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分式经典培优竞赛题

分式经典培优竞赛题
分式经典培优竞赛题

1. 若ab a b +--=10,试判断

1111

a b -+,是否有意义。

2. 计算:a a a a a a 2211313

+-+--+-

3、解方程:11765556

222-++=-+-+x x x x x x

4. 已知a a 2

69-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222

a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。

5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。

6. 已知x y y =+-2332

,试用含x 的代数式表示y ,并证明()()323213x y --=。

6、中考原题:

例1.已知M x y xy y x y x y x y 22222

2-=--+-+,则M =__________。

例2.已知x x 2

320--=,那么代数式()x x x --+-11132的值是_________。

1. 当x 取何值时,分式2111x x

+-有意义?

3. 计算:x y y x y x y y x

++-+-2424422224. 解方程:x x x x x x x x ++-++=++-++21436587

5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天?

6. 已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠,,,求

x y z x y z

+--+2的值。

9、(6分)已知02

=-a a ,求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值. 21、(6分)设23111

x A B x x ==+--,,当x 为何值时,A 与B 的值相等? 3、计算(1)??? ??--++

-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310

A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+,求??? ??++??? ??++???

??+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12

--x x =0,则5412x x x ++= 18、设1=abc ,则

=++++++++111c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ,20042=+x b ,20052=+x c ,且6012=abc ,求

c

b a ab

c ac b bc a 111---++的值 20、已知31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+c a ac ,求ac

bc ab abc ++的值

1.若73212++y y 的值为8

1,则96412-+y y 的值是( ) (A )21-

(B )171- (C )71- (D )71 2.已知x z z y x +=+=531,则z

y y x +-22的值为( ) (A )1 (B )

23 (C )23- (D )4

1 3.若对于3±=x 以外的一切数98332-=--+x x x n x m 均成立,则mn 的值是( ) (A )8 (B )8- (C )16 (D )16-

4.有三个连续正整数,其倒数之和是60

47,那么这三个数中最小的是( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4

5.若d c b a ,,,满足a d d c c b b a ===,则2222d

c b a da c

d bc ab ++++++的值为( ) (A )1或0 (B )1- 或0 (C )1或2-(D )1或1-

6.设轮船在静水中的速度为v ,该船在流水(速度为v u <)中从上游A 驶往下游B,再返回A ,所用的时间为T,假设0=u ,即河流改为静水,该船从A 至B 再返回A,所用时间为t ,则( )

(A )t T = (B )t T < (C )t T > (D )不能确定T 与t 的大小关系

二、填空题(每题5分,共30分)

7.已知:x 满足方程20061120061

=--x x

,则代数式2007

200520062004+-x x 的值是_____. 8. 已知:

b a b a +=+511,则b

a a

b +的值为_____. 9.方程71011=++z

y x 的正整数解()z y x ,,是_____. 10. 若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数,则a 的取值范围是_____. 11. 若11,11=+=+z

y y x ,则=xyz _____. 12.设y x ,是两个不同的正整数,且

5211=+y x ,则._____=+y x

三、解答题(每题10分,共40分)

13. 已知2+x a 与2-x b 的和等于4

42-x x ,求b a ,之值. 14.解方程:

708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x .

15. a 为何值时,分式方程

()01113=++++-x x a x x x 无解?

16. 某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).

(1)扶梯在外面的部分有多少级.

(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?

分式的化简与求值培优题

分式的化简与求值 1 已知2 310a a -+=,则代数式3 61 a a +的值为 . (“希望杯”邀请赛试题) 2 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =,75832a =, 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为( ) A .648 B .832 C .1168 D .1944 (五城市联赛试题) 3 3(0)x y z a a ++=≠.求 222 ()()()()()() ()()() x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-. (宣州竞赛试题) 4 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值. (上海市竞赛试题) 5若 a b c d b c d a ===,则a b c d a b c d -+-+-+的值是 . (“希望杯”邀请赛试题) 6 若222 1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =,则111 c a b ab bc ac a b c ++--- 的值为 .

