小学六年级数学列方程解决实际问题典型例题解析

【同步教育信息】

一、本周主要内容：

列方程解决实际问题

二、本周学习目标：

1、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax ±b=c 、ax ÷b=c 、ax ±bx=c 等方程的解法，会列上述方程解决需要两、三步计算的实际问题。

2、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，提高分析数量关系的能力，培养学生思维的灵活性

3、在积极参与数学活动的过程中，树立学好数学的信心。

三、考点分析：

掌握形如ax ±b=c 、ax ÷b=c 、ax ±bx=c 等方程的解法以及列方程解应用题的基本方法, 在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。

四、典型例题

例1. 看图列方程，并求出方程的解。

x 棵

松树：

15棵 杉树： x 棵 x 棵 x 棵

75棵

科技书： x 本

x 本 x 本 186 本

文艺书：

例2.解方程：４+ 6x = 40 ４x + 6x = 40

分析与解：

４+ 6x = 40这是一道“a+bx=c”的方程，解答时先根据等式的性质在方程的两边同时减去a，再同时除以b，求出x的值。

４x + 6x = 40这是一道“ax+bx=c”的方程，解答时先根据乘法分配律把方程左边的ax+bx进行化简，再根据等式的性质在方程的两边同时除以（a+b）的和，求出x的值。

４+ 6x = 40 ４x + 6x = 40

6x + 4 - 4 = 40 - 4 （4 + 6）x = 40

6x = 36 10x = 40

6x ÷ 6 = 36 ÷ 6 10x ÷ 10 = 40 ÷ 10

x = 6 x = 4

点评：这两题同学们容易产生混肴，产生错误解法的原因是很典型”的学新知忘旧知“，这也是同学们学习时经常犯的错误。如果能认真分析题目，并仔细思考，正确解答这类题目并不是难事。

例3. （1）甲、乙两地相距1000米，小华从甲地、小明从乙地同时相向而行，小华每分钟走60米，小明每分钟走65米。两人几分钟相遇？

分析与解：

两人走到最后相遇了就说明两人走的路程就是甲、乙两地之间的路程，这一题的等量关系式是：小华走的路程+ 小明走的路程= 甲、乙两地之间的路程。路程= 速度×时间，两人走的时间是一样的，设两人x分钟相遇。

解：设两人x分钟相遇。

60x + 65x = 1000

125x = 1000

125x÷125 = 1000÷125

x = 8

答：两人8分钟后相遇。

（2）小东、小英同时从某地背向而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45米，经过多少分钟两人相距285米？

分析与解：

等量关系式是：小东走的路程+ 小英走的路程= 285

解：设经过x分钟两人相距285米。

50x + 45x = 285

95x = 285

x = 3

答：经过3分钟两人相距285米。

点评：这一类题目的另一个等量关系式是：速度和×相遇时间=总路程。如果按照这个等量关系来列方程，设相遇时间是x分钟，方程是（60+65）×x=1000或（50+45）×x=285，同样可以求出相遇时间。

例4. 一条毛巾的价钱是一条手帕的4倍，妈妈买了3条毛巾共花了24元，每条手帕多少元？

分析与解：

根据“一条毛巾的价钱是一条手帕的4倍”，可以设一条手帕x元，一条毛巾4x元，再根据“3条毛巾共花了24元”可以得出等量关系式是：每条毛巾的价钱×3 = 24。

解：设一条手帕x元，那么一条毛巾就是4x元。

4x×3 = 24

4x×3÷3 = 24÷3

4x = 8

4x÷ 4 = 8÷4

x = 2

答：每条手帕2元。

点评：如果这一题不用方程解，可以先根据“3条毛巾共花了24元”，求出一条毛巾8元，再根据“一条毛巾的价钱是一条手帕的4倍”，用8÷4=2（元）。给我们的启示是：列方程解应用题是解题的一种方法，在解答具体题目时可灵活选择合适的方法。

例5. 用长120厘米的铁丝围成一个长方形，长是宽的1.5倍，求它的长和宽各是多少厘米？

分析与解：

根据“长是宽的1.5倍”可以设宽是x厘米，那么长就是1.5x厘米；再根据“用长120厘米的铁丝围成一个长方形”，可以知道这个长方形的周长就是120厘米，那么“长方形的长 + 长方形的宽 = 周长÷ 2”。

解：设宽是x厘米，那么长就是1.5x厘米。

1.5x + x = 120÷2

2.5x = 60

2.5x÷2.5 = 60÷2.5

x = 24

1.5x = 1.5×24 = 36

答：这个长方形的长是36厘米，宽是24厘米。

点评：这道题很容易把等量关系看成“长+宽=120”，这是因为把周长的计算公式弄错了。长方形的周长=（长+宽）×2，长加宽应该等于周长的一半。

【模拟试题】

一、基础巩固题

1、填空题

（1）小兰家养了x只公鸡，养的母鸡只数是公鸡的4倍。公鸡与母鸡共有（）只。（2）果园里有梨树x棵，苹果树的棵数比梨树的2倍多10棵。果园里有苹果树（）棵。（3）学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表示（），20x + x表示（）。（4）一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典（）元，3本故事书和2本字典一共是（）元。

