线代复习试卷及答案
线代试题1 一、单项选择题（每题3分，共15分）
1、已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，
则D=( )
A.-15
B.15
C.0
D.1 2、设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ）
A ．当m n >时，必有行列式0A
B ≠；B ．当m n >时，必有行列式0AB =
C ．当m n <时，必有行列式0AB ≠；
D ．当m n <时，必有行列式0AB = 3、设123,,ξξξ为3R 的一个基，则下列仍为3R 的一个基的是（ ）
A.1232123,2,ξξξξξξξ++--+-
B. 122313,,ξξξξξξ+++
C. 122313,,22ξξξξξξ-++
D. 1312123,,2ξξξξξξξ++++
4、对非齐次方程组m n A x b ?=，设()R A r =，则( )
A.r m =时，方程组Ax b =有解；
B. r n =时，方程组Ax b =有唯一解
C.m n =时，方程组Ax b =有唯一解；
D. r n <时，方程组Ax b =有无穷多解
5、下列命题中不正确的是( )
A.合同矩阵的秩必相等
B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称阵
C.T AA 与T A A 都是二次型的矩阵
D.行列式大于零的矩阵是正定矩阵 二、填空题（每题3分，共15分）
1、设1231011,1,2011ξξξ-??????
? ? ?=== ? ? ? ? ? ?
??????
为3R 的一个基，则200α?? ?= ? ???在该基下的坐标为 。 2、21111121()_____46223697A R A --?? ?-
?== ?-- ?-??
设，则． 3、若二次型222
1231213232224f x x t x x x x x x x =++-+-
为正定二次型，则t > 。
4、若1234213,2,αααααα==则13412ααααα++= 。
5、设A 是n 阶矩阵，2=A ，*
A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则(
)
1
*
2A -必有一个特征值
是 ．
三、解答题。（每题8分，共40分）
1、求
12312310000
10000100
1
n n
ββββαααα
（8分）
2、求矩阵方程AX B =，其中123001321,010111100A B ????
? ?=-= ? ?
? ?--????
。 （8分） 3、设123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),k k k ααα=+=+=+及2(0,,),k k α=试求：当k 为何值时α可
由123,,ααα线性表出，并且表示法唯一。（8分）
4、求211020413A -?? ?= ? ?-??
的特征值和特征向量。（8分） 5、设A 为3阶矩阵，1
2
A =，求1(2)5A A -*-。（8分）
四、当a 、b 为何值时，线性方程组 ()1234234
2341234022132321
x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=??++=??
-+--=??+++=-? 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．（10分）
五、设矩阵A 与B 相似，其中200200001,01001001A B x ????
? ?== ? ? ? ?-????
， ①求x ; ②求正交阵P ，使得T
P AP B =.（10分）
六、证明题。（每题5分，共10分）
1、设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得A O k =（O 为n 阶零矩阵）， 则矩阵A 的特
征值全为0．
2、设向量组12,,,r ααα 是齐次方程组0AX =的一个基础解系，向量β不是方程组0AX =的
解，求证：1,,,r ββαβα++ 线性无关。
线代试题2 一．单项选择题（每小题3分，共12分）
1. 设B A ,均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有____________； (A)E B = (B) BA AB = (C) E A = (D) B A =
2. 设向量组321,,ααα线性无关,向量组1234,,,αααα线性相关,则以下命题中成立的是____________；
(A) 1α一定能由432,,ααα线性表示 (B) 2α一定能由431,,ααα线性表示 (C) 4α一定能由321,,ααα线性表示 (D) 3α一定能由421,,ααα线性表示
3. 设21,αα是三元线性方程组b Ax =的两个不同的解，且()2R A =，则A x b =的通解为
=x ____________；
(A) 1122k k αα++ 12
2
αα+ (B) 1212()2k αααα+-+
(C) 11212()k k ααα+- (D) 12221()k k ααα+-
4. 已知(1,,1)T k α=是矩阵211121112A ?? ?
= ? ???
的特征向量，则=k ____________；
(A) 1或2 (B) -1或-2 (C) -1或2 (D) 1或-2 二．填空题（每小题3分，共12分）
1. 101
210325
--＝____________；
2. 如果A 是3阶可逆矩阵，互换A 的第一、第二行，得矩阵 B ,且???
