一元二次方程与一元二次不等式的解法
一元二次方程、二次函数与一元二次不等式
【基础知识回顾】
1.一元二次方程的一般形式：()002≠=++a c bx ax ①其中c b a ,,为常数，x 为未知数。 根的判别式：ac b 42
-=?
一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：0?时，方程①有两个不相等的实根。
求根公式：在0≥?时，方程①的实根a
ac
b b x 2422,1-±-=
2.二次函数的一般形式：形如()02
≠++=a c bx ax y 其中c b a ,,为常数，x 为自变量。
顶点坐标为???? ?
?--a b ac a b P 44,22，其中直线a b
x 2-=为对称轴， （1）0 的图象开口向下，函数c bx ax y ++=2 在a b x 2- =取到最大值，即a b ac y 442max -=，对任意a b a c y R x 44,2-≤∈. （2）0>a 时，函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，函数c bx ax y ++=2 在a b x 2- =取到最小值，即a b ac y 442min -=，对任意a b a c y R x 44,2-≥∈. 3.二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数的判断： 0 0=?时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相切，有且只有一个交点； 0>?时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点。 4.二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a 的正负）、对称轴、?. 5.二次不等式的概念：形如()002 ≠≠++a c bx ax 其中连接c bx ax ++2 与0的不等号可以 是><≥≤,，， 或≠. 【典型例题】 【类型一】一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的解法 【方法一】求根公式法 步骤：①计算?；②若0 ac b b x 2422,1-±-=. 【例1】求解下列方程. （1）0442 =-+x x （2）0122 =-+x x 【练习】解下列方程. （1）03522 =-+x x （2）862 =-x x 【方法二】十字相乘法 利用十字相乘法求解方程()002 ≠=++a c bx ax 的前提条件是：0≥?，也就是保证方程 ()002≠=++a c bx ax 必须有实根. 十字分解依据：对于方程()002 ≠=++a c bx ax 而言，c b a ,,均为整数。当0>ac 时，将 ac 分解为两个约数之和为b ；当0 【例2】求解下列方程 （1）0862 =+-x x （2）01522 =--x x （3）0151122 =++x x （4）02532 =-+x x 【练习】解下列方程 （1）2082 =-x x （2）02522 =++x x 【方法一】公式法 ①0 在a b x 2-=取到最大值，即a b a c y 442 max -=，对任意 a b a c y R x 44,2 -≤∈. ②0>a 时，函数c bx ax y ++=2 在a b x 2-=取到最小值，即a b a c y 442 min -=，对任意 a b a c y R x 44,2 -≥∈. 【方法二】配方法 2 2222 2222??? ??-+??????? ???? ??+??+=+??? ??+=++=a b c a b x a b x a c x a b x a c bx ax y a b ac a b x a 44222 -+ ??? ? ? += 【例3】求下列函数的最值 （1）1662-+=x x y （2）5322+-=x x y （3）652 +--=x x y （4）5632 ++-=x x y 【练习】求下列函数的最值 （1）842+--=x x y （2） 三个两次之间的关系 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 △ 三个二次 x1x2 图象 x1= x2 根 无解解集 解集 基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间） 【例4】解下列不等式 （1）；（2）； （3）；（4） 【练习】（1）不等式的解集是. （2）不等式的解集是. （3）不等式的解集是 . （4）不等式的解集是 . 【类型四】分式不等式的解法 解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）： 【例5】解下列不等式 （1）；（2）； （3）；（4） 【练习】求解下列不等式 （1）；（2）； 【课后作业】 1.解下列方程 （1）（2） （3）（4） 2.不等式的解集是. 3.不等式的解集是 . . . . 4.不等式的解集是. 5.不等式的解集是. 6.在下列不等式中，解集是的是 7.不等式的解集是. 8.不等式的解集是. 9.不等式的解集是. 10.解下列不等式或方程 （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）； 11.已知集合，集合，则下列式子中正确的是（） 错误! 12.当时，函数取到最值. 一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念： 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集： 一般地，几个不等式的解集的 公共部分 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表： 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式组的概念 1. （2017春雁塔区校级月考）下列不等式组：①???<->32x x ，②???>+>420 x x ，③???>+<+4 2122x x x ， ④???-<>+703x x ，⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 题型2：考察一元一次不等式组的解法 2.（2018春天心区校级期末）不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 3.解下列不等式组，并在数轴上表示解集： ! （1）?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x （2）?????≥-+->-154245 3312x x x x （3）?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x （4）?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x — （5）?????-<+-<-2322125.05.7x x x x （6）?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ！ 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \ 方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案 一、选择题 1．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=144 【答案】D 【解析】 试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ）， 2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2， 即所列的方程为100（1+x ）2=144， 故选D ． 点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( ) A ．168(1＋a %)2＝128 B ．168(1－a %)2＝128 C ．168(1－2a %)＝128 D ．168(1－a 2%)＝128 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元， 第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2； 故选B. 3．将方程()2 2230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ） A ．1和3 B ．-1和3 C ．1和4 D ．-1和4 【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得x 2-2x=3， 配方得x 2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4． 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1且系数不为0的不等式，称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项： ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数，去分母后分子是多项式时，分子要加括号。 ②系数化为1时，注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1：考察一元一次不等式的概念 1. （2017春昭通期末）下列各式：①5≥-x ；②03<-x y ；③05<+πx ；④ 32≠+x x ； ⑤x x 333≤+；⑥02<+x 是一元一次不等式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.（2017春启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.（2017春寿光市期中）若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2：考察一元一次不等式的解法 4. （2016秋太仓市校级期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）)21(3)35(2x x x --≤+ （2）2 2531-->+ x x 5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.