直线与圆一
1．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2AB =别与l 相切于
A B ，点，C
是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与
线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．
2、圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．
3、由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1
B
．
C
D ．3
4、若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为2
2
,则a 的值为（ ） (A)-2或2
(B)2
32
1或
(C)2或0 (D)-2或0
5、若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为（ ）
（A ）??
?
??-72,73
（B ）??? ??-214,
72
（C ）??
?
??-72,73
（D ）??
?
??-
214,72
6、已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线
AB 的方程是
．
7、已知O 的方程是2220x y +-=，'O 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向O 和'O 所引的切线长相等，则运点P 的轨迹方程是__________________
8、若直线1x
y a
b
+=通过点(cos sin )M αα，
，则（ ）
A ．221a b +≤
B ．221a b +≥
C ．
22
111a b +≤ D ．
22
111a b +≥ 9、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3 B ．2 C ．13- D ．12
-
10、过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90
11、直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )
（Ａ）113
3
y x =-+ （Ｂ）113
y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）
1
13
y x =
+ 12、若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）
A ．
[ B ．( C ．[ D ．( 13、过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
A.16条
B. 17条
C. 32条
D. 34条 14、圆O 1:0222=-x y x ＋和圆O 2: 0422=-y y x ＋的位置关系是（ ）
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
15、圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ） A ．
(k ∈ B ．()k ∈-+
C ．(k ∈
D ．()k ∈-+
16、已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线
34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为
__________________．
17、直线l 与圆04222=+a y x y x －＋＋ (a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .
18、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ．
19、若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=
的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[
,
124ππ
] B.[
5,1212ππ] C.[,]63
ππ D.[0,]2π
20、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 。
有关直线与圆的几个典型例题
有关直线与圆的几个典型例题 本节内容在高考题中通常是通过选择题、填空题进行考查，在解 答题中往往是出现在第(1)小题中，考查的热点是求直线的方程， 两直线平行、垂直的关系，关于直线的对称问题，直线与圆的位置关 系及圆与圆的位置关系等。要熟练掌握求直线方程的方法，注意根据 已知条件灵活选择方程形式；在解决圆的有关问题时，要注意圆的儿 何性质的应用。 例1：在A ABC 中，已知顶点A(3,-l),过点B 的内角平分线所在 直线的方程为x-4y+10=0,过点C 的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,求顶点B 的坐标及BC 边的方程。 A + 3 J -1 解：设B 点坐标为(x,y),则AB 的中点E 的坐标为(丁'丁)， 因 E 在直线 6x+10y-59=0±, 乳 + 3 ??? 6 ? 2 +10 ? 2 -59=0,整理得 3x+5y-55=Oo 乂过点B 的内角平分线所在直线方程为x-4y+10=0o 戸+ "-55 = 0, |x = 10, 解方程组仍10丸得卜" ???B 点坐标为(10,5)。 6 设BC 边所在直线斜率为k, AB 边所在直线斜率k AB = 7，角B 平 _1 分线的斜率为忆。 例2：已知过点A(1J),且斜率为的直线/与x,y 轴分别 交于P 、Q 点，过P 、Q 作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R, S, 2 - 9 - = k ???BC 边所在直线方程为2x+9y-65=0o 评注：本题是关于求直线方程的例 题。 6 一 7 6 一 7
求四边形PRSQ 的面积的最小值。 丄 解:设直线1的方程为y-l=-m(x-l),则P 、Q 的坐标分别为(1 +也,0), (0,1 +m) o 1 m +1 m +1 /? PR 所在直线方程为y=2（x ?m ）,即x ?2y ?朋=0 丄 QS 所在直线方程为 y= 2 x+m+1,即 x-2y+2(m+l)=0。 | 2加十2十1十丄| 3十2眈十丄 m = m m +1 乂IPRI=怎,IQSI=品, ???四边形PRSQ 的面积为 (2 + -+m + 1) 3+2忍十丄2(购+丄尸十9⑻+丄)+ 10 . 〔。 〔 S=- ? ———?— =——世 ------------ 世—丄［(时丄)+分-丄, 2 75 10 5 4 80 丄 *.* m>0,?*. m+m $2, ?°?、勺 m=l 时，Smin=3.6。 故四边形PRSQ 面积的最小值为3.6o 评注：本题是关于直线的平行、垂直问题的例题 例3：根据下列条件求圆的方程： (1) 圆心在直线/］： 5x-3y=O 上，并且圆与直线伍：x-6y-10=0 相切于点P(4,?l)； (2) 圆过点P(-2,4), Q(3,-l),并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3) 圆心在曲线y 2=-18x ±,并且既与y 轴相切乂与圆 (x+2)2+(y- 3)2=l 外切。 解：(1)设圆心为C(3t,5t), 主十1 . 1 T PR//QS, |RS| = 75
(完整版)直线与圆知识归纳
直线与圆 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2 (tan π α≠ =a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式 能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则 c c f b b f a a f ) (,)(,)(的大小关系
例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ，试求2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为： 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角： ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o 直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：) 2 (π θθα≤ =
2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案
2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案 自主学习导引 真题感悟 1．(xx ·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断． 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 答案 A 2．(xx·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于 A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．1 解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2| 12＋3 2 ＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2 －d 2 ＝222 －12 ＝2 3. 答案 B 考题分析 圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点． 网络构建
