高中数学概率与统计解答题)汇总

概率与统计解答题

1、A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A 有效的概率为

32,服用B 有效的概率为2

1. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望。

（Ⅰ）解：设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2； B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2

依题意有 P(A 1)=2×13×23=49, P(A 2)=23×23=49, P(B 0)=12×12=14, P(B 1)=2×12×12=1

2,

所求的概率为p=P(B 0A 1)＋P(B 0A 2)＋P(B 1A 2)=14×49＋14×49＋12×49=4

9 …………6分

（Ⅱ） ξ的可能取值为0，1，2，3，且 ξ~B(3,4

9

),

∴ P(ξ=0)=(59)3=125729, P(ξ=1)=C 13×49×(59)2=100243, P(ξ=2)=C 23×(49)2×59=80243, P(ξ=3)=(49)3=64

729

∴ ξ的分布列为

数学期望E ξ=3×49=4

3

……………12分

2、设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2

0x bx c ++=有实根的概率．

.解:（I ）基本事件总数为6636?=，

若使方程有实根，则2

40b c ?=-≥，即b ≥

当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =；

当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =, 目标事件个数为54332219,+++++=

因此方程20x bx c ++= 有实根的概率为19.36 (II)由题意知，0,1,2ξ=，则 17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17

(2)36

P ξ==，

故ξ的分布列为

ξ

0 1 2

P

17

36 118 1736

ξ的数学期望17117

012 1.361836

E ξ=?

+?+?= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =

，7

()36

P MN =， ()7()()11P MN P N M P M =

=. 3、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交

点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n 层第m 个竖直通道（从

左至右）的概率为(,)P n m ．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）

（Ⅰ）求(2,1),(3,2)P P 的值，并猜想(,)P n m 的表达式．（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m 个竖直通道得到分数为ξ，其中4,133,46m m m m ξ-≤≤?=?-≤≤?

，

试求ξ的分布列及数学期望．

层 层

解：（1）01

01111

(2,1)222

P C ????== ? ?????，…………2分

11

12111(3,2)222

P C ????== ? ?

???? …………4分

11

1

(,)2

m n n C P n m ---= …………6分

（2）01

555515

(6,1)(6,6),(6,2)(6,5),232232

C C P P P P ===

=== 25510

(6,3)(6,4)232

C P P ===

…………9分

2316

E ξ=

…………12分

4、2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共

计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持

秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是

35

。 （1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；

（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率； （3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望。 解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A ，则A 的对立事件

为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 个，1≤x<6，

那么P （A ）=26263

15

x C C --= ，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华

大学志愿者4人； -----------------------3分

（2）记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件E ，

那么P （E ）=11242

6C C C =8

15

， 所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是8

15

；-------6分 （3）ξ的所有可能值为0，1，2，

P （ξ=0）=2426C C =25，P （ξ=1）=112426C C C 815=， P （ξ=2）=222

6C C =1

15

，-----8分 所以ξ的分布列为

------------------------11分

2812

012515153

E ξ=?+?+?=’ --------------12分

命题意图：本题考查了排列、组合、概率、数学期望等知识，考查了含有“至多、至少、

恰好”等有关字眼问题中概率的求法以及同学们利用所学知识综合解决问题的能力。 5、小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种．．症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为111

,236

、、现对三只小白鼠注射这种药物．

（I ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；

（II ）用ξ表示三只小白鼠共表现症状的种数．．

，求ξ的颁布列及数学期望． 解：（Ⅰ）用(12

,3)i A i =，表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，

用(1

2,3)i B i =，表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用(1

2,3)i C i =，表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝. 三只小白鼠反应互不相同的概率为

3

3123()P A P A B C = …………………3分

1111

62366

=???= ………………………5分

（Ⅱ）ξ可能的取值为321，，.

333

1112223331111(1)()2366

P P A B C A B C A B C ξ??????==++=++= ? ? ???????,

6

1

)3(=

=ξP ，………………………………………8分 32

61611)3()1(1)2(=--==-=-==ξξξP P P ．或

231121132212233313322

2

23

22

2

2

(2)

()1111(2326

111111112)363262633

P C P A B C A B C A B C A B C A B C A B C C ξ==?+++++????=?+?

? ?????????????+?+?+?+?= ? ? ? ?????????.……………………10分

所以，ξ的分布列是

所以，22

1

3322611=?+?+?

=ξE ．…………12分 6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取

该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），

重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，. . . ，

(]515,510.由此得到样本的频率分布直方图，如图所示

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量； （Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505

克的产品数量，求ξ的分布列；

（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率. 解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=?+??件 -------2分

（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2 （只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）

22824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,2122

4011

(2)130

C P C ξ===, （以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）

ξ的分布列为

------9分（每个2分，表1分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，

其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B ξ，------11分

故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3

225===C p ξ ------13分

7、张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1

2

；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35

． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．

遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从

上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则

031

2331111()=()()2222

P A C C ?+??=． 4分

所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为1

2

．

（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2

331

(=0)=(1)(1)4510P X -?-=，

33339

(=1)=(1)(1)454520P X ?-+-?=

， 339

(=2)=4520

P X ?=

． 8分

01210202020

EX =?+?+?=

． 11分 （Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1

(3,)2

Y B ，

所以13

322

EY =?=． 12分

因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好 14分

8、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.

