电路_李裕能_第10章拉普拉斯变换及网络函数

第10章拉普拉斯变换及网络函数

本章的主要内容有：拉普拉斯变换的基本概念，拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系；拉普拉斯变换的基本

性质；拉普拉斯反变换；电路定律的运算形式，运算电路，应用拉普拉斯变换分析线性电路中的过渡过程；

网络函数的定义及其性质，复频率平面及网络函数的零点与极点；极点、零点与冲激响应，极点、零点与

频率响应;拉普拉斯变换与正弦稳态相量法之间的对应关系。

10.1拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

概述——求解动态电路的两种方法比较

经典法在第九章，主要介绍了用时域分析法分析一阶电路和二阶电路的动态过程，其要点是运用数

学方法，列写换路后电路的微分方程、解微分方程、由电路的初始条件确定积分常数。这种方法也称为经

典法。

时域分析法有其优点：数学推导严密，物理概念清晰。但是运用时域分析法分析高阶电路时就比较麻

烦：首先，将描述储能元件电压、电流关系的一阶微分方程组化为单一变量的高阶微分方程的运算复杂；

其次，求解高阶微分方程的特征方程的特征根运算量大；最后，确定电路的初始条件、定积分常数相当麻

烦。另外，当电路中有冲激电源或者冲激响应时，时域分析法在确定初始条件时也比较困难。

复频域分析法复频域分析法的要点是将时域电路转换成运算模型，正如在正弦稳态相量法分析稳态

电路时将时域电路转化成相量模型，将描述动态电路的微分方程，变换成为相应的代数方程，将求解微分

方程的全解转化成求解代数方程，由代数方程的解对应找出原微分方程的解。

这种方法的优点在于将描述动态过程时域电路转换成为复频域形式的运算电路，由运算电路形成代数

方程，它既不需要列写电路的微分方程；也不需要由电路的初始条件确定积分常数。这种方法也称为积分

变换法。

10.1.1拉普拉斯变换

１、由傅里叶变换到拉普拉斯变换

傅里叶变换与拉普拉斯变换都是积分变换，时域函数f ( t ) 的傅里叶变换为

要使上式的积分收敛，函数f ( t )在无限区间内必须满足绝对可积，即 d t 存在，其傅里叶变换才能确定，显然这是傅里叶变换的局限性。

电路中某些常见的函数不能直接应用傅里叶变换，因为在通常情况下，如果当t 趋向于无限大时，函数f ( t ) 的幅度不衰减，则上述积分不收敛，所以它就不存在傅里叶变换。为了克服这一困难，可以将时域函数f ( t )乘以一个衰减系数，其中σ为正实数，当t趋向于正无限大时，f ( t )趋近于零，从而使积分收敛。f ( t )

的傅里叶变换为

相应的傅里叶反变换为

令，则

上式称为双边拉普拉斯正变换。在电路理论中，通常把换路瞬间定为t = 0，着重研究t≥0时电路中的响应。如果用函数f ( t )表示换路之后电路中的激励或响应，我们对时间段-∞→ 0 - 之间f ( t)是什么内容并不关心，也就是说，当t＜0时f ( t)不进行计算，将f ( t)定义在t≥0区间。这样，可以应用数学上的单边拉普拉斯变换分析动态电路。

