初中函数复习专题_适合初三学生

初中函数复习

一、基本概念

1、常量和变量：在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。

2、函数：⑴定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一．．

的值与它对应，我们称y 是x 的函数。其中x 是自变量，y 是因变量。 ⑵函数的表示方法：列表法、图象法和解析法。

⑶自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。

①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数； ④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

二、初中所学的函数 1、正比例函数：

（1）、正比例函数的定义：形如)0(≠=k kx y 的形式。自变量与函数之间是k 倍的关系

一般情况下，x 当作自变量，y 作为函数

（2）、正比例函数的性质

①正比例函数y=kx 的图象是经过（0，0），（1，k ）的一条直线。

②当0>k 时，图象从左到右是上升的趋势，也即是y 随x 的增大而增大。过一、三象限。 ③当0

注意：因为正比例函数y=kx (k ≠0)中的待定系数只有一个k ，因此确定正比例函数的解析式只需x 、

y 一组条件，列出一个方程，从而求出k 值。

2、一次函数

（1）、一次函数的定义：形如)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数的形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。 （2）、一次函数与正比例函数的关系

)0(≠=k kx y )0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数

属于

正比例 一次函数

不属于

（3）、一次函数的图象性质

①一次函数

y=kx+b 的图象是经过（0，b ）(—

k/b

，0)的一条直线，也可由y=kx 平移得到

② 当k>0时，y 随x 的增大而增大，b>0时，图象过第一、二、三象限，b<0时，图象过一、三、四象限 ③当k<0时，y 随x 的增大而减小，b>0时，图象过第一、二、四象限，b<0时，图象过二、三、四象限

注意：一次函数y=kx+b(k ≠0)中的待定系数有两个k 和b ，因此要确定一次函数的解析式需x 、y 的两组

条件，列出一个方程组，从而求出k 和b 。

3、反比例函数

（1）、反比例函数的定义：形如y=k

x

（k 为常数，0≠k ）的形式；x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是y ≠0． （2）、反比例函数的性质 ①反比例函数y=

k

x

的图像是双曲线（两个分支） ② 当k>0时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内，y 随x 的增大而减小 ③当k<0时，图像的两个分支分别在第二，四象限内；在每个象限内，y 随x 的增大而增大

k>0 k<0

④对 称 性：反比例函数y=k

x

的图像是轴对称图形，对称轴是直线y=x 或直线y= —x ，也是中心

对称图形，对称中心是原点

⑤在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P ，Q 分别作x 、轴，y 轴的平行线，与坐标轴围

成的矩形面积为S 1，S 2，则S 1＝S 2 =|k|。设R 是双曲线上任意一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为A ，则

=

?OAP S k 2

1 注意：因为反比例函数y=k x

(k ≠0)中的待定系数只有一个k ，因此确定反比例函数的解析式只需x 、y 一

组条件，列出一个方程，从而求出k 值

①开口方向：当a>0时，开口向上；当②顶点坐标：；③对称轴方程：；有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. （5）、二次函数图象的平移

①保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

②平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．一定要记住！ (6)、二次函数的图象与各项系数之间的关系

①二次项系数a ；二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．

② 一次项系数b ； 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b

a -

<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b

a -

>，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ③ 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

总之，只要a b c ，

，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． ④二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

（1）. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

（2）. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． （7）、二次函数图象的对称，当成结论重点记忆。

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

①. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； ②. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

③. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；

()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-；

④. 关于顶点对称

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

⑤. 关于点()m n ，对称

()2

y a x h k =-+关于点()m n ，

对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． （8）、二次函数与一元二次方程：

①. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

(1). 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，

其中的12x x ，是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠

的两根．这两点间的距离21AB x x =-.