(“缙云杯”竞赛试题) 7 已知232325 x xy y x xy y +-=--,则11 x y -= . 8 如果111,1a b b c + =+=,那么1 c a +=( ) . A .1 B .2 C .12 D .1 4 (“新世纪杯”竞赛试题) 9 设有理数,,a b c 都不为0,且0a b c ++=,则 222222222 111 b c a c a b a b c +++-+-+-的 值为( ). A .正数 B .负数 C .零 D .不能确定 10.已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠,则222 222 23657x y z x y z ++++的值为( ). A .0 B .1 C .2 D .不能确定 11.已知211 x x mx =-+,则36 33 1x x m x -+的值为( ) A .1 B . 313m + C .2132m - D .2131 m + 12.设0a b c ++=,求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值. 13.已知1ax by cz ===,求 444444 111111 111111a b c x y z +++++++++++的值. (“华杯赛”试题)

分式经典培优竞赛题[1]

1. 若,试判断是否有意义。 2. 计算: 3、解方程: 4. 已知与互为相反数,求代数式 的值。 5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 6. 已知,试用含x的代数式表示y,并证明。 6、中考原题: 例1.已知,则M=__________。 例2.已知,那么代数式的值是_________。 1. 当x取何值时,分式有意义?

3. 计算: 4. 解方程: 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天? 6. 已知 ,求的值。 9、(6分)已知02 =-a a ,求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值. 21、(6分)设23111 x A B x x ==+--,,当x 为何值时,A 与B 的值相等? 3、计算(1)?? ? ??--++-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310 A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+,求?? ? ??++??? ??++??? ??+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12 --x x =0,则5412x x x ++= 18、设1=abc ,则=++++++++1 11c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ,20042=+x b ,20052=+x c ,且6012=abc ,求 c b a ab c ac b bc a 111---++的值 20、已知31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+c a ac ,求ac bc ab abc ++的值

八年级数学分式培优练习题完整复习资料

分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是( ) A -40=1 B (-3)-1=3 1 C (-2)2=4 D ()-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是( ) A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子:()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ,其中第7个式子是

分式培优竞赛题

1. 若ab a b +--=10,试判断1111 a b -+,是否有意义。 2. 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+- 3、解方程:11765556 222-++=-+-+x x x x x x 4. 已知a a 269-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 6. 已知x y y =+-2332 ,试用含x 的代数式表示y ,并证明()()323213x y --=。 6、中考原题: 例1.已知M x y xy y x y x y x y 22222 2-=--+-+,则M =__________。 例2.已知x x 2 320--=,那么代数式()x x x --+-11132的值是_________。 1. 当x 取何值时,分式2111x x +-有意义 : 3. 计算:x y y x y x y y x ++-+-242442222 4. 解方程:x x x x x x x x ++-++=++-++21436587 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天 6. 已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠,,,求x y z x y z +--+2的值。 9、(6分)已知02 =-a a ,求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值. 21、(6分)设23111 x A B x x ==+--,,当x 为何值时,A 与B 的值相等

人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程13、分式总复习

3、分式总复习 【知识精读】 分式定义:(、为整式,中含有字母)性质通分:约分:分式方程定义:分母含有未知数的方程。如解法思想:把分式方程转化为整式方程方法:两边同乘以最简公分母依据:等式的基本性质 注意:必须验根应用:列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若,试判断是否有意义。ab a b +--=101111a b -+, 分析:要判断是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因1111 a b -+,式分解,即可判断与零的关系。 a b -+11, 解: ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 或∴+=b 10a -=10 中至少有一个无意义。∴-+1111a b , 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+-

