(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
利用修正单纯形法解线性规划问题精
利用修正单纯形法解线性规划问题一软件示意：
二代码说明： Dim A(1 To 3, 1 To 6) As Double '矩阵A Dim a1(1 To 3) As Double '矩阵A的第一列向量 Dim a2(1 To 3) As Double '矩阵A的第二列向量 Dim a3(1 To 3) As Double '矩阵A的第三列向量 Dim a4(1 To 3) As Double '矩阵A的第四列向量 Dim a5(1 To 3) As Double '矩阵A的第五列向量 Dim a6(1 To 3) As Double '矩阵A的第六列向量 Dim B_(1 To 3, 1 To 3) As Double '基矩阵B的逆矩阵 Dim XB(1 To 3) As Double '基本可行解 Dim b(1 To 3) As Double '右端向量b Dim C(1 To 6) As Double '检验数 Dim CB(1 To 3) As Double '基本可行解对应的检验数 Dim π(1 To 3) As Double '单纯形乘子矢量 Dim r(1 To 6) As Double '检验矢量r Dim r_min As Double '检验矢量最小值 Dim k_sign As Integer '检验矢量最小值对应的位置 Dim Y(1 To 3, 0 To 6) As Double '矩阵y Dim just_vector(1 To 3) As Double Dim liji_min As Double '用于判断离基变量所用值 Dim r_sign As Integer '用于记录离基变量对应的位置 Dim main_yuan As Double '用于存放主元 Dim Erk(1 To 3, 1 To 3) As Double Dim Exchange_B(1 To 3, 1 To 3) '在矩阵Erk与矩阵B_进行乘法运算时，作为矩阵B_的替换矩阵
破解线性规划中的整点问题
破解线性规划中的整点问题 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 Email:zhaojw1968@https://www.wendangku.net/doc/9d343948.html, 线性规划中的整点问题是高中数学线性规划中的重要一类问题，是高中数学的一个难点，本文将整数线性规划问题解法作以简单介绍供同学们学习时参考. 例 某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器，由于市场需求旺盛，这两种产品供不应求，因该商店根据具体情况（如成本、员工工资）确定产品的月采购量，具体数据如下，问这两种产品各采购多少时，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题是整数规划问题，设采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，列出约束条件和目标函数，用图解法解之. 解析：设月采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，月总利润为z 元，则 1000300030000100050011000 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈? ，即330222 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈?，目标函数为 z =800600x y + 作出可行域如图所示， 作直线l ：86x y +=0， 平移直线z =800600x y +知过M 3638( ,)55时，max z =10320，但x =365，y =385不是整数，所以可行域内点M 3638( ,)55不是整点最优解. 求整点最优解 解法一 网格平移法 首先在可行域内打网格，其次描出M 3638(,)55 附近的所有整点，接着平移直线l ：86x y +=0，会发现当移至（8，6）时，直线在y 轴上截距最大，即max z =10000元. 解法二 特值检验法 由图可知目标函数取得最大值的整点应分布在可行域右上侧靠近边界的区域，一次取得满足条件的整点，（0，10），（1，9），（2，9），（3，9）（4，8），（5，8），（6，8），（7，7），（8，6），（8，5），（9，4），（10，2），（10，1），（11，0）.将这些点分别代入z =800600x y +，求出各点对应的值，经验证可知，在整点(8,6)处max z =10000元. 解法三 调整最优法 单位产品所需资金 月资金供应量（百元） 电热水器 太阳能热水器 成本 10 30 300 工资 10 5 110 单位利润 8 6
必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题-答案
必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题 答案和解析 【答案】 1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B 9.C 10.B 11.B 【解析】 1. 解：作出不等式组{x +y ≥1 x ?y ≥?12x ?y ≤2 表示的平面区域， 得到如图的△ABC 及其内部，其中A （1，0），B （0，1），C （3，4） 设z =F （x ，y ）=ax +by （a ＞0，b ＞0），将直线l ：z =ax +by 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F （3，4）=3a +4b =7，可得17（3a +4b ）=1因此，3a +4b =17 （3a +4b ）（3a +4b ）=17（25+12b a +12a b ） ∵12b a +12a b ≥2√12b a ?12a b =24∴17（25+24）≥17×49=7， 即当且仅当a =b =1时，3a +4b 的最小值为7故选：D 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =ax +by 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =4时，z 最大值为3a +4b =7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a =b =1时，3a +4 b 的最小值为7． 本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z =ax +by 最大值为7的情况下求3a +4b 的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题． 2. 解：满足约束条件{x +y ?4＜0y ≥x x ≥0的可行域如下图所示