?
? ??-=-2001023111
A ，则1-
B =____________；
3. 设向量123(1,1,1),(2,0,),(1,3,2),T T T a ααα===若123,,ααα线性相关，则a =____________；
4. 已知3阶方阵A 的特征值为1、-1、2，则矩阵2A E +的特征值为____________；
三．解答题（每小题8分，共40分）
1. 计算行列式11101101
(2)10110111
n D n =≥ ；
2. 设3阶方阵B A ，满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B ，其中101020201A ?? ?
= ? ?-??
；
3. 设A 为三阶矩阵且1
3
A =，求1*(3)2A A --；
4. 求向量组1234(1,1,2,4),(3,0,7,14),(0,3,1,2),(1,1,2,0)T T T T αααα=-===-的一个最大无关组，并
将其余向量用该最大无关组线性表示；
5. 已知三阶实对称矩阵A 的三个特征值为1230,2λλλ===，且对应于特征值为0的特征向量为
1(1,0,1)T α=-，求矩阵A .
四．(12分) 设线性方程组为12312312
3304235
x x x x x a x b x x x --=??
-+=??-+=?，问：a 、b 分别取何值时，方程组无解、有唯一解、
有无穷多解？ 并在有无穷多解时求出其通解.
五．（12分）设二次型),,(321x x x f =323121222x x x x x x ++由正交变换x Py =可化为标准形
2
3
22212y y y f -+=λ.求λ的值及正交矩阵P ，并判断该二次型的正定性. 六．证明题（每小题6分，共12分）
1. 设向量组123,,ααα线性无关,且1123βααα=--，2123βααα=+-，3123βααα=-+.试证明向量
组123,,βββ线性无关.
2. 若方阵A 、B 满足2,A E B B B =+=且.证明A 可逆，并求1A -(用A 的多项式表示).
线代试题3 一、填空题（每小题3分，共12分）
1、已知ij A 是行列式7
2
9
102101--的元素(,1,2,3)ij a i j =的代数余子式，则111282A A +=___________；
2、设矩阵(1,2,1)A diag =-，*A 为A 的伴随矩阵，且*2A BA E =-，则B =___________；
3、设向量组1α，2α，3α是3R 空间的一组基，要使12t αα+，12t αα+，3α可以构成3R 空间的一组基，则t 必须满足 ；
4、要使实二次型222(,,)()22f x y z k x y z xy xz =++++为正定的，则必有k 的值满足 。 二、单项选择题（每小题3分，共12分）
1、设A 为3阶矩阵，若A k =，则kA -= ；
(A) 4k -； (B) 3k ； (C) 3k -； (D) k -；
2、设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =，其中A B ，均为m n ?矩阵，则下列命题正确的是 ；
(A) 若0Ax =的解均是0Bx =的解，则()()R A R B ≤； (B) 若()()R A R B ≥，则0Ax =的解均是0Bx =的解； (C) 若0Ax =与0Bx =同解，则()()R A R B =； (D) 若()()R A R B =，则0Ax =与0Bx =同解
3、设P 为n 阶正交矩阵，x 是一个n 维列向量，且||x ||=3，则||Px ||=____________； (A) 1； (B) 3； (C) 6； (D) 9；
4、 设x 为n 维列向量，且1T x x =；E 为n 阶单位矩阵；令2T H E xx =-，则下列说法错误的是 _________。
(A) H 是对称矩阵； (B) H 是可逆矩阵； (C) H 是正交矩阵； (D) H 是正定矩阵.
三、计算题(每小题9分，共36分)
1、计算n 阶行列式 1111121111311111111n n
D n n n -=-- ；
2、设矩阵1600170000270013A --?? ?
?= ?- ?-??
，求1A -； 3、设A 是3阶方阵，互换A 的第一、第二列，得矩阵B ；再将B 的第二列加到第三列上得矩阵C ； 求满足AX C = 的可逆矩阵X ；
4、设向量组1234(0,1,2,3),(3,0,1,2),(4,1,0,1),(8,1,4,7)T T T T
αααα===-=求它的一个最大无关组，并用此最大无关组表示其余向量。 四、(15分)已知线性方程组 ???
