随机向量的变换
随机向量的变换
设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为(,)p x y ，函数
(,),(,)u f x y v g x y ==
有连续偏导数，且存在惟一的反函数
(,),(,),x x u v y y u v ==
若(,),(,),U f X Y V g X Y == 则(,)U V 的联合概率密度函数为
((,),(,),(,),(,)0,p x u v y u v J u v f g q u v else ?=?
?属于的值域，
其中J 为坐标变换的雅可比行列式
(,)0.(,)x
y x y u u
J x
y u v v
v
?????==
≠????? 求二维连续型随机变量的函数的分布密度函数有以下两种常用方法：
① 直接法：可先求U 的分布函数，这一般是一个二重积分，再通过求导求得U 的密度函数.
②（增补变量）变换法：可以引入新的随机变量(,)V h X Y =，先求的联合密度函数，再求关于U 的边缘分布密度函数.
例1 设(,)
(,),X Y p x y 求U X Y =+的密度函数.
解：设,
,
U X Y V Y =+??=? 则1111,01
x y x
y
u u J v v -=
=
=-
(,)((,),(,)(,).q u v p x u v y u v J p u v v ==- 所以U X Y =+的密度函数()(,).U p u p u v v dv +∞-∞
=-?
特别，当,X Y 独立时U X Y =+的密度函数为()()().U X Y p u p u v p v dv +∞-∞
=-?
例2 设(,)
(,),X Y p x y 求U X Y =-的密度函数.
解：设,
,
U X Y V Y =-??=? 则1111,0
1
x y x
y
u u J v v --=
=
=
(,)((,),(,)(,).q u v p x u v y u v J p u v v ==+
所以U X Y =-的密度函数()(,).U p u p u v v dv +∞
-∞
=+?
特别，当,X Y 独立时U X Y =-的密度函数为()()().U X Y p u p u v p v dv +∞-∞
=+?
例3 设(,)
(,),X Y p x y 求U XY =的密度函数.
解：设,
,
U XY V Y =??=? 则1,01
x y x
y
u u y x
J y v v v -=
=
==
1
(,)((,),(,),.u q u v p x u v y u v J p v v v ??== ???
所以U XY =的密度函数1(),.U u p u p v dv v v
+∞
-∞
??= ????
特别，当,X Y 独立时U XY =的密度函数为()1().U X Y u p u p p v dv v v +∞
-∞
??
= ???
?
例4 设(,)
(,),X Y p x y 求U X Y =的密度函数.
解：设,
,
U X V Y =??=? 则21111,0
1
x y x
y
u u y x y J v v y v
--=
=
=
= ()(,)((,),(,),.q u v p x u v y u v J p uv v v == 所以U X =的密度函数()(),.U p u v p uv v dv +∞-∞
=?
特别，当,X Y 独立时U X Y =的密度函数为()()().U X Y p u v p uv p v dv +∞-∞
=?
多元随机变量函数的分布
我们已讨论了一维随机变量函数 的分布，现在我们进一步讨论: 题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X 1, X 2, …,X n 的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Y i =g i (X 1, X 2, …,X n ), i =1,2,…,m 的联合分布?
一、离散型分布的情形 例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数.: ) ()(r Y X P r Z P =+=={X +Y =r } {X =1, X +Y =r } ∪{X =2, X +Y =r } ∪{X =r , X +Y =r }…… 且诸{X =i , X +Y =r },i =1,2, …,r 互不相容
例1 若X 、Y 独立，P (X =k )=a k , k =0,1,2,…, P (Y =k )=b k , k =0,1,2,… ,求Z =X +Y 的概率函数. : ) ()(r Y X P r Z P =+==∑=-===r i i r Y P i X P 0 ) ()(=a 0b r +a 1b r -1+…+a r b 0∑=-===r i i r Y i X P 0 ) ,(由独立性此即离散 卷积公式r =0,1,2, …
依题意 ∑=-====r i i r Y P i X P r Z P 0) (()(）例2若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布, 证明Z =X +Y 服从参数为21,λλ21λλ+的泊松分布. 由卷积公式 i =0,1,2,…j =0,1,2,…!)(i e i X P i 11λλ-==!)(j e j Y P j 22λλ-==
随机变量及其分布知识点整理
随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1 ,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概
随机变量分布与数字特征
第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会
变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天每天销售为1辆，20天每天销售是为2辆，12天每天销售是为3辆，6天每天销售是为5辆．我们定义随