共端点,等线段 旋转问题

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，则∠BPC=

°．

考点：等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．

专题：计算题．

分析：将△ACP绕C点旋转90°，根据旋转的性质可得出∠QPC=45°，根据勾股定理可证出∠PBQ=90°，从而可得出答案．

解答：解：将△ACP绕C点旋转90°，然后连接PQ，

由旋转的性质可知：CQ=CP=4，BQ=PA=6，∠QBC=∠PAC，

∴Rt△ACB∽Rt△PCQ，

又∵∠PCB+∠PCA=90°，

∴∠PCQ=∠QCB+∠BCP=∠PCB+∠PCA=90°，

∴PQ2=CQ2+CP2=32，且∠QPC=45°，

在△BPQ中，PB2+PQ2=4+32=36=BQ2

∴∠QPB=90°，

∴∠BPC=∠QPB+∠QPC=135°

(先打)线段和差的最大值与最小值练习题(最全)

初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、 E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧 , 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： 三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。( 原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧： 过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左 平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线 m 同侧： m m A m A B m n n n m n n n m m n m n m n m m m m m

线段差的最大值与线段和的最小值问题

线段差的最大值与线段和的最小值问题 有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。 作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。 一两条线段差的最大值： （1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。 作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB p' （2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：1、作B关于直线L的对称点B。 B 2、连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB、PB。︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB

（三角形任意两边之差小于第三边） 二、两条线段和的最小值问题： （1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA＋PB取最小值。 （三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），PA＋PB=AB （2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使PA＋PB取最小值。 （两点之间线段最短） 三、中考考点： 08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。 提示：EF长不变。即求FN＋NM＋MF的最小值。利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。

图形旋转与最值

三角形旋转与极值问题 （全等三角形） 八年级思考题：（最大值问题）（常规模型的运用） 1、如图所示：AM=3，BM=2，连AB， 以AB为边长作等边ABC，连MC， 求MC的最大值。 解析：将△AMC绕点A顺时针旋转90°，M′、M、B共线MC=M′B最大为5. 2、如图所示：AM=3，BM=5，连AB， 以AB为边长作正方形ABCD， 连DM，求DM的最大值。 解析：将△AMD绕点A顺时针旋转90°，F、M、B共线MD=FB最大为8. 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为正方形外一个动点，∠AED=45°，P为AB中点，线段PE的最小值是_______最大值是_______

解析：将△DEC绕点D顺时针旋转90°，可证∠AEC=90°，E、P、O共线PE=OE-OP 最小为22-2. P、O、E共线PE=OE+OP最大为22+2. 4.如图：正方形ABCD的边长是1，点P是边BC上任意一点（可以与B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线段BB′、CC′、DD′， ①、写出BB′、CC′、DD′的数量关系等式： 并证明你的结论 ②、BB′+CC′+DD′的最大值是（） ③、BB′+CC′+DD′的最小值是（） 解析：（1）如图△ADD’≌△BCN， DD’=BN=BB’+CC’ （2）P与B重合，BB′+CC′+DD′=2AD， 最大值是2 （3）P与C重合，BB′+CC′+DD′=BD， 最小值是2 5.在直角平面坐标系中，C（0,4），A在第三象限，B在第四象限，ΔOAB是等腰直角三角形，AB = 8， 求S ΔCAB最大值。（有两种方法，） 解析：AB长一定，当CM= OM+OC时，S△CAB最大 为32.故需将△AOB旋转 到C、O、M共线。 5、如图所示：两个等腰直角三角形没有重叠的部分， OA=6，OC=4， 求S ΔOBC +S ΔAOD 的最大值。 解析：△AOM≌△BON， ∴S △AOD =S△BOC，∴当BN=BO （如图）时， S△AOD+S△BOC最大为24。 P B C A D E

线段和差最值问题

专题一.线段和（差）的最值问题 【知识依据】 1．线段公理——两点之间，线段最短； 2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线； 3．三角形两边之和大于第三边； 4．三角形两边之差小于第三边； 5、垂直线段最短。 一、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： P m A B m A B m A B P m A B A' n m A B Q P n m A B P'Q'

