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求代数最值问题的策略与方法

求代数最值问题的策略与方法
求代数最值问题的策略与方法

“代数式求值的常用方法”专题辅导

代数式求值的常用方法 代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型,它除了按常规代入求值外,还要根据其形式多样,思路多变的特点,灵活运用恰当的方法和技巧.本文结合2006年各地市的中考试题,介绍几种常用的求值方法,以供参考. 一、化简代入法 化简代入法是指把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简,然后再代入求值. 例1先化简,再求值: () 11b a b b a a b ++ ++,其中a =,b =. 解:由a = ,b =得,1a b ab +==. ∴原式()()22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab a b ab a b ab +++=++===++++. 二、整体代入法 当单个字母的值不能或不用求出时,可把已知条件作为一个整体,代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法. 通过整体代入,实现降次、归零、约分,快速求得其值. 例2已知114a b -=,则2227a ab b a b ab ---+的值等于( ). A .6 B .-6 C .215 D .2 7 - 解:由114a b -=得, 4b a ab -=,即4a b ab -=-. ∴ ()()2242662272787a b ab a ab b ab ab ab a b ab a b ab ab ab ab -------= ===-+-+-+-.故选A. 例3若 1233215,7x y z x y z ++=++=,则111 x y z ++= . 解:把 1235x y z ++=与3217x y z ++=两式相加得,444 12x y z ++=, 即111412x y z ??++= ??? ,化简得,111 3x y z ++=.故填3. 三、赋值求值法 赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定,然后求出所提供的代数式的

3.2求代数式地值地方法

教师陆阳红学生年级一年级上课日期2019.5.25 学科数学课题名称求代数式值的方法上课时间13:00-15:00 教学目标 1.会求代数式的值,感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法. 2.会利用代数式求值推断代数式反映的规律. 3.能解释代数式求值的实际应用. 教学重难点 重点:列代数式,会求代数式的值 难点:感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法 课程教案 一、创设情境 如图就是小明设计的一个程序.当输入x的值为3时,你能求出输出的值吗? 二、 知识点一、代数式的值 1、概念像这样,用具体数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果称为代 数式的值(value of algebraic expression). 通过上面的游戏,我们知道,同一个代数式,由于字母的取值不同,代数式的值会有变化. 2、字母的取值 ①代数式中的字母取值必须使这个代数式有意义.如在代数式 1 x-3 中,x不能取3,因为当x=3时,分母x-3=0,代数式 1 x-3 无意义. ②实际问题中,字母的取值要符合题意.如当x表示人数时,x不能取负数和分数. [例题1] :下列代数式中,a不能取0的是( ). A. 1 3 a B. 3 a C. 2 a-5 D.2a-b 解析:代数式中字母的取值必须使这个代数式有意义,由分母不能为0可知,B选项中的a不能取0.故选B. 答案:B 练一练 1、要使代数式 1 x 1 - 有意义,则x需要满足什么条件? 2、要让代数式 9 3 8 - x 有意义,则x需要满足什么条件?

知识点二、代数式求值的步骤 1、步骤 第一步:代入,用具体数值代替代数式里的字母 第二步:计算,按照代数式中指明的运算,计算出结果 2、注意事项 ①一个代数式中的同一个字母,只能用同一个数值去代替。 ②如果代数式里省略乘号,那么字母用数值代替时要添上乘号,代入负数和分数时要加括号。 ③代入时,不能改变原式中的运算符号及数字。 ④运算时,要注意运算顺序,即先算平方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的。 [例题2]当a=2,b=-1,c=-3,求下列代数式的值 (1)b 2-4ac (2)(a+b+c)2 解析:(1)当a=2,b=-1,c=-3(注意:一定要这步!!!) b 2-4ac=(-1)2-4×2×(-3) =1+24 =25 (2) 练一练 1. 已知x=1,y=2,则代数式x-y 的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-3 2.(2016)当填x=1时,代数式4-3x 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3. 某商店购进一批茶杯,每个1.5元,则买n 个茶杯需付款 元.如果茶杯的零售价为每个2元,则售完茶杯得付款 元.当n=300时,该商店的利润为 元,n=3561时你能确定利润吗? 知识点三、求代数式的值的方法 (1)直接求值法 [例题3] 当a =12,b =3时,求代数式2a 2 +6b -3ab 的值. 解析:直接将a =12 ,b =3代入2a 2 +6b -3ab 中即可求得. 解:原式=2×(12)2+6×3-3×12×3=12+18-9 2 =14. 方法总结:(1)代入时要“对号入座”,避免代错字母;(2)代入后要恢复省略的乘号;(3)分数的立方、 平方运算,要用括号括起来. 试一试 根据下列各组x 、y 的值,分别求出代数式 x 2 +2xy+y 2 与x 2-2xy+y 2的值: (1)x=2,y=3; (2)x=-2,y=-4。 练一练