分析:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分离分式法”简化计算。 解:原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=- +--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113311322 13(()() ()() ()() 例3. 解方程:11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析:因为,,所以最简公x x x x 27616++=++()()x x x x 25623-+=--()()分母为:,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于()()()()x x x x ++--1623故可得如下解法。x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+ 解: x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 7656 2222x x x x x x x x x 经检验,是原方程的根。 x =0 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知与互为相反数,求代数式a a 2 69-+||b -1的值。()42222222222 a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++ 分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值,又因为

初二-分式培优题(难度+附答案+免费)

一、填空题 1、若a、b 满足,则的值是。 2、当x_____________时,与互为倒数. 3、如果,则;. 4、当m=______时,分式的值为零. 5、已知,则。 6、若a∶b∶c=1∶3∶5,则, 。 7、已知:,则=______________. 8、已知,则=_______________________。 9、如图,第(1)个多边形由正三角形“扩展”而来,边数记为,第(2)个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为,…,依此类推,由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为(n≥3).则的值是, 当的结果是时,n的值. 10、先观察下列等式,然后用你发现的规律解答下列问题. ┅┅ (1) 计算.

(2)探究.(用含有的式子表示) (3)若的值为,求的值. 二、选择11、如果m个人完成一项工作需要d天,则(m+n)个人完成这项工作需要的天数为() A.d+n B.d-n C.D. 12、若求的值是(). A. B. C. D. 13、如果,则=( ) A. B.1 C. D.2 14、如果满足,那么的值是( ) A. B.4 C. D.14 三、简答题15、已知:的值. 四、计算题16、计算:。 17、给定下面一列分式:,,,一,…。(其中≠0) (1)把任意一个分式除以前面一个分式,你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律,试写出给定的那列分式中的第7个分式。 18、课常上,李老师出了这样一道题; 已知,,求代数式的值。 小明觉得直接代入计算太繁了,请你来帮他解决,并写出具体过程.

参考答案 1、 2、 x <0 3、1,1 4、3 5、5 6、3,17 7、 8 、1 9、30,199 10、 解:(1) (2) ?(3) =+ ┄ + == 由= 解得 经检验是方程的根,∴ 11、C (点拨:m 个人一天完成全部工作的,则一个人一天完成全部工作的,(m +n ) 个人一天完成 ·(m +n )=,所以(m +n )个人完成全部工作需要的天数是) 12、A 13、C 14、D 15、 16、 原式== == 17、(1)一2/y (2) 15/y 7 18、解:原式

分式培优训练(含答案)

13、分式总复习 【知识精要】 分式定义:(、为整式,中含有字母)性质通分:约分:分式方程定义:分母含有未知数的方程。如解法思想:把分式方程转化为整式方程方法:两边同乘以最简公分母依据:等式的基本性质 注意:必须验根应用:列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10,试判断 1111a b -+,是否有意义。 分析:要判断1111 a b -+,是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11,与零的关系。 解: ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ,中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分

离分式法”简化计算。 解:原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113 311322 13()()() ()() ()() 例3. 解方程:11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析:因为x x x x 27616++=++()(),x x x x 25623-+=--()(),所以最简公分母为:()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解: x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验,x =0是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值,又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。

分式培优专题训练

1.(辨析题)不改变分式的值,使分式 115101139 x y x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘 以(? ) A .10 B .9 C .45 D .90 2.(探究题)下列等式:①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b c c -++=-;④m n m n m m ---=-中, 成立的是( ) A .①② B .③④ C .①③ D .②④ 3.(探究题)不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,正确 的是(? ) A .2332523x x x x +++- B .2332523 x x x x -++- C .2332523x x x x +--+ D .2332523 x x x x ---+ 【题型2:分式的约分】 4.(辨析题)分式434y x a +,2411x x --, 22x xy y x y -++, 22 22a ab ab b +-中是最简分式的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 5.(技能题)约分: (1)22699x x x ++-; (2)2232 m m m m -+-.