（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. n m A B Q P n m A B B'Q P n m A B B'A' n m A B m n A B E D m n A B A'B'm n A P Q m n A A'

二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动：点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： m n A P m n A B m n A P m n A A'B m O A P'P m O B A B' m O A P m O A B A'

线段和差最值问题-经典模型(新)

线段和（差）的最值问题 此类问题特点：1.两个定点，一个定点；2. 线段和最小值，线段差最大值 一、线段和最小值问题 若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）两侧/异侧型：定点A、 B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。（PA+PB=AB） （2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）： 一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。（PA+PB=PA’+PB=A’B） m A B P m A B 二、线段差最大值问题 若在一条直线m上，求一点P，使得最大 （1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。() （2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。()

线段和最小值练习题 1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为． 2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为. 3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________． 图1 图2 图3 图4 4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为． 5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是 7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为． 8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为cm．（结果不取近似值） 图5 图6 图7 9. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．

线段和最小值问题

线段和最小值问题 问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点． 问题：在直线上确定一点，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）． 题型一：两定一动一线 例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是______． 方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点和 对称点，和线的交点即为所求。 跟踪练习： 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为______． 题型二：一定两动一线 例2：如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 ．若点M、N 分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为______．

方法总结：点P在AD上运动，则作线段AD关于线AE的对称线段，结合垂线段最短求最 小值。 跟踪练习 如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和 AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是______． 拓展提升 题型三：三动一线（做法参照题型二） 例3：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，PE+PF的最小值等于______． 题型四：一定两动两线 例4：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求 △PQR周长的最小值______． 方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。 题型五：两定两动两线

中考数学复习：旋转之求线段最值

中考数学复习：旋转之求线段最值 用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题 如图，线段OA，OB为定长，则A，B，O三点共线时，AB取得最值：当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋O B． 最小值 常见的题型有： 1．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动． m 取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．Array m 2．如图，等边△ABC大小固定，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．

m 取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D． m 3．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动． 取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|． m

例题讲解 例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝1 2 ．若BC＝6，点D在边AC的三等分 点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值． 解：在Rt△ABC中，AC＝ tan BC BAC ＝12，AB ＝ ①如图1，当AD＝1 3 AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝ 1 2 AB＝， EF＝1 2 AD＝2．所以当且仅当C，E，F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大， 此时CE＝CF＋EF＝ 2＋ 图1 ②如图2，当AD＝2 3 AC时，同理可得CE 的最大值为4＋． 综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段 CE的长度的最大值为4＋ 图2

中考数学之_线段和(差)的最值问题

求线段和（差）的最值问题 【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短 一、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： m m A B m A B m n m n

（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短. 变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. n m A n n n m

二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： m n m n m n m m m m m

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析 求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质： 一、性质推导 例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？ 首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M， 所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。 在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。 要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线， 也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合， 所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。 B1 证明：M为L上的任意点 因为BM＝B1M 所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A， 所以，结论成立 二、应用 1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。 解：作出A1B（作法如上图） 过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H， 在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米， 用勾股定理求得A1B的长度为42千米， 即PA+PB的最小值为42千米。

A1 2、 如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。 解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。 3、 求函数 解：方法（Ⅰ） 把原函数转化为y= 1 )3(2+-x ，因此可以理解为在X 轴上找一个 点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。 方法（Ⅱ） 如图（9），分别以PM=（3-x ）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x ）和

线段和最小值问题

运用图形的轴对称求线段和的最小值 学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形的线段和最小值问题. 学习重点：利用常见几何图形的对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段和 最小值问题. 学习方法：自主探究法、合作交流法 学习过程： 一、知识链接 1、已知直线l 及其两侧两点，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 和最小。 （写出画图方法，画出图形） 2、如图，已知点A,B 在直线l 的同一侧，在l 上求作一点P ，使得PA+PB 最小。 （写出画图方法，画出图形） 总结：此时PA+PB 等于线段 。 二、知识应用 如图，铁路l 同侧有两个仓库A,B,它们到铁路的距离AD,BE 分别为500m,300m,DE=600m. 现要在铁路上建一个货场C,要求CA+CB 最小，求这个最小值。 三、自主探究 知识链接：在平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆中，是轴对称图形的有 。 1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，P 是BD 上一动点。连接EP,CP,则EP+CP 的最小值是 2、如图2，已知菱形ABCD,AB=6, ∠BAD=60°,E 为AD 的中点，M 为AC 上一动点，则EM+DM 的最小值是 3.如图3，梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一动点,则PC+PD 的最小值为 . l A