2、解方程。

（1）8x + 6x = 210 （2）16x - x = 9

（3）12x÷16 = 4.32 （4）0.8x + 4 = 7.2

3、列方程解答。

（1）一个数的6倍减去36等于0，求这个数。

（2）一个数的2倍比它的4倍少28，求这个数。

4、看图列方程，并求出方程的解。

x 盒

茶花： 11盒

兰花：

56盒

x千克

西红柿：

27千克

大白菜：

5、列方程解决问题。

（1）粮店里原有2650千克面粉，卖出100袋后，还剩150千克。每袋面粉重多少千克？（2）一张桌子和一把椅子共卖245元，已知桌子的价格是椅子的4倍。一张桌子多少元？（3）一种学生用的足球，育才小学购买了12只，新华小学购买8只，育才小学比新华小学多花了144元钱。每只足球多少元钱？

二、思维拓展题

6、求x的值。

（1）三角形的面积是175平方厘米

x厘米

25厘米

（2）x朵

红花：

黄花：x朵x朵x朵x朵

比红花多54朵

7、师、徒两人共同加工940个零件，师傅每小时加工100个零件，徒弟每小时加工88个零件。几小时能加工完这些零件？

8、蓝鲸是世界上最大的动物。一头蓝鲸重165吨，比一头大象重量的6倍少15吨。一头大象重多少吨？

三、自主探索题

9、妈妈交水电费带回一张发票，不小心被墨水弄脏了。请你根据现有的信息，算出一度电多少钱。

10、一匹布长55米，做了8套成人服装和6套儿童服装。已知儿童服装每套用布3.5米，成人服装每套用布多少米？

【试题答案】

一、基础巩固题

1、填空题

（1）小兰家养了x只公鸡，养的母鸡只数是公鸡的4倍。公鸡与母鸡共有（x+4x）只。（2）果园里有梨树x棵，苹果树棵数比梨树的2倍多10棵。果园里有苹果树（2x+10）棵。（3）学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表示（学生有多少人），20x + x表示（学生和老师共多少人）。

（4）一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典（2.5x）元，3本故事书和2本字典一共是（3x+2.5x×2）元。

2、解方程。

（1）8x + 6x = 210 x=15（2）16x - x = 9 x=0.6

（3）12x÷16 = 4.32 x=5.76（4）0.8x + 4 = 7.2 x=4

3、列方程解答。

（1）一个数的6倍减去36等于0，求这个数。6x - 36 = 0 x=6

（2）一个数的2倍比它的4倍少28，求这个数。4x - 2x = 28 x=14

4、看图列方程，并求出方程的解。

x 盒

茶花： 11盒 3x + 11 = 56

x =15

兰花：

56盒

x千克

西红柿：x + 5x = 27

27千克x = 4.5

大白菜：

5、列方程解决问题。

（1）粮店里原有2650千克面粉，卖出100袋后，还剩150千克。每袋面粉重多少千克？

解：设每袋面粉重x千克。100x + 150 = 2650

x = 25 答：每袋面粉重25千克。

（2）一张桌子和一把椅子共卖245元，已知桌子的价格是椅子的4倍。一张桌子多少元？

解：设一张椅子x元。x + 4x = 245

x = 49

4x = 49×4 = 196 答：一张桌子196元。

（3）一种学生用的足球，育才小学购买了12只，新华小学购买8只，育才小学比新华小学多花了144元钱。每只足球多少元钱？

解：设每只足球x元。12x - 8x = 144

x = 36 答：每只足球36元。

二、思维拓展题

6、求x的值。

（1）三角形的面积是175平方厘米

25 x ÷ 2 = 175

25 x ÷ 2×2 = 175×2

x厘米25 x = 350

25 x ÷ 25 = 350÷ 25

25厘米x = 14

（2）x朵

红花：4x - x = 54

3x = 54

黄花：x朵x朵x朵x朵3x ÷ 3 = 54 ÷ 3

x = 18

比红花多54朵

7、师、徒两人共同加工940个零件，师傅每小时加工100个零件，徒弟每小时加工88个零件。几小时能加工完这些零件？

解：设x小时能加工完这些零件。100x + 88x = 940

x = 5 答：5小时能加工完这些零件。

8、蓝鲸是世界上最大的动物。一头蓝鲸重165吨，比一头大象重量的6倍少15吨。一头大象重多少吨？

解：设一头大象重x吨。6x - 15 = 165

x = 30 答：一头大象重30吨。

三、自主探索题

9、妈妈交水电费带回一张发票，不小心被墨水弄脏了。请你根据现有的信息，算出一度电多少钱。

解：设一度电x元。160x + 1.50×30 = 105.80

x = 0.38 答：一度电0.38元。

10、一匹布长55米，做了8套成人服装和6套儿童服装。已知儿童服装每套用布3.5米，成人服装每套用布多少米？

解：设成人服装每套用布x米。8x + 3.5×6 = 55

x = 4.25 答：成人服装每套用布4.25米。

数学趣味园

数学教授

一位数学教授在马路上被一辆高速飞驶的汽车庄倒，肇事的司机没停车就溜走了。当交通警察赶来询问那辆汽车的车牌号码时，教授回想了片刻后说：“我被撞倒的那一刹间，只看到车子上的一个方程式：xy减去517，最后的差是24……”