??=-+-=+-=++-23213213211t
tx x x t x tx x x x tx （1）t 为何值时，无解，有唯一解，有无穷多个解？（10分）
（2）在有无穷多解时求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）。（5分） 五、（15分）已知实二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-++； （1）写出f 对应的矩阵A ；（3分）
（2）求正交变换X PY =（必须写出相应的正交变换矩阵P ）将f 化为标准形（或法式）。（12分） 六、证明题(每小题5分，共10分）
1、设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为1p 和2p ，证明12p p -不再是A 的特征向量。
2、设*η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ- 是对应的齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，试证明****12,,,,n r ηξηξηξη-+++ 线性无关。
线代试题4
一、单项选择题（每小题3分，共12分）
1、设321,,ααα是三维列向量，且1321=ααα，那么=-3221αααα ；
(A) 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不能确定 2、设A 为n 阶方阵，且2A =0，则下列选项中错误的是___________。 (A) A 可逆 (B) A E +可逆 (C) A E -可逆 (D) 2A E +可逆
3、已知12311101230230x x t x ??????
??? ?= ??? ? ??? ???????
有非零解，则t = ；
(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 不能确定
4、设A 为m n ?矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ）
（A ） A 的行向量组线性无关 (B) A 的行向量组线性相关 (C) A 的列向量组线性无关 (D) A 的列向量组线性相关
二、填空题（每小题3分，共12分） 1、设2阶矩阵A =???
?
??3202，则A *A =_____________； 2、如果A 是3阶可逆矩阵，互换A 的第一、第二列，得矩阵B ，且???
?
?
??-=-2001023111
A ，则1-
B =____________；
3、设1231011,1,2011ξξξ-??????
? ? ?=== ? ? ? ? ? ?
??????
为3R 的一个基，则200α?? ?= ? ???在该基下的坐标为 ； 4、已知n 阶方阵A 的行列式为A 3=，12是其一个特征值，则A 的伴随矩阵*A 的特征值之一
是：_______；
三、计算题(每小题9分，共36分)
1、计算n 阶行列式 12112
112112
1
n n n x n x
n D x n n x n n
-+-+=+-+-
；
2、设矩阵0100120000110032A -?? ?
?= ? ???，求1A -； 3、设向量组1234(1,2,1,3),(2,4,2,6),(1,1,2,3),(1,0,1,1)T T T T
αααα=-=-=--=--，求它的一个 最大无关组，并用此最大无关组表示该向量组中的其余向量。
4、设A 是n 阶矩阵，满足T AA E =（E 是n 阶单位矩阵，T A 是A 的转置矩阵）及0A <；求A E +；
四、(15分)已知线性方程组 ???
??=-+-=+-=++-23213213211t
tx x x t x tx x x x tx （1）t 为何值时，无解，有唯一解，有无穷多个解？（10分）
（2）在有无穷多解时求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）。（5分）
五、（15分）设矩阵12*1
()C A A A BA A --??=+??，110011111A ?? ?= ? ???，322232223B ?? ?= ? ???，*A 为A 的伴随矩
阵。
（1）计算矩阵C ；（6分）
（2）求矩阵C 的特征值与特征向量。（9分）
六、证明题（每小题5分，共10分）
1、设x 为n 维列向量，满足1T x x =，令2T H E xx =-，证明H 是对称的正交矩阵；
2、已知向量组321,,ααα线性无关，令211ααβk +=，322ααβk +=，133ααβk +=，
证明：1-≠k 时向量组321,,βββ线性无关。
线代试题5 一、填空题（每小题3分，共15分）
1、已知A ，B 均为三阶方阵，且A =2，B =－3，则1T A B -=____________。
2、设n 阶方阵A 的n 个列向量两两正交且均为单位向量，则T A A ＝ 。
3、如果三阶方阵A 相似于对角矩阵)2,1,1(-=Λdiag ，则行列式2A +E ＝ 。
4、设向量组1(1,1,1)T α=，2(1,2,3)T α=，3(1,3,)T
t α=，当t 满足 时，向量组123,,ααα
可以构成3R 空间的一组基。
5、已知实二次型222
123121323()4()f a x x x x x x x x x =+++++，经过某个正交变换后，可以化成标
准形216f y =，则a ＝ 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1、设321,,ααα均为三维列向量，且1321=ααα，那么32122αααα-＝ 。 (A) 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不能确定
2、设A 为n 阶方阵，且2A =0，则下列选项中错误的是___________。
(A) A 可逆 (B) A E +可逆 (C) A E -可逆 (D) 2A E +可逆 3、设向量组(,3,1),(1,2,1),(2,3,1)T T T a 的秩为2，则a = ___________。
