2018年广西南宁市中考数学试卷解析(含答案解析版)

2018年广西南宁市中考数学试卷解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1．（3.00分）﹣3的倒数是（）

A．﹣3 B．3 C．﹣D．

【分析】根据倒数的定义可得﹣3的倒数是﹣．

【解答】解：﹣3的倒数是﹣．

故选：C．

【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（3.00分）下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）

A．B．C． D．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．

3．（3.00分）2018年俄罗斯世界杯开幕式于6月14日在莫斯科卢日尼基球场举行，该球场可容纳81000名观众，其中数据81000用科学记数法表示为（）A．81×103B．8.1×104C．8.1×105D．0.81×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确

定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

【解答】解：81000用科学记数法表示为8.1×104，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3.00分）某球员参加一场篮球比赛，比赛分4节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为（）

A．7分B．8分C．9分D．10分

【分析】根据平均分的定义即可判断；

【解答】解：该球员平均每节得分==8，

故选：B．

【点评】本题考查折线统计图、平均数的定义等知识，解题的关键是理解题意，掌握平均数的定义；

5．（3.00分）下列运算正确的是（）

A．a（a+1）=a2+1 B．（a2）3=a5C．3a2+a=4a3D．a5÷a2=a3

【分析】根据单项式乘多项式、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方的运算法则，分别对每一项进行分析即可得出答案．

【解答】解：A、a（a+1）=a2+a，故本选项错误；

B、（a2）3=a6，故本选项错误；

C、不是同类项不能合并，故本选项错误；

D、a5÷a2=a3，故本选项正确．

故选：D．

【点评】此题考查了单项式乘多项式、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．

6．（3.00分）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（）

A．40°B．45°C．50°D．55°

【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．

【解答】解：∵∠A=60°，∠B=40°，

∴∠ACD=∠A+∠B=100°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ECD=∠ACD=50°，

故选：C．

【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．

7．（3.00分）若m＞n，则下列不等式正确的是（）

A．m﹣2＜n﹣2 B．C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n

【分析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．

【解答】解：A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；

B、将m＞n两边都除以4得：＞，此选项正确；

C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；

D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误；

故选：B．

【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

8．（3.00分）从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是（）

A．B．C．D．

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：列表如下：

积﹣2﹣1 2

﹣22﹣4

﹣12﹣

2

2﹣4﹣2

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，

所以积为正数的概率为=，

故选：C．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

9．（3.00分）将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）

A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=

（x﹣4）2+3

【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．

【解答】解：y=x2﹣6x+21

=（x2﹣12x）+21

=[（x﹣6）2﹣36]+21

=（x﹣6）2+3，

故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，

得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键．

10．（3.00分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

A．B．C．2D．2

【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．

【解答】解：过A作AD⊥BC于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD=1，AD=BD=，

∴△ABC的面积为=，

S扇形BAC==π，

∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，

故选：D．

【点评】本题考查了等边三角形的性质好扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．

11．（3.00分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）

A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100

【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．

【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，

根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨

，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．

故选：A．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．

12．（3.00分）如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP

沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（）

A． B． C． D．

【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF 的值．

【解答】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，

∴DC=DE=4，CP=EP．

在△OEF和△OBP中，，

∴△OEF≌△OBP（AAS），

∴OE=OB，EF=BP．

设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，

又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，

∴AF=AB﹣BF=1+x．

在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，

解得：x=，

∴DF=4﹣x=，

∴cos∠ADF==．

故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分)

13．（3.00分）要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥5．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，

解得x≥5．

故答案为：x≥5．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

14．（3.00分）因式分解：2a2﹣2=2（a+1）（a﹣1）．

【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=2（a2﹣1）

=2（a+1）（a﹣1）．

故答案为：2（a+1）（a﹣1）．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．（3.00分）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是4．

【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义求解可得．

【解答】解：∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，

∴x=5，

则数据为1、3、3、5、5、6，

∴这组数据为=4，

故答案为：4．

【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．

16．（3.00分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．

【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°，

则AB=AD=120m，

又∵∠CAD=30°，

∴在Rt△ADC中，

tan∠CDA=tan30°==，

解得：CD=40（m），

故答案为：40．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=

是解题关键．

17．（3.00分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是3．

【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出30+31+32+…+32018的结果的个位数字．【解答】解：∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，

∴个位数4个数一循环，

∴（2018+1）÷4=504余3，

∴1+3+9=13，

∴30+31+32+…+32018的结果的个位数字是：3．

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．

18．（3.00分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y=（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，则k1等于9．

【分析】设出点A坐标，根据函数关系式分别表示各点坐标，根据割补法表示△BEF的面积，构造方程．

【解答】解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（﹣a，0）

由图象可知，点C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，），F（﹣，）矩形ABCD面积为：2a?=2k1

∴S△DEF=

S△BCF=

S△ABE=

∵S△BEF=7

∴2k1+﹣+k1=7 ①

∵k1+3k2=0

∴k2=﹣k1代入①式得

解得k1=9

故答案为：9

【点评】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点坐标表示相关各点，应用面积法构造方程．

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答题因写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19．（6.00分）计算：|﹣4|+3tan60°﹣﹣（）﹣1

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式=4+3﹣2﹣2

=+2．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．（6.00分）解分式方程：﹣1=．

【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．

【解答】解：两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣3（x﹣1）=2x，

解得：x=1.5，

检验：x=1.5时，3（x﹣1）=1.5≠0，

所以分式方程的解为x=1.5．

【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

21．（8.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．

（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）

【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；

（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，

（3）根据勾股定理逆定理解答即可．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：

（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B=，

即，

所以三角形的形状为等腰直角三角形．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

22．（8.00分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识凳赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图：

