第17课时——指数函数(2)

第十七课时 指数函数（2）

学习要求 1．进一步掌握指数函数的图象、性质； 2．初步掌握函数图象之间最基本的初等变换。 3．提高观察、抽象的能力． 自学评价 1．已知0,1a a >≠，x y a =-与x y a =的图象关于 对称；x y a -=与x y a =的图象关于 对称. 2. 已知0,1;a a h o >≠>，由 x y a =的图象 向左平移h 个单位 得到x h y a +=的图象； 向右平移h 个单位 得到x h y a -=的图象； 向上平移h 个单位 得到x y a h =+的图象； 向下平移h 个单位 得到x y a h =-的图象. 【精典范例】 例1： 说明下列函数的图象与

指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图： （1）12x y +=； （2）2

2x y -=． 【解】 （1）比较函数12x y +=与2x y =的关系： 312y -+=与22y -=相等， 212y -+=与12y -=相等， 212y +=与32y =相等 ， …… 由此可以知道，将指数函数2x y =的图象向左平移1个单位

长度，就得到函数12x y +=的图象。 （2）比较函数22x y -=与2x y =的关系： 122y --=与32y -=相等， 022y -=与22y -=相等， 322y -=与12y =相等 ， …… 由此可以知道，将指数函数2x y =的图象向右平移2个单位长度，就得到函数22x y -=的图象。

点评: 一般地，当0a >时，将函数()y f x =的图象向左平移a 个单位得到()y f x a =+的图象； 当0a <时，将函数()y f x =的图象向右平移||a 个单位，得到()y f x a =+的图象 例2：说明下列函数的图象与指数函数2x y =的图象的关系，并画出它们的示意图：

（1）21x y =+；（2）22x y =-．

【解】比较函数21x y =+与2x y =的关系：

当2x =-时，221 1.25y -=+=；当1x =-时，121 1.5y -=+=；当0x =时，0212y =+=；当1x =时，1213y =+=；当2x =时，2215y =+=；……； 由此可以知道，将指数函数

2x

y =的图象向上平移1个单

位长度，就得到函数21x

y =+的

图象。

同理可知，将指数函数2

x

y =的图象向下平移2个单位长

度，就

得到函

数

22x y =-的图象。 点评: 当0a >时，将函数()y f x =的图象向上平移a 个单位得到()y f x a =+的图象； 当0a <时，将函数()y f x =的图象向下平移||a 个单位得到()y f x a =+的图象。 例3：画出函数的图象并根据图象求它的单调区间： （1）|22|x y =-；（2）||2x y -=

分析：先要对解析式化简 .

【解】（1）22(1)|22|22(1)x x

x x y x ?-≥?=-=?-

由

图象可得

函数|22|x y =-递增区间为[)1,+∞,递减区间为(],1-∞.

(2) ||

1()(0)22

2(0)

x x x x y x -?≥?==??

， 由图象可

得函数||2x y -=递增

区间为

(],0-∞,递减区间为[)0,+∞．

点评:画与指数函数复合的

函数图象时要先化简解析式，然后再寻找它与指数函数图象之间的关系.

追踪训练一 1. （1）函数21(0,1)x y a a a -=+>≠恒过定点为___

_________.

（2）已知函数13x y a +=+的图象不经过第二象限，则a 的取值范围是__

___________.

2. 怎样由4x y =的图象，得到函数421()22

x y -=-的图象？

3. 说出函数3x

y -=与

3

x a

y -+=(0)a ≠图象之间的关系：

．

【选修延伸】 一、指数函数图象与方程和不等式

例4: （1）求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）；（2）求不等式24x x +≥的解集. 【解】方程

24x

x +=可化为

24x x =-，

分别画出函数

2x y =与函数

4y x =-的图象

（1）由图象可以知道，方程

24x x +=的近似解为 1.4x ≈；（2）

不等式24x x +≥的解集为[1.4,)+∞.

点评:与指数函数有关的方程

与不等式当用代数方法比较困

难时，通常将它们拆成两个函

数，通过观察函数的图象来求出结果.

追踪训练二

1． 已知()y f x =是定义在R 上

的奇函数，且0x <时，

()12x f x =+.