【题型3:分式的定义及有无意义】 1.(辨析题)下列各式πa ,11x +,1 5 x y +, 22a b a b --,23x -, 0中,是分式的有___ ________;是整式的有_____ ____。 2.(辨析题)下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( ) A .121x + B .21x x + C .231 x x + D .2221x x + 3.(探究题)当x _______时,分式221 2 x x x -+-的值为零. 4.分式24 x x -,当x _______时,分式有意义;当x _______时,分式的值为零. 5.分式 31 x a x +-中,当x a =-时,下列结论正确的是( ) A .分式的值为零;B .分式无意义C .若13 a -≠时,分式的值为零; D .若13 a ≠时,分 式的值为零 7.下列各式中,可能取值为零的是( ) A .2211m m +- B .211m m -+ C .211 m m +- D .211m m ++ 8.使分式 ||1 x x -无意义,x 的取值是( ) A .0 B .1 C .1- D .1± 9.(2005.杭州市)当m =________时,分式2(1)(3)32 m m m m ---+的值为零. 10.(妙法巧解题)已知13x y 1-=,求5352x xy y x xy y +---的值.

培优专题分式方程培优提高经典例题

分式方程专题 例1:去分母法解分式方程 1、 ()()113116=---+x x x 2、2 2416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2:整体换元与倒数型换元: 1、用换元法解分式方程:(1) 6151=+++x x x x (2)12221--=+--x x x x 变式练习: (11上海)用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时,如果设1x y x -=,将原方程化为关于y 的整式方程,那么这个整式方程是( ) A .230y y +-= B .2310y y -+= C .2310y y -+= D .2310y y --= 例3:分式方程的(增)根的意义 1、 若分式方程: 024122=+-+-x x a 有增根,求a 的值。 2、关于x 的分式方程131=---x x a x 无解,则a=_________。 变式练习:当m 为 时,分式方程 ()01163=-+--+x x m x x x 有根。

例4一批货物准备运往某地,有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变,且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完;若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时,甲车共运了180t ;若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时,乙车共运了270t . 问:⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍; ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时,货主应付车主运费各多少元?(按每运1t 付运费20元计算) 课堂总练习 1关于x 的分式方程 1131=-+-x x m 的解为正数,则m 的取值范围是 2.关于x 的方程 223242mx x x x +=--+会产生增根,则m 为____________ 3.若关于x 的方程 2111 x m x x ++=--产生增根,则 m =____________; 4.k 取何值时,方程x x k x x x x +=+-+211 2会产生增根? 5.当a 为何值时,关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解?

分式培优练习题(完整答案)

分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是( ) A -40=1 B (-3)-1=3 1 C (-2m-n )2=4m-n D (a+b )-1=a -1+b -1 2 分式28,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 72xyz 2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz 2 3 用科学计数法表示的树×10-4写成小数是( ) A B C D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 1 B x+1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线y=kx+2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子:()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ,其中第7个式子是 第n 个式子是

圆精典培优竞赛题(含详细答案)

圆培优竞赛 1.如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C、D,若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是() A 5 13 12 . 12 5 C 3 13 5 D 2 13 3 【答案】B. 【解析】 试题分析:如答图,连接PO,AO,取AO中点G,连接AG,过点A作AH⊥PO于点H,∵PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E, ∴PA=PB,CA=CE,DB=DE,∠APO=∠BPO,∠OAP=90o. ∵△PCD的周长等于3r,∴PA=PB=3 r 2 . ∵⊙O的半径为r,∴在Rt△APO中,由勾股定理得 2 2 313 PO t r 2 ?? =+= ? ?? . ∴ 13 GO=. ∵∠OHA=∠OAP=90o, ∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP. ∴AH OH OA PA OA OP ==,即 AH OH 3r13 r r 2 == ∴ 313213 AH OH=.∴ 13213513 GH GO OH =--. ∵∠AGH=2∠APO=∠APB, ∴ AH12 tan APB tan AGH G 313 13 513 r H5∠=∠===. 故选B.