（中考常考，重点记忆）

(2). 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； (3). 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'

当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

②. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

③. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，

b ，

c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

练习一

1、小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关系是______________， x 的取值范围是__________；

2、函数y=

3

x x 的自变量x 的取值范围是________；

3、一根弹簧原长13厘米，它所挂的重物不能超过16千克，并且每挂重量1千克时，弹簧

就伸长0.5厘米。①写出挂重后弹簧的长y （厘米）与挂重x （千克）之间的函数关系式；②求自变量的取值范围。

4、如图，在边长为4的正方形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 上顺次截取AP ＝BQ ＝CR ＝DH ，得到正方形PQRH ，求正方形PQRH 的面积S 和AP 的长度x 之间的函数关系式 和自变量x 的取值范围。

5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝22，CD ＝10，AD ＝16。①在斜腰BC 上任取一点P ，

过P 点作底边的垂线，与上下底分别交于E 、F 。设PE 长为x ，PF 长为y 。求y 与x 的函数表达式和自变量x 的取值范围；②如果S ΔPCD ＝S ΔPAB ，P 点应取在什么地方？

6、 已知y 与3x 成正比例，当x=8时，y=－12，求y 与x 的函数解析式。

7、已知2y －3与3x ＋1成正比例，且x=2时，y=5,（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a .

8、一个一次函数的图象，与直线y=2x ＋1的交点M 的横坐标为2，与直线y=－x ＋2的交点N 的纵坐标为1，求这个一次函数的解析式

9、已知直线y=kx+b 经过点（225，0）且与坐标轴所围成的三角形的面积是4

25，求该直线的解析式

A D

C B P

H R Q

A B C D E F P

10、设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x ，底为y,

⑴写出y 用x 表示函数关系式．确定自变量x 的取值范围． ⑵求出当x=15时，y 的值，并指出此时三角形是什么三角形？

11、已知直线y =3x 与y =－

2

1

x ＋4，求：⑴这两条直线的交点．⑵这两条直线与y 轴围成的三角形面积．

12、已知直线y 1= 2x －6与y 2= －ax+6在x 轴上交于A ，直线y = x 与y 1 、y 2分别交于C 、B 。（1）求a ；（2）求三条直线所围成的ΔABC 的面积。

13、已知直线x －2y=－k+6和x+3y=4k+1的交点在第四象限内。 （1） 求k 的取值范围

（2）若k 为非负整数，△PAO 是以OA 为底的等腰三角形，点A 的坐标为（2，0）点P 在直线x －2y=－k+6上，求点P 的坐标及OP 的长。

14、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，雉城镇制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），用户每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其函数图象如图所示。

⑴观察图象，求出函数在不同范围内的解析式； ⑵说出自来水公司在这两个月用水范围内的收费标准；

⑶若一用户5月份交水费12.8元，求他用了多少吨水？

15、某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产前，甲生产线已生产了200吨成品；从乙生产线投产开始。甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品。 （1） 分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y （吨）与从乙投产以来所用时间x(天)之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同？

（2）在直角坐标系中，作出上述两个图象；观察图象，分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量最高？

16、一列快车从甲城驶往乙城，一列慢车从乙城驶往甲城．已知每隔1小时有一列速度相同的快车从

甲城开往乙城，如图所示，OA 是第一列快车离开甲城的路程y(单位在：千米)与运行时间x(单位：小时)的函数图象，BC 是一列从乙城开往甲城的慢车距甲城的路程y(单位：千米)与运行时间x(单位：小时)的函数图象．根据图象进行以下探究： 信息读取

(1)甲、乙两地之间的距离为_______________千米；

(2)点B 的横坐标0.5的意义是慢车发车时间比第一列快车发车时间______________小时。 图象理解

(3)若慢车的速度为100千米/小时，求直线BC 的解析式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决

(4)请你在原图中直接画出第二列快车离开甲城的路程y(单位：千米)与时间x(单位：小时)的函数图象；

(5)求第二列快车出发后多长时间与慢车相遇；

(6)求这列慢在行驶途中与迎面而来的相邻两列快车相遇的间隔时间．

练习二

1．函数()9

22

2--+=m m

x m y 是反比例函数，则m 的值是（ ）

（A ）24-==m m 或 （B ）4=m （C ）2-=m （D ）1-=m 2．如图4所示，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4

x

交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）?两点，?则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于______．

图4 图5 图6 3．如图5所示，在反比例函数y=

2

x

（x>0）的图像上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，?图中的构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1+S 2+S 3=_______．