２、拉普拉斯变换

本书只讨论单边拉普拉斯正变换，故将它简称为拉普拉斯变换或称拉氏变换。即

是一个复数，称之为复频率。

f ( t)是以时间t为自变量的实函数，称之为原函数

F( s ) 是以复数s为自变量的复函数，称之为f ( t)的象函数

L [ f ( t)]表示求f ( t)的象函数，即对f ( t)进行拉普拉斯正变换。

３、拉普拉斯反变换

由于，故dω= d s / j。当ω= -∞时，s =σ- j∞；当ω=∞时，s =σ+j∞。将这些关系代入上式

称为拉普拉斯反变换。

原函数与象函数之间存在一一对应的关系，这种对应在数学中已经证明都是唯一的。

例10-1求单位阶跃函数 f ( t)=ε(t)的象函数。

例10-2求单位冲激函数的象函数。

例10-3求指数函数的象函数。

４、一些较常见函数的拉普拉斯变换对

单边拉普拉斯变换在t ≥0区域内有定义，故本表中的原函数f ( t )均应理解为f ( t )ε(t)。

10.2拉普拉斯变换的基本性质

拉普拉斯变换具有很多重要性质，本节只介绍一些常用的性质，利用这些性质可以帮助求得一些复杂的原函数的象函数或者使原函数的微分方程变换为象函数的代数方程。

运用积分变换法分析线性电路的动态过程，其要点是将描述动态电路的原函数的微分方程变换成为相应的象函数的代数方程，然后求解代数方程，得到响应的象函数。最后由响应的象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的原函数。因此，在运用积分变换法分析线性电路的过渡过程中，拉普拉斯反变换显得尤为重要。拉普拉斯反变换的方法有：

１、由定义式计算

在本章第一节里，已经讨论过拉普拉斯反变换的定义式

根据定义式，可以将象函数F（s）变换成为原函数f ( t )。但是上述积分是复变函数的积分，不便于直接求解，因而一般不采用定义式来求原函数。

２、直接查表

在本章第一节里，已经将一些较常用的函数的拉普拉斯变换式列入表9 - 1之中，可供随时查阅。更为复杂的函数变换式还可在数学手册中查阅。

３、部分分式法

直接查表来确定某些象函数的原函数，当然十分方便、快捷。然而它只能查出一些简单的象函数的原函数，如果象函数的表示式比较复杂，则难于直接查出它的原函数。部分分式法的作用，就是将比较复杂的象函数分解成为较为简单的部分分式，然后再查表求出原函数。

设象函数为

上式中F1( s )、F2( s )都是复变量s 的多项式，m、n 是正整数。

（1）当m＜n，且F2( s ) = 0 只含有单根

当m＜n时，F（s）为真分式。如果F2( s ) = 0 的单根分别为p1、p2、…、p n，它们可以是实数，也可以是复数。则F（s）可以展开为下列形式

其中k1、k2、…、k n 是待定系数。为了求出k i，用（s – p i ）乘以上式的两边，得到

令s = p i，即可得出待定系数

从而得出

例10-8求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。

解 F1 ( s ) = 5s + 12， F2 ( s ) = s (s2 +5s + 6 )，F2 ( s ) = 0 的根为：p1 = 0、p2 = - 2、p3 = - 3。于是将象函数F ( s )分解为部分分式

求出原函数

此外，在式(10-6)中，也正因为它的分子分母都等于零，还可以用罗比塔法则来计算待定系数。将分子分母分别对s取导数，然后再用s = p1代入。即

同理可以求得待定系数k2、k3、…、k n。其中

这种求待定系数的方法称为分解定理。由分解定理求得系数k1、k2、k3、…、k n之后，再求出原函数 f ( t )。

例10-9用分解定理求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。

求出原函数

例10-10求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。

解 F1 ( s ) = s ， F2 ( s ) = s2 + 2s + 5，F2 ( s ) = 0 的根为：p1 = - 1 + j 2 =α+jβ、p2 = - 1 - j 2 =α- jβ。于是将象函数F ( s )分解为部分分式

由以上计算可以看出，F2 ( s ) = 0 的根p1、p2是共轭复数；待定系数k1、k2也是共轭复数。原函数

由此可见，凡是求出F2 ( s ) = 0 的根是复数，就必然会有成对的共轭复根。

故若有共轭复根，则

只要计算出待定系数k1，就可以根据上式求出它的原函数。中间繁琐的数学推导过程可以省去。

或直接用配方的方法，中有

（2）当m

如果F2( s ) = 0 有重根，部分分式的展开式将有所不同，下面通过一个例题来说明其处理方法。

例10-11求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。

系数k1、k2仍然按照前面的计算方法求得

k3 不能用上述方法求。将

的两边各乘以(s + 1 )2 得出

上式两边对s 求导

令s = -1

于是可以求出原函数

例 10-12求象函数F ( s ) =的原函数 f ( t )。

于是可以求出原函数

故若分母具有重根，则展开式为

（3）当m>n

当m≥n时，象函数 F(s)=为假分式。首先可以用代数中讲述的除法，将F1( s )除以F2( s )，将假分式化为真分式，然后再将真分式分解成部分分式，最终求出原函数。