(A) 1 (B) 2 (C) 0 (D) －1
4、设A 是n 阶方阵(3)n ≥，如果A 的秩()R A n <，且A 的伴随矩阵*0A ≠，则齐次线性方程组 0Ax =的基础解系中所含解向量的个数为___________。
(A) n (B) 1n - (C) 1 (D) 0 5、设n 阶方阵A 与B 相似，则下列说法中正确的是 ___________。
(A) A E B E λλ-=- (B) A 与B 有相同的特征值及特征向量 (C) A 与B 必合同 (D) 对任意常数k ，A kE -与B kE -相似 三、计算题(每小题8分，共32分)
1、计算n 阶行列式 121121121121n n n x n x n
D x n n x n n
-+-+=+-+- ；
2、设矩阵113201002A ?? ?
=- ? ???，互换A 的第一、第二列得矩阵B ，且BX A =，求矩阵X ；
3、设矩阵0100120000110032A -?? ?
?= ? ???，求1A -； 4、设向量组1234(1,2,1,3),(2,4,2,6),(1,1,2,3),(1,0,1,1)T T T T
αααα=-=-=--=--，求它的一个 最大无关组，并用此最大无关组表示该向量组中的其余向量。 四、(14分) 已知线性方程组
12341234
23412343230265432
x x x x a x x x x x x x b x x x x +++=??++-=??
++=??++-=?； 讨论参数,a b 取何值时，方程组有解、无解；在有解时，试用其导出组的基础解系表示其通解。 五、（14分）若矩阵22082006A a ??
?
= ? ???
可以对角化，设与A 相似的对角矩阵为Λ；试求常数a 的
值及对角矩阵Λ，并求可逆矩阵P 使得1P AP -=Λ。 六、证明题（每题5分，共10分）
1、设*η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ- 是对应的齐次线性方程组0Ax =的
一个基础解系，试证明*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关；
2、设A 为正交矩阵，且1A =-，试证明1λ=-是A 的特征值。
线代试题6
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1、设321,,ααα均为三维列向量，且1231ααα=，那么13232αααα-= ； (A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 不能确定
2、设A 为n 阶方阵，且A 0=，则下列结论中错误的是__________；
(A) () (C) A 的n 个列向量必线性相关 (D) A 必有一个列向量是其余1n -个列向量的线性组合 3、已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D=__________； (A) -15 (B) 15 (C) 0 (D) 1 4、已知n 阶方阵A 的行列式为3A =，12是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵*A 必有的特征值 是：_______； (A) n 3×2 (B) 23n ? (C) 32 (D) 6 5、设A 、B 均为n 阶非零方阵，且AB =0，则A 和B 的秩必满足____________； (A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n 一个等于n (D) 都等于n 二、填空题（每小题3分，共15分） 1、若2=A ，1B =，??? ? ??=B O O A C ，则2 C = ； 2、设二阶矩阵10A λλ??= ? ?? ，λ为一常数，则n A = ； 3、已知三阶矩阵A 的三个特征值是-1，1，2，则2A E += ； 4、 如果A 是3阶可逆矩阵，互换A 的第一、第二列，得矩阵 B ，且??? ? ? ??-=-2001023111 A ，则1- B =____________； 5、设矩阵34A ?的秩为34()2R A ?=，又矩阵120031100P ?? ? =- ? ??? ，则2R()P A = 。 三、计算题(每小题8分，共32分) 1、计算n 阶行列式1231121 11121111 n n n D n -=- ； 2、设矩阵001130102210031A B -???? ? ? == ? ? ? ?-???? ，，求满足AX B =的矩阵X ； 3、已知向量组：1(2,1,4,3)T α=，2(1,1,6,6)T α=--，3(1,2,2,9)T α=---，4(1,1,2,7)T α=-； 求其一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示。 4、设矩阵20131405A a ?? ? = ? ??? 可以对角化，求未知参数a ； 四、(14分)设线性方程组123123123(2)221 2(5)4224(5)1 x x x x x x x x x λλλλ-++=?? +--=??--+-=--? ，讨论当λ为何值时，此方程组有唯一解， 无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。 五、（14分）设矩阵12*1 ()C A A A BA A --??=+??，110011111A ?? ?= ? ???，322232223B ?? ?= ? ??? ，*A 为A 的伴随矩 阵。 1、计算矩阵C ； 2、求矩阵C 的特征值与特征向量。 六、证明题（每小题5分，共10分） 1、设x 为n 维列向量，满足1T x x =，令2T H E xx =-，证明H 是对称的正交矩阵； 2、已知向量组321,,ααα线性无关，令211ααβk +=，322ααβk +=，133ααβk +=，证明：1-≠k 时向量组321,,βββ线性无关。 