成绩等级频数（人数）频率

A40.04

B m0.51

C n

D

合计1001

（1）求m=51，n=30；

（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应心角的度数；

（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．

【分析】（1）由A的人数和其所占的百分比即可求出总人数，由此即可解决问题；

（2）由总人数求出C等级人数，根据其占被调查人数的百分比可求出其所对应扇形的圆心角的度数；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率；

【解答】解：（1）参加本次比赛的学生有：4÷0.04=100（人）；

m=0.51×100=51（人），

D组人数=100×15%=15（人），

n=100﹣4﹣51﹣15=30（人）

故答案为51，30；

（2）B等级的学生共有：50﹣4﹣20﹣8﹣2=16（人）．

∴所占的百分比为：16÷50=32%

∴C等级所对应扇形的圆心角度数为：360°×30%=108°．

（3）列表如下：

男女1女2女3男﹣﹣﹣（女，男）（女，男）（女，男）

女1（男，女）﹣﹣﹣（女，女）（女，女）

女2（男，女）（女，女）﹣﹣﹣（女，女）

女3（男，女）（女，女）（女，女）﹣﹣﹣

∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种．

∴P（选中1名男生和1名女生）==．

【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（8.00分）如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．

（1）求证：?ABCD是菱形；

（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面积．

【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；

（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

∵BE=DF，

∴△AEB≌△AFD

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，AC=6，

∴AC⊥BD，

AO=OC=AC=×6=3，

∵AB=5，AO=3，

∴BO===4，

∴BD=2BO=8，

∴S

=×AC×BD=24．

平行四边形ABCD

【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

24．（10.00分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．

（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？

（2）现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W 关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．

【分析】（1）根据甲乙两仓库原料间的关系，可得方程组；

（2）根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式；

（3）根据一次函数的性质，要分类讨论，可得答案．

【解答】解：（1）设甲仓库存放原料x吨，乙仓库存放原料y吨，由题意，得

，

解得，

甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨；

（2）由题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库云原料（300﹣m）吨到工厂，

总运费W=（120﹣a）m+100（300﹣m）=（20﹣a）m+30000；

（3）①当10≤a＜20时，20﹣a＞0，由一次函数的性质，得W随m的增大而增大，

②当a=20是，20﹣a=0，W随m的增大没变化；

③当20≤a≤30时，则20﹣a＜0，W随m的增大而减小．

【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的性质，解（1）的关键是利用等量关系列出二元一次方程组，解（2）的关键是利用运费间的关系得出函数解析式；解（3）的关键是利用一次函数的性质，要分类讨论．

25．（10.00分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与

AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．

（1）求证：PG与⊙O相切；

（2）若=，求的值；

（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．

【分析】（1）要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°，由∠A与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBO，结合∠DBO+∠OBC=90°即可得证；

（2）求需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OM⊥AC、连接OA，证△BEF∽△OAM得=，由AM=AC、OA=OC 知=，结合=即可得；

（3）Rt△DBC中求得BC=8、∠DCB=30°，在Rt△EFC中设EF=x，知EC=2x、FC=x、BF=8﹣x，继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，从而得出答案．

【解答】解：（1）如图，连接OB，则OB=OD，

∴∠BDC=∠DBO，

∵∠BAC=∠BDC、∠BDC=∠GBC，

∴∠GBC=∠BDC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠DBO+∠OBC=90°，

∴∠GBC+∠OBC=90°，

∴∠GBO=90°，

∴PG与⊙O相切；

（2）过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，则∠AOM=∠COM=∠AOC，

∵=，

∴∠ABC=∠AOC，

又∵∠EFB=∠OGA=90°，

∴△BEF∽△OAM，

∴=，

∵AM=AC，OA=OC，

∴=，

又∵=，

∴=2×=2×=；

（3）∵PD=OD，∠PBO=90°，

∴BD=OD=8，

在Rt△DBC中，BC==8，

又∵OD=OB，

∴△DOB是等边三角形，

∴∠DOB=60°，

∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，

∴∠OCB=30°，

∴=，=，

∴可设EF=x，则EC=2x、FC=x，

∴BF=8﹣x，

在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，

∴100=x2+（8﹣x）2，

解得：x=6±，

∵6+＞8，舍去，

∴x=6﹣，

∴EC=12﹣2，

∴OE=8﹣（12﹣2）=2﹣4．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点．

26．（10.00分）如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；

（3）试求出AM+AN的最小值．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用等腰三角形的性质得B（3，0），然后计算自变量为3所对应的二次函数值可得到D点坐标；

（2）利用勾股定理计算出BC=5，设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣

m）=m+1，由于∠MCN=∠OCB，根据相似三角形的判定方法，当=时，△CMN∽△COB，于是有∠CMN=∠COB=90°，即=；当=时，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM=∠COB=90°，即=，然后分别求出m 的值即可得到M点的坐标；

（3）连接DN，AD，如图，先证明△ACM≌△DBN，则AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三边的关系得到DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），然后计算出AD即可．

【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OB=OA=3，

∴B（3，0），

∵BD⊥x轴交抛物线于点D，

∴D点的横坐标为3，

当x=3时，y=﹣×9+×3+4=5，

∴D点坐标为（3，5）；

（2）在Rt△OBC中，BC===5，

设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，

∵∠MCN=∠OCB，

∴当=时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，即=，解得m=，此时M点坐标为（0，）；

当=时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，即=，解得m=，此时M点坐标为（0，）；