小学六年级(上册)数学总复习知识点及典型例题

小学六年级上册数学复习资料 第一单元：位置与方向（一） 用数对表示位置 如：第三列第二行 表示为（3，2）。一般情况下表示为（列，行） 位置与方向（二） 用方向和距离表示位置 同一方向的不同描述：小明在小华的东偏北30°方向上，距离15米。 也可以说成：小明在小华的 方向上，距离 。 相对位置：小明在小华的东偏北30°方向上，距离15米。 小华在小明的 方向上，距离 。 第二单元：分数乘法 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 （如： 75×4表示4个75是多少或75 的4倍是多少。） 2、一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少。 （如：6× 53表示6的53是多少； 65×52表示65的5 2 是多少。） 分数乘法的计算法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。（能约分的先约分） 4、 小于1的数，积小于这个数， 一个数（0除外） 乘 等于1的数，积等于这个数， 大于1的数，积大于这个数。 5、乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 [典型练习题] （1）38 ＋38 ＋38 ＋3 8 =（ ）×（ ）=（ ） （2）12个 56 是（ ）；24的 2 3 是（ ）。 （3）边长 1 2 分米的正方形的周长是（ ）分米。 第三单元：分数除法 1、分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算法则：被除数除以除数（0除外）等于被除数乘除数的倒数。 3、一个数除以真分数，商大于这个数（如：4÷ 2 1 ﹥4）； 一个数除以大于1 的假分数，商小于这个数 （如：3÷ 2 3 ﹤3）。 4、两个数相除又叫做两个数的比。在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比 的前项除以后项所得的商，叫做比值。 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。根据分数与除法的关系，两 个数的比也可以写成分数形式。（如：3:2也可以写成 2 3 ，仍读作“3比2”） 5、比和除法、分数的关系：

(完整版)小学数学教学法测试题及答案

小学数学教学法测试题及答案一、填空题 1、所谓新课程小学数学教学设计就是在《数学课程标准》的指导下，依据现代教育理论和教师的经验，基于对学生需求的理解、对课程性质的分析，而对教学内容、教学手段、教学方式、教学活动等进行规划和安排的一种可操作的过程 2、合作学习的实质是学生间建立起积极的相互依存关系，每个组员不仅要自己主动学习，还有责任帮助其他同学学习，以全组每个同学都学好为目标，教师根据小组的总体表现进行小组奖励。 3、数学课程目标分为数学思考、解决问题、情感与态度、知识与技能四个维度。 4、教学目标对整个教学活动具有导向、激励、评价的功能。 5、数学课堂教学活动的组织形式有席地式、双翼式：半圆式、秧田式、小组合作式等。 6、教学案例的一般结构是主题与背景、案例背景、案例描述、案例反思。 7、教学模式指的是 .是广大教学工作者经过长期教学实践逐渐认识并总结出来的规范的实践方式。 8、“最近发展区”是指儿童的智力第二发展水平即学生在教师指导下的潜在发展水平。 9、情感与态度方面的目标涉及数学学习的好奇心、求知欲、自信心、自我负责精神、意志力、对数学的价值意识、实事求是的态度等诸多方面。 10、所谓“自主学习”是就学习的品质而言的，相对的是“被动学习”“机械学习”“他主学习”。新课程倡导的自主学习的概念。它倡导教育应注重培养学生的的探索与创新精神，引导学生积极主动地参与到学习过程中去进行自主的学习活动，促进学生在教师的指导下自主的发展。 11、教学设计的书写格式有多种，概括起来分为文字式、表格式、程序式三大类。 12、教学方法是指教学的途径和手段，是教学过程中教师教的方法和学生学的方法的结合，是完成教学任务的方法的总称。 13、练习法是指是学生在教师指导下巩固知识和形成技能、技巧的一种教学方法。 14、“以问题探究为特征的数学课堂教学模式” 是指：不呈现学习结论，而是让学生通过