线代试题7 一、单项选择题（每小题3分，共12分） 1、设321,,ααα是三维列向量，且1321=ααα，那么=-3221αααα ； )(A 0 )(B 1 )(C 1- )(D 不能确定 2、设向量321,,ηηη都是线性方程组b Ax =)(O b ≠的解，则k 为 时 3213 2 31ηηηk ++也是它的解； 1)(A 1)(-B 0)(C )(D 任何非0实数 3、下面的选项中 不是向量组：)0,0,1(1=α，)0,1,1(2=α，)0,2,1(3=α，)3,1,1(4=α的 最大无关组； 321,,)(αααA 431,,)(αααB 432,,)(αααC 421,,)(αααD 4、已知n 维向量),,,(21n a a a =α，),,,(21n b b b =β，且0≠j i b a ),,2,1;,,2,1(n j n i ==，那么)(βαT R = . 0)(A 1)(B n C )( )(D 0或1 二、填空题（每小题3分，共12分） 1、若2=A ，3=B ，??? ? ??=B O O A C ，则2 C = ； 2、已知向量组)(A ：)0,1,1(1=α，)1,1,0(2-=α，)2,0,0(3=α，那么向量)3,2,1(=β 可由)(A 表示为：=β ； 3、设A 是四阶方阵且3)(=A R ，T )4,3,2,1(1=η与T )2,2,0,1(2=η是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则该线性方程组的通解可表示为 ； 4、如果三阶方阵A 相似于对角矩阵)2,1,1(-=Λdiag ，那么矩阵E A +2的特征值为 . 三、计算题(每小题8分，共40分) 1．1 22125431 432321-++++=n n n n n n n D n ； 2．设A 为三阶方阵，且2 1 =A ，求：*13)2(A A --； 3．矩阵??? ?? ??=101022001A ，B 是交换A 的第一行和第三行所得的矩阵，求满足A XB =的矩阵X ； 4．已知向量组：)1,2,1(1=α，)1,3,2(2=α，)1,3,(3a =α，)3,,2(4b =α的秩为2，求参数a 和 b 的值； 5．设向量T )1,1,1(-=ξ是方阵 ???? ? ??-=y x A 2131212 的特征向量，求：ξ对应的特征值λ，参数x 和y 的值； 四、(12分) 如果存在三阶矩阵O B ≠，使得O AB =，其中A 是齐次线性方程组 ??? ??=++=++=++0 00321 3213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵. 求：参数λ的值和λ取该值时方程组的全部解，并确定矩阵B 是否可逆？ 五、（12分）求一个正交变换Py x =，把下面的二次型化为标准形（必须写出相应的正交变换矩阵P ）： 32212 3222132122323),,(x x x x x x x x x x f --++= 并判断该二次型是否正定？ 六、证明题（每小题6分，共12分） 1．如果方阵A 满足O A =2，证明E A +可逆； 2．已知向量组321,,ααα线性无关，令211ααβk +=，322ααβk +=，133ααβk +=，证明：1-≠k 时向量组321,,βββ线性无关. 线代总结 一 行列式的计算 性质1 行列式与它的转置行列式相等 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号 推理 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数ｋ，等于用数ｋ乘此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 计算行列式技巧： 1、分析，探求行列式的结构 2、化零，尽可能把行列式化为爪型 3、对角化1，边化－1 4、靠边，把行列式化为三角形行列式 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 计算行列式常用方法：化零，展开. 二、关于线性方程组的解 1 对于n 个未知数，n 个方程的特殊线性方程组 （Cramer 法则） 如果线性方程组的系数行列式不等于0，齐次和非齐次线性方程组都仅有唯一解。 齐次的是零解；非齐次解为i i D x D = （i=1,2,…,n ） 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 例子：解线性方程组 1122i i i i in in D a A a A a A =+++ () 1,2,,i n = 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++ ()1,2,,j n = 11220,.i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠ 11220,(). i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠ 121121*********(1)2 2 n n n n n n n n x x x x x x x x x n x x x nx x x x ----++++=?? ++++=?? ??+-+++=?++++=?? 0(1,2,,1)i i D x i n D = ==- 2n n D x D == 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2 一般线性方程组的解。 A d =x 有解的充分必要条件： (,)()R A d R A =。 求解步骤：（1）将增广矩阵(,)A d 化成行阶梯行，若(,)()R A d R A =，则有解，继续化简成行最简行； （2）由(,)A d 的行最简行可得到A d =x 的一个特解0η； （3）(,)A d 行最简行除去最后一列，即A 的行最简行，可得0A =x 的一个基础解系：12,,,n r ξξξ- ； 则所要求的通解为11220n r n r k k k ηξξξη--=++++ 。 相应的若求奇次线性方程组的解，只需要将系数矩阵A 化成行最简行，求出一个基础解系12,,,n r ξξξ- ，则通解为1122n r n r k k k ξξξξ--=+++ 。 例子：化简增广矩阵 1、 因()()R A R B ≠，所以线性方程组无解. 