（１） 求函数()f x 的解析式；

（２）画出函数()f x 的图

象；（３）写出函数()f x 单

调区间及值域；

（４）求

使()

恒成立的实

f x a

数a的取值范围．

(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc

.. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式

【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ．

2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第12课时二次函数的图像与性质(一)

第12课时 二次函数的图像与性质（一） 【复习目标】 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律． 【知识梳理】 1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最大值，为_______． 6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”． 【考点例析】 考点一 二次函数的有关概念 例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D （－2，1）

指数函数对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:

a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．

二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)

二次函数铅垂高 如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直 线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度 叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ah S ABC 2 1 =?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式； (2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?； (3)是否存在一点P ，使S △P AB =89 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(2 1+-=x a y ··········································· 1分 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(2 2 1++-=+--=x x x y ············································· 3分 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2 由322 1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··································· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y ·········································································· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4) 所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2 所以CD ＝4-2＝2 ········································································· 8分 图12-2 x C O y A B D 1 1

第14课时 二次函数及其应用

x ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . a ＞0 口 4. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2 的形式， 其中h ＝ ， k ＝ . 5. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系. 6．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2 2 4(24b ac b y a x a a -=+ + ，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时， y 有最 （ “大”或“小”）值是 ． 【典型例题】 【例1】. 二次函数y ＝2x 2－4x ＋5的对称轴方程 是x ＝___；当x ＝ 时，y 有最小值是 . 【例2】. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解 c bx ax y ++=2 的图象如 图所示，则在“① a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④

n x ++5经过点)0,1(A （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. 【例5】例2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池， 并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在 各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米. （1）求这条抛物线的解析式； （2）若不计其它因素，水池的半径至少要多 少米，才能使喷出的水流不至于落在池 外？ 【例6】近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y （米）与售价x （元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x ≤70． (1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式； (2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元． ① 试用含x 的代数式表示ｗ； ② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？

中考数学复习专题汇编---第五单元 第18课时 二次函数的应用

第18课时 二次函数的应用 (60分) 一、选择题(每题6分，共12分) 1．图18－1②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成 抛物线y ＝－1400 (x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，且有AC ⊥x 轴，若OA ＝10 m ，则桥面离水面的高度AC 为 ( B ) 图18－1 A ．16940 m B.174 m C ．16740 m D. 154 m 【解析】 ∵AC ⊥x 轴，OA ＝10 m ，∴点C 的横坐标为－10.当x ＝－10时，y ＝－1400(x －80)2＋16＝－1400×(－10－80)2＋16＝－174 ，∴点C 的坐标为? ????－10，－174，∴桥面离水面的高度AC 为174 m. 2．[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)之间的关系如下表： 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是

直线t ＝92 ；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 利用待定系数法可求出二次函数表达式；将函数表达式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度；求出h ＝0时t 的值，即可得足球的落地时间；求出t ＝1.5 s 时h 的值，即可对④作出判断．由表格可知抛物线过点(0，0)，(1，8)，(2，14)，设该抛物线的表达式为h ＝at 2＋bt ，将点 (1，8)，(2，14)分别代入，得???a ＋b ＝8，4a ＋2b ＝14，解得???a ＝－1，b ＝9. ∴h ＝－t 2＋9t ＝－? ????t －922＋814，则足球距离地面的最大高度为814 m ，对称轴是直线t ＝92，①错误、②正确；∵h ＝－t 2＋9t ＝0，∴当h ＝0时，t ＝0或9，③正确；当t ＝1.5 s 时，h ＝－t 2＋9t ＝11.25，④错误．综上所述，正确结论的个数是2. 二、填空题(每题6分，共18分) 3．[2016·台州]竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t (s)时在空中与第2个小球的离地高度相同，则t ＝__1.6__s. 【解析】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a (t －1.1)2＋h ，由题意，得a (t －1.1)2＋h ＝a (t －1－1.1)2＋h ，解得t ＝1.6.故第一个小球抛出后1.6 s 时在空中与第二个小球的离地高度相同． 4．如图18－2，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ， BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿 边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过__3__s ，四边形APQC 的面 图18－2

