人教A版数学选修1-1全套教案

教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式. 教学重点：命题的改写.

教学难点：命题概念的理解.

教学过程：

一、复习准备：

阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？

（1）矩形的对角线相等；

>；

（2）312

>吗？

（3）312

（4）8是24的约数；

（5）两条直线相交，有且只有一个交点；

（6）他是个高个子.

二、讲授新课：

1. 教学命题的概念：

①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.

上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.

②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；

假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.

上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.

③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数a是素数，则a是奇数；

（3）2小于或等于2；

（4）对数函数是增函数吗？

x<；

（5）215

（6）平面内不相交的两条直线一定平行；

（7）明天下雨.

（学生自练→个别回答→教师点评）

④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.

2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：

①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.

③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.

（1）两条直线相交有且只有一个交点；

（2）对顶角相等；

（3）全等的两个三角形面积也相等.

（学生自练→个别回答→教师点评）

3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式.

三、巩固练习：

1. 练习：教材P41、2、3

2. 作业：教材P9第1题

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q

逆命题若q 则p

逆否命题若┐q 则┐p

互为

逆否

互

逆否

互为逆

否

互

互逆否

互教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.

教学重点：四种命题的概念及相互关系. 教学难点：四种命题的相互关系. 教学过程：

一、复习准备：

指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点.[来源:https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

二、讲授新课：

1. 教学四种命题的概念：

原命题 逆命题 否命题

逆否命题 若p ，则q 若q ，则p

若?p ，则?q 若?q ，则?p

[来源:https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （师生共析→学生说出答案→教师点评）[来源:Z 。xx 。https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；

（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 2. 教学四种命题的相互关系：

①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图：

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；

结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评） 3. 小结：四种命题的概念及相互关系. 三、巩固练习：

1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+； （3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点.

2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题

1.2 充分条件和必要条件（1）

【教学目标】

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义； 2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法； 3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识． 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义； 【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．

【教学过程】 一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p 则q ． 2．四种命题及相互关系： 3．请判断下列命题的真假：

（1）若x y =,则2

2

x y =; （2）若2

2

x y =,则x y =; （3）若1x >,则21x >; （4）若2

1x >,则1

x >[来源:学.科.网]

二、讲授新课

1.推断符号“?”的含义：

一般地,如果“若p ,则q ”为真, 即如果p 成立，那么q 一定成立,记作:“p q ?”; 如果“若p ,则q ”为假, 即如果p 成立，那么q 不一定成立,记作:“p q ?/”. 用推断符号“?和?/”写出下列命题：⑴若a b >，则ac bc >；⑵若a b >，则a c b c +>+； 2．充分条件与必要条件

一般地，如果p q ?，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“p q ?”表示有p 必有q ，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？q 是p 的必要条件说明没有q 就没有p ,q 是p 成立的必不可少的条件,但有q 未必一定有p .

充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述

的“若p 则q ”为真（即p q ?）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q 则非p ”为真（即q p ???）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： （1）充分必要条件（充要条件），即 p q ?且q p ?； （2）充分不必要条件，即p q ?且q p ?/； （3）必要不充分条件，即p q ?/且q p ?； （4）既不充分又不必要条件，即p q ?/且q p ?/． 3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设,A B 为两个集合，集合A B ?是指

x A x B ∈?∈。这就是说，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，“x B ∈”是“ x A ∈”的必要条

件。对于真命题“若p 则q ”，即p q ?，若把p 看做集合A ，把q 看做集合B ，“p q ?”相当于“A B ?”。

（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A 闭合”为条件A ，“灯泡B 亮”

B

A C 图2 C A

B 图 4

C A B 图1 图3 B

A 为结论

B ，可用图1、图2来表示A 是B 的充分条件，A 是B 的必要条件。

（3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系： ⑴若a b >，则a c b c +>+； ⑵若0x ≥，则20x ≥；