∵y?5x?1表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率 又∵k PA =5?41?0=1，k PB =5?22?1=-3， ∴y?5x?1的范围是（-∞，-3）∪（1，+∞） 故选A 画出满足约束条件的可行域，分析目标函数的几何意义，数形结合即可分析出目标函数的取值范围． 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中分析出目标函数的几何意义是表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率是解答的关键． 3. 解：由约束条件{y ≥0 y ?x +1≤0y ?2x +4≥0作出可行域如图， 由z =y -ax （a ≠0），得y =ax +z ， ∵a ≠0， ∴要使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个， a 不能为负值，当a ＞0时，直线y =ax +z 与线段AC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最大值的最优解有无数个； 直线y =ax +z 与线段BC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最小值的最优解有无数个．
MATLAB求解线性规划含整数规划和01规划问题.pdf
MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题 线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。如： max 712z x y =+ 9430045200s.t 310300,0 x y x y x y x y +≤??+≤??+≤??≥? 对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。 最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。 为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。 我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式： max 712z x y =+ 9430045200s.t 310300,0x y x y ???????? ? ??≤? ? ? ???? ? ???????≥? 于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。 求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。 打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：
对线性规划整点问题的探究(蒋政)
对线性规划整点问题的探究 一、精确图解法求整数最优解 ( 课本P88习题16 ) 某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？ 解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则 0x 70y 4x y 9 68x 106y 360x,y Z ≤≤??≤≤??+≤????+??≥?∈??即0x 70y 4 x y 94x 5y 30x,y Z ≤≤??≤≤? ? +≤??+≥?∈?? z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域， 作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252- >-4 5 , 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7， 2 5 ）处取到最小值，但A 不是整数解。 在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。 这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。 二、利用近似解估算整数最优解 (课本P63例4) 要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。 解：设需截取第一种钢板x 张，第 二种钢板y 张，则 2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N +≥??+≥? ? +≥??≥∈? 目标函数z=x+y, 如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。解方程组 x 3y 272x y 15+=?? +=? 得A （185，39 5） 但不是整数解， 规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 2018 16 14 12 10 8 6 4 2 -15-10-5 51015 x+y=12 x+3y=27 x+2y=18 2x+y=15 A B C D E x O y x+y=9 4x+5y=3 160x+252y=0 A B C D
简单线性规划问题教案
332简单线性规划问题 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简 单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视?线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益?它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题?中学 所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一一数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等 价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知 识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答?解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解?为突 出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题I 二、过程与方法 1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、 归纳等数学能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于 创新.