2019版中考数学一轮复习 第12课时 二次函数(1)教案

2019版中考数学一轮复习 第12课时 二次函数（1）教案 课 题 §第12课时 二次函数（1） 教学时间 教学目标： 1.掌握二次函数的定义、图像和性质 2.会用二次函数的图像性质在研究函数最值和增减性 3.进一步体会数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想在解题中的作用 教学重点： 二次函数最值和单调性，二次函数的最值和增减性的应用 教学难点： 二次函数最值和单调性，二次函数的最值和增减性的应用 教学方法： 自主探究 合作交流 讲练结合 教学媒体： 电子白板 【教学过程】： 一、知识梳理 1.二次函数：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：一般式：__________(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。 2.二次函数的解析式三种形式。 一般式：y=ax 2 +bx+c(a≠0)；顶点式:_________________；交点式: __________ __ 3.二次函数图像与性质 二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的对称轴是___________；顶点坐标是_______________；与y 轴交点坐标_____________ 4.增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而_____；对称轴右边，y 随x 增大而_____ 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而_____；对称轴右边，y 随x 增大而_____ 5.二次函数图像画法： 勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点 6.图像平移步骤：（1）配方2 ()y a x h k =-+，确定顶点（h ，k ）； （2）沿x 轴：左_____右_____；沿y 轴：上_____下_____ 7.用待定系数法求二次函数解析式的三种方法 （1）一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ （2）顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. 复 备 栏

中考数学复习 第14课时 二次函数的实际应用测试

第三单元函数 第十四课时二次函数的实际应用 1. (8分)(xx眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 2. (8分)(xx济宁)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系： y＝－x＋60(30≤x≤60)． 设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 3. (8分)(xx成都)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表： (1)求y1关于x的函数表达式；

(2)李华骑单车的时间y 2(单位：分钟)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝1 2x 2－11x ＋78来描 述．请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需要的时间最短？并求出最短时间． 4. (8分)(xx 青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1 3 .下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录： (1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？ (2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？ 5. (9分)(xx 河北)某厂按用户的月需求量x (件)完成一件产品的生产，其中x >0.每件的售价为18万元，每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需要量x (件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n (n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式 x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据． (1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元； (2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

幂函数与指数函数的区别

幂函数与指数函数得区别 1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0； 当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。

? 幂函数得性质: 根据图象，幂函数性质归纳如下： （１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1); （2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。 指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。 思考讨论: (１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。

2020中考数学复习 第17课时 二次函数的综合应用(无答案)

A C B D E O x y 2 第17课时 二次函数的综合应用 【课前展练】 1（孝感2009）．对于每个非零自然数n ，抛物线()() 2 211 11n y x x n n n n +=- +++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则1122A B A B ++…20092009A B +的值是（ ） A ．2009 2008 B ． C ． D ． 2.（孝感2011）已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3. 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如 图所示．下列说法正确的是 ▲ (填正确结论的序号)． ①abc＜0；②a－b ＋c ＜0；③3a＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0． 4. 对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1； ④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3． 其中正确的说法是 ___ ．（把你认为正确说法的序号都填上） 【典型例题】 【例1】(孝感2010，12分)如图，已知二次函数的图象顶点坐标为(2，0)， 直线y ＝x ＋1与二次函数的图象交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上． (1)二次函数的解析式为y ＝ ． (2)证明点(―m ，2m ―1)不在(1)中所求的二次函数的图象上． (3)C 为线段AB 的中点，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，CE 与二次函数的图象交于 点D ． ①y 轴上存在点K ，使以K 、A 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形，则点K 的坐标是 ； ②二次函数的图象上是否存在点P ，使得S △POE ＝2S △ABD ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年高三数学一轮复习 集合与函数 第12课时 二次函数、幂函数

2021年高三数学一轮复习集合与函数第12课时二次函数、幂函数一、考纲要求 内容 要求 A B C 二次函数√ 幂函数√ 三、考点梳理 1、一次函数y=ax+b与二次函数在同一坐标系中的图象大致是________.(填序号) 2、若f(x)为二次函数,且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为__________. 3、若函数f(x)＝ax2－6x＋2的图象与x轴有且只有一个公共点，则a＝________. 4、下列命题中正确的是_________ ①幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)；②幂函数的图象不可能在第四象限； ③ n=0时，函数的图象是一条直线；④幂函数，当n＞0时是增函数； ⑤幂函数，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小. 5、若是幂函数,且满足,则___________. 6、已知幂函数f(x)=x，若f(a+1)

