代表值计算及勾股定理

1、公路工程质量评定表中的代表值=平均值减去保证率系数乘以标准值。采用

保证率如下高速公路、一级公路：基层、底基层为99%；路基、路面面层为95%；

其他公路：基层、底基层为95%；路基、路面面层为90%；具体详见公路工程

质量检验评定标准JTG F80/1-2004那个保证率系数可在表中查到。

2、标准差（标准偏差S）/平均数(X )＝偏差系数

3、标准差的平方就是方差（方差的平方根是标准差）。

4、标准差是样本各数据与平均数之差的平方和与（n-1）的比值开方。

5、勾股定理：(a2+b2=c2)

Si n＠=y/r

cos＠=x/r

tan＠=y/x

cot＠=x/y

sec＠=r/x

csc＠=r/y

横轴x(a)纵轴y(b)斜边r(c).

y x

6、已知一条边长和一个邻角的大小：c=a/cosB，b=atgB；

已知一条边长和一个对角的大小：c=b/sinB，a=bctgB。

7、若知道的为斜边a，知道其中一个角为A；∠A对边长度就为a×SINA；另

一个直角边就为a×COSA。

8、锌密度7.14g/m2。

镀锌厚度计算示例：550g/ m2=550/7.14(此时单位为cm3)/10000（此为1m2

换成cm2）*10000(此为cm转换为um)=77.03081232um。

勾股定理与面积计算

勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图

八年级数学下册利用勾股定理作图或计算练习题及解析

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第3课时 利用勾股定理作图或计算 学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题； 2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题. 难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 一、知识回顾 1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,- 2.5的点吗？ 2.求下列三角形的各边长. 一、要点探究 探究点1：勾股定理与数轴 想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2 呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.) 2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？ 3.以下是在数轴上表示出 13的点的作图过程，请你把它补充完整. (1)在数轴上找到点A,使OA=______; (2)作直线l ____OA,在l 上取一点B ，使AB=_____; (3)以原点O 为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交 于C 点，则点C 即为表示______的点. 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 配套PPT 讲授 1.情景引入 （见幻灯片3-4） 2.探究点1新知讲授 （见幻灯片5-12）

要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三 角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在 交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5L为线段,形成如图 所示的数学海螺. 典例精析 例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值. 易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长. 针对训练 1.如图，点A表示的实数是（） A. 3 B. 5 C. 3 D.5 -- 2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为 半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（） A.2 B.5 1 C.10 1 D.5 -- 3.你能在数轴上画出表示17的点吗？ 探究点2：勾股定理与网格综合求线段长 典例精析 例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐 标，并求出此三角形的周长． 方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中， 利用勾股定理求其长度. 例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的 高. 教学备注 配套PPT讲授 3.探究点2新 知讲授 （见幻灯片 13-17）第1题图第2题图

几种简单证明勾股定理的方法

几种简单证明勾股定理的方法 ——拼图法、定理法 江苏省泗阳县李口中学沈正中 据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学 的神奇和妙趣吧！ 一、拼图法证明（举例12种） 拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a 、b ，斜边为c ）按图2拼法。 问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？ 分析图2：S 正方形=（a+b ）2= c 2 + 4×2 1ab 化简可得：a 2+b 2 = c 2 拼法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像左 图那样拼成两个正方形。 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 a 2+ b 2+4×21ab = c 2+4×21ab 整理得 a 2+b 2 = c 2 拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a 、b ，斜边为c ）按图3拼法。 问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a 2+b 2=c 2吗？ 分析图3：S 正方形= c 2 =（a-b ）2+ 4×21ab 化简可得：a 2+b 2 = c 2 图1 图2 图3 图4 b a b a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a

八年级数学下册利用勾股定理作图或计算练习题

第十七章勾股定理 17.1 勾股定理 第3课时利用勾股定理作图或计算 一、选择——基础知识运用 1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（） A． 5 B． 6 C．3 D．4 3．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（） A．+1 B．-1 C．-+1 D．--1 4．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）

