如何学好函数极限连续
如何学好《高等数学》
一、《高等数学》是干什么的？
1、《高等数学》是科学计算的工具。
2、《高等数学》培养我们的逻辑思维、逻辑推理、空间想象力。
3、《高等数学》培养我们：把无序的问题化为有序问题。
二、如何解决问题？
在我们阅读试题时，研究：
1、试题中的每一句话是什么意思？给我们带来什么结果？
2、本题要解决什么问题？
3、解决这个问题有几个途径？每一个途径（方法）需要什么条件？
4、结合已知条件，选择合适的方法、公式进行论证、计算。
三、在学习过程中我们要做什么？
1、弄懂基本概念：
1）概念是怎么形成的？
（规定的名词？图形特征？过程描述？）
2）概念说明了什么问题？解释了什么现象？
3）概念中所阐述的几何意义是什么？（在几何图形中的意义与作用）4）概念的数学特征（表达式）是什么？
2、掌握基本定理与基本公式：
定理，是经过证明论证的正确结论。
学习定理，一定要清楚：定理解决什么问题？
定理需要的条件是否满足？
定理的结论的表达式？
学习公式，要：理解公式中每个字母的含义，
公式规则，
逆向书写（思考、使用）
3、掌握一些特殊问题的解决技巧，可以帮助我们更好、更快地突破难点。
4、及时补充基础知识，否则，我们解决问题的思维受阻。
5及时总结每一章、每一节、每一单元的知识点与解决问题的方法、规则、技巧。
6、实践一下，检验我们的学习成果。练习与作业是我们必须完成的。
四、高等数学的基本知识
1、关于函数的问题
1）理解函数的意义
什么是函数？简单说来，函数就是变量之间的某一种对应关系（也叫：计算规则）
至于用什么字母来表示，那是另当别论。比如：
2
()3()2()1
f=-+（对应关系）=-+，它的计算规则是：2
y x x
321
这个结果用y表示，则称：y是x的函数；
这个结果用u表示，则称：u是x的函数。
2）真正明白：什么是函数的定义域、对应关系。
什么是定义域？定义域是使函数有意义（能求得函数值）的自变量（x本身）的取值范围。比如：
已知函数(1)
f x-的定义域。
-求：(1)
f x+的定义域为：[1,3].
分析：1、“(1)f x +的定义域为：[1,3].-”告诉我们什么？
(1)f x +中的x 的取值范围是：13x -≤≤ (1)f x +中的(
)的取值范围是：0(1)4x ≤+≤
2、“(1)f x -中的x 与(1)f x +中的x 意义相同吗？不同！ 这两个函数什么没有变化？()的取值范围不变！ 因此，在(1)f x -中，()的取值范围是：0(1)4x ≤-≤
3、“求：(1)f x -的定义域”是什么意思？ 这是求：在(1)f x -中的x 的取值范围！ 怎样转换？0(1)4x ≤-≤，15x ∴≤≤。
这就解决了函数(1)f x -的定义域是：[1,5]x ∈。
2、研究函数的什么？
1）表达式：
2）图形：（这个很重要哦！）
通过图形，我们才能掌握函数的基本特征：定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性、有界性、特殊值、对称性。 3）函数的基本性质：
（1）单调性：（图形特征）对于某区间内的任意两点．．．．1212,()x x x x <
（2）奇偶性：（图形特征）
前提是：函数的定义范围必须关于原点对称（否则谈不上奇偶性）。
~单调增加函数
单调减少函数~
（3）周期性：
l 是与x 无关的常数。
最小的正数l 这叫做：周期
（4）有界性：
存在两个常数,m M ，使得
函数()f x 在区间 内满足：
()m f x M <<。
有界函数的“界”不是唯一的。
3、基本初等函数：（注意函数的表达式、函数的图形）你记住了吗？ 包括：常函数：y c =
幂函数：y x μ=
()()
f x f x -=()()
f x f x -=-偶函数
奇函数
T (,)a
b
指数函数：(0,1)x y a a =>≠
对数函数：log (0,1)a y x a =>≠
三角函数：sin ,cos ,tan ,cot y x x x x =
反三角函数：1111sin ,cos ,tan ,cot y x x x x ----=
1
o
M
M M M M
a b m
n
b a b
c a
M M R M M M N M N
M
N M N M MN N M a a M x M a e M a n a b a c c a a a a