②设，且在上单调递增，求实数的取值范围。 （2）设实数，使得不等式对任意的实数恒成立，则满足条件的实 数的范围是__________. 五、反馈练习 1、设α∈{-1，1，，3}，则使函数y=xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为______________ 2、已知函数f(x)＝ax＋b x－b ，其图象关于点(－3,2)对称，则f(2)的值是________． 3、方程在区间上有解，则实数a的取值范围是______________. 4、已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值 范围是__________. 5、若函数，其中。若对于任意的非零实数，存在唯一的实数，使得成立，则的最小值为________________ 6、二次函数f(x)=ax2+bx+1(a＞0)，设f(x)=x的两个实根为x 1，x 2 , (1)如果b=2且|x 2-x 1 |=2，求a的值； (2)如果x 1＜2＜x 2 ＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x ，求证：x ＞-1. 六、小结反思X 24306 5EF2 廲"!25477 6385 掅21989 55E5 嗥c/37448 9248 鉈40573 9E7D 鹽$=Gg 实用文档

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质.doc

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.

3．指数函数的图象与性质 y=a x a>100 时， y>1; (2) 当 x>0 时， 01 (3) 在（ - ，+ ）上是增函（3）在（ - ，+ ）上是减函数 数 注：如图所示，是指数函数（ 1 ） y=a x, （ 2） y=b x,（ 3 ） ,y=c x（ 4 ）,y=d x的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1 ）对数的定义 如果 a x N (a 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底，N的对数，记作 x log a N，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2 ）几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N 常用对数底数为 10 lg N 自然对数底数为 e ln N

江苏省昆山市兵希中学九年级数学总复习：一轮复习第17课时：二次函数(一)

初三第一轮复习第17课时：二次函数（一） 【课前预习】 一、知识梳理： 1、二次函数的概念：形如 的函数叫做二次函数． 2、二次函数的解析式：①一般式；②顶点式；③交点式 3、二次函数的图象、性质：①图象是 ；②开口方向 ③对称轴 ④顶点坐标 ⑤增减性 ⑥最值． 4、二次函数的图象的变换（平移、旋转、轴对称） 5、用待定系数法确定二次函数解析式. 6、利用二次函数的性质解决数学问题． 二、课前练习： 1.已知以x 为自变量的二次函数22(2)2y m x m m =-+--的图象经过原点，则m 的值是 ． 2.填表： 3.2 34y x x =--与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴的交点坐标是__________. 4、已知点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在二次函数y ＝(x －1)2＋1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1______y 2. 5、关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是（ ） A . m<1- B . 11 6、已知函数y ＝3x 2－4x ＋1，当0≤x ≤4时，则y 的变化范围是 ． 7. 将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式

为( ) A ．y ＝3(x ＋2)2 ＋3 B ．y ＝3(x －2)2 ＋3 C ．y ＝3(x ＋2)2 －3 D ．y ＝3(x －2)2 －3 8、若抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ． 9、如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2 y=a x 3+k -与y 轴的交点， 点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 . 【解题指导】 例1 已知二次函数经过点（－1，0），（1，4），（3，0）. （1）求这个二次函数的解析式； (2)直接写出二次函数的三个性质． 例2 如图，抛物线y =x 2 +bx +c 经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)若与x 轴的两个交点为A ，B ，与y 轴交于点C ．在该抛物线上是否存在点D ,使得△ABC 与△ABD 全等？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由 例3 已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2 =++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。 ①求二次函数的解析式； ②若一次函数y kx 6=+的图象与二次函数的图象都经过点A (3m)-，，求m 和k 的值； ③设二次函数的图象与x 轴交于点B ,C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B ,C