A．B．C．D． 5．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，画一条线段AB=，使点A，B在小正方形的顶点上，设AB与网格线相交所成的锐角为α，则不同角度的α有（） A．1种B．2种C．3种D．4种 二、解答——知识提高运用 6．如图中的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第7个直角三角形的斜边长为。 7．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，按要求画一个三角形：使这个三角形的顶点都在格点上，该三角形的面积为3，且有一边长为。 8．如图所示．从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中AE=3，AB=5，∠EBC=30°，求BC。

9．如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积。 10．在平面直角坐标系内，已知点A（2，2）．B（ 2，3），点P在y轴上，且三角形APB为直角三角形，求点P的坐标。 11．（1）在右面的方格纸中，以线段AB为一边，画一个正方形； （2）如果图中小方格的面积为1平方厘米，你知道（1）中画出的正方形的面积是多大吗？解释你的计算方法。

勾股定理简单应用

勾股定理应用的教学设计 教学目标 1 ?会用勾股定理进行简单的计算。 2.通过探究，会运用勾股定理解释生活中的实际问题 教学重点 勾股定理的应用。 教学难点 实际问题向数学问题的转化 教学过程 通过小组合作学习探究，研究勾股定理在实际中的应用 一、 复习旧知 复习勾股定理以及一些简单的计算 ⑴勾股定理： ____________________________________________________ (2)求出下列直角三角形中未知的边. 通过四个问题，让学生明白勾股定理在实际生活中的应用，以及如何去使用勾股定理 问题1.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口， 则圆形盖半径至 少为多少米? ？ 问题2.如图所示，一旗杆在离地面 5 m 处断裂，旗杆顶部落在离底部 12 m 处，问旗杆 折断前有多咼？ 合作探究 B A 2 C C C

问题4.如图，一个5米长的梯子AB 斜着靠在竖直的墙A0上，这时A0的距离为3米. ① 球梯子的底端B 距墙角0多少米？ ② 如果梯的顶端A 沿墙下滑1米至C,请同学们猜一猜，底端 B 也将滑动1米吗？ 算一算，底端滑动的距离。（结果保留 1位小数）. 三. 深化新知 “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺 ， 引 葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？” 四、课堂小结 本节课你有什么收获？你认为用勾股定理解决实际问题的关键是什么? 五、运用新知 1校园里有两棵树，相距15米，一棵树高10米，另一棵树高18米，一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ___________ 米。 2如图，一根12米高的电线杆两侧各用 15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 问题3.如下图，要将楼梯铺上地毯，则需要 _____ 米长的地毯.

勾股定理与面积计算

图14.1.3G F E D C B A 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直 角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关 系吗请说明 理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗你能得出什么结论吗 2.如图（2）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗请说明理由 3. 如图（3）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边 的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以Rt ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 （2） （3） (41 242334图14.1.4 B 8题图

5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E的面积为81cm2，则正方形A、B、C、D的面积之和为。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的面积为64cm2，则正形7的边长为。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，求（a+b）= 。 8. 有一块土地的形状如图，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，请计算这块土地面积。

勾股定理计算题训练

勾股定理计算题训练 1如图楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现在楼梯上铺地毯，需要地毯的长度为（）。 A、5米 B、6米 C.7米D、8米 2一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆8米处，旗杆折断之前有多少米？ 3如图,每个小方格都是边长为1的小正方形,△ABC的位置如图所示,你能判断△ABC是什么三角形吗?请说明理由。

4如图AD=4，AB=3，∠A=90o，BC=13，CD=12。 求四边形ABCD的面积。 C B A 5小刚测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m， 把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水 面刚好相齐，河水的深度为多少米?

6、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上， 梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的 底端在水平方向滑动了几米？ 7、在△ABC 中，∠ACB=900，AC=5，BC=12。 求（1）△ABC 的面积S △ABC 。 （2）求斜边AB 的长度。 （3）求高CD 的长度。 A C B A D O

51312D C B A 8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ， D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ， 已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 9如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为 km AB 5=，km BC 12=，km AC 13=,要从B 修 一条公路BD 直达AC ，公路的造价为26000 元km /，求修这条公路的最低造价是多少？ A D E B C

勾股定理练习题(含答案)

勾股定理练习题 张颐甜 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ） A 、2k B 、k+1 C 、k 2－1 D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A 2d （B d - （C ）2d （D ）d 8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 9．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ） A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则 三角形的形状是（ ）

勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理（基础） 撰稿：吴婷婷 责编：常春芳 【学习目标】 1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； 3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么2 2 2 a b c +=． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-． 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中 ，所以 ． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中 ，所以 ． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以． 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理2 2 2 a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，2 2 2 a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2 2 2 2 2 51225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，2 2 2 a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以2 2 2 2 2 2624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝6，c ＝10，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10， ∴ 2 2 2 2 2 10664a c b =-=-=， ∴ a ＝8． （2）设3a k =，5c k =， ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 2 2 2 a b c +=． 即2 2 2 (3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、与勾股定理有关的证明

勾股定理(提高)知识讲解

勾股定理（提高） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线 段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解 决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-. 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以. 要点三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 【典型例题】 类型一、勾股定理的应用 1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．

勾股定理四种计算模型(第2课时)

与《勾股定理》有关的计算问题基本模型一、已知两边求第三边； 例1;在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； 对应练习题 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为． 2．（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高． 小结： 解决办法为：

二、已知两边的比（两边的关系）和第三边，求两边 例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3:4且c=10，求a与b；对应练习题： 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC 的面积是=________。 2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt △ABC的面积是（） 小结： 解决办法为：

三、已知两边的比和周长，求第三边； 例3：已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ∶b=3∶4，且a+b+c=60，求三边及面积； 对应练习题： 1.一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿. 2.在△ABC 中,若△ABC 的面积等于6，则边长c= 3.在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2＋BC 2＋AC 2=____． 小结： 解决办法为： ,90?=∠C ,7=+b a

四、特殊直角三角形中，已知一边一角，求两边； 例4：已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°,a =3，求b与c边； 对应练习题： 1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,b =3，求a与c边； 2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,c =3，求a与b边； 3、已知正方形边长为2，求正方形对角线的长； 小结： 解决办法为：

几种简单证明勾股定理的方法(精)

几种简单证明勾股定理的方法 ——拼图法、定理法 江苏省泗阳县李口中学沈正中 据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学 的神奇和妙趣吧！ 一、拼图法证明（举例12种） 拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a 、b ，斜边为c ）按图2拼法。 问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？ 分析图2：S 正方形=（a+b ）2= c 2 + 4×2 1ab 化简可得：a 2+b 2 = c 2 拼法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像左 图那样拼成两个正方形。 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 a 2+ b 2+4×21ab = c 2+4×2 1ab 整理得 a 2+b 2 = c 2 拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a 、b ，斜边为c ）按图3拼法。 问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a 2+b 2=c 2吗？ 分析图3：S 正方形= c 2 =（a-b ）2+ 4×21ab 化简可得：a 2+b 2 = c 2 观察图2、图3与图4的关系，并用一句话表示你的观点。 图 1 图 2 图 3 图 4

勾股定理及其计算专题

勾股定理及其计算专题 1、 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 7 24 25 207 15 2024 25 7 25 20 24 25 7 202415 (A) (B) (C) (D) 2、 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米. 3. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到 另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2. 勾股定理的应用 5、在⊿ABC 中，AB=5，BC=7，AC=24，求ABC S A B C 6、在⊿ABC 中, ∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，BC=4，求AD 的长 C 5米 3米

7、在⊿ABC中, ∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=1，BD=4，求AC的长 C 8、如图，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1,求BC和AD的长 9、如图，已知∠BAD=60°，∠B=∠D=90°,BC=11,,CD=2，求AC的长及四边形ABCD的面积 勾股定理与实际问题 10、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求水深是多少？ 11、小亮准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边的水平距离为1.5米远的水底，竹竿高出水面0.5米，把竹竿插顶端拉向岸边，杆顶和岸边的水面刚好相齐，求河水的深度？ 12、小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉距离旗杆8米处，发现此时绳子末端距离地面2米，求旗杆的高度

初二数学勾股定理测试题及答案

勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m）( ) A.20m B.25m C.30m D.35m 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( ) A. 12cm B. C. D. 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 _________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 . 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 . 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 . 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk ＝. 三、解答题 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？

