最新-北大版高等数学课后习题答案完整版-精品
习题
1.1
22
22222222222222
22.
,,.3,3.3,
,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.
,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b
====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,
.,..,:
(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.
0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解
(1)222(1,3/2).
(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.
,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.
60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).
1
1,01,.
1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:
6.1200001)(1)1).
(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},
10
{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m
A A m A a b A
B
C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合
= 若则中有最小数-=证
7.(,),(,).1/10.|}.10n n n
n a b a b m
n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
642
6
6426426
666
13.(1,)
1).
13.(,).
1
3
||13,||1,3,
11
||3,(,).
y
y x
x x x
y
x
x x x x x x x
x x
x x x
y y x
=+∞
===<>
++
=-∞+∞
+
++++
≤≤>≤=
++
=≤∈-∞+∞
证明函数内是有界函数.
研究函数在内是否有界
时,时
证
解
习题1.4
22
1.-
(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.
1)0,|,
,||.,||,|,
(2)0
x a
x a x a x a x a
x a
a x a e e x a
x a x a
εδ
εε
εδδεε
→→→→
→=>===
?>=<<
<-<=-<<=?>
直接用说法证明下列各极限等式:
要使
取则当时故
证(
22
2222
,|| 1.||||||,
|||||2|1|2|,
1|2|)||,||.min{,1},||,
1|2|1|2|
||,lim
(3)0,.||(1),01),1
x a
x a a x a x a
a
x a x a x a x a
x a x a a a
a x a x a x a
a a
x a x a
x a e e e e e
e
ε
εε
εδδε
ε
εε
→
--
-<-=+-<
+≤-+<+
+-<-<=-<
++
-<=
?>>-=-<<-<<
不妨设要使由于
只需(取则当时故
设要使即(
.
1,
0ln1,min{,1},0,||,
1|2|
lim lim lim
0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,
2222
,|,|cos cos
x a
a
x a
a
x a x a x a
x a x a x a
e
e
x a x a e e
e a
e e e e e e
x a x a x a x a
x a x a x a x a
ε
εε
δδε
ε
δεδ
-→+→-→
<+
??
<-<+=<-<-<
?+
??
===
+-+-?>-==≤-
=-<-
取则当时
故类似证故
要使
取则当|时
...
(4)
2
|,lim cos cos.
2.lim(),(,)(,),()
.
1,0,0|-|,|()|1,
|()||()||()|||1||.
(1)1
(1)lim lim
2
x a
x a
x x
x a
f x l a a a a a u f x
x a f x l
f x f x l l f x l l l M
x
x
ε
δδ
εδδ
→
→
→→
<=
=-?+=
=><<-<
=-+≤-+<+=
+-
=
故
设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数
对于存在使得当 时从而
求下列极限
证
3.
:
2
00
2
2
2
22
000
00
2
2
1
2
2
2
lim(1) 1.
22
2sin sin
1cos111
22
(2)lim lim lim1.
222
2
(3)0).
22
(4)lim.
2233
2
(5)lim
22
x
x x x
x x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x x
a
x x
x x
x x
x x
→
→→→
→→
→
→
+
=+=
??
????
? ?
?
-????
?
====
?
?
??
==>
---
=
---
--
--
2
.
33
-
=
-
201030
30300
022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.1
3132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---??-== ?+++-++-+??
+-==+-
+214
442
100(2)3
1.(1)3244
.
63
(1)1(1)12(10)lim lim lim .
1(11)
lim x x x n
n n x
y y x x x x n n ny y y x y n x y y
→-→→→→→→→∞--==--+====-+
+
+-+-===-1011001
001
0100101
20.
(12)lim (0)./,(13)lim
(0)0,
, .(14)lim lim 1x m m m m
n
n n x n n m
m m n n x n
x x a x a x a a b b x b x b b a b m n
a x a x a a
b n
m b x b x b m n x --→-
-→∞→∞→∞==+++≠=+++=?+++?
≠=>?++
+?∞>?
=+2
1.