例 9-13求象函数F ( s )=的原函数 f ( t )。

解由于象函数F ( s )的分子F1( s )幂的次数高于分母F2( s )幂的次数，先将F1( s )除以F2( s )得

F ( s ) =s+1

将余式G ( s ) =展开为部分分式

其待定系数为

于是可以求出原函数

10.4拉普拉斯变换在线性电路分析计算中的应用

10.4.1电路元件特性方程的复频域形式

１、电阻元件

电阻元件上电流和电压的时域关系为

u ( t ) = R i ( t ) 两边取拉普拉斯变换

电阻元件上电流和电压的复频域关欧姆定律的象函数形式。

电阻元件的复频域等效电路如图所示，又称为电阻的运算电路。

２、电感元件

电感阻元件上电流和电压的时域关系为

u ( t ) = L两边取拉普拉斯变换U(s ) = s L I ( s ) - L( 0 - )

电感元件上电流和电压的复频域关系

s L称为电感元件的复频域感抗(也称为电感的运算阻抗)( 0 - ) 表示电感元件在换路前瞬

间的电流值

L ( 0 - ) 附加电压源，反映了电感初始电流对电路的影响

串联复频域等效电路如图

1 / s L称为电感元件的复频域感纳(也称为电感的运算导纳)

( 0 - ) / s 附加电流源，反映了电感初始电流对电路的影响

画出并联复频域等效电路如图所示。

３、电容元件

电容元件上电流和电压的时域关系为

( t ) = C两边取拉普拉斯变换 I(s ) = s C U ( s ) - C u ( 0 - )

电容元件上电流和电压的复频域关系

s C称为电容元件的复频域容纳(也称为电容的运算导纳)u ( 0 - ) 表示电容元件在换路前瞬间的电压值C u ( 0 - ) 附加电流源反映了电容初始电压对电路的影响

画出并联复频域等效电路如图所示

1 / sc称为电容元件的复频域容抗(也称为电容的运算阻抗)

u ( 0 - ) / s 附加电压源反映了电容初始电压对电路的影响

画出串联复频域等效电路如图所示。

小结：将电路中的负载——电阻R、电感L、电容C都用相应的复频域等效电路表示；电路中的电源——电压源、电流源取拉普拉斯变换后的象函数；各待求量——电压、电流用象函数表示，就构成了原电路的复频域等效电路(即运算电路)。

例 10-14试画出图所示电路的等效运算电路。

补充图(a)、(b)、(c)所示电路原已达稳态，时把开关S合上，分别画出运算电路。

解 (a)电路如图

运算电路如图所示

(b)电路如图所示

运算电路如图所示

(c)电路如图所示

运算电路如图所示

注意设有耦合处原边电压，副边电压为，则

(取同名端‖‖为极性端)

(取同名端‖‖为极性端)