如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题
如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题 课本线性规划第二节，提到两个实际问题，一个要求将最优解精确到0.1，一个要求将最优解是整数，如果说师生们对例4的答案还可接受的话，那么，例3到最后四舍五入式的解答实在让人难以把握，况且最优解应为（12.3，34.5），那么关于这种最优解需要得到精确的题目有没有统一的解答步骤，我的回答是有。 在实际问题中，可行域一般都是一整片区域不存在间断现象，所以题目所要求的最优解无论精确到0.1还是精确到0.01，符合要求的最优解都确实存在在可行域中，我们要做的应该是把它找出来，而不是通过任何手段去精确。如何才能把它找出来呢？我的办法是，不考虑x、y需要精确的要求，先依其他条件列出不等式组，作出可行域，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否符合题目要求，若符合，则即为所求解．若不符合，则应继续滑动参照线，求出经过可行域内的符合要求的且与原点距离最远（或最近）的点的直线，在该线经过可行域的部分上寻找最优解即可。具体操作请看以下示范 课本例3、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t甲种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？ 解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么
104300542004936000 x y x y x y x y +≤??+≤?? +≤??≥?≥?? Z=600x+1000y 作直线l ：600x+1000y=0 即直线l ：3x+5y=0 把直线l 向右上方平移，使其划过可行域，此时3x+5y>0 当直线经过点M 3601000 (,)2929时3x+5y 达到最大,即z 也达到最大， 此时3x+5y=6080 29 ≈209.655, 若要将最优解精确到0.1，需将直线向回平移到3x+5y=209.6 由35209.649360 x y x y +=??+=? 得到3x+5y=209.6与可行域左边界的交点A （12.343,34.514） 由35209.654200x y x y +=??+=? 得到3x+5y=209.6与可行域右边界的交 点B （12.431,34.462） 可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.4 代入3x+5y=209.6得到纵坐标约为34.48，不符合题目精确到0.1要求
线性规划经典例题及详细解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥?? -+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件?? ? ??≤≥+-≥-.112,932, 22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大 解析： 图1
线性规划习题精讲
线性规划常见题型及解法 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围 是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△A B C的面积即为所求，由梯形OM B C的面积减去梯形OM A C的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0)取得 最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值
1用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题
用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题 线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量y x ,的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数by ax z +=的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线0=+by ax 来解决的，所以有下面的结论： (1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上. (2)若目标函数by ax z +=在两个不同的点B A ,处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线0=+by ax 与直线AB 平行(此时线段AB 一定是可行域的边界，且线段AB 上的所有点都是最优解). (3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值. 下面用这些结论简解几道线性规划题. 题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x ，y 满足约束条件?????x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3 解 B.题中的可行域为图1中的OAB ?(其顶点坐标分别是)0,2(),1,1(),0,0(B A O )及其内部的区域. 图1 再由结论(3)，可得3=a 或2.再检验，得2=a . 题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x ，y 满足约束条件?????x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0. 若z ＝
整数线性规划理论
整数线性规划理论 §1 概论 1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往 1.2 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.3 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 21min x x z += 0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：4 5min ,4 5,021===z x x 。LINGO1.lg4 LINGO11.lg4 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 21m i n x x z += 0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：2 3min ,23,021===z x x 。 若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。LINGO2.lg4 LINGO21.lg4 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.4 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行
线性规划整点问题