11/x =+
033
232
2
322
03
1
2(
1
2)
5
lim
(1
12
)
55
lim
.3(112)(16)0,l x x x x
x x x x x x x
x x x x x x a →→→→-+=+-+=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+??=??
=
00lim lim x a x a →+→+??=?==
000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim
lim lim cos .tan
sin sin(2)sin(2)2
(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5x
x x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x
x x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→??=+= ???=====-=-利用及求下列极限:
00()1/0
321.sin 5555
(4)lim lim 2cos sin
sin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.
(7)lim(15)
x x x a x a k
x
x
x
k k
k k x x x y
y x x x
x
x a x a x a a x a x a
k k k e x x x y →→+→→----→∞
→∞
→∞→=-===+--==--??????????+=+=+= ? ? ???????
????-=5
1/(5)50100
100
lim(15).
111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().
lim ():0,0,0|-|().
lim (y y x x
x x x x a
x x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞
→∞→→-∞
→→-∞
??-=????
??
??????+=++= ? ? ???????????
=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().
A x f x A =-∞>?><-?<-对于任意给定的存在使得当时
习题1.5
22
2 2
1.
(2)sin5.
(1)0,|.,
,|||||,0
555()
(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.
22
x
x x a
x
x x x x
x a x a
x a
εδ
εε
εδδε
εε
-
=
=
?>=<≤
<<=<<=
+-
?>-=<
试用说法证明
连续
在任意一点连续
要使只需
取则当时有连续.
要使
由于
证
000
000
555()
2|cos||sin|5||,5||,||,
225
,|||sin5sin5|,sin5
5
()()0,0||()0.
(),()/2,0||
(
x a x a
x a x a x a
x a x a x x a y f x x f x x x f x
f x x f x x x
f x
ε
ε
ε
δδε
δδ
εδδ
+-
≤--<-<
=-<-<=
=>>-<>
=>-<
只需
取则当时有故在任意一点连续.
2.设在处连续且证明存在使得当时
由于在处连续对于存在存在使得当时
证
00000
000
0000 )()|()/2,()()()/2()/20.
3.()(,),|()|(,),?
(,),.0,0||
|()()|,||()||()|||()()|,||.
f x f x f x f x f x f x
f x a b f x a b
x a b f x x x
f x f x f x f x f x f x f x
εδδ
εε
-<>-=>
∈>>-<
-<-≤-<
于是
设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立
任取在连续任给存在使得当时
此时故在连续其
证
000
1,
,(),()|1
1,
ln(1),1,
0,
(1)()(2)()
arccos, 1.
0;
lim()lim1(0),lim()(0)
x x x
x
f x f x
x
a
x x
x
f x f x
a x x
a x x
f x f f x f
π
→-→→+
?
=≡
?
-?
+≥
?
<
==?
<
+≥?
??
=====
逆命题
是有理数
不真例如处处不连续但是|处处连续.
是无理数
4.适当地选取,使下列函数处处连续:
解(1)
1111
2
sin2
lim
sin3
1.
(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,
ln2.
5.3:
(1)lim cos lim cos0 1.
(2)lim
(3)lim x
x x x x
x x
x
x
x
x
a
f x x f f x a x a f
a
e e
π
→
→+→+→-→-
→+∞→+∞
→
→
=
=+====-==
=-
===
=
=
利用初等函数的连续性及定理
求下列极限
sin22
sin33.
(4)lim arctan arctan1.
4
x
x
x x
e
π
→∞→∞
=
===
()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().
lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0
lim [(ln ())()]
ln 22.
7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.
1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈?≠==?=?+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:
间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.
,011,sin
,12,11
,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x x
π
?≤≤?
=?<≤?-??≤≤?-?
=<≤=???<≤-?间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.
0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().
y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ??===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,
将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解
习题1.6
00001.:()lim (),
lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.
2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞
→-∞
=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.
设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数
的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,
(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,
()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212
1211211211122122212121212
12),,(,),0,0,(,)()()
().
()(),.()(),()()()()()()
()(),
[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=
+==<+++=
≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.
4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().
()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().
5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤?∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得
如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].
(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.
f x x ξξξ-===+取
第一章总练习题