11.P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积. 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c， 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现， 图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状， 观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方

第17章勾股定理--专项训练含答案

第17章勾股定理专项训练 专训1.巧用勾股定理求最短路径的长 名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 用计算法求平面中最短问题 1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角 C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假 设2步为1 m)，却踩伤了花草． 2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：（1）求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6) （2）若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间) 用平移法求平面中最短问题 3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm， A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃 可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至 少需爬() A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 4．如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则AF的长是________．

勾股定理的5种方式

勾股定理的五种证明方式 1．画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是a2+b2=c2。这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．直接在直角三角形三边上画正方形，如图。容易看出，△ABA’ ≌△AA’’ C。过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即a2+b2=c2。 3.将四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 4.S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，①又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。②比较以上二式，便得a2+b2=c2 5.在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。②我们发现，把①、②两式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。

勾股定理计算

勾股定理计算 22. 如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. （1）请你帮小萍求出x的值. (2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题： 如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应） 已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上 的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________. A D A D D C＇ F F F A＇ B C B B 图1 图2 图3

已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =a ，BC =b ，DC =b a +， 且a b >，点M 是AB 边的中点． （1）求证：CM ⊥DM ； （2）求点M 到CD 边的距离．（用含a ，b 的式子表示） 证明：（1） 解：（2） 已知：如图1，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点A ，C 的坐 标分别为（6，0），（0，2）．点D 是线段BC 上的一个动点（点D 与点B ，C 不重合），过点D 作直线y ＝－12 x ＋b 交折线O －A －B 于点E ． （1）在点D 运动的过程中，若△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式， 并写出自变量的取值范围； （2）如图2，当点E 在线段OA 上时，矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为 矩形O′A′B′C′，C′B ′分别交CB ，OA 于点D ，M ，O ′A ′分别交CB ，OA 于 点N ，E ．探究四边形DMEN 各边之间的数量关系，并对你的结论加以证 明； （3）问题（2）中的四边形DMEN 中，ME 的长为____________． 解：（1） A B C D M 图1 y x O A B C

09-17.1-3利用勾股定理作图或计算

凤凰城中英文学校初中双语部八(下)数学导学案 09 《09-17.1-3利用勾股定理作图或计算》 Name：___________ Class：___________ Date：___________ 【全球背景】特征认同和关系【重大概念】关系【相关概念】模型、简化 【ATL】思考——批判性思考、转移 【Learning objectives】 学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题； 2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 【Emphasis and Difficulty】 重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题. 难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 【Learning procedures】 一、Lead-in 1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,- 2.5的点吗？ 2.求下列三角形的各边长. 二、Inquiry questions 探究点1：勾股定理与数轴 呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2 数轴上画出表示该无理数的点.) 2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？ 3.以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它补充完整. (1)在数轴上找到点A,使OA=______; (2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____; (3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点， 则点C即为表示______的点. 要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺. 探究点2：勾股定理与网格综合求线段长

简单的勾股定理

知识点一、勾股定理公式 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根 据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数 与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-． 知识点二、勾股定理的证明（了解） 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以． 知识点三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3．与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）若a＝5，b＝12，求c； （2）若c＝26，b＝24，求a． 【思路点拨】利用勾股定理222 a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，222 a b c +=，a＝5，b＝12，所以22222 =+=+=+=．所以c＝13． 51225144169 c a b （2）因为△ABC中，∠C＝90°，222 +=，c＝26，b＝24， a b c 所以22222 =-=-=-=．所以a＝10． a c b 2624676576100 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．

新人教版八年级数学下册第17章_勾股定理教案

2014年第二学期谷陇中学八年级下 册数学集体教案 第十七章勾股定理 备课教师：潘义忠龙奇峰杨志忠王磊 潘宗明王云刘飞

八年级（下）数学教案 第十七章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

勾股定理基础练习

学习要求：1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 4. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 1. 勾股定理的内容： 如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222 a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方 和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。 C A B c b a （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 知识精讲

3. 勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4. 勾股数： 满足222 a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 一、勾股定理 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么______＝c 2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． (1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______； (2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______； (4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______． 3．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______． 4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 5．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 6．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算 7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是 AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)102 课堂练习