线性规划整点问题 1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不同的选购方式有多少种？（7） 2.配制,A B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需要甲料3mg，乙料5mg，配一剂B种药品需要甲料5mg，乙料4mg. 今有甲料20mg，乙料25mg，若,A B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法？(8) 3.有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根；现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根.问：如何切割可使钢条用量最省？ （()() 4,8,3,9） 4. 有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条3根；或截成长度为a的钢条3根，长度为b的钢条1根. (1)现需2根a长与1根b长配成一套，问按两种切割方式进行切割应满足的比例是多少? (2)如果长度为a的钢条至少需要50根，长度为b的钢条至少需要45根.问：如何切割 可使钢条用量最省？（1：4；()() 13,8,12,9） 5.某人有一栋楼房，室内面积共计2 m拟割成两类房间作为旅游客房，大房间每间 180, 面积为2 15, m可住游m可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2 18, 客3名，每名游客每天住宿费50元. 装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能注满客房，他应隔出大房间和小房间多少间，能获得最大效益?(()() 0,12,3,8) 6.某厂用甲、乙两种原料生产,A B两种产品，制造,A B一吨产品分别需要的各种原料 （1）在现有原料的条件下，如何组织生产才能使利润最大? （2）每吨产品B的利润限制在什么范围内变化，原最优解才会不改变？
整数线性规划word版
第三章 整数线性规划 本章, 我们介绍三种解决整数线性规划问题的软件: 第一种: MATLAB 中的optimization toolbox 中的若干程序; 第二种: LINDO 软件; 第二种: LINGO 软件. 1. MATLAB 程序说明 程序名: intprogram, L01p_e, L01p_ie, transdetobi, biprogram intprogram 是利用分支定界法解决整数规划问题, 是全部的整数规划问题; L01p_e 是利用枚举法解决0-1规划问题, 变量要求全部为0或者1; L01p_ie 是利用隐枚举法解决0-1规划问题, 变量要求全部为0或者1; Transdetobi 是枚举法和隐枚举法中利用到的将十进制数转化为二进制数的函数; Biprogram 是MATLAB6.5以上版本中有的求解0-1规划的函数的程序. intprogram 执行实例1： 12 121212max 2010s.t.5424 2513 ,0, f x x x x x x x x =++≤+≤≥ 且为整数 在命令窗口的程序执行过程和结果如下: >> c=[-20,-10]; %将最大转化为最小; >> a=[5,4;2,5]; >> b=[24;13]; >> [x,f]=intprogram(c,a,b,[0;0],[inf;inf],[],0,0.0001) % c,a,b 之后[0;0] is the value of low bound;[inf;inf] is the value of up bound;[] is the initialization;0 is the number of the equation constraints; 0.0001 is the concise rate. x = 4.0000 1.0000 f = -90 intprogram 执行实例2: 书中例题3.3.1 在命令窗口的程序执行过程和结果如下: >> c=[-1,-1]; >> a=[-4,2;4,2;0,-2]; >> b=[-1;11;-1];
使用单纯形法解线性规划问题
使用单纯形法解线性规划问题 要求：目标函数为：123min 3z x x x =-- 约束条件为： 123123 1312321142321,,0 x x x x x x x x x x x -+≤??-++≥?? -+=??≥? 用单纯形法列表求解，写出计算过程。 解： 1） 将线性规划问题标准化如下： 目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++ s.t.： 123412356 1371234567211 42321,,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-+=??-++=??≥? 2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下： 表一：最初的单纯形表 变量 基变量 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 1 -2 1 1 0 0 0 11 x 6 -4 1 2 0 -1 1 0 3 x 7 -2 0 1 0 0 0 1 1 -f -3 1 1 3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为： 表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表 变量 基变量 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 -7 5 1 -2 2 3
x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3 由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。 表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为： 表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表 变量 基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x43-20100-110 x60100-11-21 x3-20100011 -f-110000-1-1 4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。之后的单纯形 表为： 表四：第二次迭代后的单纯形表 变量 基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x43001-22-512 x20100-11-21 x3-20100011 -f-10001-11-2 5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。之后的单纯形 表为： 表五：第三次迭代后的单纯形表 变量 基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x4-7051-22017 x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。 结论： 综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。