考点:1.切线的性质;2.切线长定理;3.勾股定理;4.相似三角形的判定和性质;5.锐角三角函数定义;6.直角三角形斜边上中线的性质;7.转换思想的应用. 2.如图,以PQ=2r(r∈Q)为直径的圆与一个以R(R∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的外部且与边CD切于点Q.若正方形的边长为有理数,则R、r的值可能是( ). =5,r=2 =4,r=3/2 =4,r=2 =5,r=3/2 【答案】D 【解析】 本题考查圆和勾股定理的综合应用,在竞赛思维训练中有典型意义。 可以将选项中的数据代入圆中,看是否满足条件。 做圆心O 和正方形中心O。设正方形边长为a。设AB中点为H,连接OH并延长,交大圆于点J

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的化简与求值 典例剖析 【例l 】 已知2 310a a -+=,则代数式3 61 a a +的值为 . (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:目前不能求出a 的值,但可以求出13a a +=,需要对所求代数式变形含“1 a a +”. 【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =,75832a =, 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为( ) A .648 B .832 C .1168 D .1944 (五城市联赛试题) 解题思路:引入参数k ,把17a a 用k 的代数式表示,这是解决等比问题的基本思路. 【例3】 3(0)x y z a a ++=≠. 求 222 ()()()()()() ()()() x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-. (宣州竞赛试题) 解题思路:观察发现,所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式,而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式,因此很自然的想到用换元法来简化解题过程. 【例4】 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值. (上海市竞赛试题) 解题思路:注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组,考虑取倒数,将方程组化为简单的形式.

【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111 a b c a b c ++= ++,求证:,,a b c 中至少有两个互为相反数. 解题思路:,,a b c 中至少有两个互为相反数,即要证明()()()0a b b c c a +++=. (北京市竞赛试题) 【例6】 已知,,a b c 为正整数,满足如下两个条件:①32;a b c ++= ② 1 4 b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路:本题熟记勾股定理的公式即可解答. (全国初中数学联赛试题) 能力训练 1.若a b c d b c d a ===,则a b c d a b c d -+-+-+的值是 . (“希望杯”邀请赛试题) 2.已知2 131 x x x =-+,则242 91x x x =-+ . (广东竞赛试题) 3.若2 2 2 1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =,则111c a b ab bc ac a b c ++--- 的值为 . (“缙云杯”竞赛试题) 4.已知 232325 x xy y x xy y +-=--,则11 x y -= . 5.如果111,1a b b c + =+=,那么1 c a +=( ). A .1 B .2 C .12 D .1 4 (“新世纪杯”竞赛试题)

初中竞赛培优 分式的化简与求值

A 卷 一、填空题 01.代数式()22111 32211x y x y z x x x x y x x π-++-++ -+、、、、、中程分式的代数式是_____________。 02.使分式11123x + + +无意义的值共有__________个。 03.当x=__________时,分式3 412 x x -+的值为零。 04.53x y =,72y z =, x y y z -+=__________。 05.化简22212b b a ab a ab b a ab b ???? ?+- ??? +++???? =__________。 06.化简 ()3222 23321111 12m n m n m mn n m n m n m n ??-????+++÷?? ? ?++????+???? =__________。 07.化简 ()()3 2 23233223231231 x y x y y x x y x y x y -----+--+--=__________。 08.若11123 x y -=,则 23432x xy y x xy y +---=__________。 09.已知3a 2 +ab ?2b 2 =0(a ≠0,b ≠0),,则22 a b a b b a ab +--=__________。 10.设211x x mx =-+,则3 633 1 x x m x -+=__________。 二、解答题 11.计算22222261011285 69943 x x x x x x x x x x ++-+++-++-++. 12.已知a+b+ c=0,求1111113a b c b c c a a b ?????? ++++++ ? ? ??????? 的值。 13.求 ()()2 219942000199439851995 1991199319961997 -+????的值。

分式培优练习题(完整答案)