则相应的象函数表示为

10.4.2电路定律的复频域形式

１、基尔霍夫电流定律的复频域形式

在电路中，任一节点任何时刻电流的代数和恒等于零，用时域形式表示为

= 0 两边取拉普拉斯变= 0 在电路中，任一节点任何时刻电流象函数的代数和恒等于零。这就是基尔霍夫电流定律的复频域形式。

２、基尔霍夫电压定律的复频域形式

在电路中，任一回路任何时刻电压的代数和恒等于零，用时域形式表示为

= 0 两边取拉普拉斯变换= 0 在电路中，任一回路任何时刻电压象函数的代数和恒等于零。这就是基尔霍夫电压定律的复频域形式。

由基尔霍夫定律推导出的电路计算方法(节点法、回路法等)和电路定理(叠加定理、戴维南定理等)都适用于复频域分析法的计算。

10.4.3用拉普拉斯变换分析线性电路的过渡过程

利用拉普拉斯变换分析线性电路的过渡过程的方法，称为复频域分析法，习惯上称为运算法。其主要步骤如下：

（1）根据换路前瞬间t = 0- 电路的工作状态，计算出电感电流i L( 0- ) 和电容电压

uc( 0- ) 的值，以便确定电感元件的附加电源L i L( 0- ) 和电容元件的附加电源uc( 0- ) / s；

（2）按照换路后的接线方式画出运算电路，正确标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，各待求量用象函数表示；

（3）选择适当的方法(支路法、节点法、回路法等)列写运算电路的方程；

（4）求解上述方程，计算出响应的象函数；

（5）运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数。

例 10-15图10-13(a)所示电路中，知R1 = R2 = 1 Ω，C = 1 F，L = 1 H，E = 10 V。求开关S 闭合之后流过开关的电流S ( t )。

图10-13 例 10-15 电路

解（1）计算电感电流L( 0- ) 和电容电压u c( 0- ) 的值

电感元件的附加电源

L L( 0- ) = 1×5 = 5 ( V )

电容元件的附加电源

（2）按照换路后的接线方式画出运算电路，标出附加电源的大小和方向，独立电源

用象函数表示，待求量用象函数表示，如图10-13(b)所示；

（3）选择回路电流法求解运算电路。如图所示，标出两个回路电流I1( s )、I2( s )的绕行方向；回路1、2的电压方程为

（4）求解上述方程，计算出响应的象函数

解上述方程得

（5）运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数

即

例 9-16图10-14 (a)所示电路中，已知R1 = R2 = 200 Ω，R3 = 400Ω，U1 = 50 V，U2 = 40 V，L = 2 H。求开关S 闭合之后电压。

图 9-14 例9-16 电路

解电感电流的值

电感元件的附加电源

按照换路后的接线方式画出运算电路，标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，待求量用象函数表示，如图10-14(b)所示。选择节点电压法求解运算电路。如图所示，选择b为参考点，其节点电压方程为

代入元件参数，求解上述方程，计算出响应的象函数

解得

运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数

例 10-17图9-15(a)所示电路中，已知U = 6V，R = 2.5Ω，L = 6.5 m H，C = 0.3μF，电感线圈原边与副边的变比为1:70，电路原已处于稳定状态。求开关S 断开后a、b处的最高电压。

图10-15 例 10-17电路图

解电感电流L( 0- ) 的值

L( 0- ) = U / R = 6 / 2.5 = 2.4 A

电感元件的附加电源

L L( 0- ) = 6.5×10 - 3×2.4 = 15.6 ×10 - 3 V

按照换路后的接线方式画出运算电路如图所示。回路电流法列回路电压方程为

代入元件参数，求解上述方程，计算出I ( s ) 的象函数

( t ) 的原函数

电感电压

当= 0 时，电感电压有极大值。由此计算出极大值出现的时间

t = 6.94×10 - 5 s

电感电压的极大值为

a、b处的最高电压

小结：

１、运算法与相量法

用运算法求解动态电路的过渡过程与用相量法求解正弦稳态电路有相似的思想。比较如下：相量法

运算法

用相量法求解正弦稳态电路时，将时域正弦量转换成相量，或将响应相量转换成时域正弦量都较简单，而且相量的值有明确的意义：有效值和初相位。所以计算出响应的相量后，一般不必写出时域表达式，而用运算法求解动态电路的过渡过程时，必须要将响应象函数进行拉普拉斯变换反变换转换成时域表达式，拉普拉斯反变换是比较麻烦的。

