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2018届高三数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算夯基提能作业本

第一节平面向量的概念及其线性运算

A组基础题组

1.已知O,A,B是同一平面内的三个点,直线AB上有一点C满足2+=0,则=( )

A.2-

B.-+2

C.-

D.-+

2.(2016甘肃兰州模拟)如图所示,下列结论中正确的是( )

①=a+b;②=a-b;

③=a-b;④=a+b.

A.①②

B.③④

C.①③

D.②④

3.已知向量a, b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )

A.k=1且c与d同向

B.k=1且c与d反向

C.k=-1且c与d同向

D.k=-1且c与d反向

4.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )

A.矩形

B.平行四边形

C.梯形

D.以上都不对

5.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为( )

A.-

B.-2

C.2

D.

6.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命

题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.

其中正确命题的个数为.

7.若||=||=|-|=2,则|+|= .

8.已知G为△ABC的重心,令=a,=b,过点G的一条直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+= .

9.如图,以向量=a,=b为邻边作?OADB,=,=,用a,b表示,,.

10.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t,使C,D,E三点在同一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.

B组提升题组

11.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

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12.已知:如图,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,若=λ+μ(λ、μ∈R),则等于( )

A. B. C. D.2

13.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积的比值为( )

A. B. C. D.

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14.(2016内蒙古包头九中期中)如图,在△ABC中,AH⊥BC于H,M为AH的中点,若=λ+μ,则

λ+μ= .

15.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.

(1)用a,b表示向量,,,,;

(2)求证:B,E,F三点共线.

16.已知P为△ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b表示向量、

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.

答案全解全析

A组基础题组

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1.A 依题意,得=+=+2=+2(-),所以=2-,故选A.

2.C ①根据向量的加法法则,得=a+b,故①正确;②根据向量的减法法则,得=a-b,故②错

误;③=+=a+b-2b=a-b,故③正确;④=+=a+b-b=a+b,故④错误.故选C.

3.D ∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即ka+b=λ (a-b),

∴∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.

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4.C 由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.

5.B 易知==,

∴EF=EB,

∴==(+)=

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=+=-,

∴m=,n=-,∴=-2.

6.答案 3

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解析=a,=b,=+=-a-b,故①错;

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=+=a+b,故②正确;

=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;

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∴++=-b-a+a+b+b-a=0,故④正确.

∴正确命题为②③④.

7.答案2

解析∵||=||=|-|=2,

∴△ABC是边长为2的正三角形,∴|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,∴|+|=2.

8.答案 3

解析连接AG并延长交BC于点E,

如图所示,由重心的性质可知==×=(+),又=,=,

所以==+.

因为G,P,Q三点共线,

所以+=1,

即+=3.

9.解析∵=-=a-b,

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∴===a-b,

∴=+=a+b.

∵=a+b,∴=+=+==a+b,

∴=-=a+b-a-b=a-b.

综上,=a+b,= a+b,=a-b.

10.解析存在.理由:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在同一条直线上的充要

条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

因为a,b不共线,所以有

解得t=.故存在实数t=,使C,D,E三点在同一条直线上.

B组提升题组

11.A 由++=0得,+=,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故∠BAC=30°.

12.D 过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知,∠COD=30°,∠OCD=90°,

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∴OD=2CD,又由题意知=λ,=μ,∴λ||=2μ||,即λ=2μ,故=2.

13.C 设AB的中点为D,连接MD,MC,由5=+3,得5=2+3,故C,M,D三点共线,且5=3,即在△ABM与△ABC中,边AB上的高的比值为,所以△ABM与△ABC的面积的比值为.

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14.答案

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解析设=x,∵=(+)=[+x(-)]=[(1+x)-x],且

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=λ+μ,∴1+x=2λ,-x=2μ,∴λ+μ=.

15.解析(1)延长AD到G,使=,

连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,所以=a+b.

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==(a+b),

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==(a+b),

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==b,

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=-=(a+b)-a=(b-2a),

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=-=b-a=(b-2a).

(2)证明:由(1)可知=,

又因为,有公共点B,

所以B,E,F三点共线.

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16.解析∵=-=-a,

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=-=-b,3+4+5=0, ∴3+4(-a)+5(-b)=0,

∴=a+ b.

设=t(t∈R),则=ta+tb.①又设=k(k∈R),

由=-=b-a,得=k(b-a). 而=+=a+.

∴=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②

由①②得解得t=.

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代入①得=a+b.

∴=a+b,=a+b.