高频考点突破 考点一：直线方程及位置关系问题 【例1】(xx·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2： 2x＋ay－2a－1＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [审题导引] 求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定． [规范解答] 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2， 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件； 当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合， 所以a＝1不满足题意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件． [答案] C 【规律总结】 直线与直线位置关系的判断方法 (1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2?k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2. (2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2?k1·k2＝－1；若两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．
直线与圆知识点总结
直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，π ππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ （答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k = ， 直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经 过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3) 的直线的点斜式方程是___________（答：1(2)y x -=-）；（2）直线(2)(21)(34)m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >） 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
直线与圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．
第1讲 直线与圆、圆锥曲线的方程与性质
第1讲直线与圆、圆锥曲线的方程与性质 [选题明细表] 知识点、方法题号 直线与圆2,3,13 圆锥曲线的定义与标准方程的应用1,7,8,9,14 圆锥曲线的几何性质5,10,11,16 圆锥曲线的离心率4,6,12,15 一、选择题 1.(2019·武汉模拟)已知F1(-3,0),F2(3,0),若点P(x,y)满足|PF1|- |PF2|=6,则P点的轨迹为( D ) (A)椭圆(B)双曲线 (C)双曲线的一支(D)一条射线 解析:F1(-3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6, 因为|F1F2|=6,则点P的轨迹是一条射线.故选D. 2.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l 的斜率为( A ) (A)1 (B)-1 (C) (D)- 解析:点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)
的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1,故选A. 3.(2019·合肥三模)已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=,则实数a的值等于( B ) (A)2或10 (B)4或8 (C)6±2(D)6±2 解析:由∠MPN=可得∠MCN=2∠MPN=. 在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=, 可得点C(3,-)到直线MN,即直线l:x-y-a=0的距离为2sin=1. 所以=1,解得a=4或8.故选B. 4.(2019·临沂三模)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+(y-2)2=2所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( B ) (A) (B)2 (C)(D)2 解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, 由对称性,不妨取y=x,即bx-ay=0. 圆x2+(y-2)2=2的圆心坐标为(0,2),半径为, 则圆心到渐近线的距离d==1,
直线与圆专题
直线与圆专题 1．已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( ) A ．R B.? ?????－∞，233 C.? ?? ??? －233，233 D.? ?? ???－233，0 2．在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则||MP 2＋|| MQ 2的值为( ) A.102 B. 10 C ．5 D ．10 3． 已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，现给出下列四个命题： p 1：?k ∈R ，l 与C 相交； p 2：?k 0∈R ，l 与C 相切； p 3：?r >0，l 与C 相交； p 4：?r 0>0，l 与C 相切． 其中真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 4．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有????OA →＋OB →≥3 3??? ?AB →，那么k 的取值范围是( ) A.( )3，＋∞ B. [) 2，＋∞ C. [) 2，2 2 D. [ ) 3，2 2 5．与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条
6．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：() x ＋m 2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( ) A ．3 B ．4 C ．2 3 D ．8 7． 若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是( ) A ．2 2 B. 2 C. 2 2 3 D. 23 8．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A.???? ??34，2 B.? ???? －∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞) D ．[1,2] 9．已知点Q ()－1，m ，P 是圆C ：(x －a )2＋() y －2a ＋42＝4上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为x 2＋() y －12＝1，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为2 2，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．[2－3，2＋3] B ．[－2－3， 3－2] C ．[－2－ 3，2＋ 3] D ．[－2－ 3，2－ 3] 11．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长， 则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10 12． 在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若 AP →＝λAB →＋μAD → ，则λ＋μ的最大值为( )
2019年高考数学(文科)二轮复习专题5 第1讲 直线与圆
2 x B 第 1 讲 直线与圆 高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考 的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判 断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题. 真 题 感 悟 1.(2016· 全国Ⅱ卷)圆 x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0 的圆心到直线 ax ＋y －1＝0 的距离为 1，则 a ＝ ( ) 4 A.－3 C. 3 3 B.－4 D.2 解析 圆 x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0 化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4). 由题意得 d ＝ |a ＋4－1| a 2＋1 4 ＝1，解得 a ＝－3. 答案 A 2.(2016· 山东卷)已知圆 M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线 x ＋y ＝0 所得线段的长度是 2 2，则 圆 M 与圆 N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1 的位置关系是( ) A.内切 C.外切 B.相交 D.相离 解析 圆 M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为 x 2＋(y －a )2＝a 2， a a 2 由题意，d ＝ ，所以有 a 2＝ 2 ＋2，解得 a ＝2. 所以圆 M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交. 答案 B 3.(2016· 全国Ⅰ卷)设直线 y ＝x ＋2a 与圆 C ：2＋y 2－2ay －2＝0 相交于 A ， 两点，若|AB |＝2 3，