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等． 三、例题

例1：指出下列命题中，p 是q 的什么条件．

⑴p ：10x -=，q ：()()120x x -+=；

⑵p ：两直线平行，q ：内错角相等； ⑶p ：a b >，q ：22a b >；

⑷p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形． 四、课堂练习

课本P8 练习1、2、3 五、课堂小结

1．充分条件的意义； 2．必要条件的意义． 六、课后作业：

1.2 充分条件和必要条件（2）

[教学目标]：

1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2．掌握判断命题的条件的充要性的方法； [教学重点、难点]：

理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．[来源:学科网ZXXK]

[教学过程]：[来源:学。科。网]

一、复习回顾

一般地，如果已知p q ?，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件

⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 充分不必要 条件．

⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ①②⑤ ． 二、例题分析

条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．

1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性

例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？

分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的 “若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的

故p 是q 的充分不必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．

练习：已知p ：2x >或2

3

x <；q ：2x >或1x <-，则p ?是q ?的什么条件？

方法一：2

:

23

p x ?≤≤ :12

q x ?-≤≤[来源:https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

显然p ?是q ?的的充分不必要条件

方法二：要考虑p ?是q ?的什么条件，就是判断“若p ?则q ?”及“若q ?则p ?”的真假性 “若p ?则q ?”等价于“若q 则p ”真的 “若q ?则p ?”等价于“若p 则q ”假的 故p ?是q ?的的充分不必要条件

2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性

例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？

分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ??? 显然M 是Q 的充分不必要条件 3．充要性的求解是一种等价的转化

例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化 由题可知等价于000004040a a a a a a ≠??

=>?=<

或或

4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件 必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=

则0x =，0y = 即0xy = 故0xy =是220x y +=的必要条件

不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠

故0xy =是220x y +=的不充分条件

综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．

[来源:https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的

取值范围．

解：由于p

?是q

?的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件

于是有

12

101

m

m

-≤-

?

?

≤+

?

9

m

∴≥

三、练习：

1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）

2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分不必要条件）

3．已知0

ab≠，求证：1

a b

+=的充要条件是：33220

a b ab a b

++--=.

简单的逻辑联结词（二）复合命题

教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；

教学重点：判断复合命题真假的方法；

教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法

课型：新授课

教学手段：多媒体

一、创设情境

1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）

2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）

3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）

4．复合命题的构成形式是什么？

p或q(记作“p∨q”)；p且q(记作“p∨q”)；非p(记作“┑q”) 二、活动尝试

问题1:判断下列复合命题的真假

（1）8≥7

（2）2是偶数且2是质数；

（3）π不是整数；

解：（1）真；（2）真；（3）真；

命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？

三、师生探究

1．“非p”形式的复合命题真假：

例1：写出下列命题的非，并判断真假：

（1）p：方程x2+1=0有实数根

（2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0．

（3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；

（4）p：等腰三角形两底角相等

显然，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．

2．“p且q”形式的复合命题真假：

例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；

（2）5是10的约数且是15的约数

（3）5是10的约数且是8的约数

（4）x2-5x=0的根是自然数

所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。

3．“p或q”形式的复合命题真假：

例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数； （2）5是12的约数或是8的约数； （3）5是12的约数或是15的约数；

（4）方程x 2－3x-4=0的判别式大于或等于零

当p 、q 中至少有一个为真时，p 或q 为真；当p 、q 都为假时，p 或q 为假。 四、数学理论

[来源:https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

1．“非p ”形式的复合命题真假：

当p 为真时，非p 为假； 当p 为假时，非p 为真．

（真假相反）

2．“p 且q ”形式的复合命题真假：

当p 、q 为真时，p 且q 为真； 当p 、q 中至少有一个为假时，p 且q 为假。

（一假必假）

3．“p 或q ”形式的复合命题真假：

当p 、q 中至少有一个为真时，p 或q 为真；当p 、q 都为假时，p 或q 为假。

（一真必真）

注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；

2°由真值表得：

“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反；

“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同为真时为真，其他情况为假； “p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的

复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如：p 表示“圆周率π是无理数”，q 表示“△ABC 是直角三角形”，尽管p 与q 的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p 或q 的真假。