2、 12341231234124221248224233 3664x x x x x x x x x x x x x x -+-=??-+=??-+-+=??--=?12211248022423336064B --?? ?- ?= ?-- ?--??122 1100210~000010000 0--?? ? ? ? ??? 123412341234123422244622436979 x x x x x x x x x x x x x x x x --+=?? +-+=?? -+-=??+-+=? 解 方程组的增广矩阵为 因()()34R A R B ==<，所以线性方程组有无穷多解. 即 其中ｃ为任意常数. 三 矩阵的初等变换及应用 1 求矩阵的秩 最高阶非零子式的阶数 行阶梯形矩阵非零行的行数 矩阵的秩＝ 行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数 例子：设 A ＝32050323612015316414?? ?-- ? ?- ?--?? ，求矩阵A 的秩 16414164141641401612812043230432302015913000120001201297110001200000A ------?????? ? ? ?------ ? ? ? ? ? ?---- ? ? ? ? ? ?---?????? 12 34 x x x x x ?? ? ?= ? ?? ?14131003 c ???? ? ? ? ?=+ ? ? ? ?-??? ?211 1211214462243 6979B --?? ?- ?= ?-- ?-??1 010401103000130 000-?? ?- ? ? - ? ?? 1323 33 4 433x x x x x x x =+??=+?∴? =??=-? 所以，()3R A = 2 求矩阵的逆 ()()A E E A 例子：求矩阵 121223335A -?? ? =- ? ?--?? 的逆。 ()121100121100104 1102230100252100252103350010383011 3 000122A E ? ? ? ------???? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ?-----????- ? ?? 104110100113851011001018522001032001032?? ?? ? ? ? ? ? ? -- ??? --?? 。所以 11138185032A -?? ?= ? ?--?? 3 解简单的矩阵方程 AX B =，其中A 可逆。 由AX B =，其中A 可逆，知 X ＝A － 1B 故 ()()A B E X 例子 12122 3335A -?? ?=- ? ?--??，132231B -?? ? = ? ?-?? ；AX B =，求X ()104 311211312113522322025440122233531038081 00622A B ? ? ? -------???? ? ? ? ?=--- ? ? ? ? ?----- ????? ?- ? ?? 10051151005115010328010328001124001124---???? ? ? ? ? ? ? ----???? 。所以 X ＝5115328124?? ? ? ?--??。 4 （向量空间不考）求过渡矩阵 设 R 3中两组基为：()11, 2,3T α=--，()22,2,3T α=-，()3135T α=-和 ()11,0,0T β=，()21,1,0T β=，()31,1,1T β=。求由前一组基到后一组基的过渡矩阵。 由()()123123A βββααα=，故()()1 123123A αααβββ-=； 即 ()123123()E A αααβββ ()12312 3121111121111223011025233335001038332αααβββ--???? ? ? =- ? ? ? ?-------???? 104122 104122100114225330252330110101914222135001035001035000222??? ? ?-----?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?--- ???-- ??? ?? 所以 过渡矩阵为 114221914035A ?? ? = ? ?--?? 。 5 求一组向量最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示。()12,,,m ααα 行最简式。 例子：求()()()1231,1,1,0,2,5,2,4,7T T T ααα===的一个最大无关组。 ()123102102102,,124022011157055000ααα?????? ? ? ?= ? ? ? ? ? ??????? ，可见，123(,,)2R ααα=，又因为()1,0,0T ，()0,1,0T 线性无关，即表明12,αα为向量组：123,,ααα的一个最大无关组。且3122ααα=+。 6 求向量空间的一组基，并求其余向量在这组基下的坐标。()12,,,m ααα 行最简式。 Key 试题1答案及评分标准 一、选择题（每题3分，共15分） 1、A 2、B 3、B 4、A 5、D 二、填空题（每题3分，共15分） 1、1，1，-1 2、3 3、2 4、1 5、4 λ 三、解答题（每题8分，共40分） 1． 112211223 3 (1231) 110001000010001000010 00100001 1 0000(8) n n n r r r r n n n n i i i n i i i αααββββββββαααααβαβ----==???????→-=-∑∑ 分 （5分） 1231001231003210100883101110010341011231 001231003131 01100110(3) 8888034101130011881191203881101012213001188???? ? ?-→--- ? ? ? ?-----???? ?? ??? ? ? ? ?→-→- ? ? ? ?---?? ? --?? ??- ? ? ?→- ? ? ?-- ??2.