a a a a a a a a x a m ln log lg log 65log log ;log 1log )
1,0(log log log 4)
,0(log log )0,0(log log log )
0,0(log log log 3,01log ;1log 21)0(log ~110log =====-≠>=
∈>=>>=->>=+==≠>==，：、常用对数与自然对数、恒等式：常见的结论：、换底公式：、公式：零和负数没对数。、性质：，、定义式：λλλ)
0()(||)
0(/1)0(1/)/()()(/22
10≥==>==≠======--+a a a a a a a
a a
a a a
b a b a b a ab a a a a a a a a m
n m
n n n n n n n mn n m n m n m n m n m 函数的性质：观察图形可知。
（包括：定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，有界性） 4、常用公式：
（1）幂（指数）与对数的运算公式【双向使用】 （2）常用的三角函数公式
5、认识：复合函数、反函数、隐函数、分段函数、参数方程
1）复合函数
复合函数，就是几个函数的叠加。 定义：假设变量y 是u 的函数，即：().y f u = 而u 是x 的函数，即：().u x φ=
22
22
22222
22sin sin cos 11sin cos tan cos 1
1tan sec sec 1tan sec cos 1
1cos 2sin ()
sin cos sin 2cos 2cos sin 2
2
x
x x x x x x x x x x x x
x
x x x x
x x x
+=-==
+=-==
-===-
如果．．()x φ的值域能够全部或部分地满足．．．．．．．．．．．．．()f u 的定义域，．．．．． 则称：变量y 是变量x 的复合函数。记作：[()].y f x φ= 复合：就是迭代；复合函数的分解是重点。 2）反函数
①定义（也是求法）：假设()y f x =
由等式()y f x =解出唯一的结果．．．．．
：1
()x f y -=，则称： 1()x f y -=是函数()y f x =的反函数。记作：1()y f x -= 这是因为：习惯上，我们常用字母y 表示函数； 用字母x 表示自变量。 ②函数1()y f x -=与函数()y f x =的图像在同一个坐标系中， 关于直线y x =对称。
③函数1()y f x -=与函数()y f x =的定义域与值域：互换！ 3）隐函数
有些函数可明显地表示成：()y f x =；
有些函数不能够明显地表示成()y f x =的形式。比如： sin 1xy x y =-+；23x y e x xy +=+-，等等。
但是，每当变量x 取一个值时，变量y 总有一个值与之对应， 只是不能够表示成()y f x =的形式，这种函数，叫做隐函数。
4）分段函数
分段函数是指：在不同的区间上用不同的表达式表示的一个函数。 通常的形式：
5）参数方程
平面上点的坐标（轨迹）由第三个参数变量t 控制 通常的形式：
6、关于函数的极限问题 1）极限的含义
极限是指：函数．．()f x 在x 的某一种变化过程中的变化趋势．．．．．。 记作：lim n n x a →∞=，lim ()x f x a →∞
=，0
lim ()x x f x a →=。 注1：0x x →表示：x 的取值可以无限地接近于0x ，但0x x ≠。 注2：∞仅表示一个符号，表示无穷远的方向，不是数值。
注3：~x x x →+∞?→∞?→-∞?，0
00
~x x x x x x +
-
?→?→?→??。
2）极限存在的充要条件：
定理1：0
lim ()x x
f x a →=的充分必要条件是：0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -
+→→== 理解： 通常用于研究： 分段函数在分段点 处的极限问题。
定理2：lim ()x f x a →∞=的充分必要条件是：lim ()lim ()x x f x f x a →-∞→+∞
== ()
(()x t t y t φ?=??
=?