（2016秋相城区期末）若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时，求x 的取值范围。 7. （2017春开江县期末）请阅读求绝对值不等式3 §2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 导学目标： 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~ P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 【知识点一】一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<()0a ≠ 自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A ．22 20a x x +≥ B ． 2 1 3x < C ．20x x m -+-≤ D ．32 410x x x +-+> 【知识点二】一元二次不等式的解法 下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y < 当x 取 时，0y > 由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为 有何发现： 第二章 一元二次函数、方程和不等式 - 2 - （3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式()2 00ax bx c a ++>≠ 与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ． （3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 自我检测3：不等式2 50ax x c ++>的解集为1 13 2x x ??<≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ． （2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ． 初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点 一、选择题 1．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a=1 C ．a ＜1 D ．a<1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】 由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围． 【详解】 解：由于原方程是二次方程，所以a≠0； ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1； 综上，可得a≠0，且a ＜1； 故选D ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?方程有两个相等的实数根； (3)△＜0?方程没有实数根． 2．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ． 【详解】 解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0 常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞? 九年级数学第十周拓展训练（部分习题选自《新思维》）（2017.11.5） 1．（永州）抛物线122-++=m x x y 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是----（ ） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．0＜m≤2 D ．m ＜﹣2 2.(陕西)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图 （ ） x … 1- 0 1 2 … y … 1- 47- 2- 4 7- … A.只有一个交点 B.有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C.有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D.无交点 3.（宜昌）已知抛物线122+-=x ax y 与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是------（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 4．（南宁）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 和正比例函数x y 3 2=的图象如图所示，则方程0)3 2(2=+-+c x b ax 的两根之和-------------------------------------------------------（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不能确定 5.（安徽）如图，一次函数x y =1与二次函数c bx ax y ++=22的图象相交于P 、Q 两点，则函数 c x b ax y +-+=)1(2的图象可能为-----------------------------------------------------（ ） 6.（绵阳）若)(,2121x x x x ＜是方程)(1))((b a b x a x ＜=--的两个根，则b a x x ,,,21的大小关系（ ） A. b a x x ＜＜＜21 B. b x a x ＜＜＜21 C. 21x b a x ＜＜＜ D. 21x b x a ＜＜＜ 7.（泰安）二次函数bx ax y +=2 的图象如图所示，若一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，则m 的最大值为-----------------------------------------------------------------------------（ ） A.-3 B.3 C.-6 D.9 第4题 第5题 第7题 怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习 初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1)） 设计：吴兵 审校：蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________ 一、知识点 1.二次函数与一元二次方程之间的关系是通过 与 的交点来体现的:若抛物线0(2 ≠++=a c bx ax y ）与x 轴的交点为(m ,0)、(n ,0),则对应的一元二次方程 02=++c bx ax 的两根为 . 一元二次方程根的情况对应决定着抛物线与x 轴的交点个数. （1）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点, 02 =+ +c bx ax ac b 42- 0； （2）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个交点， 02 =++c bx ax ac b 42- 0； （3）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点, 02 =++c bx ax ac b 42- 0. 2.抛物线与直线的交点: ①二次函数图象与x 轴及平行于x 轴的直线； ②二次函数图象与y 轴及平行于y 轴的直线； ③二次函数图象与其它直线(不平行于坐标轴,即一次函数图象). 3.根据示意图求一元二次不等式的解集. 二、典型例题 不画图象，你能判断函数 的图象与x 轴是否有公共点吗？请说明理由。 三、适应练习 1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ． 2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的 交点有 个，其坐标是 ． 3、下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ） 62 -+=x x y 0542 =-+x x 025102=-+-x x 25102 -+-=x x y 542 -+=x x y 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞U ； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123 x x x -<---（答：()()1,12,3-U ）； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞U ）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系(第8课时) 知识回顾： 1如图填空：（1）a____0 2）b___0 （3）c___0 （4）b 2－4ac____0 2如图一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝3 的解为_________________ 探究实践： 例1．画出函数322 --=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么 （2）当x 取何值时，y=0这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系 （3）x 取什么值时，函数值y 大于0x 取什么值时，函数值y 小于0 例2、关察图像回答下列问题: 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空：（1）a ＋b ＋c___0 （2）a －b ＋c_____0 （3）2a －b __0 ②如图2a ＋b _______0 4a ＋2b ＋c_______0 2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________； （2）方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________； （3）方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________； （4）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________； （5）不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________． 