初中直线与圆的位置关系经典练习题
圆与直线的基本性质 一、定义 [例1]在ABC Rt?中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？ （1）r=2cm； （2）r=2.4cm； （3）r=3cm。 [例2]在ABC ?中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？ [变式题]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【】 A．相切B．相离C．相离或相切 D．相切或相交 二、性质 例1：如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A．40°B．50°C．60°D．70°变式1：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=【】 A． 30B． 45 C． 60D．67.5 例3：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【】 A．80° B．110° C．120° D．140° 变式2：如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝°． 例5：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．
变式3：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为cm2．例7：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N． （1）求证：OM=AN； （2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．变式4：如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF 于点H，交⊙O于点C，连接BD． (1)求证：BD平分∠ABH； (2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离． 三、切线的判定定理： 例1：如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条 切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC=2，BC=3，求AB的长．
2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《五 第1讲 直线与圆(小题)》
第1讲直线与圆(小题) 热点一直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式
(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2 (A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (A 2 ＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1 B.－2 C.1或－2 D.－32 答案 A 解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得??? －11＋m ＝－m 2， 2 1＋m ≠－2 解得m ＝1. 综上可得m ＝1. (2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0 答案 C 解析 如图所示可知A (2，0)， B (1,1)， C (0，2)， D (－1,1)，
高中数学必修二直线与圆的综合问题
直线与圆一．解答题（共10小题） 1．已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2． （1）求圆C的方程； （2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程． 2．已知直线l：y=x+2被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径． （1）求圆C的方程； （2）已知直线m：y=x+n被圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n的方程；若△CDE的面积没有最大值，说明理由． 3．已知M（4，0），N（1，0），曲线C上的任意一点P满足：?=6|| （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）过点N（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，交y轴于H点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由． 4．已知动圆P与圆F1：（x+2）2+y2=49相切，且与圆F2：（x﹣2）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N 两个不同的点，求△QMN面积的最大值． 5．已知动圆P过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）过点D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线C于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且．固定边AB， 在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C 的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线Γ的方程； （Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．7．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上． （Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程； （Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值． 8．已知圆M：x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程； （2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率k1，k2，满足k1k2=4，求△ABC面积的最大值． 9．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点． （1）求k的取值范围； （2）请问是否存在实数k使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．
直线与圆知识点及经典例题
圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。 说明： 1 、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，只要三个量确定了且〉0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程 将圆的标准方程, 展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成: 问题：形如的方程的曲线是不是圆 将方程左边配方得： (1)当〉0时，方程(1 )与标准方程比较，方程表示以为圆心,以为半径的圆。, (3)当v 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 当〉0时，方程称为圆的一般方程? 圆的一般方程的特点： ( 1 )和的系数相同,不等于零； ( 2)没有xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 ( 1 )相离--- 求距离；(2) 相切--- 求切线；( 3)相交--- 求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： ( 1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ( 2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断：当d>r时，直线与圆相离；当 d = r时，直线与圆相切；当d
《直线与圆的位置关系》典型例题
《直线与圆的位置关系》典型例题 例1在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？ （1）r=1cm；（2）r=cm；（3）r=2.5cm． 例2 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值． 例3如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使R t△PBC∽R t△APD？
例4如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切. 例5已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.