4°介绍“或门电路”“与门电路”。

或门电路（或） 与门电路（且）

p 非p 真 假 假

真

p q p 且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假

假

假

p q P 或q

[来源:https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

真 真 真 真 假 真 假 真 真 假

假

假

五、巩固运用

例4：判断下列命题的真假：

（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数01,2≥++x x x 分析：（4）为例：

第一步：把命题写成“对一切实数01,2>++x x x 或012=++x x ”是p 或q 形式

第二步：其中p 是“对一切实数01,2>++x x x ”为真命题；q 是“对一切实数,x 012=++x x ”是假命题。

第三步：因为p 真q 假，

由真值表得：“对一切实数01,2≥++x x x ”是真命题。

例5：分别指出由下列各组命题构成的p 或q 、p 且q 、非p 形式的复合命题的真假： （1）p ：2+2=5； q ：3>2[来源学_科_网Z_X_X_K]

（2）p ：9是质数； q ：8是12的约数；[来源:Z 。xx 。https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

（3）p ：1∈{1，2}； q ：{1}?{1，2} （4）p ：?Φ{0}； q ：=Φ{0}

解：①p 或q ：2+2=5或3>2 ；p 且q ：2+2=5且3>2 ；非p ：2+2≠5. ∵p 假q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真.

②p 或q ：9是质数或8是12的约数；p 且q ：9是质数且8是12的约数；非p ：9不是质数. ∵p 假q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“非p ”为真.

③p 或q ：1∈{1，2}或{1}?{1，2}；p 且q ：1∈{1，2}且{1}?{1，2}；非p ：1?{1，2}. ∵p 真q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真，“非p ”为假.

④p 或q ：φ?{0}或φ={0}；p 且q ：φ?{0}且φ={0} ；非p ：φ?{0}. ∵p 真q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假. 七、课后练习

1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ）

A ．简单命题

B ．非p 形式的命题

C ．p 或q 形式的命题

D ．p 且q 的命题 2．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题 C ．“非p ”是真命题 D ．“非q ”是真命题

3．（1）如果命题“p 或q ”和“非p ”都是真命题，则命题q 的真假是_________。 （2）如果命题“p 且q ”和“非p ”都是假命题，则命题q 的真假是_________。 4．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假. (1)5和7是30的约数.

(2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x －5＜2无自然数解. 5．判断下列命题真假：

（1）10≤8； （2）π为无理数且为实数；[来源:学科网ZXXK]

（3）2+2=5或3＞2． （4）若A ∩B=?，则A=?或B=?．

6．已知p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x 2+4(m-2)x+1=0无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围。

八、参考答案：

1．D 2．D 3．（1）真；（2）假

4．(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题．

(2) “p且q”．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题．

(3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0，则为真命题．故“┐p”为假命题．

5．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）真命题．

6．由p命题可解得m＞2，由q命题可解得1＜m＜3；

由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假

（1）若命题p真而q为假则有

2

1,3

m

m m

>

≤≥

?

?

?或

3

m

?≥

（2）若命题p真而q为假，则有

2

13

m

m

≤

<<

?

?

?

12

m

?<≤

所以m≥3或1＜m≤2 1.4全称量词与存在量词教学案

课型：新授课

教学目标：

1.知识目标：①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；

②能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；

③会判断全称命题和特称命题的真假；

2.能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生

的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识；

3.情感、态度与价值观：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过

程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣.

教学重点：理解全称量词与存在量词的意义.

教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假.

教学过程：

一．情境设置：

哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.

1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：)

(a任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和．

)

(b任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和．

这就是哥德巴赫猜想．

欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明.从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”．中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通

常这个结果表示为 “1+2”这是目前这个问题的最佳结果．

科学猜想也是命题．哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题． 二．新知探究 观察以下命题：

（1）对任意R x ∈，3>x ； （2）所有的正整数都是有理数；

（3）若函数)(x f 对定义域D 中的每一个x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； （4）所有有中国国籍的人都是黄种人． 问题1.（1）这些命题中的量词有何特点?