解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , 1分

由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是1

3

， 3分

则4

265

()1()1381P A P A ??=-=-= ??? .

6分

(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, 7分

A 2 1

由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为

1

3

，且每个人下电梯互不影响， 所以，1

(4,)3

X

B . 9分

11分

14

()433

E X =?=. 13分

9、甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.

（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.

（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望. 解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知

2

32254

()C P A C C = 3分

111

10220

=

?=

. 5分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. 6分

23225431

(0)10620

C P X C C ====?， 7分

1121233322

5423337

(1)10620C C C C P X C C +??+====?， 9分 21332254333

(3)10620

C C P X C C ?====

?， 10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=

9

20

=

. 11分 X 12分

179317

()01232020202010

E X =?

+?+?+?=

. 13分 10、某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当

第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立。根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4。第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5。（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；

（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率； （3）设甲、乙、丙经过前后两次选拔后恰有两人合格的的概率； 解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件1A 、1B ；设E 表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则11()()P E P A B =?0.50.40.2=?=

4分

（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A 、B 、C ，则

()0.50.60.3P A =?=，()0.60.50.3P B =?=， ()0.40.50.2P C =?=。

8分

（3）经过前后两次选拔后合格入选的人数为ξ，则0ξ=、1、2、3。则

(0)0.70.70.80.392P ξ==??=，

(1)P ξ=0.30.70.80.70.30.80.70.70.2=??+??+??0.434=，

(3)0.30.30.20.018P ξ==??=

(2)P ξ=1(0.3920.4340.018)=-++0.156=（或者(2)P ξ=0.30.30.80.70.30.2=??+??

0.30.70.2+??0.156=）

。 ξ∴的概率分布列为

4

00.39210.43420.15630.0180.85E ξ∴=?+?+?+?==。

12分

11、某工厂有120名工人，其年龄都在20～60岁之间，

各年龄段人数按[20，30)，[30,40)，[40，50)，[50，60]分组，其频率分布直方图如下图所示.工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示.假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响。

(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全厂工人的平均年龄；

(2)随机从年龄段[20，30)和[30,40)中各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望。

解：（1）由频率分布直方图知，年龄段[)[)[)[)20,30,30,40,40,50,50,60，，，的人数的频率

分别为0.35,0.40,0.15,0.1；

；；； 因为0.3540140.440160.154060.1404?=?=?=?=；

；； 所以年龄段[)[)[)[)20,30,30,40,40,50,50,60，，，

应取的人数分别为14；16；6；4；………………………………………………3分

因为各年龄组的中点值分别为25；35；45；55；对应的频率分别为0.35,0.40,0.15,0.1；

；；； 则250.35350.4450.15550.135X =?+?+?+?=

由此估计全厂工人的平均年龄为35岁. ………………………………………6分 （2）因为年龄段[)20,30的工人数为1200.3542?=人，从该年龄段任取1人，

8分 因为年龄段[)30,40的工人数为1200.448?=人，从该年龄段任取1人，由表知，此

由题设X 的可能取值为0,1,2；

153170155343177

(0)(1)(1);(1)498392498498392

P X P X ==-

-===?+?=

31545

(2)849392

P X ==?=, 267()392E X =。…………………………………… 12分

12、 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据

x 6 8 10 12 y 2 3 5 6

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程???y bx a =+；

（3）试根据（II ）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力。

（相关公式：1

2

2

1???,.n

i i

i n

i i x y nx y

b

a

y bx x nx ==-?==--∑∑）

解：（Ⅰ）如右图：

┄┄┄┄┄┄┄┄3分

(Ⅱ)解：

y x i n

i i ∑=1

=6?2+8?3+10?5+12?6=158，

x =

68101294+++=，y =2356

44

+++=，

2

22221

681012344n

i i

x ==+++=∑，

2

15849414?0.73444920

b -??===-?，??40.79 2.3a y bx =-=-?=-， 故线性回归方程为0.7 2.3y x =-． ┄┄┄┄┄┄┄┄10分

(Ⅲ)解：由回归直线方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4. ┄┄┄┄12分

13、某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得

频率分布表如下：

(1)写出表中①②位置的数据；

(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学

生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；

(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第

四组的概率．

解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3；………………………………………4分

(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；……………………………8分

(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有

情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}

共有15种．………………………………………………10分

记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种

所以

93

()

155

P A==，故2人中至少有一名是第四组的概率为

3

5

．……14分

14、某市举行一次数学新课程培训，共邀请15名研究不同版本教材的骨干教师，数据如下表所示：

是多少？

(Ⅱ)培训活动随机选出2名代表发言，设发言代表中研究人教B版教材的女教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.

解：(Ⅰ)从15名教师中随机选出2名共2

15

C种选法，……(2分)

所以这2人恰好是研究不同版本教材的男教师的概率是

11642

158

35

C C C =。 ………………(4分)

(Ⅱ)由题意得0,1,2ξ= ………(6分)

21321526(0)35C P C ξ===； 1121321526(1)105C C P C ξ===；20

2132

151

(2)105

C C P C ξ===………(9分)

故ξ的分布列为

………(10分) 所以，数学期望2626140123510510515

E ξ=?+?+?= ………(12分)