配方法及其应用(题目)

配方法及其应用 初一( )班 学号:_______ 姓名:____________ 一、配方法: 将一个式子变为完全平方式,称为配方,它是完全平方公式的逆用。配方法是一种重要的数学方法,它是恒等变形的重要手段,又是求最大最小值的常用方法,在数学中有广泛的应用。 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简,何时配方需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方,有时也将其称为“凑配法”. 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2 ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab ; a 2+a b +b 2=(a +b )2-ab =(a -b )2 +3ab =? ????a +b 22+? ????32b 2; a 2+b 2+c 2+ab +bc +ca =12 [(a +b )2+(b +c )2+(c +a )2]. 下面举例说明配方法的应用: 一、求字母的值 【例1】已知a ,b 满足a 2+2b 2-2ab -2b +1=0,求a +2b 的值. 分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值. 解:∵a 2+2b 2-2ab -2b +1=0, ∴a 2+b 2-2ab +b 2-2b +1=0, ∴(a -b )2+(b -1)2=0. ∵(a -b )2≥0,(b -1)2≥0, ∴a -b =0,b -1=0, ∴a =1,b =1, ∴a +2b =1+2×1=3, ∴a +2b 的值是3. 变式练习: 1、已知,6134222x xy x y x =+++则x,y 的值分别为___ ___.

培优专题5 代数式的化简和求值(含答案)-

培优专题5 代数式的化简和求值 用数值代替代数式里的字母,按照代数式里指明的运算计算出的结果,就叫代数式的值,经常利用代数式的值进行比较、推断代数式所反映的规律. 在求代数式的值时,我们经常先将代数式化简,再代入数值计算,从而到达简化计算的目的.在化简代数式时常用到去括号法则、合并同类项法则、绝对值的意义及分类讨论的思想等. 例1已知x<-3,化简│3+│2-│1+x│││. 分析这是一个含有多层绝对值符号的问题,可以从里到外一层一层地去绝对值符号. 解:∵x<-3,∴1+x<0,3+x<0 原式=│3+│2+(1+x)││ =│3+│3+x││ =│3-(3+x)│ =│-x│=-x. 练习1 1.化简:3x2y-[2xy2-2(xy-3 2 x2y)+xy]+3xy2. 2.当x<-2时,化简|1|1|| 2 x x +- - . 3.化简:│3x+1│+│2x-1│.

例2 设(2x-1)5=a5x5+a4x4+a33x+a22x+a1x+a0, 求:(1)a1+a2+a3+a4+a5+a6的值;(2)a0-a1+a2-a3+a4-a5的值;(3)a0+a2+a4的值.分析可以取x的特殊值. 解:(1)当x=1时, 等式左边=(2×1-1)5=1, 等式右边=a5+a4+a3+a2+a1+a0, ∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1.① (2)当x=-1时, 等式左边=[2×(-1)-1]5=-243, 等式右边=-a5+a4-a3+a2-a1+a0 ∴a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243.② (3)①+②得, 2a0+2a2+2a2=-242. ∴a0+a2+a4=-121. 练习2 1.当x=2时,代数式ax3-bx+1的值等于-17,那么当x=-1时,代数式12ax-3bx3-5的值等于_________. 2.某同学求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1,当x=-1时的值时,? 该生由于将式子中某一项前的“+”号误看成“-”号,算得代数式的值为7,那么这位同学看错了几次项前的符号? 3.已知y=ax7+bx5+cx3+dx+e,其中a、b、c、d、e为常数,当x=2时,y=23;当x=-2时,y=-35;那么e的值为(). A.-6 B.6 C.-12 D.12

数学七年级上《代数式》难题集萃题(答案)