（2）上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？

填一填：全称量词： 全称命题： 全称命题的符号表示： 你能否举出一些全称命题的例子？ 试一试：判断下列全称命题的真假． （1）所有的素数都是奇数； （2）11,2≥+∈?x R x ；

（3）每一个无理数x ，2x 也是无理数．

（4）{}Q n m n m x x b a ∈+=∈?,,2,，{}

Q n m n m x x b a ∈+=∈+,,2． 想一想：你是如何判断全称命题的真假的？

问题2.下列命题中量词有何特点？与全称量词有何区别？ （1）存在一个,0R x ∈使3120=+x ； （2）至少有一个,0Z x ∈0x 能被2和3整除； （3）有些无理数的平方是无理数．[来源:学科网ZXXK][来源:学.科.网Z.X.X.K]

类比归纳：

存在量词 特称命题

特称命题的符号表示 特称命题真假的判断方法 练一练：判断下列特称命题的真假． （1）有一个实数0x ，使032020=++x x ； （2）存在两个相交平面垂直于同一平面； （3）有些整数只有两个正因数． 三．自我检测

1、用符号“?” 、“?”语言表达下列命题 （１）自然数的平方不小于零

（２）存在一个实数，使0122

=+-X X 2、判断下列命题的真假：

（1）每个指数函数都是单调函数； （2）任何实数都有算术平方根；

（3）{}

是无理数，是无理数2

|x x x x ∈? （4）;0,00≤∈?x R x ３、下列说法正确吗？

因为对)(,)(,x p M x x p M x ∈??∈?，反之则不成立．所以说全称命题是特称命题，特称命题不一定是全称命题．

４、设函数m x x x f --=2)(2，若对[]4,2∈?x ，0)(≥x f 恒成立，求m 的取值范围； 四．学习小结 五．能力提升

1．下列命题中为全称命题的是（ ）

(A)有些圆内接三角形是等腰三角形 ；（B ）存在一个实数与它的相反数的和不为0； (C)所有矩形都有外接圆 ； （D ）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．

2．下列全称命题中真命题的个数是（ ）

①末位是0的整数，可以被3整除；②对12,2+∈?x Z x 为奇数． ③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等； （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 3．下列特称命题中假命题．．．

的个数是（ ） ①0,≤∈?x R x ；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数． （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3

4．命题“存在一个三角形，内角和不等于 180”的否定为（ ）

（A ）存在一个三角形，内角和等于 180；（B ）所有三角形，内角和都等于 180； （C ）所有三角形，内角和都不等于 180；（D ）很多三角形，内角和不等于 180． 5．把“正弦定理”改成含有量词的命题．

6．用符号“?”与“?”表示含有量词的命题“p ：已知二次函数)1()1()(2+++=x b x a x f ，则存在实数b a ,，使不等式)1(2

1)(2

+≤

≤x x f x 对任意实数x 恒成立”． 7．对),0(+∞∈?x ，总?),0(+∞∈a 使得2)(≥+

=x

a

x x f 恒成立，求a 的取值范围． 数学：2.1《椭圆及其标准方程》教案

一、教学目标： 知识与技能：

理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标.

过程与方法：

让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.

情感态度与价值观：

通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.

二、教学重点与难点 重点：椭圆的标准方程

难点：椭圆标准方程的推导 三、教学过程： （一）讲授新课 1．演示定义：

我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。

问题（1）定义应注意哪几点

（2）定长和两个定点之间的距离大小还有哪些情况?.[来源:Z*xx*https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

2．椭圆的标准方程

（1）回顾求圆的标准方程的的基本步骤： y [来源:https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

M

1F 0 2F

x

（2）椭圆标准方程的推导

观察：你能从中找出a,c ,2

2

c a -表示的线段吗？

我们推导出焦点在X 轴的椭圆的标准方程为:

思考：焦点在Y 轴上椭圆的标准方程？ . 小结：同学们完成下表

椭圆的定义

图 形

标准方程

焦点坐标

a,b,c 的关系 焦点位置的判断

（二）题组训练: 题组一：

1.在椭圆1004252

2=+y x 中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,______.焦点位于________轴上

2.如果方程1m

y 4x 2

2=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ． 题组二：

求适合下列条件的椭圆的标准方程

1.a=4,b=1,焦点在x 轴上.