为参数）1
122
()[]()x x I y I I x x I φ?∈?=?=Φ?∈?当当00lim ()x x x f x -→点的左极限：+
0lim ()x x x f x →点的右极限：
000
1).lim[()()]lim ()lim ()
2).lim[()()]lim ()lim ()
3).lim[()]lim ()
lim ()()4).lim[](lim ()0)()lim ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x kf x k f x f x f x g x g x g x →→→→→→→→→→→→±=±===≠g g 理解： 通常用于研究：
非对称函数在 时的极限问题。 3）如何求极限？
清楚常见的事实：1
lim
0(0)k n k n
→∞
=>； 1
lim
0(0)k
x k x →∞=>； 0
0lim (0)k k
x x x x k →=>。
极限表达了：函数()f x 在x 的某一变化过程中的变化趋势，与0()f x 无关。 基本方法：
（1） 四则运算法则；（2）等阶无穷小代换；（3）重要极限； （4）利用等阶无穷小的性质；（5）连续函数求极限； （6）罗必达法则。 (1)四则运算法则：
前提条件：0
lim ()()x x f x a →=存在，0
lim ()()x x
g x b →=存在 公式：
说明：若前提条件不满足，这组公式不能用！
这组公式对于
的极限同样适用！ 关于求极限的处理方法：
①代入0x 能求函数值，就求函数值；
223
lim(2
7)23711x x →-=?-= x →∞
x →∞
lim lim lim
3
22
lim lim
2
22
x x x
x x
x
x x
x x
→+∞→+∞→+∞
→+∞→+∞
==
++
===
++
②分式函数，代入
x后分母=0时，检查分子是否为零；
分子=0的，因式分解找出
()
x x
-的因子，约分化简直到分母的极限0
≠，才可以使用四则运算法则。
2
2
111
(4)(1)
34(4)(1)
lim lim lim
1(1)(1)
x x x
x x
x x x x
x x x
→-→-→-
-+
---+
==
--+(1)(1)
x x
-+
5
2
=
分子0
≠的，此极限先把函数倒过来说明是无穷小量，而后才能说明原极限是无穷大。
2
lim
2
x
x
x
→-
求：，解：
2
2
lim=0
x
x
x
→
-
Q，
2
lim
2
x
x
x
→
∴=∞
-
。
③对于时的分式函数极限，通常是：分子、分母
同时除以分母的最高次幂，以使得分母的极限存在且
不等于零。如：
22
2
2
34
2
234
lim lim2
1
11
x x
x x x x
x
→∞→∞
--
--
==
--
（2）利用重要极限公式。
重要公式（原型）
sin
lim1
x
x
x
→
=，
1
lim(1)x
x
e
x
→∞
+=
扩展：
()0
sin()
lim1
()
x
x
x
φ
φ
φ
→
=，
如：
11
sin sin()
1
lim sin lim lim1
1
1()
x x x
x
x x
x
x
x
→∞→∞→∞
===
x→∞
()
()
1
()
()0
1
lim(1)
()
lim[1()]
x
x
x
x
e
x
x e
φ
φ
φ
φ
φ
φ
→∞
→
+=
+=
111
(2)()(2)
222
111
lim(1)lim(1)lim[(1)]
x
x x e
----
-
-=+=+=
g
（3） 如果函数在0x 点连续，则必有：0
0lim ()()x x
f x f x →=
一切初等函数，在它们的定义域内都连续。
这就是说：只要0x 是初等函数定义域内的一点，必有： 0
0lim ()()x x
f x f x →=
连续的复合函数求极限，可以把极限符号与函数符号互换。
lim [()][lim ()]x x x x f x f x φφ→→=
如： 0
sin 2sin 2lim
20
lim x x x x
x
x e
e
e →→==。
0x →==（4） 利用等阶无穷小代换，以简化求极限的函数。
常用的结论：
如：0
0sin 2(2)2
lim
lim arctan ln(13)(3)3
x x x x x x x x x x →→==+g g 2222
2330002sin ()2()1cos 122lim lim lim 3611
x x x x x x x x x e e →→→-===--g （5） 利用等阶无穷小的性质
“无穷小与有界函数的积仍为无穷小”。
如：01
lim sin 0x x x
→=。且不可写成：001lim limsin 0x x x x
→→=g 。 这是因为：0
1
limsin x x
→不存在，不能用四则运算法则。 再如：2
2arctan lim
lim arctan 011x x x x x
x x x →∞→∞==++g
()()0sin ()~();arcsin ()~()
tan ()~();arctan ()~()1~();ln(1())~()[1()]1~()
x x x x x x x x x x e x x x x x λ
φφφφφφφφφφφφφφλφ→-++-当时，
（6） 罗必达法则
罗必达法则解决：0,.0∞
∞
型函数的极限问题。 只要：
()
()
f x
g x 的分子、分母同时趋于0∞或； (),()f x g x 都可导且()
lim ()
f x
g x ''存在或无穷大。 则必有：()()
lim
lim ()()
f x f x
g x g x '='。 使用时，要注意：条件是否满足？()0
()0()lim ()f x g x f x g x ∞??∞
??
'??'?