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

小学数学解答题经典题

小学数学解答题经典题 1、甲、乙两个修路队同时合修一条1875米的公路，用25天。完工时乙队比甲队少修125米，乙队平均每天修35米，甲队平均每天修多少米？ _____________________________________ 2、快车从甲站到达乙站需要8小时，慢车从乙站到达甲站需要12小时，如果快、慢两车同时从甲、乙两站相对开出，相遇是快车比慢车多行180千米，甲、乙两站相遇多少千米？_____________________________________ 3、电影门票20元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一，那么一张门票降价多少元？ _____________________________________ 4、甲、乙两列火车同时从A、B两城相对开出，行了3.2小时后，两列还相距全程的5/8，两车还需要几小时才能相遇？_____________________________________ 5、加工一批零件，甲独做30小时完成，乙独做20小时完成，现在两人同时加工，完成任务时，乙给甲87个，两人零件个数就相等，这批零件共多少个？ _____________________________________ 6、修一条路3天修完。第一天修全长的37%，第二天和第三天修的米数的比是4:5，第二天修了64米，这条路全长多少米？

_____________________________________ 7、红星鞋厂生产一批儿童鞋准备装箱。如果每箱装70双，5箱装不满，如果每箱装44双，7箱又装不完，最后决定每箱装A双，这是恰好装满A箱而没有剩余，这批儿童鞋共有多少双？ _____________________________________ 8、有两桶油，第一桶用去1/4后，余下的与第二桶的质量比是3:5，第一桶原来有油18千克，第二桶原来有油多少千克？_____________________________________ 9、客车从甲地，货车从乙地同时相对开出。一段时间后，客车行了全程的7/8,货车行的超过中点54千米，已知客车比货车多行了90千米，甲、乙两地相距多少千米？ _____________________________________ 10、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，当甲车行到全程的7/11时与乙车相遇，乙车继续以每小时40千米的速度前进，又行驶了154千米到达A地。甲车出发到相遇用了多少小时？ “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》

六年级数学(上)经典题型

六年级数学（上）经典题型 姓名：得分：日期： 一、填空（每题1分，共15分）。 1、把5 6 米长的绳子，平均分成5段，每段是全长的（），每段长（）米。 2、完成一项工程，甲队要8天，乙队要10天，甲队与乙队的时间比是（），他们的工效比是（）。 3、一块正方形的钢板，周长是8 9 米，它的边长是（）米，它的面积是（） 平方米。 4、圆是（）图形，它有（）条对称轴。 5、某班男生人数占全班人数的5 8 ，女生人数与男生人数的比是（）。 6、“白兔的只数的2 3 等于黑兔的只数”是把（）的只数看作单位“1”，关系式 是（）。 7、丙数是甲、乙两数平均数的5 6 ，甲、乙两数的和是108，丙数是（）。 8、7 8 吨比 1 2 吨多（）% ； 1 5 吨比 7 10 吨少（）% 。 9、6 5 公顷的 3 4 是（）公顷；（）吨的 1 2 是 1 5 吨。 10、甲数是乙数的4 5 ，乙数与甲乙总数的比是（），两数的差相当于乙数的（）。 11、为了迎接运动会，同学们做了25面黄旗，30面红旗，做的红旗比黄旗多（）面，多（）% 。 12、 2 3 5 千米=（）千米（）米； 2 3 =（）：15= () 24 =（）÷9。 13、甲数的1 3 等于乙数的 1 4 ，甲数是乙数的（）。 14、A圆和B圆的周长之比是3:4，它们的面积比是（）。 二、判断（每题1分，共9分）。 1、一根长1m的钢管，截去了1 3 ，就是短了 1 3 m。（） 2、一个数乘真分数，积一定小于这个数。（） 3、1千克棉花的3 4 和3千克铁的 1 4 一样重。（） 4、甲数除以乙数等于甲数乘以乙数的倒数。（） 5、圆的周长是直径的3.14倍。（）

小学数学 经典应用题

小学数学经典应用题 1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张 桌子和一把椅子各多少元？ 2、3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克？ 3. 甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米？ 4. 李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支，张强要了7支，李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱？ 7. 有甲乙两个仓库，每个仓库平均储存粮食32.5吨。甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨，甲、乙两仓各储存粮食多少吨？ 8. 甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米。甲、乙两队每天共修多少米？ 9.学校买来6张桌子和5把椅子共付455元，已知每张桌子比每把椅子贵30元，桌子和椅子的单价各是多少元？ 10、一列火车和一列慢车，同时分别从甲乙两地相对开出。快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，相遇时快车比慢车多行了40千米，甲乙两地相距多少千米？ 11. 某玻璃厂托运玻璃250箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元。运后结算时，共付运费4400元。托运中损坏了多少箱玻璃？

