2018-2019高二下学期(文科)数学期中模拟测试卷【原卷+答案】

2018~2019年度高二文科下学期期中考试试卷

姓名：__________ 得分：___________

命题人：刘滨 审题人：

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

1．复数21i

i -+在复平面上的对应点在( )．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．已知点M 的极坐标是52,

3

π?? ?

??，则点M 的直角坐标是（ ）

A

．

(1, B

．(- C

．)1

- D

．()

3．设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴

的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D.若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于

A.

2

B.

C.

D. 4

4．设x,y ∈R ，那么“x

y

x

>1”的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．执行如图所示的程序框图，输出的S=(

)

A ．25

B ．9

C ．17

D ．20

6．在△ABC

中，若，则△ABC 的形状是（ ）．

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．无法确定 7．数列1，2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1，............则此数列的第50项是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

8．若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->成立，则p 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞

9．过点P （2,1）且被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得弦长最长的直线l 的方程为（ ）． A ．

B

．

C ．

D ．

10．在不等式组所表示的平面区域内任取一点P ，若点P 的坐标(x,y)

满足的概率为

4

3

，则实数k ＝( ) A ．4

B ．2

C ．

D ． 11．椭圆

的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于

点，与轴正半轴交于，且

，过点

作直线交

椭圆于不同两点,则直线的斜率的取值范围是（ ）

A.

B.

C.

D.

12．已知函数???

??≤<+≤≤-+-=)20(1

1

ln

)

02(2)(2x x x x x x f ，若a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．)1,0(e

B ．)21

,0(e

C ．)1,33ln [e

D ．)21,33ln [e

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知圆的极坐标方程为，则圆的半径为__________． 14．已知满足约束条件

,则目标函数

的最大值是

_______.

15．已知抛物线28y x =的焦点为F ， P 是抛物线准线上一点， Q 是直线PF 与抛物线的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为__________． 16．设实数0λ>，若对任意的x ∈（e 2，+∞），关于x 的不等式lnx -e x λλ≥0恒成立，则λ的最小值为___

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+2c=2bcosA

（1）求角B 的大小；

（2）若b=23，a+c=4，求△ABC 的面积．

18．（本题12分）已知数列}{n a 的通项公式为1

21

-=n a n ，*∈N n . （1）求数列}2

{

n

n a a +的前n 项和n S ； （2）设1+=n n n a a b ，求}{n b 的前n 项和n T .

19．（本题12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为

（α为参数）.P 是曲线C 1上的动点，将线段OP 绕O 点顺时针旋转90°得到线段OQ ，设点Q 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；

（2）在（1）的条件下，若射线θ=3π

（ρ≥0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，

B 两点（除极点外），且有定点M （4,0），求△MAB 的面

20．（本题12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格

y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统

计如下表：

已知x 和y 具有线性相关关系.

（1）求y 关于x 的线性回归方程???y

bx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2.2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z 取到最大值？

参考公式： 122

1?n

i i i n i

i x y nxy b

x nx

==-=-∑

∑

.

21．（本题12分）设椭

圆

22

2

:1(

2

x y

M a

a

+=>的右焦点为

1

F，

点2

A

??

?

?

，若

11

2

OF F A

=（其中O为坐标原点）．

（Ⅰ）求椭圆M的方程．

（Ⅱ）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆()2

2

:21

N x y

+-=的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求PE PF

?的最大值．

22．（本题12分）已知函数()ln ,()x x

f x x ax

g x e

=-=

，其中a R ∈且0a ≠，e 为自然常数.

（1）讨论()f x 的单调性和极值；

（2）当1a =时，求使不等式()()f x mg x >恒成立的实数m 的取值范围

参考答案

1．D 【解析】21i i -+＝

(2)(1)3131(1)(1)222i i i i i i －－＝－＝－＋－，对应点为1

32

2?? ???,－，位于第四象限．

2．A

【解析】

552cos

1,2sin 33x y ππ

====,则点M

的直角坐标为(1,.

3．B 试题分析：不妨假设椭圆中的a=1，则()()12,0,,0F c F c -，

当x=c 时，由22221x y a b +=得2

2b y b a

=

=，即()2,A c b ，()2,A c b -， 设D （0，m ），∵1F ，D ，B 三点共线，∴22m b c c =-，解得2

2b m =-，即20,2b D ??- ???

，

∴若1AD F B ⊥，则11?=-AD F B

k k ，即22221+

-?=---b b b c c c

，即4234b c =，

)

22212c c c ==-=

2

20c +=

，解得c =

a=1，

∴离心率3

c e a == 4．B 【解析】

故选B

5．C 按照程序框图依次执行为

，

，

；

，，；

，

，

，

退出循环，输出

．故应选C ．

6．B 【解析】分析：根据正弦定理得，再根据余弦定理得

，即得

的形状.

