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泊松分布公式推导

泊松分布定义 2.7:若随机变量X 的概率分布为P{X=k}=(λ^k/k!)* [e^(-λ)](k=0,1,2,…),其中,λ>0为常数,则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,记作X~P (λ)

推导:

n 很大,p 很小时,类似二项分布

P{X=k}=

lim 0,00→+→p n C k n *(p^k)*[(1-p)^(n-k)]

(因为:n 极大,p 无限接近于0,λ为大于0的常数,所以近似认为n*(n-1)…=n^k,n=λ/p )

P{X=k}=lim 0

,00→+→p n (n^k/k!)*(p^k)*[(1-p)^( λ/p-k)] (λ=n*p )

=

lim 0

,00→+→p n (λ^k/k!)*{[(1-p)^(-1/p)]^(- λ)}*[(1-p)^(-k)]

(因为:lim 0→p [(1-p)^(-1/p)]~e, (1-p)~1, (1-p)^(-k)~1) )

P{X=k} =

lim 0,00→+→p n (λ^k/k!)*[e^(-λ)]

推导完毕

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