量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案
红色为我认为可能考的题目
一、填空题：
1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。
2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。
3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。
4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。
二、简答题：
1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。
2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？
答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。
3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？
答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。
三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。
四、计算题。
1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，
计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知
)()(?0
r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r
πε=-（）
)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r
Ze r U 024)(πε-=
在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞
-=r Edr e r U )(
???
????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102
003003303
420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε
??∞
--=0
)(r r r
Edr e Edr e r U
??
∞
-
-
=00
20
2
3
002
144r r r
dr r Ze rdr r Ze πεπε
)3(84)(82
203
020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ??
???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022
2030020r r r r r
Ze r r r Ze r U r U H πεπε
由于0r 很小，所以)(2??0
22
)0(r U H H +?-=<<'μ
，可视为一种微扰，由它引起 一级修正为（基态03(0)
1/2100
30
()Z
r
a Z e
a ψπ-=） ?∞
'=τψψd H E )0(1
*
)0(1)1(1? ?
-+--=0
00
22022
203
023
3
4]4)3(8[r r a Z
dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故10
2≈-
r a Z e 。
∴ ?
?
+--=0
3
02
40
4
2
20
3
3002
4)
1(1
)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E
πεπε
20
30024505
030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2
3002410r a e Z πε= 2
03
2452r a e Z s = 第三题
其相应的久期方程：
6.2 求自旋角动量在任意方向n )cos ,cos ,(cos γβα的投影 ?n
S 的本征值和本征函数。
解：在z S ? 表象，n S ?的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102????? ??-+???? ??-+???? ??= i i S n ???
? ??
-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n )cos (cos cos --βαλγ i
即：
由归一化条件得：
)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγλ 0422=- λ)1cos cos cos (2
22=++γβα利用2 ±
=λ所以n
S ?的本征值为2 ±。 设对应于2
=n S 的本征函数的矩阵表示为???
? ??=b a S n )(21χ，则 ???? ??=???? ?????? ??-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2 γβαβαγb i a -+?βαc )cos (cos γ
β
αcos 1cos cos ++=i b 22**),(12
1
21b a b a b a +=???? ??==+χχ1cos 1cos cos 22
2=+++a i a γβα1
cos 122
=+a γ取 2cos 1γ+=a
，得 )
cos 1(2cos cos γβ
α++=i b 12
()
n S χ?? ? ?=21
10)(21-=???
?
=χS n 同理可求得 对应于2 -=n S 的本征函数为
??
???
? ??-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n