解：分3110018811 0101(5)2213001188?? - ? ? ?→- ? ? ?--? ??? 分 131188123113211(6)2211113188-??- ??? ? ? ?∴-=- ? ? ?-- ??? ?-- ???分, 故1X A B -==131881112231188??- ? ? ?-- ? ? ?-- ??? （8分） 线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1 x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2 线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k 二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ??? 《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα 线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ； ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 2010线性代数、概率论试题及答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -= 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 1.计算？（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 2.行列式？ A．3 B．4 C．5 D．6 答题： A. B. C. D. （已提交） 3.利用行列式定义计算n阶行列式：=?( ) A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 4.用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。A．1, 4 B．1，-4 C．-1，4 D．-1，-4 答题： A. B. C. D. （已提交） 5.计算行列式=？（） A．-8 B．-7 C．-6 D．-5 答题： A. B. C. D. （已提交） 6.计算行列式=？（） A．130 B．140 C．150 D．160 答题： A. B. C. D. （已提交） 7.四阶行列式的值等于（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 8.行列式=？（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. （已提交） 9.已知，则？A．6m B．-6m C．12m D．-12m 答题： A. B. C. D. （已提交） 10.设＝，则? A．15|A| B．16|A| C．17|A| D．18|A| 答题： A. B. C. D. （已提交） 11. 设矩阵，求=？ A．-1 B．0 C．1 D．2 答题： A. B. C. D. （已提交） 12. 计算行列式=? A．1500 B．0 C．—1800 D．1200 答题： A. B. C. D. （已提交） 13. 齐次线性方程组有非零解，则=？（） A．-1 B．0 C．1 D．2 答题： A. B. C. D. （已提交） 14. 齐次线性方程组有非零解的条件是=？（）A．１或－３ B．１或３ C．－１或３ D．－１或－３ 答题： A. B. C. D. （已提交） 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷 2009年6月22日 1、 设?? ??? ?? ?? ???-=* 8030010000100001A ,则A ＝ 、 2、 A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+ 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分) 1、设D n为n阶行列式,则D n＝0的必要条件就是[ ]、 (A) D n中有两行元素对应成比例; (B) D n中各行元素之与为零; (C) D n中有一行元素全为零; (D)以D n为系数行列式的齐次线性方程组有非零解. 2.若向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则[ ]、 (A)α必可由β,γ,σ线性表示; (B) β必可由α,γ,σ线性表示; (C)σ必可由β,γ,α线性表示; (D)γ必可由β,α,σ线性表示、 ３.设3阶方阵A有特征值0,－1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P＝(P1,P2,P3),则P－1AP＝[ ]、 (A) 100 010 000 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (B) 000 010 001 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (C) 000 010 001 ?? ?? ?? ?? ?? － ; (D) 100 000 001 ?? ?? ?? ?? ?? － . ４.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的就是[ ]、 (A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1、 ５.若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩Ｒ(A) =[ ]、 (A) 1; (B)2; (C)3; (D) 4. ６.