详解：由正弦定理：

，故为

，

又∵，∴，

又∵，∴，

7．B

【解析】分析：分析给数列的变化规律，可以将数列如下分组：第一组个数，为；第二组个数，为

；第三组个数，为

，分析可得

项应该在第组，列举第组

的每个数，即可得到结论. 详解：根据题意，数列

，

可以将数列如下分组：第一组个数，为； 第二组个数，为；

第三组个数，为

，

前组共有个数， 第组有

个数，

第项应该在第组， 第

组为

，

则第项是，故选B. 8．D

【解析】解答：

因为对任意的x >0,恒有ln x ?px ?1?p ?

lnx 1

x

+恒成立， 设f (x )=

lnx 1

x +只须求其最大值， 因为f ′(x )= 2

lnx

x

-,令f ′(x )=0?x =1， 当00， 当x >1时,f ′(x )<0，

故f (x )在x =1处取最大值且f (1)=1. 故p 的取值范围是[1,+∞). 9．A

依题意可知过点

和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆的方程得

，圆心坐标为

，此时直线的斜率为，

∴过点和圆心的直线方程为，即

．

10．D 【解析】

试题分析：在平面直角坐标系上画出不等式组所表示的平面区域，区域的面

积为4，过原点作直线

，可以从选择之中选取一个值，在正方形内使直线上方

的面积为，且，恰好选择.

11．B 【解析】

，

，

，

又

，

，

，

．故选B ．

12．C 【解析】

试题分析：∵?

??

??≤<+≤≤-+-=)20(1

1

ln )

02(2)(2x x x x x x f ，∴()()???≤<+≤≤--=20,1ln 02,22x x x x x x f ，∵

a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，∴函数()x f 与函数

a ax y +=的图象有3个不同的交点；作函数()x f 与函数a ax y +=的图象如下，图

中()0,1-A ，()3ln 2，B ，故此时直线AB 的斜率()3

3

ln 103ln =---=

x k ；当直线AB 与

()()1ln +=x x f 相切时，设切点为()()1ln ,+x x ；则()()1

1

101ln +=---+x x x ，解得1-=e x ；

此时直线AB 的斜率e k 1=

；结合图象可知，e

a 1

33ln <≤；故选C ．

13．

【解析】由题圆的极坐标方程为

，则

，即圆的半径为

14．

试题分析：由已知作出可行域区域图，将目标函数化为，先作出直线

，

在可行域范围内平移直线

，考虑到直线

的截距为，所以当直线

与可行域弧相切时截距取得最大值，此时圆心（原点）到直线

的距离等于半径2，得，即.（如图所示）

15．20x y +-=或20x y --= 【解析】由题意可得

()2,0F ，设()()

2,,,P t Q m n

-,则()2,PQ m n t =+-,()2,QF m n =--，由2PQ QF =

可得

)22m m n t ?+=-??

-=??，解

得62m =-代入2

8y x =可

得)4

1n =

或)

4

1n =-,

故

4112QF

n k m ===--

，或

4112QF n

k m -===-，故直线PF 的方程为20x y +-=或20x y --=.

16． 实数

，若对任意的

，不等式

恒成立，

即为，设，所以，

令，可得：

，

由指数函数与反比例函数在第一象限有且只有一个交点，可得：

与

的图象在第一象限有且只有一个交点，设交点为

，

当时，

，

单调递增；

当

时，

，

单调递减.

令，可得：当时，满足方程；

即在单调递增，因为，所以在上单调递增，

所以当时，由可得：

，，等号成立，

所以，即的最小值为，

故答案是：.

17．（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角关系化简得，即得角（2）由余弦定理得，配方得

，解得，最后根据三角形面积公式求面积

试题解析：（1）因为，

由正弦定理，得．

因为，

所以．

即，

所以．因为，所以．又因为，

所以．

（2）由余弦定理及得，，

即．又因为，

所以，所以

．

18．（1）2

2n n +；（2）21

n

n +. 【解析】 试题分析：（1）由

242-=n a n ? 14212-=+=+n a a a n n n ?}2{n

n a a +是首项为3，公差为4的等差数列?n n n n n S n +=?-+

=2242

)

1(3；（2）由)1

21

121(211211211+--=+?-==+n n n n a a b n n n ?