4．如图6所示，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （－

20

3

，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，?若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_______．

5．函数y=kx+b （k ≠0）与y=

k

x

（k ≠0）在同一坐标系中的图像可能是（ ）

6．如图8所示，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数y=1

x

（x>0）的图像上，则点E 的坐标是（ ）

A ．（

12，1

2） B ．（32+，32）

C ．（

12，1

2

） D ．（32，32）

图8 图9 图10

7．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一质量m 的某种气体，?当改变容积V 时，气体的密度p 也随之改变．p 与V 在一定范围内满足p=

m

V

，它的图象如上右图所示，?则该气体的质量m 为（ ） A ．1.4kg B ．5kg C ．6.4kg D ．7kg

8．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，AD=1，AB=

3

2

，BC=2，P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 不重合，可以与点C 重合），DE ⊥AP 于点E ，设AP=x ，DE=y ．?在下列图像中，能正确反映y 与x 的函数关系的是（ ）

9.反比例函数y =

k -1

x

与一次函数y = k (x +1)在同一坐标系中的象只可能是（ ）.

10.如图5-10，A 、B 是反比例函数y = 1

x

的图象上关于原点对称任意两点，过A 、B 作y 轴的平行线，

分别交x 轴于点C 、D ，设四边形ACBD 的面积为S ，则（ ）；

A. S = 1

B. 1 < S < 2

C. S = 2

D. S > 2 11.已知：点P (n ，2n ）是第一象限的点，下面四个命题：

①点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是 (n ，-2n )；②点P 到原点O 的距离是5n ； ③直线y = -nx +2n 不经过第三象限⑻④函数y = n x

, 当n < 0时，y 随x 的增大而减小. 其中真命题是 （填上所有真命题的序号）

12.反比例函数y = k x

的图象上有一点P (m ，n )，已知m +n = 3，且P 到原点的距离为13，则该反比例函数的表达式是 . 13函数y kx =-与

y k

x =

（k ≠0）的图象的交点个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 不确定

14．如图所示，直线y=k 1x+b 与双曲线y=2

k x

只有一个交点（1，2），且与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，

AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线，双曲线的解析式．

15．已知反比例函数x

k

y 2=

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a,b ）， （a+1，b+k ）两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图4，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；

（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

练习三

一．填空

1．二次函数=2（x - 32 ）2

+1图象的对称轴是 。

2．函数

的自变量的取值范围是 。 3．若一次函数y=（m-3）x+m+1的图象过一、二、四象限，则的取值范围是 。 4．已知关于的二次函数图象顶点（1，-1），且图象过点（0，-3），则这个二次函数解析式为 。

5．若y 与x 2成反比例，位于第四象限的一点P （a ，b ）在这个函数图象上，且a,b 是方程x 2

-x -12=0的两根，则这个函数的关系式 。 6．已知点P （1，a ）在反比例函数y=k x

（k ≠0）的图象上，其中a=m 2

+2m+3（m 为实数），则这个函数图象在第 象限。 7． x,y 满足等式x=

32

21y y +-，把y 写成x 的函数 ，其中自变量x 的取值范围是 。 8．二次函数y=ax 2

+bx+c+（a ≠0）的图象如图，则点P （2a-3，b+2）

在坐标系中位于第 象限

9．二次函数y=（x-1）2+（x-3）2

，当x= 时，达到最小值 。

10．抛物线y=x 2

-（2m-1）x- 6m 与x 轴交于（x 1，0）和（x 2，0）两点，已知x 1x 2=x 1+x 2+49，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位。 二．选择题

