〖附13套高考模拟卷〗河北省冀州中学2020-2021学年高三下学期第一次月考数学含解析

河北省冀州中学2020-2021学年高三下学期第一次月考数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且

直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A

．

4

B

．

3

C

．

5

D

．

2

2．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90?到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A

．5

-

B

．5

-

C

．

5

D ．25

-

3．已知函数()x

e f x ax x

=-，(0,)x ∈+∞，当21

x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞

B ．(,)e -∞

C ．,

2e ?

?-∞ ???

D ．,2

e ??-∞ ??

?

4．设12,F F 分别是双线2

221(0)x y a a

-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线

的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=

B

．0y ±=

C

．0x ±=

D ．30x y ±=

5．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为19

30

，且()()

23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49

-

B ．

23

C ．

3

2

或49-

D ．

3

2

6．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，

得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )

A ．10

B ．50

C ．60

D ．140

7．直角坐标系 xOy 中，双曲线22

22 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、

B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率

e =（ ） A ．

4

3

B ．

54

C ．

65

D ．

76

8．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +

B ．66i -

C ．5i

D ．13

9．若x yi +(,)x y ∈R 与31i

i

+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0

B ．3

C ．－1

D ．4

10．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：

①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60?其中正确命题的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ?=，则z =（ ） A ．3

B ．3i

C ．3±

D ．3i ±

12．函数()()ln 12f x x x

=++-的定义域为（ ） A ．()2,+∞

B ．()()1,22,-?+∞

C ．()1,2-

D ．

1,2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设全集U =R ，{|31,}A x x x Z =-<≤∈，{

}

2

|20,B x x x x R =--≥∈，则U

A B =______.

14．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，

5,15,25PA BC PB AC PC

AB ======，则球O 的表面积为__________.

15．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 16．已知()1n

x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2

()(1)ln f x x ax a x =-+-

（I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()1112221

2,,P x f x P x f x x

x <，存在()012,x x x ∈，

使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：12

02

x x x +<. 18．（12分）已知数列{}n a 满足

112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，31

5

a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求证：数列1

{}n

a 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1

{

}n a 的前n 项和为n S ，+114

n n n n b a a S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB =2BC ，点Q 为AE 的中点.

（1）求证：AC//平面DQF ；

（2）若∠ABC=60°，AC ⊥FB ，求BC 与平面DQF 所成角的正弦值.

20．（12分）己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （1）求使不等式0n a ≥成立的最大自然数n ；

（2）记数列11n n a a +??????

的前n 项和为n T ，求证：1312

2525n T -≤≤

. 21．（12分）已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C ．

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？

（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.

22．（10分）如图，ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，4AB =，23EB =．

（1）求证：DE ⊥平面ACD ；

（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥B-ACE 的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【解析】 【分析】

先求出直线l 的方程为y 22

2ab a b =

-（x ﹣c ），与y ＝±b

a

x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】

双曲线22

22x y a b

-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，

∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 22

2ab

a b =

-，

∴直线l 的方程为y 22

2ab

a b =

-（x ﹣c ），

与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 22

2abc

a b

=+，

∵2AF FB =， ∴

222abc a b =+2?22

23abc

a b -，

∴a 3=b ， ∴c ＝2b ， ∴e 23

c a =

=

． 故选B ． 【点睛】

本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 2、A 【解析】 【分析】

设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβ，利用诱导公式即可得到答案.

【详解】

如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β

因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2

2

25

sin 12β 依题有OA OB ⊥,则90α

β，

所以25

cos cos(90)sin 5

αββ

， 故选：A 【点睛】

本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 3、D 【解析】

【分析】 由

()()122

1

f x f x x x <

变形可得()()1122x f

x x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由

()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.

【详解】

(0,),x ∈+∞

()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.

则()20x

g x e ax '=-≥恒成立.

2x

e a x

∴≤.

令()x e m x x =,则2

(1)()x

x e m x x -'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.

min 2()(1),2

e

a m x m e a ∴≤==∴≤

故选:D. 【点睛】

本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难. 4、B 【解析】 【分析】

由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ?为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率. 【详解】

如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ?

∠=，

和. 故选：B

【点睛】

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题. 5、D 【解析】 【分析】

根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】

依题意，得()()

230a b a b -?+=，即2

2

3520a a b b -?-=.

将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32

λ=

（4

9λ=-舍去）.

故选：D. 【点睛】

本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 6、C 【解析】

从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为(0.050.01)50.3+?=，即分层抽样的50户中有0.3×

50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为15

2006050

?=，故选C 7、D 【解析】 【分析】

根据题干得到点A 坐标为()

33x x ，代入抛物线得到坐标为()

63b b ，再将点代入双曲线得到离心率. 【详解】

因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为3

3

y x =

，设点A 坐标为()

33x x ，代入抛物线得到

x=2b,故点A 的坐标为()

6b ，代入双曲线得到22137

.366

b e a =?== 故答案为：D. 【点睛】

求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c

e a

=

；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 8、A 【解析】 【分析】

利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】

由复数的乘法法则得()()2

2332656125i i i i i +-=+-=+.

故选：A. 【点睛】

本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题. 9、C 【解析】 【分析】 计算

3121i

i i

+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】

3121i

i i

+=+-，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念. 10、B 【解析】 【分析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正

的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与

CD 所成角判断④的正误．

【详解】

解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==，1190AC B ∴∠≠?即1AC 与11B C 不垂直，又

11//BC B C ，∴①不正确；

对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ?中，15AD DC ==，而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；

对于③由②可知，在1ADC ?中，3DF =，连结CF ，易知2CF =，而在Rt CBD ?中，5CD =，

222DF CF CD ∴+=，

即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；

()10,0,0A ， (

)1

3,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， (

)

3,1,1D

；

()10,2,2AC =-， (

)

3,1,1CD =

--；

异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||

AC CD AC CD θ==，故90θ=?．④不正确．

故选：B ．

【点睛】

本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． 11、C 【解析】

【分析】

设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ?=求得a ,b 即可. 【详解】

设z a bi =+,则z a bi =-,

因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ?=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】

本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用. 12、C 【解析】 【分析】 【详解】

函数的定义域应满足20

,1 2.10x x x ->?∴-<

+>?

故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、{0,1} 【解析】 【分析】

先求出集合A ，B ，然后根据交集、补集的定义求解即可． 【详解】

解：{2,1,0,1}A =--，{|1B x x =≤-或2}x ≥； ∴

{|12}U

x x B =-<<；

∴{0,1}U

A B ?=．

故答案为：{0,1}． 【点睛】

本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题． 14、30π 【解析】