２、拉普拉斯变换的线性电路过渡过程分析主要有三大步。第一步：由换路前的稳态(直流、

正弦交流等)电路求出、。若是直流稳态，电感相当于短路，电容相当于断路，若是

正弦稳态，先用相量法求解后，表达成时域三角函数形式，再取时求出、。

第二步：作出运算电路模型。注意要用换路后的结构，电源函数要进行拉普拉斯变换、元件用运算阻抗或运算导纳表示，储能元件的附加电源的值和方向不能忘，第三步：将求出的响应象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的时域表达式。

典型例题

例1如图(a)所示电路：求及。

电路 第十四章 网络函数

第十四章 网络函数 14．1 基本概念 14．1．1 网络函数的定义及性质 1. 定义：在线性非时变的电路中，电路在单一的独立激励下，其零状态响应() t r 的象函数()s R 与激励()t e 的象函数()s E 之比定义为该电路的网络函数()s H ，即 ()()() s E s R s H d e f = 。 2. 网络函数的形式 （1）驱动点函数：与网络在一对端子处的电压和电流有关，又分为驱动点阻抗函数()s Z 和驱动点导纳函数()s Y ，定义为： “驱动点”指的是若激励在某一端口，则响应也从此端口观察。 （2）转移函数：又称传递函数。转移函数的输入和输出在电路的不同端口，它的可能的形式有以下几种： 电压转移函数 ()()() s U s U s H U 12= 电流转移函数 ()()()s I s I s H I 12= 转移阻抗函数 ()()()s I s U s H Z 12= 转移导纳函数 ()() () s U s I s H Y 12= 3. 网络函数的性质 （1）网络函数是一实系数的有理分式，可写成两个s 多项式的比值： 函数()s N ，()s D 是系数分别为k a 和k b 的s 多项时，系数k a 和k b 是实数。 （2）当输入信号()t e 为单位冲激()t δ时，()()[]1==t L s E δ，则输出 该式说明,电路的单位冲激响应网络函数的原函数，即 14．1．2 网络函数的零极点与冲激响应()t h 的关系 1. 网络函数的零极点：若对上式中的()s N ，()s D 作因式分解，网络函数可写成 式中：1p ，2p ，…，n p 称为网络函数的极点，1z ，2z ，…，m z 称为网络函数的零点。网络函数的零点和极点可能是实数、虚数或复数。网络函数的极点仅取决于电路参数而与输入形式无关，故称为网络变量的自然频率或固有频率。 2. 零极点与冲激响应的关系 零点不影响()t h 的变化形式，仅影响波形的幅度，极点的分布直接影响()t h 的变化形式：

常用拉普拉斯变换总结

常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥

??∞-∞-∞ ----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st ==?∞- 6、正弦函数 00sin 0)(≥

常用函数的拉氏变换[1]

附录A 拉普拉斯变换及反变换 419

420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表

拉普拉斯变换及其反变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

电路原理 第十四章

第十四章网络函数 一、教学基本要求 1、理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； 2、掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； 3、掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系； 4、了解卷积定理，能利用卷积定理求电路的响应。 二、教学重点与难点 教学重点：1. 网络函数的的定义和极点、零点的概念； 2. 网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； 3. 网络函数的零点、极点与频率响应的关系。 教学难点：1. 零点、极点与冲激响应的关系 2. 零点、极点与频率响应的关系 三、本章与其它章节的联系： 本章以第13 章为基础，是叠加定理（第 4 章）的一种表现。冲激响应可参见第6 章和第7 章。频率响应可参见第9 章。 四、学时安排总学时：4 五、教学内容 §14.1 网络函数的定义 1. 网络函数的定义 电路在单一的独立激励下，其零状态响应r(t) 的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比定义为该电路的网络函数H(s)，即： 2 ．网络函数的类型