(4) (3)(2)(1) 4.如图4，⊙O 直径AB 为2，∠COB=60°，D 是弧BC 中点，P 是直线AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为 总结：以上问题利用了正方形、菱形、等腰梯形、圆的对称性，从图中能直接找到一个点的对称点。 三、研讨 1、在平面直角坐标系中有三点A(6,4),B(4,6),C(0,2),在x 轴上找一点D,使得四边形ABCD 的周长最小，求点D 的坐标。 四、延伸拓展 如图，点 A(1,3),D(2,1),在y 轴上找到点B,在x 轴上找到点C ，使得四边形ABCD 的周长最小，并求周长的最小值。（显示画图痕迹。提示：从点A 发出的光线经镜面y 轴反射到镜面x 轴上，再经镜面x 轴反射后如果经过点D ,这样光线所走的路径最短） 五、课堂检测 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为8，F 是DA 上一点，且

旋转求线段最值_学生版

旋转求线段最值 （建议看前3题；4、5要用相似，可以不做。 感谢周涵和代诺同学！） 1．（2012济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（） A．+1 B．C．D． 2．已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题： （1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=_________； （2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=_________； （3）如图3，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数． 3.（西城25.）已知:PA PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长； (2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应 ∠APB的大小.

4．在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ． （1）如果AB=AC ，∠BAC=90° ①当点D 在线段BC 上时（不与点B 重合），如图1，请你判断线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系（直接写出结论）； ②当点D 在线段BC 的延长线上时，请你在图2中画出图形，并判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断． （2）如图3，若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB=45°，，试求线段CF 长的 最大值． 5. 已知：A O B ?中， 2A B O B ==，C O D ?中，3C D O C ==,A B O D C O ∠=∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点. 图1 图2 (1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO ο ∠=，则P M N ?的形状是________________，此时A D B C =________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2A B O α∠=，证明P M N ?∽B A O ?，并计算A D B C 的值（用含的式子表示）； (3) 在图2中，固定A O B ?，将C O D ?绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值. α

二次函数有关线段和差面积最值问题-doc

二次函数之最值问题 ◆ 线段和或差（或三角形周长）最值问题:此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最 短距离,这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题． ◆ 最短距离和找法:以动点所在的直线为对称轴，作一个已知点的对称点，连结另一个已知点和对称点的 线段，与对称轴交于一点,这一点即为所求点.线段长即为最短距离和. ◆ 线段长最值问题：根据两点间距离公式12x x -把线段长用二次函数关系式表示出来求最值. 几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积ｙ与边长x 之间的二次函数关系,其顶点的纵坐 标即为面积最值． 例１、已知二次函数2y x bx c =++的图象过点()3,0A -和点()1,0B ，且与y 轴交于点C ，D 点在抛物线上且横坐标是2-．(1)求抛物线的解析式;(２)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA PD +的最小值．? ? ?例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中,直线3 2y x =- +分别交ｘ轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点Ａ顺时针旋转4５°得到射线AN.点D 为ＡＭ上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1)求线段A Ｃ的长； (２）求△BC Ｄ周长的最小值； （3)当△BCD 的周长取得最小值,且52 BD =时,△BCD 的面积为＿＿__＿___. ? ?????1、已知抛物线21y ax bx =++经过点()1,3A 和点()2,1B ．（１）求此抛物线解析式； (２)点Ｃ、D 分别是ｘ轴和y 轴上的动点,求四边形ABCD 周长的最小值;?(3)过点Ｂ作x 轴的垂线,垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的2倍，试确定点F 的位置,使 得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．????