11．抛物线y=x 2

+6x+8与y 轴交点坐标（ ） （A ）（0，8） （B ）（0，-8） （C ）（0，6） （D ）（-2，0）（-4，0） 12．抛物线y= -

12

（x+1）2

+3的顶点坐标（ ） （A ）（1，3） （B ）（1，-3） （C ）（-1，-3） （D ）（-1，3）

13．如图，如果函数y=kx+b 的图象在第一、二、三象限，那么函数y=kx 2

+bx-1的图象大致是（ ）

14．函数

x 的取值范围是（ ） （A ）x ≤2 （B ）x<2 （C ）x> - 2且x ≠1 （D ）x ≤2且x ≠–1

15．把抛物线y=3x 2

先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）

（A ）=3（x+3）2 -2 （B ）=3（x+2）2+2 （C ）=3（x-3）2 -2 （D ）=3（x-3）2

+2 16．已知抛物线=x 2

+2mx+m -7与x 轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x 的方程14

x 2+（m+1）x+m 2

+5=0的根的情况是（ ）

（A ）有两个正根 （B ）有两个负数根 （C ）有一正根和一个负根 （D ）无实根

x y

o -2-2

x y o x y o x

y

o x y o 11-1-1A B C D

17．函数y= - x 的图象与图象y=x+1的交点在（ ）

（A ） 第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

18．如果以y 轴为对称轴的抛物线y=ax 2

+bx+c 的图象，如图， 则代数式b+c-a 与0的关系（ ）

（A ）b+c-a=0 （B ）b+c-a>0 （C ）b+c-a<0 （D ）不能确定 19．已知：二直线y= -

3

5

x +6和y=x - 2，它们与y 轴所围成的三角形的面积为（ ） （A ）6 （B ）10 （C ）20 （D ）12

20．某学生从家里去学校，开始时匀速跑步前进，跑累了后，再匀速步行余下的路程。下图所示图中，横轴表示该生从家里出发的时间t ，纵轴表示离学校的路程s ，则路程s 与时间t 之间的函数关系的图象大致是（ ）

三．解答题

21．已知抛物线y=ax 2

+bx+c （a ≠0）与x 轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y 轴交点的纵坐标是-32

； （1）确定抛物线的解析式；

（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。 22、如图抛物线与直线

)4(-=x k y 都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x=—1，与

x 轴交于点C,且∠ABC=90°求：

(1)直线AB 的解析式；

(2)抛物线的解析式。

23、某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元， 商场平均每天可多售出2件： (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元， (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

24、已知：二次函数1222

+-+=b ax x y 和1)3(2

2

-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两个不同的点M 、N ，求a 、b 的值。

y

x

O s t o s t

o s t o s t o A B C D Y

X

B C O A

25、如图，已知⊿ABC 是边长为4的正三角形，AB 在x 轴上，点C 在第一象限，AC 与y 轴交于点D ，点A 的坐标为（—1，0)，求 (1)B ，C ，D 三点的坐标；

(2)抛物线c bx ax y ++=2经过B ，C ，D 三点，求它的解析式；

(3)过点D 作DE ∥AB 交过B ，C ，D 三点的抛物线于E ，求DE 的长。

26 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超100度

时，按每度0．57元计费：每月用电超过100度时．其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0．50元计费。

(1)设月用电x 度时，应交电费y 元，当x ≤100和x>100时，分别写出y 关于x 的函数 关系式；

问小王家第一季度共用电多少度?

27、巳知：抛物线62)5(2

2

2

+++-=m x m x y

(1)求证；不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点，并且有一个交点是A(2，0)； (2)设抛物线与x 轴的另一个交点为B ，AB 的长为d ，求d 与m 之间的函数关系式； (3)设d=10，P(a ，b)为抛物线上一点：

①当⊿A ＢＰ是直角三角形时，求b 的值；

②当⊿AB Ｐ是锐角三角形，钝角三角形时，分别写出b 的取值范围(第2题不要求写出过程)

28、已知二次函数的图象)9

24(2)254(222+--+--=m m x m m x y 与x 轴的交点为A ，B(点Ｂ在点A 的右边)，与y 轴的交点为C ；

(1)若⊿ABC 为Rt ⊿，求m 的值；

(1)在⊿ABC 中，若AC=ＢＣ，求sin ∠ACB 的值；

(3)设⊿ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，s 有最小值．并求这个最小值。

Y

X B C O A D E

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．

初中数学函数知识点归纳(1)

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，

点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。 点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x + 8、两点之间的距离： X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -= 已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|= 2 12212)()(y y x x -+- 9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 2 1 2y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域和值域： 定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。