12. 五年级一中队和二中队要到距学校20千米的地方去春游。第一中队步行每小时行4千米，第二中队骑自行车，每小时行12千米。第一中队先出发2小时后，第二中队再出发，第二中队出发后几小时才能追上一中队？ 13. 某厂运来一堆煤，如果每天烧1500千克，比计划提前一天烧完，如果每天烧1000千克，将比计划多烧一天。这堆煤有多少千克？ 14. 妈妈让小红去商店买5支铅笔和8个练习本，按价钱给小红3.8元钱。结果小红却买了8支铅笔和5本练习本，找回0.45元。求一支铅笔多少元？ 15. 根据一辆客车比一辆卡车多载10人，可求6辆客车比6辆卡车多载的人数，即多用的（8-6）辆卡车所载的人数，进而可求每辆卡车载多少人和每辆大客车载多少人。 16. 某筑路队承担了修一条公路的任务。原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米，这样实际修的差1200米就能提前3天完成。这条公路全长多少米？ 17. 某鞋厂生产1800双鞋，把这些鞋分别装入12个纸箱和4个木箱。如果3个纸箱加2个木箱装的鞋同样多。每个纸箱和每个木箱各装鞋多少双？ 18. 某工地运进一批沙子和水泥，运进沙子袋数是水泥的2倍。每天用去30袋水泥，40袋沙子，几天以后，水泥全部用完，而沙子还剩120袋，这批沙子和水泥各多少袋？ 19. 学校里买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱。每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶和每个茶杯各多少元？ 20. 两个数的和是572，其中一个加数个位上是0，去掉0后，就与第二个加数相同。这两个数分别是多少？

小学六年级数学百分数典型练习题

《百分数》 六年级数学备课组 【知识分析】 同学们，在百分数应用题中，经常有一些比多比少的情况，一般，我们先算出多多少或者少多少，在除以标准量就可以了。 【例题解读】 【例1】一项工程，李师傅独做4天完成，王师傅独做5天完成，李师傅的工作效率比王师傅高百分之几？ 【思路简析】我们将这项工程看做单位“1” ，那么李师傅每天完成41，王师傅每天完成5 1，要求李师傅的工作效率比王师傅高百分之几，就是求李师傅的工作效率比王师多的部分上是王师傅的工作效率的百分之几，所以 （41－51）÷5 1＝25% 答：李师傅的工作效率比王师傅高25%。 【例2】长江水泥集团原计划每个月生产8000吨水泥，由于技术革新，10个月生产的水泥就超过了全年计划的5%，这个月平均每个月的产量比原计划超过百分之几？ 【思路简析】 我们将原来每个月的产量看做单位“1”，实际10 个月的产量为1×12×（1＋5%）＝12.6 12.6÷10－1＝26% 答：这10 个月平均每个月的产量比原计划超过26%。 【想一想】通过例1和例2的学习，你发现什么？ 【结论】 【经典题型练习】 1、从石家庄到北京，甲车需要4小时，乙车需要3小时，甲车的速度比乙车慢百分之几？

2、一项工程，甲独做12天完成，乙独做15天完成。甲的工作效率比乙高百分之几？ 3、某人年初买了一支股票，该股票当年下跌了20%，第二年应上涨多少才能保持原值？ 第二课时 【知识分析】同学们，商品的打折可以转化成百分数应用题解决，主要的关系式有：定价＝成本×（1＋利润百分数），利润百分数＝（卖价－成本）÷成本×100% 【例题解读】 【例1】把一套西装按50%的利润定价，然后打八八折卖出，可以获得利润480元。这套西装的成本是多少元？ 【思路简析】我们不防把这套西装的成本看做单位“1”西装的定价就是成本的（1＋50%），实际销售时打八八折卖出，因此西装的售价就是成本的（1＋50%）×88%＝132%，那么，获得的利润就相当于成本的132%－1＝32%。所以（1＋50%）×88%－1＝32% 480÷32%＝1500（元） 答：这套西装的成本是1500元。 【例2】一种折叠式自行车，甲商店比乙商店的进货价便宜5%，甲商店按20%的利润定价，乙商店按15%的利润定价，结果甲店比乙店便宜3元。乙店的进货价是多少元？ 【思路简析】我们不防设乙店的进货价是“1”,则甲店的进货价是乙店的（1－5%），乙店的定价是1+15%，那么甲店的定价是（1－5%）×（1+20%），由甲、乙两店定价百分数的差便可以求出乙店的进货价，所以（1－5%）×（1+20%）＝114%；1+15%＝115%；3÷（115%－114%）＝300（元） 【想一想】通过例1和例2的学习，你发现什么？ 【结论】 【经典题型练习】

最新小学数学教学专题讲座

小学数学教学专题讲座 篇一：“提高数学课堂教学有效性”专题讲座稿 “提高数学课堂教学有效性”专题讲座稿 课程改革活跃了我们的课堂，新的理念、新的课标、新的教材、新的教法，使教师充满激情，学生充满活力，课堂教学变得更为精彩。但在一些“热闹”的课堂之后，冷静下来，反思那些已经被广大教师认同并积极采用的新的教学方法，比如情境设置、动手实践、主动探究、合作学习、算法多样化等，感到我们在理解新课程、新理念上还有误区。有些教师过于追求课堂教学改革的形式，而忽略了数学教学的基本出发点，丢掉了教学方法中的一些优秀传统，失去了课堂教学的“有效性”。 小学数学课程标准指出，数学教学的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。要在有限的教学时间里让学生得到充分发展。因此，如何提高课堂教学的“有效性”，在当前课程改革中必须引起我们的足够重视。 教学的有效性包括三种含义：有效果，指对教学活动结果与预期教学目标的吻合程度的评价，教学效果是指每一节课