为型或型？存在或无穷大？ 如果条件成立，则结论一定正确；
如果条件不成立，则结论未必成立（公式不能使用）但极限未必不存在，可考虑其它办法解决。
7、关于连续函数的问题 1）函数连续的特征：
（1）函数在0x 点连续的特征： 0
lim 0x y ?→?=或0
0lim ()()x x f x f x →= （2）如果函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点都连续，则称：
函数()f x 在区间(,)a b 上连续。
（3）如果函数()f x 在开区间(,)a b 上连续，且：
()f x 在a 点右连续【lim ()()x a f x f a +
→=】在b 点左连续【 】
则称：函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续。（如图）
lim ()()x b f x f b -
→=
2）函数()f x 在0x 点连续，要满足条件：
3）间断以及间断点
间断，是连续问题的对立。既“不连续”。
如何理解“间断”？（如图）曲线()f x 在0x 点连接着吗？没有！
在0x 间断的曲线有什么特征？
（1） 函数()f x 在0x 点没有定义（没有值）；
（2） 函数()f x 在0x 点虽然有定义，但是0
lim ()x x
f x →不存在； （3） 虽然()f x 在0x 点虽然有定义，且0
lim ()x x
f x →存在，但 如果函数()f x 在0x 点满足上述条件之一，则称0x 为间断点。
如何寻求间断点？
首先，研究函数在哪一点没有定义？使函数没有定义的点就是间断点； 其次，研究函数在哪一点没有极限？注意分段函数在分段点的左右极限； 最后，对于分段函数在分段点处如果极限存在，看一看是否满足：
？
4）间断点的分类 第一类间断点：
第二类间断点：
000
000(1)()(2)lim ()lim ()lim ()(3)lim ()().
x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x -+→→→→?
??
=??
=??
存在；存在
~00lim ()()x
x f x f x →≠0
0lim ()()
x x f x f x →≠
第一类间断点的特征：左、右极限都存在。 左、右极限相等的间断点，称为“可去间断点”。 左、右极限不相等的间断点，称为“跳跃间断点”
对于可去间断点0x ，可规定0
0()lim ()x x
f x f x →=，则函数在0x 点连续。
第二类间断点的特征：左、右极限至少有一个不存在。 极限=∞的间断点，叫做：“无穷间断点”。 函数来回震荡的间断点，叫做：“震荡间断点”。
5）连续函数的性质：“在0x 点连续”就说明“ ” （1）在同一点连续的函数之和、差、积、商（分母不等于零）仍是连续函数。
（2）连续函数的复合函数，仍是连续函数。 （3）连续函数的反函数仍是连续函数。
（4）一切基本初等函数，在它们的定义域内都是连续的。 （5）一切初等函数，在他们的定义域内都是连续的。
这说明：只要0x 在初等函数()f x 的定义域内，则： 6）闭区间上连续函数的性质： （1）最大值最小值定理：（如图）
如果函数()f x 在[,]a b 上连续，
则在[,]a b 上至少有一点1ξ，使得1()f ξ为
函数()f x 在[,]a b 上的最大值； 在[,]a b 上至少有一点2ξ，使得1()f ξ为 函数()f x 在[,]a b 上的最小值。
即：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。
0lim [()][lim ()][()]x x x x
f x f x f x φφφ→→==0
0lim ()()x x
f x f x →=0
0lim ()()
x x f x f x →=
（2）介值定理（如图）如果函数()
a b上连续，
f x在[,]
则对于介于最大值M和最小值m之间
的任何常数c，在区间(,)
a b内至少
存在一点ξ，使之满足：()
ξ=。
f c
推论（根的存在定理）：
假设函数()
a b上连续，
f x在闭区间[,]
且()()0
a b内至少有一点ξ
f a f b<，则在(,)
满足：()0
fξ=。
即：ξ是方程()0
f x=的根。
函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
一、多元函数、极限与连续解读
一、多元函数、极限与连续 ㈠二元函数 1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照 一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为 （或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自 变量，为因变量，数集为该函数值域。由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是 一张曲面。例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。 ㈡二元函数的极限 ⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义， 是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正 数，使得对于适合不等式的一切点 ，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当 时的极限，记作或, 这里 。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数 都无限接近 A 。因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一 条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。 ㈢多元函数的连续性 1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定 义，是 D 的内点或边界点且。如果 ，则称函数 f（x，y）在点连续。如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。 2 ．性质 ⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的； ⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值； ⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两
函数与极限习题与答案计算题(供参考)
高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(
函数极限与连续习题(含答案)
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经 过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题：(1)若 f (x ) 在 x 0 点连续，则 f (x ) 在 x → x 0 点必有极限 2)若 f (x )在x → x 0点有极限，则 f (x )在x 0点必连续 3)若 f (x )在x → x 0点无极限，则 f (x )在x = x 0点一定不连续 (4)若 f (x ) 在 x = x 0 点不连续，则 f (x ) 在 x → x 0 点一定无极限。 其中正确的命题个数是( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若 lim f ( x ) = a ，则下列说法正确的是( C ) x →x 0 A 、 f (x )在x =x 0处有意义 B 、 f (x 0)=a C 、 f (x )在x = x 0处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于x 0 3、下列命题错误的是( D ) A 、函数在点x 0 处连续的充要条件是在点x 0 左、右连续 B 、函数 f (x )在点x 0处连续，则lim f (x )= f (lim x ) 0 x →x 0 x → x 0 C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数 f (x )有lim f (x ) = f (x 0) x → x 0 0 4、已知f (x )= 1 ，则lim f (x +x )- f (x )的值是( C ) x x →0 x 11 A 、 B 、 x C 、 - D 、 - x x 2 x 2 5、下列式子中，正确的是( B ) x 2 + ax + b 6、lim x +ax +b =5，则a 、b 的值分别为( A ) x →1 1 - x A 、- 7和6 B 、7和- 6 C 、- 7和- 6 D 、7和6 7、已知f (3) = 2, f (3) = -2,则lim 2x - 3 f (x )的值是( C ) x →3 x - 3 8、l x i →m a 3 x x --3a a =( D ) A 、lim x = 1 B 、lim x -1 = 1 C 、lim x -1=1 x →0 x x →1 2(x -1) x →-1 x - 1 lim x x → 0 x =0 A 、-4 B 、0 C 、8 D 、不存在 D 、
函数极限与连续习题加答案(供参考)