初中数学所有函数的知识点总结

课题 §3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数 教学目标 1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 2、会用待定系数法确定函数的解析式 教学重点 掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 教学难点 掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 教学方法 讲练结合法 教学过程 （I）知识要点 （见下表：）

注：二次函数))((44)2(2 22 n x m x a a b a c a b x a c bx ax y --=-++=++=（0≠a ） 对称轴a b x 2-=，顶点)442(2a b ac a b --， 抛物线与x 轴交点坐标)0()0(，，，n m （II ）例题讲解 例1、求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）抛物线过点A （1，1），B （2，2），C （4，2-） （2）抛物线的顶点为P （1，5）且过点Q （3，3） （3）抛物线对称轴是2=x ，它在x 轴上截出的线段AB 长为22 ，且抛物线过点（1，7）。 解：（1）设)0(2 ≠++=a c bx ax y ，将A 、B 、C 三点坐标分别代入，可得方程组为 ?????-==-=?????-=++=++=++2 41 24162 241c b a c b a c b a c b a 解得 242-+-=∴x x y （2）设二次函数为5)1(2--=x a y ，将Q 点坐标代入，即35)13(2 =--a ，得 2=a ，故3425)1(222--=--=x x x y （3）∵抛物线对称轴为2=x ； ∴抛物线与x 轴的两个交点A 、B 应关于2-=x 对称； ∴由题设条件可得两个交点坐标分别为)0222()022(，、，+--B A ∴可设函数解析式为：a x a x x a y 2)2()22)(22(2-+=- +++=，将（1，7） 代入方程可得1=a ∴所求二次函数为242 ++=x x y ， 例2：二次函数的图像过点（0，8），)51(--，，（4，0） （1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间 （2）当x 取何值时，①y≥0，②y<0 解：（1）依题意可设函数的解析式为：)0(2 ≠++=a c bx ax y 将三点坐标分别代入，可得方程组为： ?????=++-=+--=0 41658 c b a c b a c 解得?????-=-=-=821c b a 9)1(8222--=--=∴x x x y ∴函数图像的顶点为（1，9-），对称轴为1=x 又∵01>=a ， ∴函数有最小值，且9m in -=y ，无最大值 函数的增区间为[1，+∞），减区间为]1(，-∞

初中数学函数中的定点问题常考压轴题专题汇总练习(含解析)

初中数学函数中的定点问题常考压轴题专题汇总练习(含解析) 定点题型 定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因， 先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标. 解题思路： 这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变 量，从而得到定点（定值）。具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简 消去变量即得定值。 一、直线过定点问题： 解法1：取特殊值法 给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点， 然后再将此点代入原方程验证即可。 例1：求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。 解：令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。将（1，-1）点代入原方程得： （m+1）· 1+（m-1）（-1）-2＝0 成立，所以该定点P为（1，-1）。 解法2：由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了 它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。 例2：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。 证明：由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k，∴（k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不论k 取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。 解法3：方程思想 若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方 程，然后利用系数为零求得。 例3：若 2a-3b=1（a，b∈R），求证：直线 ax＋by=5必过定点。 解：由已知得 ax+by=5（2a-3b），即 a（x-10）+b（y-15）=0 无论a，b为何值上式均成立，所以a，b 的系数同时为0，所以过定点（10，15）。 解法4：直线系观点 过定点的直线系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0与l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点。 例4：求证对任意的实数m，直线（m-1）x＋2（m-1）y＝m-5必过定点。 解：原式可整理为（x＋2y-1）m-（x＋y-5）＝0 1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点 ．

初中数学所有函数的知识点总结

初中数学所有函数的知 识点总结 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

课题§3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数 教学目标 1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 2、会用待定系数法确定函数的解析式 教学重点 掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 教学难点 掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 教学方法 讲练结合法 教学过程 （I）知识要点

注：二次函数))((44)2( 22 n x m x a a b a c a b x a c bx ax y --=-++=++=（0≠a ） 对称轴a b x 2-=，顶点)442(2a b ac a b --， 抛物线与x 轴交点坐标)0()0(，，，n m （II ）例题讲解 例1、求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）抛物线过点A （1，1），B （2，2），C （4，2-） （2）抛物线的顶点为P （1，5）且过点Q （3，3） （3）抛物线对称轴是2=x ，它在x 轴上截出的线段AB 长为22，且抛物线过点（1，7）。