)]1

21321()5131()311[(21---++-+-=

n n T n 1

2)1211(21+=

+-=n n

n . 试题解析：（1）因为

242-=n a n ，所以14212-=+=+n a a a n n n ，所以}2

{n

n a a +是首项为3，公差为4的等差数列.所以n n n n n S n +=?-+=2242

)

1(3. （2）因为)1

21

121(211211211+--=+?-==+n n n n a a b n n n ，

所以)]121

321()5131()311[(21---++-+-=n n T n

1

2)1211(21+=

+-=n n

n . 19．（1）见解析；（2）

【详解】

解：（1）由题设，得的直角坐标方程为

，

即，

故的极坐标方程为

，

即

.

设点，则由已知得，

代入的极坐标方程得

，

即

.

（2）将代入，的极坐标方程得，.

又∵，所以，

，

∴.

20．(1) 1.49.2?y

x =-+;(2)当年产量约为2.5吨时，年利润z 最大 . （1）可计算得3,5x y ==，

5

1=18+26+35+44+52=61i i

i x y =?????∑，

5

221

=535=75=10i i nxy x nx =??-∑，，

122161-75==-1.41?0n

i i i n i i x y nxy b x nx

==-∴=-∑∑， ()-5 1.439.2??a

y bx ==--?=， ∴y 关于x 的线性回归方程是 1.49.2?y

x =-+. （2）年利润()2

2.2 1.47z x y x x =-=-+，

其对称轴为7

2.52.8

x =

=，故当年产量约为2.5吨时，年利润z 最大. 21．（Ⅰ）22

:162

x y M +=（Ⅱ）PE PF ?的最大值为11． 【解析】试题分析：

（Ⅰ）结合题意可得所以

(

)

22

112,0,OF a F A ??=

-=??

，由

112OF F A =可解得26a =，故得椭圆方程。（Ⅱ）设圆N 的圆心为N ，由向量的知

识可得2

1PE PF NP ?=-，从而将求PE PF ?的最大值转化为求2

NP 的最大值．设

()00,P x y 是椭圆M 上的任意一点，可得()()2

2

2

2

0022112NP x y y =+-=-++，所以当01y =-时， 2

NP 取得最大值12， 从而PE PF ?的最大值为11． 试题解析：

（I ）由题意知，

2A ??

??

，

)

1

F ，

所以

(

)

22

11

2,0,

OF a F A

??

=

-=??

由112OF F A =，

22?=，

解得26a =，

所以椭圆M 的方程为22

:162

x y M +=． （II ）设圆()2

2:21N x y +-=的圆心为N ，

则()()(

)()

22

PE PF NE NP NF NP NF NP NF NP NP NF ?=-?-=--?-=-

2

1NP =-．

从而求PE PF ?的最大值转化为求2

NP 的最大值． 设()00,P x y 是椭圆M 上的任意一点，

则22

00162

x y +=，所以22

0063x y =-，

又点()0,2N

，

所以()()2

2

2

2

00022112NP x y y =+-=-++．

因为02,y ?∈-?，

所以当01y =-时， 2

NP 取得最大值12，

所以PE PF ?的最大值为11．

22．（1）当0a >时，0x >，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x 有极小值(1)1ln f a =-；当0a <时，0x <，'1

()0x f x x

-=>，

所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，无极值；（2）(,)e -∞． 【解析】

试题解析：（1）因为()ln ,0,f x x ax a a R =-≠∈， 所以当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞； 当0a <，()f x 的定义域为(,0)-∞.

又()ln ln ln f x x ax x x a =-=--，'11

()1x f x x x

-=-

=

， 故当0a >时，0x >，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，

()f x 有极小值(1)1ln f a =-；

当0a <时，0x <，'1

()0x f x x

-=>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，无极值. （2）解法一：

当1a =时，()ln f x x x =-，由（1）知当且仅当1x =时，min ()1f x =，

因为'1(),0x x

g x x e

-=>，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 当且仅当1x =时，max 1

()g x e =.

当0m ≤时，由于min ()0,()1x x

g x f x e =>=，所以()()f x mg x >恒成立；

当0m >时，max [()]m

mg x e

=，

要使不等式()()f x mg x >恒成立，只需1m

e

>，

即m e <.

综上得所求实数m 的取值范围为(,)e -∞. 解法二：

当1a =时()ln f x x x =-，所以0,()0x x

x g x e

>=

>， 故()(ln )

()()()x f x e x x f x mg x m g x x

->?<=

令(ln )()x e x x F x x -=，则'

2

(1)(ln 1)()x x e x x F x x --+=.

由（1）可知ln 0x x ->，

所以当1x >时，'

()0F x >，当01x <<时，'

()0F x <， 所以min ()(1)F x F e ==.

故当m e <时，不等式()()f x mg x >恒成立

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