八年级数学第17周周清试题分式 (A 卷) 班级: 姓名: 一、 选择(每题3分,共24分) 1. 下列运算正确的是( ) A 、 -40=1 B 、(-3)-1=3 1 C 、 (-2m-n )2=4m-n D 、(a+b )-1=a -1+b -1 2. 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 、 2 B 、 -2 C 、 2或-2 D 、 2或3 3.计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 、 1 B 、x+1 C 、 x x 1+ D 、 11-x 4.工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 5 .若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A 、 -1 B 、 0 C 、1 D 、 2 6 .若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A 、 -2 B 、 2 C 、 3 D 、 -3 7.已知226a b ab +=,且0a b >>,则 a b a b +-的值为( ) A .2 B .2± C .2 D .2± 8.若关于x 的分式方程3 232 -=--x m x x 无解,则m 的值为_______ ___. 二 、填空(每题3分,共18分) 9 .分式28,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是 10.用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是

分式培优专题例题

授课教案 学员姓名:____________ 合同编号:_______________ 授课教师:________ 所授科目:__数学_ 教学主任签字:__________ 学员年级:____ 上课时间:_____年___月___日___时___分至___时___分共___小时

4.如果21<

培优专题分式总复习含答案

13、分式总复习 【知识精读】 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10,试判断 1111a b -+,是否有意义。 分析:要判断1111 a b -+,是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11,与零的关系。 解:Θab a b +--=10 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ,中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分离分式法”简化计算。 解:原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 例3. 解方程:11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析:因为x x x x 27616++=++()(),x x x x 25623-+=--()(),所以最简公分母为:()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法, 运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。

解:Θx x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x 经检验,x =0是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知a a 269-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值,又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。 解:由已知得a b -=-=3010,,解得a b ==31, 原式=+-++-÷+-++[()()()]()42222a b a b a b ab b a a ab b ab a b b a 把a b ==31,代入得:原式= 112 4. 用方程解决实际问题 例 5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 解:设这列火车的速度为x 千米/时 根据题意,得450312450312x x x =+-. 方程两边都乘以12x ,得540042450030=+-x x 解得x =75 经检验,x =75是原方程的根

初中培优竞赛 第5讲 分式

第5讲分式 一、选择题 1.(2、3)(数学、初中数学竞赛、选择题、分式、整体代换) 已知a2?3a+1=0,则4 a2?9a?2+9 1+a2 的值为() A . 3 B.5 C. 35 D. 65 解析:显然a≠0,由题设得a+1 a =3,所求式子=4a2?3a+3a?2+9 3a =?4+3×3? 2=3. 答案:A . 技巧:通过对题设等式的整体变形,能整体求值的就整体求值代换,这样能简化运算,达到快捷解题的目的。 易错点:代换过程中容易变形失误而致错。 2. (3、4)(数学、初中数学竞赛、选择题、分式) 若4x?3y?6z=0,x+2y?7z=0(xyz≠0),则代数式5x2+2y2?z2 2x2?3y2?10z2 的值为( ) A.?1 2B.?19 2 C.-15 D.-13 解析:由题意得4x?3y=6z x+2y=7z,解得 x=3z y=2z ,代人 5x2+2y2?z2 2x?3y?10z 得 5×9z2+2×4z2?z2 2×9z?3×4z?10z = ?13. 答案:D. 技巧:将三元化为一元,然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧。易错点:这类题型在换元的时候容易计算错误。 3. (3、4)(数学、初中数学竞赛、选择题、分式)