线段和最小值问题

线段和最小值问题 问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点. 问题：在直线上确定一点，使的值最小. 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明） ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，点E 、F 分别是 在运 动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小 方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点和 对称点，和线的交点即为所求。 —：三三跟踪练习： 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且 AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，贝V △ BEQ 周长的最小值为 _________________ . 分别是线段ACAB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ______________ 若点M 、N 值是 ,AB=10 , BC=5 题型二：一定两动一线

方法总结：点P 在AD 上运动，则作线段 AD 关于线AE 的对称线段，结合垂线段最短求最 小值。 ABCD 的边长为4,/ DAC 的平分线交 DC 于点E ,若点P 、Q 分别是AD 和 则 DQ+PQ 的最小值是 . 题型三：三动一线（做法参照题型二） 例3:如图，菱形 ABCD 中，AB=2 , / BAD=60 , E 、F 、P 分别是 AB 、BC 、AC 上的动点, PE+PF 的最小值等于 . 题型四：一定两动两线 例4 :如图，/ AOB=45，角内有一动点 P , PO=10,在AO , BO 上有两动点 Q , R ,求 △ PQR 周长的最小值 _______ . 方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。 题型五：两定两动两线 跟踪练习 如 图，正方形 AE 上的动点, 拓展提升

4、费马点、利用旋转变换求线段和最值T演示教学

例5、（衢州市） 如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线上． (1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标； (2) 平移抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 14年1月石景山期末 6. 已知点)2,2(-A 和点),4(n B -在抛物线)0(2≠=a ax y 上. （1）求a 的值及点B 的坐标； （2）点P 在y 轴上，且满足△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标; （3）平移抛物线)0(2 ≠=a ax y ，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B . 点M （2,0）在x 轴 上，当抛物线向右平移到某个位置时，''MB M A +最短，求此时抛物线的函数解析式. 练习 1、（达州）15、如图6，在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点， 点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上2y ax =2y ax =

求线段(或线段和)(周长)最值问题

求线段（或线段和）（周长）最值问题 福建莆田月塘中学潘立城 中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。 这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。 解几何最值的“手掌心”是什么呢？ ： 撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。 一、“手掌心”法宝: 三角形中两边之和大于第三边 特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。 ④线段的转移 特征：“定”点在“定”直线上 ⑤二次函数最值 特征：有“表达式” ①垂线段最短 ②两点间线段最短 “弯”线 变 “直”线 特征 “直”线的特征 ①“直”线:定点--动点 (定点--动点--动点） (动点--动点--动点） ②直:定点--动点--定点 直:动点--定点--动点

二、类型名词解释：定直线指动点运动所在的直线 ①垂线段最短特征：“弯”线变“直 ”线对称轴 l A C B M 定点 “弯”线 “直”线 例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中， BC=2 4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分 别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 4 。 ①标：定点A，定点C，动点B 定直线AC，定直线l ②特征：“弯”线变“直”线 对称轴：定直线l 作点A关于定直线l的对称点M “弯”线AB+BC变“直”线MC “直”线:定点M--动点B--定点C 垂线段最短 ①标：定点C，动点M，动点N 定直线BD，定直线BC ②特征：“弯”线变“直”线 对称轴：定直线BD 作点N关于定直线BD的对称点E “弯”线CM+MN变“直”线CME “直”线:定点C--动点M--动点E 垂线段最短