2.a=4,c=15,焦点在坐标轴上 题组三：

1.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P 满足1021=+PF PF ，则点P 的轨迹是 ，若点P 满足621=+PF PF ，则点P 的轨迹是 .

2.P 为椭圆1162522=+y x 上一点,P 到一个焦点的距离为4,则P 到另一个焦点的距离为

3.椭圆

19

162

2=+y x ,过焦点F 1的直线交椭圆于A,B 两点,则2ABF ?的周长为 题组四：

1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:10)3()3(222

2=-++

++y x y x ,点M 的

轨迹是什么曲线?写出它的方程.

2.已知△ABC 的一边长6=BC ，周长为16，求顶点A 的轨迹方程. （三）课堂小结：

1．椭圆的定义，应注意什么问题？

2．求椭圆的标准方程，应注意什么问题？ （四）布置作业：

1．已知椭圆两个焦点1F （-2，0），F 2（2，0），并且经过点P )2

3,25(-，求它的标准方程. 2．椭圆的两个焦点F 1（-8，0），F 2（8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，求此椭圆的标准方程.

3．若B （-8，0），C （8，0）为ABC ?的两个顶点，AC 和AB 两边上的中线和是30，求的重心G 的轨迹方程.

2.2椭圆的简单几何性质

教学目标：

[来源学。科。网]

(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;

(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.

教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 教学难点:椭圆离心率的概念的理解. 教学方法：讲授法

课型：新授课 教学工具：多媒体设备

一、复习：

1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.

2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：

（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.

[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.][来源:Z,xx,https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

已知椭圆的标准方程为：)0(122

22>>=+b a b

y a x

1.范围

[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x ，y 的范

围就知道了.]

问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么?

由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式

22

a x ≤1, 22b

y ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2

所以 |x|≤a ， |y|≤b 即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b

这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。

2.对称性

复习关于x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标之间的关系： 点（x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为(x,－y)； 点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为(－x, y)； 点（x,y ）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；

问题2 在椭圆的标准方程中①以－y 代y ②以－x 代x ③同时以－x 代x 、以－y 代y,你有什么发现? （1） 在曲线的方程里，如果以－y 代y 方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上

时，它关于x 的轴对称点P ’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称。

（2） 如果以－x 代x 方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关

于y 轴对称。]

（3） 如果同时以－x 代x 、以－y 代y ，方程不变，这时曲线又关于什么对称

呢？[曲线关于原点对称。] 归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？

椭圆关于x 轴，y 轴和原点都是对称的。 这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]

椭圆的对称中心是什么？[原点] 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

3.顶点

[研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x 轴，y 轴的交点坐标.] 问题3 怎样求曲线与x 轴、y 轴的交点?

在椭圆的标准方程里， 令x=0,得y=±b 。这说明了B 1(0,－b),B 2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点。 令y=0,得x=±a 。这说明了A 1(－a,0),A 2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点。 因为x 轴，y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。

线段A 1A 2,B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

它们的长|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b (a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)

观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即 |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|= a

在R t △OB 2F 2中，由勾股定理有[来源:https://www.wendangku.net/doc/9015643497.html,]

|OF 2|2=|B 2F 2|2－|OB 2|2 ，即c 2＝a 2－b 2 这就是在前面一节里，我们令a 2－c 2＝b 2的几何意义。

4.离心率

定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝

a

c

，叫做椭圆的离心率。 因为a>c>0,所以0

问题4 观察图形,说明当离心率e 变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?

[调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响] 得出结论：(1)e 越接近1时，则c 越接近a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；

(2)e 越接近0时，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a ＝b 时，c ＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。 当e ＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生课后思考]

5.例题

例1求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.