解：（1）设)0(2≠++=a c bx ax y ，将A 、B 、C 三点坐标分别代入，可得方程组为 （2）设二次函数为5)1(2--=x a y ，将Q 点坐标代入，即35)13(2=--a ，得 2=a ，故3425)1(222--=--=x x x y （3）∵抛物线对称轴为2=x ； ∴抛物线与x 轴的两个交点A 、B 应关于2-=x 对称； ∴由题设条件可得两个交点坐标分别为)0222()022(，、， +--B A ∴可设函数解析式为：a x a x x a y 2)2()22)(22(2-+=- +++=，将（1， 7）代入方程可得1=a ∴所求二次函数为242++=x x y ， 例2：二次函数的图像过点（0，8），)51(--，，（4，0） （1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间 （2）当x 取何值时，①y≥0，②y<0 解：（1）依题意可设函数的解析式为：)0(2≠++=a c bx ax y 将三点坐标分别代入，可得方程组为： ?????=++-=+--=0 41658 c b a c b a c 解得?????-=-=-=821c b a ∴函数图像的顶点为（1，9-），对称轴为1=x 又∵01>=a ， ∴函数有最小值，且9m in -=y ，无最大值 函数的增区间为[1，+∞），减区间为]1(， -∞ （2）由2408202-≤≥≥--≥x x x x y 或，解得可得 由4208202<<-<--=-- ∴依二次函数的对称性可知)1()1(f f >- ∴当1-=x 时函数取得最大值，且31)1()1(2m ax =+---=y

初中数学函数知识点总结

初中函数知识点总结 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?x ，y 为任意实数 点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数

初中数学函数知识点总结

初中数学函数知识点总结 初中数学函数是常考的难点，那么初中数学函数知识点又应该怎么总结呢?下面初中数学函数知识点总结是为大家带来的，希望对大家有所帮助。 一、函数 (1)定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时，也称y是x的函数。 (2)本质：一一对应关系或多一对应关系。 有序实数对平面直角坐标系上的点 (3)表示方法：解析法、列表法、图象法。 (4)自变量取值范围： 对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义; 对于纯数学问题，自变量取值必须保证函数关系式有意义： ①分式中，分母≠0; ②二次根式中，被开方数≥0; ③整式中，自变量取全体实数; ④混合运算式中，自变量取各解集的公共部份。 二、正比例函数与反比例函数 两函数的异同点 二、一次函数(图象为直线) (1)定义式：y=kx+b (k、b为常数，k≠0);自变量取全体实数。

(2)性质： ①k>0，过第一、三象限，y随x的增大而增大; k<0，过第二、四象限，y随x的增大而减小。 ②b=0，图象过(0，0); b>0，图象与y轴的交点(0，b)在x轴上方; b<0，图象与y轴的交点(0，b)在x轴下方。 三、二次函数(图象为抛物线) (1)自变量取全体实数 一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，其中(0，c)为抛物线与y轴的交点; 顶点式：y=a(x—h)2+k (a、h、k为常数，a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点; h=-，k=零点式：y=a(x—x1)(x—x2)(a、x1、x2为常数，a≠0)其中(x1，0)、(x2，0)为抛物线与x轴的交点。x1、x2= (b2-4ac ≥0) (2)性质： ①对称轴：x=-或x=h; ②顶点：(-，)或(h，k); ③最值：当x=-时，y有最大(小)值，为或当x=h时，y有最大(小)值，为k ;

(完整版)初中数学函数练习题汇总

初中数学函数练习 （一）1反比例函数、一次函数基础题 1、函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 2、如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2 y x =的图象相交于A 、C 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变． 3、如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 4、已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． 5、若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 6、已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） 7、正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． 8、下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．1 23y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． 9、矩形的面积为6cm 2 ，那么它的长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系用图象表示为（ ） A B C D A B C D x x x x B C D