第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1．2x y = 与x y =相同； （ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2 >=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2 +x f 的定义域是 ； 3.1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11 )(x x += ?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1)(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ，___________)1(=a f ， ___________)]([=x f ?。 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）
A 、x 3sin B 、13+x C 、x x +3 D 、x x -3 2.设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1 142++ -=x x y (3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg = 3.设2 )(x x f =，x e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x f f x f g x g f ；
函数与极限测试题及答案(一)
函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在
例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；
大学高等数学函数极限和连续
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
函数与极限习题与答案
第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ；
第一讲 函数极限连续1003
第一讲 函数、极限与连续 一、考试要求 1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极 限存 在与左、右极限之间的关系。 6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。 8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷 小量求极限。 9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数 （1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u=??()[()]x y f x ?=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域. （3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。 （5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。 特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则?x dt t f 0)(为奇函数； 若)(x f 为奇函数，则?x a dt t f )(为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。 特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。 4、若f(x+T)=f(x), 且0 )(0 =? T dt t f ，则?x dt t f 0 )(仍为以T 为周期的周期函数. 5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则
高等数学函数的极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
(整理)多元函数的极限与连续习题.
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
高数8多元函数的极限与连续
二元函数的极限 二元极限存在常用夹逼准则证明 例1 14)23(lim 2 12=+→→y x y x 例2 函数?? ???+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径 例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x y x y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略. 上述二元函数极限)(lim 0 0y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限： 累次极限 定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ?也存在极限，设 B y x f y a x b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，?， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即 C y x f b y a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如： 1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3. 2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2. 多重极限与累次极限之间的关系 定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则 )(lim lim (lim 0 000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=. 二元函数的连续性 定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，) ()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续
2015函数、极限与连续习题加答案
2015函数、极限与连续习题加答案
制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 2 第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1 ． 2 x y =与 x y =相同； 2. ) 1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. ) 0(2>=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；
制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 3 （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则) 1(2 +x f 的定义域 是 ； 3. 1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11)(x x +=?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.) 2(sin log 2 +=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1 )(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ， ___________)1 (=a f ， _ __________)]([=x f ?。
制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续 4 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ） A 、 x 3 sin B 、1 3 +x C 、 x x +3 D 、 x x -3 2.设5 4)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.) sin()(2 x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域
1第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
第一讲函数极限连续(学生用).docx
高等数学 第一讲函数、极限、连续 I ?考试要求 1.理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限Z间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数I'可断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最人值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. H.考试内容 —.函数 （-）函数的概念对应关系，定义域 （二）函数的性质 1?有界性3M>0, 均有\f（x）\
少）.