设图 14.1 中，为激励电压、为激励电流；为响应电压、 为响应电流。根据激励可以是独立的电压源或独立的电流源，响应 可以是电路中任意两点之间的电压或任意一支路的电流，故网络函数可以有以下几种类型： 图 14.1 驱动点阻抗：；驱动点导纳：； 转移阻抗：；转移导纳：； 电流转移函数：；电压转移函数：。 注意： （1）根据网络函数的定义，若E(s)=1 ，即e(t)=δ(t)，则R(s)=H(s) ，即网络函数就是该响应的象函数。所以，网络函数的原函数h(t) 为电路的单位冲激响应，因此如果已知电路某一处的单位冲激响应h(t) ，就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数。 （2）网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关，因此如果已知某一响应的网络函数H(s) ，它在某一激励E(s) 下的响应R(s) 就可表示为 R(s)=H(s)E(s) 例14－1 图示电路中，已知时，。求 时，

14、第8章无源网络传递函数的综合第1-2节内容总结(6页)

第8章无源网络传递函数的综合第1-2节内容总结 二端口网络的电压比传递函数是网络综合常用的另一个指标，本章介绍无源网络传递函数的综合。主要内容有：转移参数的性质，传输零点，梯形RC 网络，一臂多元件的梯形RC 网络，并联梯形网络，梯形LC 网络，单边带载LC 网络和双边带载LC 网络的达林顿实现。 8.1 转移参数的性质 网络综合的一般问题应是给出多端口网络的各种参数矩阵来综合网络。但在本章，只讨论较有代表性的传递函数) () ()(12s V s V s H = 的综合。 图8-1 利用开路参数计算传递函数 如图8-1所示，当02=I ，由双端口网络的开路参数方程可得： ) () ()()()(112112s Z s Z s V s V s H == （8-1） 或由双口网络的短路参数方程可得： ) () ()()()(222112s Y s Y s V s V s H -== （8-2） 式（8-1）、式（8-2）的分母是策动点函数。为讨论上述转移参数的特性，应采用特勒定理并考虑端口电流方向得 * =* **∑=+=j b j j T I V I V I V I V 3 2211 （8-3） 其中T V 是端口的电压向量，* I 是端口电流流向的共轭，式（8-3）右边为 )()(1 )()(000s F s V s s sM s F =++ （8-4） 即 )(s F I V T =* （8-5） 其中)(s F 为正实数。端口电压向量 ZI V = （8-6） 设111jb a I += 222jb a I +=，Z I Z I V T T T T ==

其中 Z 是双端口的开路参数矩阵，将上式和)()(2112s Z s Z =代入式(8-5)得 ) ()(22121212 2222 111121221212 2222111s F b b a a Z I Z I Z I Z I I Z I I Z I Z I Z I I V T T =+++=+++==* ** * （8-7） 因此得 ) (2)()()()(21212 2 22211121b b a a I s Z I s Z s F s Z +--= （8-8） 设)(s F 、)(11s Z 、)(22s Z 、)(21s Z 在jw 轴上某极点处留数分别为k 、11k 、22k 、21 k 显然k 、11k 、22k 各自大于等于零 ，故有 )(22121212 2222111b b a a k I k I k k +++= （8-9） 其中21212 1 b a I +=，2 2 222 2 b a I +=，代入式（8-9）后得 0)2()2(222 221211121222221211121≥+++++k b b b k k b k a a a k k a a 、 b 为任意实数时均需满足，，所以每个括号项分别均应为非负。其中第一个括号项可 以改写为 ??????++11222111212 2 12211)(2)(k k a a k k a a a k （8-10） 或 ??????-++211211122211 21212 211)()( k k k k k k a a a k （8-11） 电流的实部1a 、2a 可正可负，即使在 011 21 21=+k k a a 时，式（8-11）也应满足，故可得 02 212211≥-k k k （8-12） 设)(s F 、)(11s Z 、)(22s Z 、)(21s Z 当jw s =时实部分分别用r 、11r 、22r 、21r 表示，各代入式（8-7）取等式的实部得 0)(2)()(2121212 22222212111≥=+++++r b b a a r b a r b a r （8-13） 仿照上述方法不难证得实部条件 02212211≥-r r r （8-14） 同理转移导纳)(21s Y 具有和)(21s Z 类同的性质。因为

