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材料力学答案第八章

第八章 应力应变状态分析

第八章答案

8.1 何为单向应力状态?何为二向应力状态? 圆轴受扭时,轴表面各点处于何种应力状态?梁受横力弯曲时,梁顶、梁底及其他各点处于何种应力状态?

答:只有一个主应力不为零的应力状态为单向应力状态,只有两个主应力不为零的应力状态为二向应力状态。圆轴受扭时,轴表面各点处于二向应力状态,梁受横力弯曲时,梁顶、梁底及其他各点分别处于单向、单向和二向应力状态。

8.2构件如图所示。(1)确定危险点的位置。(2)用单元体表示危险点的应力状态。

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答:(a )体内任意点都是危险点,

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(b )右段内外表面上任意点都是危险点, (c )固定端上顶点是危险点, (d )构件内外表面上任意点都是危险点,

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(a) )/(42d F π)/(323d M e π(b) )/(163d M e π(c) )

/(323d Fl π)/(163

d M

e π(d) )

/(2d π

8.3 对图示构件,求A 、B 两点的应力分量,并用单元体表示。 答:A 点:所在横截面的内力

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kN

Fs kNmm M A 12060000500120==?=

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MPa

h

y bh F MPa I y M A s xy y z A

A x 6.5)41(23,

0,5.372

2

=-==-=-=τσσ

B 点:所在横截面的内力

kN

F kNmm M s B 402000050040-==?=

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MPa h

y

bh F MPa I y

M B s xy y z

B B x 87.1)41(23,

0,5.122

2

=-=

===τσσ

8.4在图示各单元体中,试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力.应力的单位MPa 。

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解:

(a )35

)2cos()2sin(2

35)2sin()2cos(2

2

,70,70,303030=+-=

=--+

+=

=-===ατασστατασ

σσσστσσαxy y

x xy

y

x y

x xy y x

(b

,700,70,70,303030======

τστσσαxy y x 20

,50,30,60)d (0,50,100,210)d (0,50,100,60)c (-======-======xy y x xy y x xy y x τσσατσσατσσα (a)

(c) (d) (e) 5.6MPa

5MPa

1.87MPa

8.5 对图示单元体(应力单位为MPa),试用解析法求解: (1) 主应力与主方向; (2) 在单元体上示出主应力。(σ1 = 11.2MPa ,σ2 =0,,σ3 = -71.2MPa ,α0= -38°(σ1) ) 解: MPa,

2.71,0MPa,2.112

.11)2

(

22.11)2

(2

52,3876

2,42)2tan(40

,20,403212

2max 2

2max 020100-===∴=---+=

=--++==-=-=-=--=

-=-=-=σσστσσσσστσσσσσααασστατσσxy y

x y x xy y

x y

x y

x xy

xy y x

8.6 二向应力状态如图所示(应力单位为MPa), 试求主应力。[(a)σ1 = 80MPa , σ2 = 40MPa, σ3 = 0;(b)σ1 = 25MPa , σ2 =0, σ3 = -25MPa,α0= -45°]

解:(a ) (b )

,40,80MPa,

32.17)2sin(2

40

)

2cos(2

20,50,80321===∴=-=

=?-+

+=

===σσσασστσασσσσστσσαααy

x y y

x y

x xy x

0,25231==-=σσσ

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(b)

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8.7.锅炉直径D =1m,壁厚t =10mm,内受蒸汽压力 p = 3MPa.是求: (1) 壁内主应力及一点的最大剪应力;(2) 斜截面ab 上的正应力及剪应力。 [(1) σ1 = 150 MPa , σ2 = 75MPa , σ3 =0 ,τmax = 75 Mpa; (2) σα = 131MPa , τα= -32.5 Mpa ]

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解:(1)MPa 5.3720MPa,754MPa

15010

21000

3221max 321=-=≈===??==σστσσσt pD t pD (2)MPa 32)2sin(2

MPa 131)

2cos(22,,6012-=-==-++====ασστασσσσσσσσσαααy

x y x y x y x 8.8边长为a = 10mm 的正方体钢块恰好置入刚性模孔中,上面受合力F = 9kN 的均布力

作用.钢块中各点的应力状态相同, 钢块的弹性模量E = 200GPa ,泊松比μ = 0.3, 求钢块中各点的主应力、主应变和最大剪应力。

(σ1 =σ2 = -38.57MPa ,σ3 = -90MPa ,ε1= ε2= 0 , ε3 = -3.3410-4 ,τmax = 25.72 MPa)

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解:(1)MPa

90MPa

6.381)]

([1

,0MPa 90100

9000

33

2131221

2223-=-=-==?+-=∴=====-=

σμ

μσσσσσμσεσσεεσE

A F (2)4

2133213

1max 103.3)

(0

MPa

7.252

-?=--=

==⊕=-=

⊕E

σσμσεεεσστ

(d)

1

8.9空心圆轴外径为D ,内径是外径的一半, 在图示力偶矩作用下, 测得表面一点A 与轴线成45°方向的线应变ε45°。已知材料的弹性系数E 、μ,求力偶矩M e 。 ()](/[E D M e μεπ+=125615453 )

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解:A 点应力状态如图所示。

3

433115256)1(16D

M

D M παπτσσ=-==-=(1) E

E 13145)1()(1σμμσσε+=-=

(2) 联立式(1)和(2):

)

1(25615453μεπ+=

D E M

8.10求图示单元体的主应力和最大剪应力。( σ1 = 110MPa , σ2 = 60 MPa , σ3 = 10MPa ,τmax = 50 MPa)

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解:分析:因为三个主应力的大小和方向是确定的,所以z 方向的正应力就是一个主应力,于是只要把垂直于z 方向的平面

内的应力状态作为平面应力状态处理即可。 MP

502

MPa

10MPa,60MPa,110MPa 50)2

(

2MPa 110)2

(2

30,20,1003

1max 3212

2min 2

2max =-=

===∴=+--+=

=+-++====σστσσστσσσσστσσσσστσσxy y

x y x xy y

x y

x xy y x

(MPa)

1

8.11已知应力状态如图所示(应力单位为MPa),试画三相应力圆,并求单元体的主应力,最大正应力和最大剪应力。[(a)σ1 = 60MPa , σ2 = 30 MPa , σ3 = -70MPa ,τmax = 65 MPa;(b) σ1 = 50MPa , σ2 = 30 MPa , σ3 = -50MPa ,τmax = 50 MPa]

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8.12已知图示单元体材料的弹性模量E = 200GPa ,泊松比μ = 0.3,(应力单位为MPa)试求该单元体的形状改变比能。(u f = 12.99kN·m/m 3)

1.求主应力

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MPa

MPa,MPa,MPa

MPa

3550794352

27942

2

40

30703212

22

2...)(

.)(,,xy y

x y x min xy y

x y

x max xy y x ===∴=+--+=

=+-++=

-===σσστσσσσστσσσσστσσ

2. 求形状改变比能

3

222kNm/m ]

)()()[(21561133221.E

v d =-+-+-+=

σσσσσσμ

(a)

(b)