3.周期性3r>0,Vx€(-oo,+oo),均有/(x + T) = /(x)侧称/⑴为周期函数 4.奇偶性 VXG (-/,/),均有/(-%) = f(x) ( -/(X )),则于(兀)为偶(奇)函数. 【例1】设F\x) = f(x),则下列结论正确的是( )? (A) 若/'(X )为奇函数，则尸(兀)为偶函数. (B) 若/⑴ 为偶函数，则F ⑴为奇函数. (C) 若/(兀)为周期函数，则F(x)为周期函数. (D) 若/(X )为单调函数，则F(x)为单调函数. (三)函数的类型 1. 基本初等函数 y = C, y - x ,u , y - a x , y = y = sinx , y = cos , y = arcsinx f y = arccos . 2. 复合函数 名合一 y 二 /(w), u =(p{x)「：〉y 二 /(0(x)) 一拆多 3?反函数)，=/(兀)，x= 4. 初等函数 5. 隐函数 F(x, y) = 0 (x+y = 0, y = sinxy ). 6?幕指函数 f(xY (x) = ^(x),n/(v),/(x) >0. 隐含的分段函数 ①,y=|/(兀)|,② y =[/(兀)],③ y = sgn /(%) ④y = max {/(x),g(x)}=心巴心网, _ \x = rcos3 9?极坐标方程r = 询,\ .八 [y =厂 sm& 二.极限 (一) 极限定义 7.分段函数: /；(%),%< x 0 f (x\x>x y = mm{f(x\g(x)} = /(兀)+ g(x)-|/(x)-gCr)| 2 &参数方程(数一.二要求) x =(p(t) y = 0(/)
函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续 性典型例题 Last revision on 21 December 2020
函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1．求下列极限 ①② ③④ 解析：①。 ②。 ③。 ④。例2．已知，求m,n。 解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根， ∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又， ∴，∴ f(x)在x=1处连续。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。 ∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4．已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析：∵且， ∴，∴ a=1, b=0。 例5．求下列函数极限 ①② 解析：①。②。
例6．设，问常数k为何值时，有存在 解析：∵，。 要使存在，只需， ∴ 2k=1，故时，存在。 例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限 解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。 三、训练题： 1．已知，则 2．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5．已知，求a的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0
函数极限和连续试题及答案
极限和连续试题（A 卷） 1.选择题（正确答案可能不止一个）。 （1）下列数列收敛的是（ ）。 A . n n x n n 1)1(--= B . n x n n 1)1(-= C . 2 sin πn x n = D . n n x 2= （2）下列极限存在的有（ ）。 A . x x sin lim ∞ → B . x x x sin 1 lim ∞→ C . 121lim 0-→x x D . 1 21 lim 2+∞→n n （3）下列极限不正确的是（ ）。 A . 2)1(lim 1 =+-→x x B . 11 1 lim =+→x x C . ∞=-→2 12 4 lim x x D . +∞=+→x x e 20 lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（ ）。 A . )0(12 →--x x B . )0(sin →x x x C . )(+∞→-x e x D . )0()1 sin 2(12→-+x x x x （5）如果函数.0;0;0,1sin ,,sin 1 )(>=
高数王博+第一讲+函数极限连续
第一讲 函数 极限与连续 【题型一】分段函数的复合函数[()]f g x 【例1】设???≥<=0,10 ,0)(x x x f ，? ??≤-<-=x x x x x g 1,21,2)(2 试求)]([x g f ，)]([x f g . 【详解】?? ?><<≤=21,12 1,0)]([x x x x g f 或?? ?≥-<=0 ,10 ,2)]([x x x f g 【例2】设1,1, ()0,1,x f x x ?≤?=?>?? 则[]{}()f f f x 等于 ( ) (A)0 (B)1 (C)1,1,0,1,x x ?≤??>?? (D)0,1, 1,1, x x ?≤??>?? 【答案】(B) 【详解】因为1,1 ()0,1x f x x ?≤?=? >?? ，所以在整个定义域内()0()1f x f x ==或，所以()1f x ≤，于是[]()1f f x =，从而[]{}()()11f f f x f == 【例3】设函数???<-≥=. 1,12,1,ln )(x x x x x f ，[]()y f f x =,则 d d x e y x ==______ . 【答案】应填 e 1 . 【分析】本题主要考查抽象函数的复合，必须分段分层讨论. 【详解】由???<-≥=. 1,12, 1,ln )(x x x x x f 得 []()y f f x =()1,2()1, () 1.f x f x f x ?≥?=? -
(整理)多元函数的极限与连续
数学分析 第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时
第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) § 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E . 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >, }|),{(b ax y y x +≥等. ⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1||||),{(≤+y x y x }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分. 极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤. ⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r . ⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-