课内练习： 1、根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0； （6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0； （8）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________； （9）当y ＞0时，x 的范围为___________； （10）当y ＜0时，x 的范围为___________； 第4节从函数的观点看一元二次方程和 一元二次不等式 知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1， x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝ x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2 或x＜x1}?? ? ? ? ? x|x≠－ b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 ab (x－a)·(x－b)>0{x|x (1)f (x ) g (x )>0(<0)?f (x )·g (x )>0(<0). (2)f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒] 1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形. 3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c >0或???a >0，Δ<0. (2)不等式ax 2 ＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c <0或???a <0， Δ<0. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( ) (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( ) 解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为?. (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为?. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.(必修5P103A2改编)已知集合 A ＝???? ?? x ???12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==； 二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点 横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛 物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： - 2 - 一元二次不等式的解法 一、选择题 1．不等式x 2＜3x 的解集是 ( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．R D ．{x |0＜x ＜3} 2．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 ( )． A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．? 3．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则 ( )． A ．a ≥1 B ．a ＜－1 C ．a ＞－1 D ．a ∈R 4．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则?U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2} 5．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为? ??? ?? x ?? 13 ＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6 6.已知集合M ＝? ????? ??? ?x ??? x ＋3 x －1＜0，N ＝{} x | x ≤－3，则集合{x |x ≥1}等于 ( )． A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R (M ∩N ) D ．?R (M ∪N ) 7．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若 每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( )． A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 9．关于x 的不等式a －x x ＋b ＜0, a ＋b ＞0的解集是 ( )． A ．{x |x ＞a } B ．{x |x ＜－b ，或x ＞a } C ．{x |x ＜a ，或x ＞－b } D ．{x |－b ＜x ＜a } 10．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )?(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．－12＜a ＜32 D ．－32＜a ＜1 2 11、函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 12、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表： 13、设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________． 14、关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________． 15、不等式(3x －4)(2x ＋1) (x －1)2 <0的解集为________． 三、解答题 16、解不等式1）－2x 2＋103x －1 3＞0； 2)x －1x －2≥0； 3)2x －13－4x ＞1. 二次函数与一元二次方程及不等式 一，二次方程基础概念 当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++= 其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1． 根的判别式24b ac ?=- ?＞0时，方程有两个不相等的实数根； ?＝0时，方程有两个相等的实数根； ?＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根． 2． 根与系数的关系（韦达定理） 12b x x a +=- 12c x x a = 二次方程根的分布 根的位置<=>图象位置<=>等价条件 20ax bx c ++=（0a >） 三、一元二次不等式 一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围． 0? > 0?= 0?< a 1，例题： 选择题 ①2 =++对任意实数t都有(2)(2) () f x x bx c +=-，那么（ A ） f t f t A．(2)(1)(4) << f f f f f f < ② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a > B ．11a -<< C ．R a ∈且0a ≠ D ．1a <-或1a > ③ 已知函数y ＝log 2 1（x 2－6x ＋7），则y （ D ） A ．有最大值没有最小值 B ．有最小值没有最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．没有最大值也没有最小值 填空题 ①方程22||(R)x x a a -=∈有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______． 解：令212||y x x =-，2y a = 则2 122(0) 2(0) x x x y x x x ?-?=?+一元一次不等式组的解法常考题型讲解
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案
一元二次不等式及其解法教学设计
一元一次不等式及其解法常考题型讲解
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案
初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点
常见不等式通用解法
二次函数与一元二次方程不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程和不等式教学提纲
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
高中数学 考前归纳总结 常见基本不等式的解法
次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
基本不等式求最值的类型与方法,经典大全
一元二次不等式及其解法例题分类
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
一元二次不等式的解法
二次函数与一元二次方程及不等式