（3）3 -9
+3 2
3 20
12
9 ? 7
12
1 3 1 27
48 + 20) + ( 12 1
x x
通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应
。
（四）合作交流，展示反馈
小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时 6 分钟
(1) - (
- ) (2) ( - 5)
(3) x + -
+ y 2
（4） 2
x 3
- (x 2 - 6x x )
4
（五）精讲点拨
1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（六）拓展延伸
1、如图所示，面积为 48cm 2
的正方形的四个角是面积为 3cm 2 的小正方形，现将这四个角剪掉，制
12 4 y 1 y 9x 1 x