的教学质量；有效率，教学效率=有效教学时间/实际教学时间×100%，就是指单位时间内所完成的教学工作量；有效益，指教学活动的收益、教学活动价值的实现。 如何提高课堂教学的“有效性”呢？在经历了几年的课改之后，反思我们的做法和效果，越加感到对新理念、新课标、新教材、新教法应该有个科学的、理性的、切实的理解。一、怎样理解“算法多样化”“一题多解”和“算法最优化” 现代教育的基本理念是“以学生的发展为本”，既要面向全体，又要尊重差异。在数学教学中，教师要促进学生的全面发展，就要尊重学生的个性，不搞一刀切，要创造促进每个学生得到长足发展的数学教育。因此，针对过去计算教学中往往只有一种算法的弊端，在新课程中提出了“算法多样化”。 比如:一年级“20以内退位减法”，教材提示了用“破十法”“想加算减”“点数”“连续减”等方法都可以。因此这些算法对一年级学生而言，很难说孰优孰劣，学生完全可以按自己的经验采用和选择不同的方法进行计算，教师 不对各种算法进行评价，要尊重学生自主的选择，保护学生自主发现的积极性，提倡和鼓励算法多样化。 “一题多解”与“算法多样化”是有区别的。一般来说“一题多解”是面向个体，尤其是中等以上水平的学生，遇到同一道题可有多种思路多种解法，目的是发展学生思维的灵活性。

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++

小学六年级数学解决问题典型例题

求一个数的几分之几（百分之几）的数是多少”应用题 1. 张大爷的果园里共种果树500棵，其中5 3 是苹果树，苹果树有多少棵？ 2. 从甲地到乙地180千米，某人骑车从甲地到乙地去办事，行了全程的6 5 ，这时离乙地还有多少千 米？ 3. 油菜籽的出油率是42%，200吨油菜籽可出油多少吨？ 4. 制造一种机器，原来用钢1440千克，改进工艺后，每台比原来节约12 1 ，现在每台比原来节约多 少千克？ 5. 2001年我国手机拥有量大约1.3亿户，根据“十五”规划，2002年我国手机拥有量将比2001年 增长20%，2002年我国手机拥有量大约达到多少亿户？ 6. 某种产品原来售价1560元，现在降价15%出售，这种产品现在售价多少元？ 7. 长乐公园计划栽树240棵，第一天栽了总棵树的31，第二天栽了总棵树的4 1 ，第一天比第二天多 栽树多少棵？ 8. 华联超市以每枝8.5元购进120枝钢笔，加价20％后卖出，卖完后，可得到利润多少元？ 9. 在一块1680平方米的空地上铺草坪，第一天铺了5 1 ，第二天铺了25％，余下的在第三天铺完， 第三天铺草坪多少平方米？ 10. 甲班有男生25人，女生20人，乙班学生的人数比甲班的少9 1 ，乙班有学生多少人？

11. 小华有50元钱，买书用去15元后，用余下的7 1 买了一枝笔，这枝笔是多少元？ 12. 张丽看一本书80页，第一天看了全书的41，第二天看了全书的5 1 ，两天共看书多少页？ 13. 工地运来50吨黄沙，第一周用去52，第二周用去的相当于第一周的5 4 ，第二周用去多少吨？ 14. 某机床厂计划一个月生产机床140台，结果 上半月完成了5 3 ，下半月完成的与上半月的同样多，这个月 生产的机床比原计划多多少台？ 15. 某化肥厂四月份生产化肥800吨，如果以后每一个月都比前一个月增产10%，六月份生产化肥多少吨？ 16. 某农民承包了一块长方形的地，长150米，宽100米，他准备用这块地的 5 2 种蔬菜，余下的栽果树，栽果树的面积是多少平方米？ 17. 红旗小学五年级和六年级学生栽树，六年级学生栽260棵，五年级植的树比六年级的 13 12 多12棵，五年级学生栽树多少棵？ 18. 一堆煤共150吨，甲车运了总数的52，乙车运了剩下的3 2 ，这堆煤还剩下多少吨？ 19. 张超同学看一本240页的故事书，每天能看总页数的4 1 ，看了3天后还剩多少页？ 20. 修一条公路，甲队有120人，把甲队人数的 6 1 调入乙队，这时两队人数相等。乙队原来有多少人？