参考答案 例1分析如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可． 解：过C点作CD⊥AB于D， 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2 ， ∴AB·CD=AC·BC， ∴， （1）当r =1cm时CD＞r，∴圆C与AB相离； （2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切； （3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交． 说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系． 例2 解：过C点作CD⊥AB于D， 在R t△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2 ， ∴AB·CD=AC·BC， ∴， （1）∵直线AB与⊙C相离，∴0r
第1讲 直线与圆(作业)
第1讲直线与圆 A组基础题组 1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知圆(x-1)2+y2=1被直线x-y=0分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为( ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5 3.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( ) A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8 C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=8 4.(2017南昌第一次模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则cos∠AOB=() A. B.- C. D.- 5.(2017合肥第一次教学质量检测)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为( ) A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0或x=0 C.4x-3y+9=0或x=0 D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 6.圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是. 7.过点M的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程 为.
8.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则|MP|= . 9.已知圆C过点P(1,1),且圆C与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称. (1)求圆C的方程; (2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值. 10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程; (2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标. B组提升题组
2019-2020年高三数学二轮复习专题五第1讲直线与圆教案
2019-2020年高三数学二轮复习专题五第1讲直线与圆教案 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断． 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 答案 A 2．(2012·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于 A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．1 解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2| 12＋3 2 ＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2 －d 2 ＝222 －12 ＝2 3. 答案 B 考题分析 圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点． 网络构建
高频考点突破 考点一：直线方程及位置关系问题 【例1】(2012·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [审题导引] 求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定． [规范解答] 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2， 所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件； 当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1. 当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合， 所以a＝1不满足题意，即a＝0. 所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件． [答案] C 【规律总结】 直线与直线位置关系的判断方法 (1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2?k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2. (2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2?k1·k2
直线与圆位置关系知识点与经典例题
直线与圆位置关系 一．课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。 二．知识框架 相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理 相切 直线与圆 代数法 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程 三．直线与圆的位置关系及其判定方法 1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判 定。 （1）?
（位置关系）1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:2 2=+-y x C ，试问k 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？ （位置关系）2.已知点),(b a M 在圆1:2 2 =+y x O 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是（） A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 （最值问题）3.已知实数x 、y 满足方程0142 2 =+-+x y x ， （1）求 x y 的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值； （3）求2 2 y x +的最大值和最小值。 〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。①转化为求斜率的最值；②转化为求直线b x y +=截距的最大值；③转化为求与原点的距离的最值问题。 （位置关系）4.设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(2 2 =-+-y x 相切，则n m +的取值围是（） （位置关系）5.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值围是 6．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、 6π B 、4π C 、3π D 、2 π （位置关系）7．圆01222 2 =+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 2 1+ D ．221+ （最值问题）8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 9．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆 C 的方程为（ ） A ．0322 2 =--+x y x B ．042 2=++x y x C ．0322 2 =-++x y x D ．042 2 =-+x y x
讲义_直线与圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l
上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A