附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

附录A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 419

2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim ()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝1i n s t i i c e =∑ (F -4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

很好的拉普拉斯变换讲解

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．拉氏变换的基本概念 在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 ， 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数． 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．7.1.1 拉氏变换的基本概念 定义设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即 （7-1）称（7-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作 ，即． 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用． （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的． 例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换． 解 ． 7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则

第十四章(网络函数)习题解答

第十四章（网络函数）习题解答 一、 选择题 1．已知某网络函数) 4)(2(34)(2++++=s s s s s H ，则该网络的单位阶跃响应中 B 。 A ．有冲激响应分量； B ．有稳态响应分量； C ．响应的绝对值不断增大 2．若已知某网络的网络函数，则根据给定的激励可求出该网络的 C 。 A ．全响应； B ． 零输入响应； C ．零状态响应 3．电路网络函数的极点在S 平面上的分布如图14—1所示，该电路的冲激响应是 B 。 Ａ．等幅的正弦振荡； B ．衰减的正弦振荡； C ．增幅的正弦振荡 二、 填空题 1． 网络 零 状态响应的象函数与激励的象函数之比称为 网络函数 。 2． 已知某电路在激励)()(1t t f ε=时，其零状态响应为)(e 2)(32t t f t ε=-；若激励改为)(e )(1t t f t ε=-，则响应=)(2t f )()e e 3(3t t t ε---。 解：由已知条件得电路的网络函数为 3 2132 )(+=+=s s s s s H ，因此激励为)(e )(1t t f t ε=-时响应的象函数为 1 133)1)(3(211)()(2+-+=++=+?=s s s s s s s H s F 而 )(ε)e e 3()(32t t f t t ?-=-- 3． 某网络的单位冲激响应)(ε)e 3e ()t (h 42t t t ?+=--，它的网络函数是) 4)(2(104+++s s s ，单位阶跃响应是)()75.0e 5.025.1(2t t ε?---。 解：根据网络函数和单位冲激响应的关系，有 ) 4)(2(1044321)(+++=+++= s s s s s s H 而单位阶跃响应的象函数为414321211451)4)(2(1041)(+?-+?-?=?+++=s s s s s s s s s H ， 单位阶跃响应为 )()e 75.0e 5.025.1(42t t t ε?---- 三、计算题 1．图14—2所示电路中，s i 为激励，c u 为响应。试求：①．网络函数； ②．单位阶跃响应； ③．A )(εe 3t i t s ?=-时的零状态响应。

电路 第十四章 网络函数

第十四章 网络函数 14．1 基本概念 14．1．1 网络函数的定义及性质 1. 定义：在线性非时变的电路中，电路在单一的独立激励下，其零状态响应() t r 的象函数()s R 与激励()t e 的象函数()s E 之比定义为该电路的网络函数()s H ，即 ()()() s E s R s H d e f = 。 2. 网络函数的形式 （1）驱动点函数：与网络在一对端子处的电压和电流有关，又分为驱动点阻抗函数()s Z 和驱动点导纳函数()s Y ，定义为： ()()()() s Y s I s U s Z 1 == “驱动点”指的是若激励在某一端口，则响应也从此端口观察。 （2）转移函数：又称传递函数。转移函数的输入和输出在电路的不同端口，它的可能的形式有以下几种： 电压转移函数 ()()()s U s U s H U 12= 电流转移函数 ()()()s I s I s H I 12= 转移阻抗函数 ()() ()s I s U s H Z 12= 转移导纳函数 ()() () s U s I s H Y 12= 3. 网络函数的性质 （1）网络函数是一实系数的有理分式，可写成两个s 多项式的比值： ()()()0 11 10 111b s b s b s a s a s a s a s D s N s H n n n m m m m ++++++++==---- 函数()s N ，()s D 是系数分别为k a 和k b 的s 多项时，系数k a 和k b 是实数。 （2）当输入信号()t e 为单位冲激()t δ时，()()[]1==t L s E δ，则输出 ()()()s H s H s R =?=1 该式说明,电路的单位冲激响应网络函数的原函数，即 ()()[]s H L t h 1-=