小学数学教学论试题及答案

一、选择题： 1.关于重点、难点与关键，下列说法正确的是（） A、教材的重点就是教学的重点 B、教材的难点就是教学的难点 C、教材的关键就是教学的关键 D、教材的重点与难点有时可以相同 2.关于教材分析，下列说法错误的是（） A、教材分析要注意根据数学学科的特点进行 B、教材分析要注意根据儿童的认知特点进行 C、教材分析要注意避免参考其他版本的教材 D、教材分析要注意中小学数学的衔接 3.在教学公约数与公倍数概念时，要注重渗透的集合思想是（） A、交集思想 B、并集思想 C、差集思想 D、补集思想 4.20以内的进位加法，一般先教学9加几，然后再教学8加几，7加几，……，教学时主要渗透的数学思想是（） A、函数思想 B、集合思想 C、化归思想 D、极限思想 5.著名的哥德巴赫猜想（任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和）的发现过程主要采用了（） A、演绎推理 B、论证推理 C、归纳推理 D、类比推理 6.若把概念的同化作为接受学习，那么概念的形成就是（） A、范例学习 B.接受学习 C、尝试学习 D、发现学习 7.下列数学概念一般采用概念同化的方式学习的是（） A、分数 B、直角三角形 C、圆 D、自然数 8.下列数学概念一般采用概念形成的方式学习的是-（） A、直角三角形 B、真分数与假分数 C、正方形 D、分数 9.如果小学生在学习平行四边形的有关规则的基础上学习矩形的有关规则，则在这一学习过程中，新规则与原认知结构相互作用的方式是（） A、同化 B、顺应 C、重组 D、平衡 10.一般说来，“数学问题解决”中的“问题”是指（） A、常规问题与非常规问题 B、非常规问题与数学应用问题 C、数学应用问题 D、纯数学问题与数学应用问题 11.角谷静夫是日本的一位数学家，他所提出的角谷猜想是这样的： 任意给出一个自然数N，如果它是偶数，则将它除以2（变成N/2）；如果它是奇数，则将它乘以3再加上1（变成3N+1），然后重复上述过程。最后都无一例外地得到自然数“1”（确切的说是进入“1→4→2→1”的循环）。这一猜想的获得过程主要采用了（） A、演绎推理 B、论证推理 C、归纳推理 D、类比推理

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

小学六年级数学典型例题总结

六年级数学总复习习题设计 一、一组工人检查一批零件，上午查了这批零件的45％，下午比上午多查480个，正好查完。这批零件共多少个？ 二、小英最爱看的动画片每晚播两集，每集十五分钟，中间插3分钟广告，她每晚看完后已是18：23，这部动画片是从（）时（）分开始播的。 三、林老师的儿子生病挂盐水用去316元，单位报销了40%的医药费。林老师要自费几元？ 四、我国交通法规定：驾驶机动车超过规定时速50%的，处200元以下2000元以下罚款。在一条限速60千米的公路上，一辆汽车正在以每小时93千米的速度行驶，请问该车主会被罚款吗？请列式计算加以说明。 五、工程队在一个月内修完了一条公路的3／7，在后来的一周内又修了22千米，这时，修完的与未修的比是5：3，这条路共长几千米？ 六、在东方大厦圣诞夜商品打折酬宾活动中，儿童服装满98元减40元，老师看中了两条原价分别为198元，188元的裤子，你觉得老师最后会选哪一条？没搞活动之前，这条裤子是打八折出售的，那么与平时相比，老师得到了多少元钱的优惠？ 七、一种商品以比原价高20％的价格出售，但因销售情况不理想，又按这个价格降价20％，这时的价格与原价相比（） ①提高了②降低了③没有变化。 八、把圆柱体沿高展开后得到一个（）形和两个（）形。如果展开后得到的长是 12.56厘米，高是4厘米，把它竖放在地上，它的占地面积是（），占的空间是（）。 九、你能很快算出111×888+444×778的结果吗？ 十、在一次单元测试中，第一大组6位男生的平均成绩93分，5位女生的平均成绩是82分，第一大组每个人的平均成绩为多少分？

习题说明及答案 第二题：答案：17时50分 第三题：答案：316×(1-40%)=189.6(元) 或316-316×40%=189.6(元) 第四题： 答案：会被罚款。(93-60)÷60×100%=55% 55%>50% 或60×(1+50%)=90（千米） 93千米>90千米 第五题： 方法一：解：设这条路共长×千米。方法二：= ×-×=22 = ×=112 22÷（35-24）=2（千米） 2×56=112（千米） 方法三：22÷（-）=112（千米） 第六题： 答案：①第一条：98×2=196（元） 198-40×2=118(元) 第二条：188-40=148 （元） 118(元) 〉148 （元）所以会选第一条。 ②198×80%-118=40.4(元) 第七题：答案：（②） 第八题：答案：12.56平方厘米，50.24立方厘米 第九题： 111×888+444×778 ＝111×(2×444) +444×778 ＝222×444+444×778 第十题：答案：(93×6+82×5)÷(5+6)=88(分)

