上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷 2016.

上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷 2016.11.11

一、填空题

1.系数矩阵为1221??

?

??

，且解为11x y ????= ? ?????的一个线性方程组是___________. 2.已知两条直线：12:,:0,l y x l ax y a R =-=∈,当这两条直线的夹角在0,12π??

???

内变动时，a 的取值范围是

___________.

3.已知直线l

经过点()

且方向向量为()2,1-,则原点O 到直线l 的距离为___________. 4.方程2124

10139

x x =-的解为___________.

5.若矩阵1112

2122

a a a a ?? ???满足:{}11122122

,,,1,1a a a a ∈-,且1112

2122

0a a a a =,则这样的互不相等的矩阵共有___________个.

6.在平面直角坐标系xOy 中,设()11,,0,12OM ON ??== ???,动点(),P x y 同时满足01

01OP OM OP ON ?≤?≤??≤?≤??,则

z x y =+的最大值是___________.

7.设122016,,,A A A 是平面中给定的2016个不同的点,则使1220160MA MA MA +++=成立的点M 的个数为

___________个.

8.已知函数()arcsin +5f x x x =,如果()()

2110f a f a -+-<,则实数a 的取值范围是___________. 9.将一张坐标纸折叠，使得点()1,2与点()0,1重合,且点()2016,2017与点(),m n 重合,则m n -的值为___________.

10.已知平面上的线段l 及点P ,在l 上取一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l ，则点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l =___________.

11.已知O 是ABC ?的外心，2,3,2A B A C x y ==+=若()0AO xAB yAC xy =+≠，则c o s B AC ∠=___________.

12.已知向量序列123,,,,n a a a a 满足如下条件：112,21a a d =?=-且

()12,3,4n n a a d n --==，若10k a a ?=，则k =___________.

13.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120?，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+,

其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_________.

14.已知向量,,αβγ满足()()

1,,0ααββαγβγ=-=-?-=,若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则对任意β，m n -的最小值是_________. 二、选择题（2045=?分）

15，已知()111,b a P 与()222,b a P 是直线2+=kx y （k 是常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组

??

?=+=+1

1

2211y b x a y b x a 的解得情况是（ ） A.无论21,,p p k 如何，总是无解 B 无论21,,p p k 如何，总有唯一解 C.存在21,,p p k 如何，使之恰有两解 D 存在21,,p p k 如何，使之有无穷多解

16.定义平面向量之间的一种运算""*如下：对于任意的()(),,,,q p n m ==令np mq -=*，以下四个命题：

A.若a 与b 共线，则0=*b a

B.*=*

C.对于任意的,R ∈λ有(

)()*=*λλ

D.()()2

2

b

a b a =?+*（b a ?指的是a 与b 数量积）

17.设321,,a a a 是单位向量，则??

?

?

??=36,331a 是()6,3321=++a a a 的（ ）

A 充分不必要

B 。必要不充分条件

C.充要条件 D 。即不充分也不必要条件

18.在直角坐标系中XOY 中，()

p p y x P ,和点()

Q Q y x Q ,满足????

?-=+=p

p Q p

p Q x y y x y x ，按此规则，有点P 得到点Q,

成为直角坐标平面的一个“点变换”，若

θ=∠=POQ 及m OP

OQ ，O 是坐标原点，则m 与θ的值（ ）

A.m ,4

π

θ=不确定 B ，θ不确定，2=m C.4

,2π

θ=

=

m D,以上答案都不对

三、解答题

19.（本题满分12）有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，，已知AB=OB=1,OB AB ⊥,??

?

??41,21P 是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点p 的一条直线MN,把三角板锯成AMN ?，问：应该如何锯法，即直线MN 斜率是多少时，可是AMN ?的面积最大？

20.已知向量???

?

??+=x x cos 23

sin 21,21和向量()(),,1x f =且b a // （1）求f(x)的最小正周期和最大值

（2）已知ABC ?的三个内角分别是A,B,C ，都有7

21

sin ,7,33=

==???

?

?-B BC A f π，求AC 的长度

21.已知抛物线x y F 4:2

=

(1)△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在的直线的斜率分别为CA BC AB k k k ,,，若A 的坐标在原点，求CA BC AB k k k +-的值；

(2)请你给出一个以)1,2(P 为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由。

说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。

22.定义非原点(,)P a b 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x R =+∈，点(,)P a b 称为函数

()sin cos ()f x a x b x x R =+∈的“相伴点”。记平面直角坐标系内所有非原点的“相伴函数”构成的集合为S 。

（1）定义：函数s i n ()(0,y A

x A ω?ω=+>>中的?为“初相角”。指出函数

()sin cos ()f x a x b x x R =+∈的“初相角”?与其“相伴点”P 之间的位置关系，并说明理由；

（2）设()cos 2cos()()6h x x x a a R π?

?

=+

-+∈ ??

?

，求证：()h x S ∈，并求函数()h x 的“相伴点”P 到原

点O 距离的取值范围；

（3）已知点(,)P a b (0,0)a b ≠≠到点)M 的距离为1，点(,)P a b 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，当点P 运动时，求0tan 2x 的取值范围。

23.数列{}n a 的前n 项和记为n S 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．

(1).若数列{}n a 的通项公式2n

n a =，判断{}n a 是否为“H 数列”；

(2).等差数列{}n a ，公差0d ≠，12a d =，求证：{}n a 是“H 数列”；

(3).设点()1,n n S a +在直线()1q x y r -+=上，其中120a t =>，0≠q ．若{}n a 是“H 数列”，求,q r 满足的条件．