线段和最小值问题

(2)(1)运用图形得轴对称求线段与得最小值 学习目标：会用轴对称知识解决一些常见几何图形得线段与最小值问题、 学习重点：利用常见几何图形得对称特性运用转化思想，学生会解决有关线段与 最小值问题、 学习方法:自主探究法、合作交流法 学习过程： 一、知识链接 1、已知直线l 及其两侧两点,在直线l 上求作一点P ，使PA+P Ｂ与最小。 (写出画图方法,画出图形) 2、如图,已知点A,B 在直线l 得同一侧,在l 上求作一点Ｐ，使得PA+ＰＢ最小。 （写出画图方法，画出图形） 总结:此时PA+ＰB 等于线段 。 二、知识应用 如图,铁路ｌ同侧有两个仓库Ａ，B ，它们到铁路得距离ＡD ，BE 分别为5０0m ，30０m,ＤE=600ｍ、现要在铁路上建一个货场C,要求ＣA+ＣＢ最小，求这个最小值。 三、自主探究 知识链接：在平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形,圆中,就是轴对称图形得有 。 1、如图1，正方形ABCD 得边长为2，E 为B Ｃ得中点,Ｐ就是B Ｄ上一动点。连接E Ｐ，ＣＰ,则ＥP+CP 得最小值就是 2、如图2，已知菱形ABCD ，AB=6， ∠ＢA Ｄ＝6０°，E 为ＡD 得中点,Ｍ为AC 上一动点,则E Ｍ+ＤM 得最小值就是 ３、如图3，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝ＣD=AD=１，∠B=60°,直线MN 为梯形ABC Ｄ得对称轴,P 为MN 上一动点,则P Ｃ+PD 得最小值为 、 4、如图４，⊙O 直径AB 为2,∠ＣOB=60°，D 就是弧B Ｃ中点，P 就是直线ＡB 上一动点，则PC+PD 得最小值为 1 如图，点A(1,3),Ｄ（2，1)，在y 在x 轴上找到点C ，使得四边形 AB 小，并求周长得最小值。从点A 再经镜面ｘ轴反射后如果经过点走得路径最短) 五、课堂检测 1、如图,已知正方形A ＢCD

求线段和最小值试题解法探析

求线段和最小值试题解法探析 江苏省泗阳中学（223700）洪晓岐 电子信箱hxq5678@https://www.wendangku.net/doc/9115389176.html, 2009年部分省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析，以供同行们在教学中参考并请指正． 一、“定——动——定”型试题 例1．（山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0）， （3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动 点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标． 分析：由于A 、C 两点在对称轴l 的同侧，所以要在对称轴l 上找一点D 使AD+CD 最小，关键是求出A 、C 两点中任一点关于直线l 的对称点． 解：因为l 是抛物线的对称轴，所以A 、B 两点关于直线l 对称． 设直线BC 的解析式为b kx y +=，因为其过点B （3，0），C （0，3），所以1-=k ，3=b ．即直线BC 解析式为3+-=x y ，又因为对称轴为1=x ，所以点D 坐标为（1，2）． 例2．（福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、 在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值； 分析；题中A 、C 是两个定点，OB 是一条定线段，因此确定点P ，关键是要找 出A 、C 两点中任一点关于直线OB 的对称点．由于过圆心的任一直线都是圆的对称 轴，所以直线AO 与圆的另一交点A ′就是点A 关于直线OB 的对称点． 解：延长AO 交⊙O 于点A ′，连结A ′C 交⊙O 于点P ，由于在△OA ′C 中O A ′=OC ，∠COA ′=120°，所以322 32260sin 2=??=??=OC AC ． 评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力． 二、“定——动——动”型试题 例3．（陕西省）如图3，在锐角△ABC 中，AB=24，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则MN BM +的最小值是_________ ． 分析；由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以点N 关于AD 的对称点一定在AC 上．因此本题可以转化为在AD 找一点M ，在AC 上找一点N ′，使BM+MN ′的值最小． 解：因为AD 是∠BAC 的平分线，所以点N 关于直线AD 的对称点N ′一定在AC 上．由垂线段最短可知当B N ′⊥AC 时，线段B N ′时最小．因此当点M 在直线B N ′上时BM+MN ′的值最小，最小值即为点B 到AC 的距离． A B C D N M N ′ 图3 图1 A ′ A B C P O 图2

线段和最小值问题

《求线段和最小值问题初探》导学案 班级 姓名 学习目标： 1.灵活掌握定理“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”. 2.体会转化思想在数学中的应用，即化复杂问题为简单问题，化抽象问题为具体问题. 一、课本中的两点基本知识： 1、如图，一位小牧童，从A 地出发，赶着牛群到B 地，请问他应该选择怎样的路径，才能使牛群所走的路程最短？ 为什么？ 2、小牧童，从A 地出发，赶着牛群到河岸边L 饮水，然后再到B 地，请问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？请画出来，并说一说。 二、合作学习、展现精彩 变式1、利用等边三角形的对称性求线段和的最小值： （2010?滨州中考）如图等边ΔABC 中， 边长=1，E 是边BC 的中点， BD 是AC 边上的高，在BD 上确定一点， 使其到E 、C 的距离和最小， 这个最小值是 . A B L . . A B E . D B C A