(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表.doc

拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2微分定理一般形式 初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s ) L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) L [ df ( t ) sF ( s ) f ( 0 ) dt ] d 2 f 2 ( t ) L [ dt ] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （0 ） L d n f n ( t ) s n F ( s ) n s n k f ( k 1 ) ( 0 ) k dt 1 f ( k 1 ) ( t ) d k1 f ( t ) dt k 1 L [ d n f n ( t ) ] s n F ( s ) dt 一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s) [ f (t )dt]t 0 s s 2 F (s) [ f (t)dt]t 0 [ L[ f (t)( dt) ] s2 s2 共n个 n 共 n个 n F (s) 1 L[ f (t)(dt) ] [ s n k 1 s n k 1 共n个 2 f (t )(dt) ]t 0 f (t)(dt)n ]t 0 初始条件为0 时4延迟定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理 7初值定理 8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s) s n L[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s) L[ f (t )e at ] F ( s a) lim f ( t) lim sF ( s) t s 0 lim f (t ) lim sF (s) t 0 s t f1(t ) f2 ( )d ] t L[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s) 0 0

拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换

拉普拉斯变换的基本性质 变换及反变换 The following text is amended on 12 November 2020.

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根

拉氏变换常用公式

附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质

表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

拉普拉斯变换公式

附录A拉普拉斯变换及反变换 419

420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

Laplace拉氏变换公式表

拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 1

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3 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将 )(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：

常用拉普拉斯变换及反变换

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 419

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =????L L （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110?，m m b b b b ,,,110?L 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=?=?++?++?+?=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(L L （F-1） 式中，n s s s ,,,21L 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i ?=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c =′= )() ( （F-3） 式中，)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []???????==∑=??n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c ?=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ???= +L = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c ?++?++?+?++?+?++??L L L 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

常用函数的拉氏变换

附录A 拉普拉斯变换及反变换

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +

网络函数

网络函数 一、教学基本要求 1、理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； 2、掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； 3、掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系； 4、了解卷积定理，能利用卷积定理求电路的响应。 二、教学重点与难点 教学重点：1. 网络函数的的定义和极点、零点的概念； 2. 网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； 3. 网络函数的零点、极点与频率响应的关系。 教学难点：1. 零点、极点与冲激响应的关系 2. 零点、极点与频率响应的关系 三、本章与其它章节的联系： 本章以第13 章为基础，是叠加定理（第4 章）的一种表现。冲激响应可参见第 6 章和第7 章。频率响应可参见第9 章。 四、学时安排总学时：4 五、教学内容 §14.1 网络函数的定义 1. 网络函数的定义 电路在单一的独立激励下，其零状态响应r(t) 的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比定义为该电路的网络函数H(s)，即： 2 ．网络函数的类型

设图 14.1 中，为激励电压、为激励电流；为响应电压、 为响应电流。根据激励可以是独立的电压源或独立的电流源，响应 可以是电路中任意两点之间的电压或任意一支路的电流，故网络函数可以有以下几种类型： 图 14.1 驱动点阻抗：；驱动点导纳：； 转移阻抗：；转移导纳：； 电流转移函数：；电压转移函数：。 注意： （1）根据网络函数的定义，若E(s)=1 ，即e(t)=δ(t)，则R(s)=H(s) ，即网络函数就是该响应的象函数。所以，网络函数的原函数h(t) 为电路的单位冲激响应，因此如果已知电路某一处的单位冲激响应h(t) ，就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数。 （2）网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关，因此如果已知某一响应的网络函数H(s) ，它在某一激励E(s) 下的响应R(s) 就可表示为 R(s)=H(s)E(s) 例14－1 图示电路中，已知时，。求 时，

拉普拉斯变换表及一些性质

419 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 ) ()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+