已知x ,y ,,z 满足 2x = 3y ?z = 5z+x ,则 5x ?y y+2z 的值为( ) A.1 B. 13 C.?12 D. 12 解析:由2x = 3y ?z = 5z+x 得2(z +x )=5x ,2(y ?z )=3x ,解之得y =3x ,z =3 2 x . 所 以 5x ?y y+2z = 5x ?3x 3x+3x =1 3 ? 答案:B. 技巧:将三元化为一元,然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧。 易错点:这类题型在换元的时候容易计算错误。 二、填空题 4. (3、4)(数学、初中数学竞赛、填空题、分式) 方程 16 +1x =1 y 有 组正整数解. 解析:由原方程可得y = 6x x+6 =6?36 x+6? 又因为y 是正整数,所以x +6=9,12,18,36, 得x =3,6,12,30,都是正整数. 故原方程共有4组解. 答案:4. 技巧:将一个未知数用另一个未知数表示出来,再根据题设的限制条件(正整数解)来分析可能的正确解。 易错点:这类题型在分析可能解的时候,容易漏解。 5. (2、3)(数学、初中数学竞赛、填空题、分式) 已知a ? 1a =1,则a 8+1 a 8= 。 解析:三次求平方可得:a 2+1a =3,a 4+1a =7,a 8+1 a =47. 答案:47.

分式的基本性质经典培优题

分式的基本性质 重难点易错点辨析 分式的基本性质 题一:不改变分式的值,使下列分式的分子、分母均不含“-”号,且系数为整数. (1)11314 a b --;(2) 0.60.70.050.3x y x y ----. 分式的通分和约分 题二:对下列分式进行约分. 22121 x x x --+ 2221x x -- 请通分下列各组分式. 22,69x y ab a bc 2216,211 a a a a -++- 金题精讲 题一:(1)对下列分式进行约分. 22699 a a a -+- 3322 3399ax y x y xy axy -- (2)请通分下列各组分式. 22231,,77121 a a a a a --+- 2 2221,,4532310 x x x x x x x x --++--

题二:(1)已知a =2,b =5,求22 22 2a ab b a b ++-的值. (2) 已知x =1,y = -2,求3223 32412949x y x y xy x xy ++-的值. 满分冲刺 题一:若使1356 n n -+为可约正分数,则自然数n 的最小值应是多少? 题二:观察下列式子,回答问题. 3333333361616262.65656464++++==++++, (1)根据以上规律,填空: ()()() 333333333371717272,7676757574 ++++===+++++, (2)请你将上述规律用含有字母a 、b 的等式表达出来; (3)请证明(2)中的结论.3322()()a b a b a ab b +=+-+会帮助你! 思维拓展 题一:问题:当a 为何值时,分式22699 a a a ++-无意义? 小德是这样解答的: 解:因为()()() 2 2236939333a a a a a a a a ++++==-+-- 由a -3=0,得a =3. 所以当a =3时,分式无意义. 你认为小明的解答正确吗?如不正确,请说明错误的原因.

分式提高培优练习题

分式提高培优练习题 一、填空题 ? 1、若311=-y x ,则=---+y xy x y xy x 33535 。 ? 2、若04422=+-y xy x ;则 =+-y x y x 。 ? 3、若=-+=++9 64181732122y x y x ,则 。 ? 4、=-=n m 11mn n -m ,则 若 。 ? 5、=-≠-+b a ab b a 11,011则互为倒数,且与若 。 ? 6、=+=+-2221 ,015x x x x 则若 。 ? 7、已知为:的代数式表示则用含y x y y x ,1 1+-= 。 ? 8、若=-+?+==4422)(;2006,2005y x y x y x y x 则 。 ? 9、当x 时,1 22+-x x 的值为负数。当x 时,112--x x 的值为0。 ? 10、当x 时,11-x 有意义。当x 取何值时,4 22--x x 的值为零 二、选择题: ? 1在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米,下坡时的速度为 每小时V 2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( )。 A 、2 21v v +千米 B 、2121v v v v +千米 C 、21212v v v v +千米 D 无法确定 ? 2、甲、乙两地相距S 千米,某人从甲地出发,以v 千米/小时的速度步行, 走了a 小时后改乘汽车,又过b 小时到达乙地,则汽车的速度( ) A. S a b + B. S av b - C. S av a b -+ D. 2S a b + ? 3、如果关于x 的方程2313x m x m -=--有增根,则的值等于() A. -3 B. -2 C. -1 D. 3

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