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《概率论与数理统计》期末试题一及答案

《概率论与数理统计》期末试题一

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《概率论与数理统计》期末试题一及答案

一、 填空题(每小题4分,共40分)

1、 设A 与B 为互不相容的两个事件,0)B (P >,则=)|(B A P 0 。

2、 事件A 与B 相互独立,,

7.0)(,4.0)

(=+=B A P A P 则 =)(B P 0.5 。

3、 设离散型随机变量X 的分布函数为

0 1-

=)(x F a 11<≤-x

a 3

2- 21<≤x

b

a + 2

≥x

且2

1)2(=

=X

P ,则=a 6

1 =b , 6

5 。

4、 某人投篮命中率为5

4,直到投中为止,所用投球数为4的概率为___

625

4________。

5、 设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从“0-1”分布,4.0=p ;Y 服从2

的泊松分布

)2(π,则._______24.2____)(_______,

4.2____)(=+=+Y X D Y X E

6、 已知,3

1,9)Y (D ,16)X (D X Y =

ρ== 则.___36___)Y 2X (D =-

7、 设总体X 服从正态分布),

,0(2

σ

N 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计

24

23

2221X

X

X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。

8、 设总体X 服从正态分布

),

1,(

μ

N 其中μ为未知参数,从总体X 中抽取容量为

16的样本,样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____(4.51,5.49)____。(96.1975.0=u )

9、 在假设检验中,显著性水平α是用来控制犯第一类错误的概率,第一类错误是指

___原假设为真却拒绝原假设____________。 10、

)

,(~),,(~22

221

μσ

μN Y N X ,且X 与Y 相互独立,则Y X Z +=服从

______),(222121σσμμ++N ______分布。

二、 计算题(每小题10分,共60分)

1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品,从其中取两次,每次任取一只,做不放回抽

样。求下列事件的概率:(1)一只是正品,一只是次品;(2)第二次才取得次品;

(3)第二次取出的是次品。

解: (1)一只是正品一只是次品的概率为:

7

3C C C 2

81

21

6=

…………………

(2)第二次才取得次品的概率为:

14

37

826=

??………………………

(3)令1A 表示“第一次取出的是正品” ,2A 表示“第一次取出的是次品” B 表示“第二次取出的是次品”

第二次取出的是次品的概率为:

4

182718672)A (P )A |B (P )A (P )A |B (P )B (P 2211=?+?=

+=

……………………………

2、 (10分)设随机变量X 的概率密度

=)(x f

1+Ax

2

0<≤x

0 其它

求:(1)A 的值;(2)X 的分布函数)(x F ;(3)}.5.25.1{<

-=1dx )x (f 可得,?-

=?=+2

2

1A 1dx )1Ax (………………

所以,

=)(x f 1x 2

1+-

20<≤x

0 其它

(2)=)x (F 0, 0x < x x 4

12

+-

, 20<≤x ………………….

1 2x ≥

(3)?

=

+-

=<<2

5

.116

1dx )1x 2

1(}5.2x 5.1{P …………………..

3、 (10分)甲、乙两人独立地进行两次射击,假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为

0.5,以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数,试求:(1)X 和Y 的联合分布律;(2)X 和Y 的边缘分布律。 解:(1)X 和Y 的联合分布律为:

分别为2,1,0n ,m 4

C C 25

1)

5.0()5.0(C )8.0()2.0(C )n Y ,m X (P )

m 1(n 2m 2n

2n n 2m

2m

m

2---?=

===

………………………………… (2)X 和Y 的边缘分布律。

由于X 与Y 相互独立,所以X 和Y 的边缘分布律分别为: 。,2,1,0m )

8.0()2.0(C )m X (P m

2m

m

2===-

。,2,1,0n )

5.0()5.0(C )n Y (P n 2n

n

2===-……………

4、 (10分)二维随机变量(X ,Y )的概率密度为

),y x (8

1+ 20,20≤≤≤≤y x

=

),(y x f 0, 其它

求:(1))(X E (2))X (D (3))(XY E (4))

,(Y X COV

解:(1)??

=

+?

=

20

2

6

7dxdy )y x (8

1x )X (E ……………………

(2)

36

11

)67(35

))

X (E ()X (E )x (D ,

3

5dxdy )y x (8

1x )X (E 22

2

2

2

2

2

=-=

-==

+?

=

??

…………

(3)??

=

+?=2

02

3

4dxdy )y x (8

1xy )XY (E ……………………

(4)??

=+?=

2

20

6

7dxdy )y x (8

1y )Y (E

36

1676734)Y (E )X (E )XY (E )Y ,X (COV -

=?-=-=

……………………….

5、 (10分)设总体X 的概率密度为 ,1

-θθx 10<

=

)(x f 0, 其它

(1) 求θ的最大似然估计量;(2)求θ的矩估计量。

解:(1)似然函数为:10,)

();,...,,(1

1

1

1

21<<∏=∏=-=-=i i n

i n

i

n

i n x x x x x x L θθθθθ

……………………………

取对数为:∑=-θ+θ=n

1

i i x ln )1(ln n L ln ……………………….

0d L ln d =θ

得,

∑∑

==-

=θ?=+

θ

n

1

i i

n

1

i i x

ln n

0x ln n

………………………… 则θ的最大似然估计量为:∑=-=θ

n

1

i i

X

ln n

?。………

(2)?

+θθ=

θ=

-θ1

1

1

dx x

x EX ………………………………

由X E X =得,θ的矩估计量为:X

1X ?-=θ

……………

6、 (10分)某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布)108.0,55.4(N 2,现测得9炉铁水

的平均含碳量为4.484,若已知方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55(05

.0=α

)?(注:,645.195.0=u ,96.1975.0=u

,3060.2)8(t 975.0=8595.1)8(t 95.0=)

解: ,55.4:H 0=μ 55.4:H 1≠μ………………… 在原假设成立的条件下,

)1,0(N ~n

/

108.055.4X -………………

已知,05.0=α 则 96.1u

2

1=α-

,由9n =得拒绝域为:

}96.1|3

/108.055.4X {|

>-……………………………

当484.4X =时,96.183.16

11|3

/108.055.4X |

<==

-………………

所以拒绝原假设,即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。