浙教版数学七上 代数式 难题集萃 1.小红家9月份用了a 度电,10月份比9月份节约了b 度电,已知每用一度电须缴电费53.0元,则小红家10月份应缴电费________元. 2.一辆汽车有甲地以每小时65千米的速度驶向乙地,行驶3小时即可到达乙地,则在行驶)30(≤

求代数式的值的方法

一. 教学内容: 寒假专题——求代数式值的方法 学习要求: 1. 掌握代数式值的概念 2. 掌握求代数式的值的方法,并会准确地求出代数式的值 知识内容: 1. 代数式的值的概念 用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果就叫做代数式的值。 2. 求代数式的值的方法 求代数式的值的方法是本节的重点,它的一般步骤是:先代入,再计算。 3. 注意事项:(1)代数式里字母的取值要求: ①必须确保代数式有意义 例如,中的x就不能取3,因为当时,分母,也就是除数为0,这是没有意义的。 ②确保字母本身所表示的量有意义 例如,若用n表示旅客人数,则n只能取整数。 (2)一个代数式的值是由这个代数式中的字母的取值与指明的运算共同确定的。因此,在很多情况下,同一个代数式可能有很多个不同的值。 (3)求代数式的值时,应特别注意代数式所指明的运算,代入时,省略的乘号应复原,遇到字母取值为分数或负数时,应根据情况适当添加括号。 4. 整体代入法 在未明确给定或不能求出单个字母的取值的情况下,某些代数式的求值要借助于“整体代入法” 例如,已知,求代数式的值,我们无法知道a、b两字母的具体数值,如果把变形为,然后把看成一个整体,用数值5来 代入。即有: 【典型例题】 例1. 求当,b=3时,代数式的值。 解:当,b=3时 原式 说明 1. 将代数式中的a用数字代替,b用数字3代替,这个过程叫做代入。 2. 计算时,按先乘方,再乘除,后加减的顺序 3. 注意“对号入座”不要错位,也就是说,代数式中的字母a只能用代替,b只能用3代替。

4. 要恢复省略了的乘号。 5. 是分数,如果代入后是对它进行立方、平方运算,必须把它用括号括起来。 例2. 根据如图所示的程序计算函数值。若输入的x 值为,则输出的结果为( ) A. B. C. D. 解析:将x 的值代入代数式之前,先要判断应该代入哪个代数式中,而这一点必须根据方框中对x 的取值的限制来确定,由于,属于 的范围中,故应将 代入代数式 中,当 时,代数式 ,即此时 ,也就 是输出的y 值为。 解:选C 归纳:题目中指输出的y 值,实际上就是符合范围的对应的代数式的值,代数式的值与以后学习的函数值是有联系的。 例3. 已知 , ,求 的值 分析:先将原式合并同类项,化为含有,xy 的代数式,再将,xy 之值 代入求得 解:原式 , 原式 说明:本题采用“整体代入法”,整体思想是数学中常用的思想方法。用这种方法常常使某些较复杂的问题简单化。 整体代入就是根据不同的需要将问题中的某个部分看成一个整体,即相当于一个大字母,而我们要面对的较复杂的代数式就变成关于这个大字母的简单的代数式了,如本题可看作求 的值。 例4. 当时,求代数式 的值 解:

中考数学十大解题思路之配方法

中考数学专项讲解 配方法 知识梳理 把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的,这种解题方法叫配方法. 配方法的作用在于改变代数式的原有结构,是求解变形的一种手段;配方法的实质在于改变式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具,配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用. 运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”,应具有整体把握题设条件的能力,即善于将某项拆开又重新分配组合,得到完全平方式. 典型例题 一、配方法在解一元二次方程中的应用 【例1】用配方法解方程x 2+6x+3=0. 【解】 移项,得x 2+6x =-3 配方,得222 666322x x ????++=-+ ? ????? 即(x+3) 2=6,从而3x += 所以13x =,23x =. 二、配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 一般地,这种题型方程系数含有字母,可通过配方法把b 2-4a c 变形为±(m ±h) 2+k 的形式,由此得出结论,无论m 为何值,b 2-4a c ≥0或b 2-4a c ≤0,从而判定一元二次方程根的情况. 【例2】 已知关于x 的方程x 2-m x+m -2=0.求证:方程有两个不相等的实数根. 【证明】 因为△=(m -2)2+4>0 所以方程x 2-mx+m -2=0有两个不相等的实根; 变式;已知二次函数y=x 2-mx+m -2,求证:不论m 为何值,抛物线y=x 2-mx+m -2总与x 有两个不同的交点. 三、配方法在求二次函数的顶点坐标和最值的应用 对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成y=a (x -h) 2+k 的形式,则得到顶点坐标(h ,k);若a >0,函数值y 有最小值k ;若a <0时,函数值y 有最大值为k . 【例3】通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标: (1)y=x 2-2x -4; (2)21522 y x x =-+- 【解】 (1)()22 222 2224241522y x x x x x ????=--=-+--=-- ? ????? a =1>0,∴开口向上. 对称轴方程是x=1,顶点坐标是(1,-5).