初中数学函数知识点总结

初中数学函数知识点总结

初中函数知识点总结 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数 对，当b a≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0 ?y x > ,0> 点P(x,y)在第二象限0 x ?y ,0> < 点P(x,y)在第三象限0 ,0< ?y x < 点P(x,y)在第四象限0 x ?y ,0< > 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上0= ?y，x为任意实数点P(x,y)在y轴上0= ?x，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上?x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与

y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于2 2y x + 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析

初三数学二次函数公式及知识点总结

新人教版 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二

次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小

初中数学函数知识点和常见题型总结

函数知识点及常见题型总结 函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。 函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。 一、核心知识点总结 1、函数的表达式 1）一次函数：y=kx+b(,k b 是常数，0k ≠) 2）反比例函数：函数x k y = （k 是常数，0k ≠）叫做反比例函数。注意：0x ≠ 3）二次函数：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，， 2、点的坐标与函数的关系 1）点的坐标用(),a b 表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，(),a b 和(),b a 是两个不同点的坐标。 2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。 3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。 3、函数的图像 1）一次函数

一次函数b y=的=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kx y+ kx 图像是经过原点（0，0）的直线。

2）反比例函数 3）二次函数

4、函数图像的平移 ① 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： ③平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

初中数学函数专题总结

一次函数 1、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系：y=k x+b（k，b为常数，k≠0） 则称y是x的一次函数,特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 2、一次函数的性质： y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k,即△y/△x=k 3、一次函数的图象及性质： 1)作法与图形：（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以 作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接） 2)性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=k x+b。 3)k，b与函数图象所在象限。 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。4、在y=k x+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点 k>0，b>0k>0，b<0k<0，b>0k<0，b<0 反比例函数 1. 反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k x-1(k 为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数

反比例函数的图像为双曲线。 2. 反比例函数的概念需注意以下几点：(1)(k为常数，k≠0）；(2)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（3）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数． 3. 因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交. 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 二次函数 1.一般地，自变量x和因变量y，y是x的函数之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c (a≠0)a，b，c为常数， a≠0，则称y为x的二次函数。 2.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)) k =(4ac-b2)/4a x1,x2 =(-b±√b2-4ac)/2a二次函数的图像 3. 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像， 二次函数可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 二次函数标准画法步骤 （在平面直角坐标系上） （1）列表 （2）描点 （3）连线 4.抛物线的性质

初中数学函数知识点归纳及学习技巧

初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法 初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就等于中考中数学成功了一大半， 数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。 初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函 数和锐角三角函数。 一、函数的概念 1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数. 2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 【思想方法】 数形结合 二、（一）、一次函数 1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。 2. 图象及其性质 （1）形状：一次函数y kx b =+的图象是经过（k b - ，0）和（0，b ）两点的一条直线. （2）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。 （3）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。 （4）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 一次函数图象和性质 . 一次函数y kx b =+的图象与性质 （二）反比例函数 1. 定义： k 、b 的符号 k ＞0，b ＞0 k ＞0，b ＜0 k ＜0，b ＞0 k ＜0，b ＜0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大而而 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大 而

初中数学函数专题总结

初中数学函数专题总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

一次函数 1、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） 则称y是x的一次函数,特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 2、一次函数的性质： y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k,即△y/△x=k 3、一次函数的图象及性质： 1)作法与图形：（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以 作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接） 2)性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 3)k，b与函数图象所在象限。 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k ＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 4、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点 k>0，b>0k>0，b<0k<0，b>0k<0，b<0 反比例函数 1.反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx-1(k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数 反比例函数的图像为双曲线。 2.反比例函数的概念需注意以下几点：(1)(k为常数，k≠0）；(2)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（3）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数． 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交. 4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 二次函数 1.一般地，自变量x和因变量y，y是x的函数之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a≠0)a， b，c为常数，a≠0，则称y为x的二次函数。 2.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))