实用文库汇编之数学归纳法经典例题及答案

*实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++

小学数学经典题集锦

小学数学经典题集锦 小升初奥数经典试题集锦 (1)一工人工作7天,老板有一段黄金,每天要给工人1/7的黄金作为工资,老板只能切这段黄金2刀,请问怎样切才能每天都给工人1/7的黄金? (2)有2个人开油坊,每天榨出10斤油,正好装满一个大油篓,他们用一个能盛3斤油的勺和一个能盛7斤油的小油篓平分了这10斤油,请问他们是如何分的? (3)一老板有2个白球和1个红球，老板和一赌徒赌博，老板用3个不透明的杯子盖住这3个球，让赌徒猜红球在哪个杯子里。于是赌徒选了一个杯子，还不知道里面是否是红球。老板有个习惯，在对方翻开选好的杯子之前，自己先翻开一个里面是白球的杯子，然后再问赌徒是否想用选好的杯子对换另一个未翻开的杯子。请问赌徒对换杯子赢的可能性大还是不换大? (4)有若干根不均匀的绳子，每根绳子烧完的时间是一个小时，用什么方法确定一段1小时15分钟的时间? (5)有三个人去住旅馆，住三间房，每一间房$10元，于是他们一共付给老板$30，第二天，老板觉得三间房只需要$25元就够了于是叫小弟退回$5给三位客人，谁知小弟贪心,只退回每人$1，自己偷偷拿了$2，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了$27，再加上小弟独吞的$2，总共是$29。可是当初他们三个人一共付出$30那么还有$1呢? (6)有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜的布质、大小完全相同，而每对袜了都有一商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜混在了一起。他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢?

(7)有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶开往42公里以外的纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度离开纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以每小时30公里的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离? (8)你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会?在你的计划中，得到红球的准确几率是多少? (9)你有四瓶药丸，每瓶装的药丸数量不等，但都多于20粒，每瓶中每粒药丸重10，过期的一瓶中每粒药丸重11。用电子秤称量一次，如何找出哪瓶药过期了? (10)对一批编号为1～100、全部开着的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关;2的倍数反方向又拨一次开关;3的倍数反方向又拨一次开关……100的倍数反方向又拨一次开关。问：最后为关熄状态的灯的编号? (11)想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下? (12)1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水? (13)在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次? (14)一个大人让孩子去买苹果，给了孩子3元钱，让他买4个苹果，但每个苹果2.5元钱，可孩子买完苹果还剩4角钱。问：他是怎么买的? (15)在9个点上画10条直线，要求每条直线上至少有三个点

六年级数学简便运算典型例题

简便运算典型例题 ★ 例1：1.24+0.78+8.76 ★ 例2：156+44+135 =（1.24+8.76）+0.78 =（156+44）+135 =10+0.78 =200+135 练习 ：1、0.21+12.3+0.79+7.7 6、653+131＋2.4＋13 1 2、3.51+2.74+6.49+7.26 7、 74＋91＋73＋198 3、271＋98＋29 8、1592+3698+408+302 4、142+29+271+358 5、96.8+1.29+3.2+3.71 ★例3： 933-157-43 ★ 例4：65-3.28-6.72 =933-（157+43） =65-（3.28+6.72） =933-200 =65-10 =733 =55 练习：1、896-246-554 6、9.5-2.36-5.64 2、2009-169-531-209 7、42-13 8135- 3、5600-564-436-129-371 8、15.9-11.7-8.3 4、98-12.6-57.4 9、98.6-7 473- 5、500-56.4-43.6-36.9-63.1 10、8.85-3.38-4.62+1.15 ★例9： 0.4×125×25×0.8 ★ 例10： 25×32×125

=（0.4×25）×（125×0.8） =（25×4）×（8×125） =10×100 =100×1000 =1000 =100000 练习： 1、21×14×72 2、41×32×8 5 3、64×1.25×2.5×5 4、2.5×3.2×12.5 5、125×0.32×2.5 6、2.5×32 7、2.5×24 8、0.25×320 9、1.25×16 10、1.25×32 ★例11： 1.25×（8+10） =1.25×8+1.25×10 =10+12.5 练习：1、27×（32+91） 6、36×（+-92654 1） 2、72×（ 95+83121-） 7、（+-8516150.125）×16 3、（2183272-+）×42 8、（3 2127245-+）×48 4、（635212+）×9×14 9、（2+57）×14 5 5、（1371513-）×13×15 10、（8161+）×24×14 1 11、（ 171＋151）×17×15 12、24×（85＋65）－25 ★例12： 9123-（123+9） =9123-123-9 =9000-9 =8991 练习：1、93.5-（3.5+5） 3、119.6-（19.6+25.5） 2、87.5-（7.5+16） 4、108.7-（8.7+25.8）

数学归纳法经典例题及答案精品

【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：

1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 .