第12讲：二次函数综合-教案

第 12 讲
讲
二次函数综合

概述
适用学科 初中数学
适用区域 知识点 教学目标
北师版区域
1.二次函数与平行四边形 2.二次函数与等腰三角形 3.二次函数与相似三角形 1.掌握二次函数综合 2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点 能熟练掌握二次函数综合问题
适用年级 课时时长（分钟）
初中三年级 120
教学难点 能熟练掌握二次函数综合问题
【教学建议】 本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整
理、归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策 略。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 二次函数中平行四边形的存在性问题； 2. 二次函数中等腰三角形的存在性问题； 3.二次函数中相似三角形的存在性问题。 【知识导图】

教学过程
一、导入
【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函 数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题 往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地 处理这三种类型试题的策略。
二、知识讲解
知识点 1 二次函数与平行四边形
平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种 题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离 公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。
知识点 2 二次函数与等腰三角形
处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点 间距离公式硬算）
知识点 3 二次函数与相似三角形
常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种： 1.导边处理（“SAS”法） 第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽； 第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程. 2.导角处理（“AA”法） 第一步:先找到一组关键的等角； 第二步,另两个内角分两类对应相等.

中考数学培优复习 第13课时 二次函数及其应用

y x O 2019-2020年中考数学培优复习 第13课时 二次函数及其应用 一、【知识要点】 1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ； 2. 顶点式的几种特殊形式. ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . 3. 二次函数的图像和性质 ＞0 ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 4. 用配方法可化成的形式，其中＝ ， ＝ . 5. 二次函数的图像和图像的关系. 6．二次函数通过配方可得2 24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有

最（“大”或“小”）值是． 7、二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根． （3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根 8、二次函数的应用： （1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 二、【经典例题剖析】 1. 已知二次函数y=x2－6x+8，求： （1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x2－6x＋8=0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？ 2. 已知抛物线y＝x2－2x－8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积． 3.如图所示，直线y=-2x+2与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC，∠BAC=90o， 过C作CD⊥轴，垂足为D （1）求点A、B的坐标和AD的长 （2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式三、当堂检测 D O B A C

幂函数与指数函数及其性质

(一)指数函数的定义 一般地，函数y =a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8-0.2,所以 0.8-0.1< 0.8-0.2 总结：同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 . (3) 观察图像可得,(0.3)-0.3<(0.2)-0.3 不同底数幂在比大小时,可利用多个指数函数图象比大小 (4) 由指数函数的性质知：1.703 >1.7 0 =1,093.1<0.90 =l 即 1.70.3 >0.93.1 <1,所 以 1.70.3 >0.93.1 总结：不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，1) 例3：已知下列不等式 , 比较m 和n 的大小 : (l )2m <2n (2)0.2m >0.2n (3)a m 0） 解：(1) 因为y =2x 是一个单调递增函数，所以由题意m 1时y =a x 是一个单调递增函数，所以此时m n 特点：已知幂值大小判断指数大小。可以构造指数函数，利用单调性解题。 1、求下列函数的定义域： 2 ．比较下列各题中两个值的大小 : （1）30.9 ,30.8 ; （2）0.75-0.2，0.750.2 3、已知a = 0.80.7,b = 0.80.9,c = 1.20.8 ，则a 、b 、c 的大小关系是 指数函数（选择题） 1. 的单调递减区间是函数| 1|)3 1( -=x y ) [1,,0)(- D. )[1, C. ,1](- B. ,0)(- .+∞∞+∞∞∞ A 2. 是且1)a 0(a 1 1 )(≠>+-=x x a a x f A.奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数。 3. 已知函数f (x )=2x +1的反函数为f -1(x ），则f -1 (x ）＜0的解集是 A.（-∞，2） B.（1，2） C.（2，+∞） D （-∞，1） 4. 已知函数x x x x e e e e x f --+-=)(的反函数是)(1 x f -，且k f f =---|)6.0(||)8.0(|11，则 A.)21,0(∈k B.)1,21 (∈k C.)23,1(∈k D.)2,2 3 (∈k 5. 若f –1(x )是函数f (x )=2x 的反函数，则f –1 (4)等于 A.1 B.2 C.3 D.4 1 自变量 x 2 定义域 R 3 a 的范围 a >0，且a ≠ 1 4 定义的形式（对应法则） y =a x