线性规划最优解的几种可能情况
线性规划最优解的几种可能情况： 1.有唯一的最优解（可行域为封闭的有界区域、可行域为非封闭的无界区域） 2.有一个以上的最优解（可行域为封闭的有界区域、可行域为非封闭的无界区域） 3.无界解（目标函数无界，即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限 减小） 4.无可行解（可行域为空集） Min型与Max型单纯形表的唯一区别： 检验数反号 Min型单纯形表中 -当检验数均大于等于零时为最优； -令负检验数中最小的对应变量为换入变量。 Max型单纯形表中 -当检验数均小于等于零时为最优； -令正的检验数中最大的对应变量为换入变量。 ①②②③④⑤⑤⑥⑴⑵⑵⑶ 解的几种情况在单纯形表上的体现（Max型）： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线性规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个检验数大于零且换入变量对应的列中所有的分量皆非正，则线性规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并基变量中还存在非零人工变量时，则表明原问题无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。 4.2 对偶问题的基本性质 1.对称性对偶问题的对偶是原问题。 2.弱对偶性若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，则存在 求目标函数最大化时，在单纯形表中： ①如果检验数均非正，而b列中有负值，这时使用 对偶单纯形法； ②如果所有bi ≥0, 检验数有正值，使用 单纯形法: ③如果b列中有负值，且检验数中有正值，这时必须引入 人工变量，建立新的单纯形表，重新计算
整数线性规划
整数线性规划 【数学模型】 m in T x f x st. A x b ?≤ A eq x b eq ?= lb x ub ≤≤ i x 取值为整数 其中f , x , b , beq , lb 和ub 为向量，A 和Aeq 为矩阵。 【函数】 intprog 【说明】 在Matlab 中无求解整数线性规划的现成函数，利用Matlab 的线性规划函数linprog 来编写整数线性规划函数，输入与输出与linprog 类似，采用分枝定界法来实现。 Matlab 主程序intprog 如下： function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e) %整数规划求解函数 intprog() % 其中 f 为目标函数向量 % A 和B 为不等式约束 Aeq 与Beq 为等式约束 % I 为整数约束 % lb 与ub 分别为变量下界与上界 % x 为最优解，fval 为最优值 % 控制输入参数 if nargin < 9, e = 0.00001; if nargin < 8, ub = []; if nargin < 7, lb = []; if nargin < 6, Beq = []; if nargin < 5, Aeq = []; if nargin < 4, I = [1:length(f)]; end , end , end , end , end , end %求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解 options = optimset('display','off'); [x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options); if exitflag < 0 disp('没有合适整数解'); x = x0; fval = fval0; status = exitflag; return ; else %采用分支定界法求解
探讨线性规划整数最优解的调整
探讨线性规划整数最优解的调整 对于高中的二元一次不等式（组）与平面区域这个知识点是不难的，不过对于解题的规范性学生还是要加强的。在这里就和大家探讨必修五课本当中的一道关于线性规划要求整数解的问题。 例1：某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可以从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，问哪种生产安排利润最大？ 分析：这是一道典型的线性规划的问题，首先可以设甲，乙两种产品分别为x,y 件，从而列出约束条件。在这道题目中，所设的是产品个数的问题，那就要注意x,y ∈N +。 解：设甲，乙两种产品分别为x,y 件，由题意可得： ???????????∈≥≥≤≤≤++ N y x,0y 0x 164y 164x 8 2y x 接着还要求解第二问，这就涉及到了目标函数，设利润为Z ，则Z=2x+3y 。 当目标函数刚好与可行域交于点M （4,2）时，能使获得的利润最大，Z max =14(万元) M(4,2)
此题中的点M 是刚好为整数点，而假设M 不是为整数点时，那又应该如何寻找其最优解？接下来再以必修五课本的一道为例题. 评析：对于此道类型的题目求出来的最优解恰好能符合条件，难度没那么大，但是有些题目对于最优解还要再进一步进行讨论。 例2：要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 问题1：今需要A ，B ，C 三种规格的成品分别15,18,27，用数学关系式和图形表示上述要求。 问题2：各截这两种干板多少张可得所需A ，B ，C 三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 分析：这种也是典型的线性规划的题目，问题1难度就是读懂题目，然后根据题意列出约束条件；而对于问题2即是求最优解，而此题的最优解也是要取整数，而这个整数最优解相对上一题就较难点。 解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则 ?????????? ?∈≥≥≥+≥+≥++ N y x,0y 0x 27 3y x 182y x 15y 2x 则图形中的阴影部分的所有整数点就是可截的方法。接着还要求解问题 规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3
高中数学线性规划题型总结复习过程
高考线性规划归类解析 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条 件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥??≥??+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数 32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即 max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数 32z x y =+在点 (0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线22 4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 图2 图1 C