[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a ，短轴长2b ，该方程中的a ＝？b ＝？c ＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]

解：把已知方程化为标准方程14

522

22=+y x , 这里a ＝5，b ＝4，所以c ＝1625-＝3

因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a ＝10，2b ＝8

离心率e ＝

a c ＝5

3 两个焦点分别是F 1(－3,0),F 2(3,0)，

四个顶点分别是A 1(－5,0) A 1(5,0) A 1(0,－4) F 1(0,4).

[提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢？我们可以根据椭圆的对称性，先画出第一象限内的图形。]

将已知方程变形为 2255

4

x y -±

=，根据 2255

4

x y -=

在0≤x ≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y)

x 0 1 2

3 4 5 y

4

3.9

3.7

3.2

2.4

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图）

说明：本题在画图时，利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性。

根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：

(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。

[画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性]

（四）练习

填空：已知椭圆的方程是9x 2+25y 2=225, (1) 将其化为标准方程是_________________. (2) a=___,b=___,c=___.[来源学#科#网Z#X#X#K]

(3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.

椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e ＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______. 例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2);

(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6

例3 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4

l x =

的距离之比是常数4

5，求点M 的轨迹.

（教师分析——示范书写）

例4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知AC ⊥F1F2，|F1A|=2.8cm ，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC 所在椭圆的方程。 三、课堂练习：

①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

⑴2

2

936x y +=与

2211612x y += ⑵22

936x y +=与221610

x y +=（学生口答，并说明原因） ②求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴经过点()()

22,0,0,5P Q -

⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P ⑶焦距是8，离心率等于0.8

（学生演板，教师点评）

焦点在x 轴、y 轴上的椭圆的几何性质对比.

四、小结

(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率; (2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;

(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.

五、布置作业

课本习题2.1 的6、7、8题 课后思考：

1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方？

2、点M （x ，y ）与定点F （c ，0）的距离和它到定直线l ：x= 的距离的比是常数 （a ＞c ＞0），求点M 轨迹，并判断曲线的形状。

3、接本学案例3，问题2，若过焦点F2作直线与AB 垂直且与该椭圆相交于M 、N 两点，当△F1MN 的面积为70时，求该椭圆的方程。

2.2.2双曲线的几何性质（一）

课型：新授课 时间： 月 日

学习札记

◇预习目标◇

1、掌握双曲线标准方程中a 、b 、c 、e 之间的关系；

2、了解双曲线的渐近线的概念和证明；

3、尝试用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质。

◇问题引导，自我探究◇

以双曲线标准方程122

22=-b

y a x 为例进行说明。

1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。 注意：从双曲线的方程如何验证？

2．对称性： 是双曲线的对称轴， 是双曲线122

22=-b

y a x 的

对称中心，双曲线的对称中心叫做 。

3．顶点：双曲线和x 轴有两个交点是 ，他们是双曲线

12

2

22=-b y a x 的顶点。

4．渐近线：他们是如何确立的？

◇自学测试◇

1、 叫做等轴双曲线；等轴

双曲线的渐近线是 。 2、双曲线的离心率是

3、求双曲线2

2

916144y x -=的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。

课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）

课型：新授课 时间： 月 日

学习札记

〖学习目标及要求〗：

1、学习目标：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点

等几何性质，并熟记之；； （2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明；

（3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决

简单问题。

2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。

3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。

4、体现的思想方法：类比、设想。

5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。

〖讲学过程〗： 一、预习反馈:

二、探究精讲:

以双曲线标准方程122

22=-b

y a x 为例进行说明双曲线的顶点、渐近

线和离心率。

1、顶点：在双曲线122

22=-b

y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所

以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点

)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线

122

22=-b

y

a x 的顶点。

感悟一：

令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），

双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。

2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，

这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线1

22

22=-b

y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 在初中学习反比例函数x

k

y =

时提到x 轴y 轴都是它的渐近线。高中三角函数tan y x =，渐近线是)(2

Z k k x ∈+=π

π。

所谓渐近，既是无限接近但永不相交。

3、离心率：

双曲线的焦距与实轴长的比e =a

c

，叫双曲线的离心率.

说明：①由c >a >0可得e >1；

②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.

探究二：

课本51页例3

双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（见课本），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高55m ，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）

探究三：

感悟二：