高中数学第四章函数应用42实际问题的函数建模422用函数模型解决实际问题教案北师大版必修1(数学教案)

4.2.2用函数模型解决实际问题

【教学目标】

1．知识与技能

（1）学会用函数的知识解决实际问题的基本方法和步骤。

（2）区分不同函数所代表的不同变化趋势，懂得根据不同条件去选取不同函数来解决问题。

2．过程与方法

（1）培养学生的观察、分析和猜想证明的能力。

（2）加强学生对数学的应用意识和应用能力。

3．情感、态度与价值观

（1）培养学生认真参与、积极交流的主体意识，提高学生的团队精神。

（2）培养学生用“数学”的眼光观察周围事物。

【教学重点】

1．如何根据实际问题的表述，设出变量，列出函数关系式

2．用待定系数法求出适当的拟合函数

【教学难点】根据题目中的数据画出散点图确定函数模型

【教学方法】

利用多媒体教学手段，教师引导启发，学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。

【课前准备】

①多媒体课件；②坐标纸

【教学过程】

【课前预习】阅读教科书P140~P142,尝试完成下题：

1．某同学为了援助失学儿童，每月将自己的零用钱一相等的数额存入储蓄盒内，准备凑够200元时一并寄出，储蓄盒里原有60元，两个月后盒内有90元。

（1）盒内的钱数（元）与存钱月份数的函数解析式，并画出图象。

（2）几个月后这位同学可以第一次汇款？

【课堂互动】

[复习回顾]要求学生回忆所学函数，并在教师的引导下得出如下一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数模型。

[互动过程1]

例1．某公司一年需要一种计算机元什8000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为x/2件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？

解：无论分几次进货．公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．

设购进8 000个元件的总费用为F，一年总库存费为E，手续费为H．其他费用为C(C

为常数)．则18000800025002=?=?=E x,H x x n

,， 所以F=E+H+C=122x ?

8000500x +?C + =8000500n C n ++=16500n C n ()++

=25004000C ++≥4000C +

=，即n=4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜。

[互动过程2]

例2．电声器材厂在生产扬声器的过程十，有一道重要的工序：使用AB 胶粘合扬声器十的

磁钢与夹板．长期以来，由于对AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多．胶水外溢；或用胶过少．产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据(见表4—3)．

现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系.

解：我们取磁钢面积x 为横坐标、用胶呈y 为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出图4—11．

从图十我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y=ax+b 表示用胶量与磁钢面积的关系．

取点(56.6，0.812)，(189.0，2.86)，将它们的坐标代入y=ax+b ，得方程组：

08125662861890a b a b

....=+??=+?，解得：a=0.01547，b=－0.06350.这条直线是y=0.01547x －0.06350.

思考：如果取另外两点代入y=ax+b ，会得到不同的直线，哪条直线更恰当?

在实际问题中还要提出误差要求，用其他已知数据或新测数据与直线比较，检验误差，符合要求即可．

[课堂练习]

1．某商店进了一批服装，每件进价为60元．每件售价为90元时，每天售出

30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出l 件．请写出利润(元)与售价(元)之间的函数关系式，当售价是多少元时，每天的利润最大?

[课堂小结]

1．通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些

点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中．很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．

2．从以上两个例子可以看出，利用函数模型解决实际问题大体可分为三个步骤：（1）阅读

理解：数学应用题通常已经过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在我们面前，要求做题时读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质。（2）数学建模：将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学表达式表示出来。（3）数学求解：根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答。

【作业布置】1.课本P148A 组1，2。

2．学案《达标检测》

1．某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，

对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为()221500x x x H -=，其中x 是产品销售的数量（0≤x ≤500）。

（1）若x 为年产量，y 表示利润，求y=f(x)的表达式。

（2）当年产量为何值时，工厂的利润最大，其最大值是多少？

（3）当年产量为何值时，工厂有盈利（已知65.45625.21=）？

分析：解决本题需要明确两点：（1）围绕“利润=销售收入-投入”建立函数模型；（2）由于年产量不定，所以本题应为分段函数。当年产量大于500时，年销量最大值为500部。

解：（1）由题意，得 y=()()?????≤≤??? ??+--??? ??+-?-?50001002500500021500500100250050005002150050022x x x x x x =()()???≤≤-+--5000500047521500251200002x x x x x

（2）当x>500时，函数为减函数。

当0≤x≤500时，由y=

()5.

107812

475

2

1

5000

475

2

12

2+

-

-

=

-

+

-x

x

x可知，当年

产量为475部时，工厂的利润最大，其最大值是107812.5。

（3）解不等式组

()

()

?

?

?≤≤

-

+

-

-

500

5000

475

2

1

500

25

120000

2x

x

x

x

x

（x∈z）可得，当｛x∣10

时工厂有盈利

【注】实际问题得以解决的关键是在阅读理解的基础上，建立数学模型，根据实际情况确定定义域，然后再由函数特点选择解法。

2．假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8％）。计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式。（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x的范围。

解：在收购价格没有改变的前提下，收购量由m万担增加到m（1+2x％）万担；税率由8％降低到（8-x）％。因此

（1）y=120m（1+2x％）（8-x）％=

()

400

42

125

3

2-

+

-x

x

m

（0

（2）原计划税收为120m×8％，因此

()

400

42

125

3

2-

+

-x

x

m

≥120m×8％×78％

解上式，得｛x∣-44≤x≤2｝，故x的范围为：｛x∣0≤x≤2｝。