七年级求代数式的值习题

1、已知;,012=-+a a 求1999223++a a 的值 2、已知032 =-+x x 求243 +-x x 的值. 3、若21=+ x x 则2 2 1x x + = 4、已知8xy =满足2256x y xy x y --+=。求22x y +的值。 5、如果x +y =6, xy =7, 那么x 2+y 2=______ 6、已知:49)(,52=+=-y x y x ,求22y x +的值. 7、已知31=+ x x ,求⑴ 2 2 1x x + ,⑵ 2 )1(x x - 8、如果x +y =6, xy =7, 那么x 2+y 2= 9、a+b=5, ab=3,求:(1) (a-b)2 ;(2) a 2+b 2 ;(3) a 4+b 4 10、已知6)(,18)(22=-=+y x y x ,求:①的值;22y x + ②xy 的值. 11、已知a 2 -3a +1=0. ①、求a a 1+ 和2 21a a + 的值; ②、a 3与8a -3的值是否一定相等?若相等,请说明理由;若不相等,请举例说明. 12、若321x y z -=-=-,求222x y z xy yz zx ++---的值。 13、已知4m +n =90,2m -3n =10,求(m +2n )2-(3m -n )2的值. 14、已知:2 c a ,3b a =-=-,求:()()()()()[]22c a c a b a b a b c -+--+--的值。 15、已知a +b=0,求a 3 -2b 3 +a 2b -2ab 2的值. 16、若x 2 +mx +n=(x -3)(x +4),求(m +n)2 的值. 17、已知:a=10000,b=9999,求a 2+b 2-2ab -6a+6b+9的值。 18、已知(4x -2y -1)2+2-xy =0,求4x 2y -4x 2y 2-2xy 2 的值. 19、已知10m =20,10n = 5 1,的值求n m 239÷. 20、已知5922=-+y x y x ,求y x 的值。 21、已知, 07 z 3 y 2 x ≠-= = ,求 z y z y x -++的值。

代数式经典测试题及答案

代数式经典测试题及答案 一、选择题 1.若(x +1)(x +n )=x 2+mx ﹣2,则m 的值为( ) A .﹣1 B .1 C .﹣2 D .2 【答案】A 【解析】 【分析】 先将(x+1)(x+n)展开得出一个关于x 的多项式,再将它与x 2+mx-2作比较,即可分别求得m ,n 的值. 【详解】 解:∵(x+1)(x+n)=x 2+(1+n)x+n , ∴x 2+(1+n)x+n=x 2+mx-2, ∴12n m n +=??=-? , ∴m=-1,n=-2. 故选A . 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式的法则以及类比法在解题中的运用. 2.下列各运算中,计算正确的是( ) A .2a?3a =6a B .(3a 2)3=27a 6 C .a 4÷a 2=2a D .(a+b)2=a 2+ab+b 2 【答案】B 【解析】 试题解析:A 、2a ?3a =6a 2,故此选项错误; B 、(3a 2)3=27a 6,正确; C 、a 4÷a 2=a 2,故此选项错误; D 、(a+b )2=a 2+2ab +b 2,故此选项错误; 故选B . 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识,正确化简各式是解题关键. 3.下列运算正确的是( ) A .21ab ab -= B 3=± C .222()a b a b -=- D .326()a a = 【答案】D 【解析】 【分析】 主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.