变式2、利用正方形的对称性求线段和的最小值： 如图，正方形ABCD的边长为8， 点E、F分别在AB、BC上，AE＝3， CF＝1，P是对角线AC上的一个动点， 则PE＋PF的最小值是 . 变式3、利用圆的对称性求线段和的最小值：（2000年?荆门中考） 如图，A是半圆上一个三等分点， B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点， ⊙O的半径为1， 则AP+BP的最小值是。 变式4、利用坐标轴的对称性求线段和的最小值： 某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建 一座泵水站，分别向河的同一侧的张村Q和李 村P送水，工程人员设计图纸时，以河道上的 大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为X轴 建立坐标系，Q（2，3），P（12，7）， 泵水站建在距离大桥O多远的地方可使输 水管道最短？泵水站坐标是

经典几何中线段和差最值(含答案)

几何中线段和，差最值问题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．

一般处理方法： 常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时） 二、典型题型 1．如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 的周长的最小值为 6 ． 2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = 4 7 ． 线段和(周长)最小 转化 构造三角形 两点之间，线段最短 垂线段最短 P A +PB 最小， 需转化， 使点在线异侧 |P A -PB |最大， 需转化，使点在线同侧 线段差最大 线段最大（小）值 三角形三边关系定理 三点共线时取得最值 平移 对称 旋转 使点在线异侧 （如下图） 使点在线同侧 （如下图） 使目标线段与定长线段构成三角形 平移 对称 旋转 l B'A B P l B'B A P

3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为5． D P B′ N B M A 4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 2 ． 5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD 内部时，PD的最小值等于8- 5 4． 6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为1 2 ．

旋转最值之三线

旋转最值之三线段共端点

三条线段共端点的旋转 常见基本图形如下，三条共端点的线段PA 、PB 、PC ，通过旋转使它们产生关系 图1中P 是正△ABC 内一点，通过旋转△PAC ，可使三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个△QBP 中，其中QB 即PC ，QP 即PA 图2中P 是等腰RT △ABC 内一点，通过旋转△PAC ，可使三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个△QBP 中，其中QB 即PC ，QP 即2PA 图3与图1是相同类型的问题，条件中点P 是正△ABC 外一点，旋转方法与图1完全相同 图4与图2是相同类型的问题，条件中点P 是等腰RT △ABC 外一点，旋转方法与图2完全相同 Q C A B P Q C A B P

分类例析 一、公共端点在三角形内部 例1、如图，P 是正△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5， （1）求∠APB 的度数； （2）求△APB 与△APC 的面积之和； （3）直接写出△BPC 的面积，不需要说理． 例2：在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO 且AO=1,BO=2,CO= √3 ,求∠AOB ，∠BOC 的度数分别是多少？ Q C P B A Q C P B A

例3, 等腰Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，点P是⊿ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，（1）求∠BPC 的度数 （2）求△ABC的面积 例4、（七一月考）已知P是正方形ABCD内一 点，∠APB=135°，PB=6，PC=4√5，则正方形ABCD的边长为________ P B 二、公共端点在三角形外部

线段之和最短问题

线段之和最短问题 一． 常见数学模型： 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 l A 3. 如图，直线 和 的异侧两点A 、B ，分别在直线 、 上求作一点P 、Q 两点， 使AP+PQ+QB 最小。 4. 如图，直线 的同侧两点A 、B ，分别在直线 上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a ， 使AP+PQ+QB 最小。 l 2 l 1B l A B a l 1 A

5.如图，点P 是∠MON 的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 使△PAB 的长最小。 6.如图，点P ，Q 为∠MON 的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的 长最小。 N 为便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 6. .如图，点A 是∠MON 的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 N N N

为便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型” 练习题 1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小． 3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR长的最小值．

4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。 A E C B 5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长； (2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值