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2017届苏教版 两个计数原理 课后限时自测

课后限时自测(五十六)

[A级基础达标练]

一、填空题

1.奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有_______________种.

[解析]分两步安排这8名运动员.

第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排,所以安排方式有4×3×2=24(种).

第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120种.

∴安排这8人的方式有24×120=2 880(种).

[答案]2880

2.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有________种.[解析]因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色.

故有3×2×1=6种涂色方案.

[答案] 6

3.(2011·北京高考)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个(用数字作答).

[解析]用2,3组成四位数共有2×2×2×2=16(个),其中不出现2或不出现3的共2个,

因此满足条件的四位数共有16-2=14(个).

[答案]14

4.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的有________个.

[解析]以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;

以2为首项的等比数列为2,4,8;

以4为首项的等比数列为4,6,9.

把这四个数列顺序颠倒,又得到4个数列,

故所求数列有8个.

[答案]8

5.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P?Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是________.

[解析]当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个).

当x≠2时,由P?Q,∴x=y.

∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.

因此满足条件的点共有7+7=14(个).

[答案]14

6.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择,其他号码只想在1、3、6、9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种.

[解析]按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二位号码有3种选法,其余三位号码各有4种选法.

因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).[答案]960

7.如图10-1-3所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个.

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图10-1-3

[解析]把与正八边形有公共边的三角形分为两类:

第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32(个).

第二类,有两条公共边的三角形共有8个.

由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).

[答案]40

8.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,则这样的四位数有________个.[解析]由题意知,1,2,3中必有某一个数字重复使用2次,第一步确定谁被使用2次,有3种方法;第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有3种方法;第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上,有2种方法.故共可组成3×3×2=18个不同的四位数.

[答案]18

二、解答题

9.如图10-1-4,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数有多少种.

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图10-1-4

[解]可依次种A,B,C,D四块,当C与A种同一种花时,有4×3×1×3=36(种)种法;当C与A所种花不同时,有4×3×2×2=48(种)种法.

由分类加法计数原理,不同的种法种数为36+48=84种.

10.电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱,其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信,甲箱中有30封,乙箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先从中确定一名幸运之星,再从两箱中各确定一名幸运观众,有多少种不同结果?

[解](1)幸运之星先在甲箱中抽,选定幸运之星,再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20=17 400(种).

(2)幸运之星先在乙箱中抽取,有20×19×30=11 400(种).

共有不同结果17 400+11 400=28 800(种).

[B级能力提升练]

一、填空题

1.如图10-1-5所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有________种.

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图10-1-5

[解析]四个焊点共有24种情况,其中使线路通的情况有:1、4

都通,2和3至少有一个通时线路才通,共有3种可能.故不通的情况有24-3=13(种)可能.

[答案] 13

2.由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有________个.

[解析] 由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43=192(个),其中无

重复数字的四位数共有3A 33=18(个).

∴有重复数字的四位数有192-18=174(个).

[答案] 174

二、解答题

3.设集合P n ={1,2,…,n },n ∈N *,记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数:

①A ?P n ;②若x ∈A ,则2x ?A ;③若x ∈?Pn A ,则2x ??Pn A .

(1)求f (4);

(2)求f (n )的解析式(用n 表示).

[解] (1)当n =4时,符合条件的集合A 为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故f (4)=4.

(2)任取偶数x ∈P n ,将x 除以2,若商仍为偶数,再除以2,…,经过k 次以后,商必为奇数,此时记商为m ,于是x =m ·2k ,其中m 为奇数,k ∈N *.

由条件知,若m ∈A ,则x ∈A ?k 为偶数;

若m ?A ,则x ∈A ?k 为奇数.

于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定.设Q n 是P n 中所有奇数的集合,因此f (n )等于Q n 的子集个数.当n 为偶数(或奇数)时,P n

中奇数的个数是n 2? ??

??或n +12,

所以f (n )=??? 2n 2,n 为偶数,2n +12,n 为奇数.