初中数学中考专题复习《函数型问题》

新人教版初中数学中考专题复习《函数型问题》中考复习指导思想： ?1、函数是中学数学最重要的组成部分，函数思想是数学思想的灵魂. ?2、函数方法是分析数学问题、解决问题的有效方法. ?3、重点揭示规律，总结方法，形成策略，提高学生灵活应运用函数知识解决问题的能力 技能大比拼 1．如图，已知A（－4，n），B（2，－4）是直线y = kx＋b和双曲 线y =m x 的两个交点. 试求(1)一次函数解析式(2)△OAB的面积 （3）当x取何值时kx＋b＜m x 【反思归纳】 组内交流，主要交流总结解决以上问题时所运用的主要知识点， 方法及规律。 中考题型探秘 探究一：分段函数型问题 （09衡阳）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水 1 / 3

收费标准，每月用水量x(吨)与应付水费y(元)的函数关系如图． (1)求出当月用水量不超过5吨时，y与x 之间的函数关系式； (2)某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少? 探究二：最大利润问题 ?“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克的价格销售，那么每天可以售出400千克，由销售经验 知，每天销售量y（千克）与销售价格x（元）（x≥20）存在 着如图的一次函数关系。 (1)求出y与x的函数关系式： (2)设超市销售绿色食品每天可获利润P元，当销售单价为 何值时，每天可获得利润最大？最大利润是多少？【反思归纳】 你对用函数解决实际问题有什么心得？在组内交流与大家共享 探究三：抛物线形运动路线问题 ?学校要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离 池中心3m,水管应多长? 200 400 y 0 10 20 30 40 x 2 / 3

初中数学函数三大专题复习汇总(有答案)

初中数学函数三大专题复习汇总 目录 专题一 一次函数和反比例函数 一、一次函数及其基本性质 1、正比例函数 形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。 （1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。 2、一次函数 形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x≠0，则m 的值为 。 随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、2 随堂练习： 1、直线y=x －1的图像经过象限是（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 2、一次函数y=6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。

初中数学一次函数考点归纳及例题详解

初中数学一次函数考点 归纳及例题详解 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

一次函数考点归纳及例题详解 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数， 特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 【例题】 1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3 x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 2.已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，?该函数的解析式为_________． 3.已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 4.函数n m x m y n +--=+12)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当 m= ，n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、 b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0b 直线与y 轴的交点在正半轴上，0

初中数学函数专题总结

一次函数 1 、定义与定义式： 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b （ k ， b 为常数，k ≠ 0 ） 则称 y 是 x 的一次函数 , 特别地，当 b=0 时， y 是 x 的正比例函数。 2 、一次函数的性质： y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k, 即△ y/ △ x=k 3 、一次函数的图象及性质： 1) 作法与图形：（ 1 ）列表（一般找 4-6 个点）；（ 2 ）描点；（ 3 ）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接） 2) 性质：在一次函数图象上的任意一点 P （ x ， y ），都满足等式： y=kx+b 。 3) k ， b 与函数图象所在象限。 当 k ＞ 0 时，直线必通过一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 当 k ＜ 0 时，直线必通过二、四象限， y 随 x 的增大而减小。 当 b ＞ 0 时，直线必通过一、二象限； 当 b ＜ 0 时，直线必通过三、四象限。 当 b=0 时，直线通过原点 O （ 0 ， 0 ）表示的是正比例函数的图象。这时，当 k ＞ 0 时，直线只通过一、三象限；当 k ＜ 0 时，直线只通过二、四象限。 4 、在 y=kx+b 中 , 两个坐标系必定经过 (0,b) 和 (-b/k,0) 两点

k> 0 ， b> 0 k> 0 ， b < 0 k< 0 ， b>0 k <0 ， b < 0 反比例函数 1 . 反比例函数：一般地，如果两个变量 x 、 y 之间的关系可以表示成 y=kx-1(k 为常数，k ≠ 0 ）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数 反比例函数的图像为双曲线。 2 . 反比例函数的概念需注意以下几点： (1)(k 为常数，k ≠ 0 ）； (2) 自变量 x 的取值范围是x ≠ 0 的一切实数；（ 3 ）因变量 y 的取值范围是y ≠ 0 的一切实数． 3. 因为在y=k/x(k≠0) 中， x 不能为 0 ， y 也不能为 0 ，所以反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交 . 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P ， Q ，过点 P ， Q 分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1 ， S2 则 S1 ＝ S2=|K|