实二次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件就是[ ]、 (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n、 三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分) 线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则 （） （A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。（） 2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则 111)(---=A B AB 。（） 武汉理工大学现代远程教育北京学习中心 《线性代数与概率统计》期末试题（A ） 专业班级 学号 姓名 成绩 一、填空题（每题3分，共18分） 1、行列式0 010212 01中，元素22a 的代数余子式是（ ） 2、行列式230 1的值为( ) 3、设A 可逆，则XA=B 的解是( )。 4、一批产品中，一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机抽出一件，结果不是三等品，则取得一等品的概率为（ ） ５、一批产品的次品率为0.1，从中任取5个产品，其中至少有一个次品的概率为（ ） 6、 已知P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(A|B)）=0.25 则P(AUB)）=( ) 二、选择题（每题3分，共12分） 1、将一枚均匀硬币抛掷2次，事件A 为“至少一次掷出正面” 事件B 为“两次掷出同一面”，则P(A|B)）=（ ） A: 1/3 B: 0.5 C: 0.1 D: 0.4 2、矩阵???? ??????1000210010501的秩为( ) A: 1 B: 3 C: 2 D: 4 3、A 3×2及B 2×5,则矩阵运算有意义的是（ ） A: AB B: BA C: A+B D: A-B 4、设A B C 均为方阵，且ABC=E 则下列等式成立的是（ ） A: ACB=E B: CAB=E C: CBA=E D: BAC=E 三、计算题（70分） 1、计算4 311420 21（8分） ２、????? ?? =231201A ???? ??=0211 01B 求AB （8分） 3、判断矩阵??? ? ? ?? --=523012101A 是否可逆，若可逆，求逆矩阵。（15分） 4、证明：设n 阶方阵A 满足A 2+A-4E=0 试证明矩阵A-E 可逆（14分） 线性代数试题（附答案） 一、填空题（每题2分，共20分） 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。 二、单项选择（每小题2分，共12分） 1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ） A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ） A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 （ ） A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题（每小题9分，共63分） 1．计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中 A卷 2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案 （32学时必修） 专业班级 姓名 学号 开课系室应用数学系 考试日期 2016年1月15日 注意事项： 1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共7页。 说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵； )(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵. 一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若 6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】. 2.设1 3 5 2 4 1312010131 1--= D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子 式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】. 3．设102020103B ?? ? = ? ?-?? ，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】. 5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，??? ? ? ??-=m m 11β是线 性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】. 6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式 =+-|2|1E B 【 -8 】. 二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1. 设A 为3阶矩阵，且2 1||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】. (A) 2-； (B) 2 1 -； (C) 1-； (D) 2. 2. 矩阵110120001?? ? ? ??? 的逆矩阵为【 A 】． (A) 210110001-?? ?- ? ???； (B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-?? ? - ? ? ??； 110110001?? ? ? ??? . 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
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