解: A 项,2ab ab ab -=,故A 项错误; B 3=,故B 项错误; C 项,222()2a b a ab b -=-+,故C 项错误; D 项,幂的乘方,底数不变,指数相乘,32236()a a a ?==. 故选D 【点睛】 本题主要考查: (1)实数的平方根只有正数,而算术平方根才有正负. (2)完全平方公式:222()2a b a ab b +=++,222()2a b a ab b -=-+. 4.已知:1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,…,根据前面各式的规律可猜测:101+103+105+…+199=( ) A .7500 B .10000 C .12500 D .2500 【答案】A 【解析】 【分析】 用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可. 【详解】 解:101+103+10 5+107+…+195+197+199 =22119919922++????- ? ????? =1002﹣502, =10000﹣2500, =7500, 故选A . 【点睛】 本题考查了规律型---数字类规律与探究,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题. 5.下列各式中,计算正确的是( ) A .835a b ab -= B .352()a a = C .842a a a ÷= D .23a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可.

3.2求代数式的值的方法

教师姓名 陆阳红 学生姓名 年 级 一年级 上课日期 2019.5.25 学 科 数学 课题名称 求代数式值的方法 上课时间 13:00-15:00 教学目标 1.会求代数式的值,感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法. 2.会利用代数式求值推断代数式反映的规律. 3.能解释代数式求值的实际应用. 教学重难点 重点:列代数式,会求代数式的值 难点:感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法 课程教案 一、创设情境 如图就是小明设计的一个程序.当输入x 的值为3时,你能求出输出的值吗? 二、 知识点一、代数式的值 1、概念 像这样,用具体数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果称为代数式的值(value of algebraic expression ). 通过上面的游戏,我们知道,同一个代数式,由于字母的取值不同,代数式的值会有变化. 2、字母的取值 ①代数式中的字母取值必须使这个代数式有意义.如在代数式1 x -3 中,x 不能取3,因为当x =3时,分母x -3 =0,代数式1 x -3 无意义. ②实际问题中,字母的取值要符合题意.如当x 表示人数时,x 不能取负数和分数. [例题1] :下列代数式中,a 不能取0的是( ). A.1 3 a B.3a C.2a -5 D .2a -b 解析:代数式中字母的取值必须使这个代数式有意义,由分母不能为0可知,B 选项中的a 不能取0.故选B. 答案:B 练一练 1、要使代数式 1x 1 -有意义,则x 需要满足什么条件? 2、要让代数式9 38 -x 有意义,则x 需要满足什么条件?

数学竞赛中代数式最值问题的解题策略

数学竞赛中代数式最值问题的解题策略 邮编:422200 作者:湖南隆回一中 邹启文 数学竞赛中最值问题,有一定难度,但只要我们去认真的分析,仔细地思考,不管问题再难,其实万变不离其宗,总离不开所学过的知识点和基本方法。如不等式法(包含非负数性质a ≥0,2a ≥0, a ≥0,一元二次方程判别式△≥0,整体大于部分等等),公式法(包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等),区间取值法(包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等),在求解方法上也有其规律性,如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法,还有转化为几何图形法等等。近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题,在题型上已呈现出一个崭新的形势,其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度,同时最值的求法也有了较大的拓展,打破了原有的思维定势,但仍然是有章可循的。 例1:已知设1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数,且1x <2x <3x <……<n x , 1x +2x +, 3x +……+n x =2005,则n x 的最大值是____最小值____(2005年 自编题) 分析:这是一道须利用不等式求解的试题,由于有1x +2x +3x +……+n x =2005,所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近,于是可由此确定3x 的数值或范围。然后再求n x 的最大与最小数值。 解:由题意可设1x +2x +3x +……+n x =1+2+3+……+n =2005,由高斯求和公式可 得 ()200521=+n n ,解得63≈n ,但当63=n 时()()201632632 1636321=?=+=+n n 当62=n 时()()195363312 1626221=?=+=+n n ,∵1953≤2005≤2016,且n 是整数,∴n ≠62或63,我们又观察到平均值()?=++++n n n x x x x 13211ΛΛ40152005?=,

代数式求值的常用方法1

代数式求值的常用方法 代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型,它除了按常规代入求值外,还要根据其形式多样,思路多变的特点,灵活运用恰当的方法和技巧.本文结合2006年各地市的中考试题,介绍几种常用的求值方法,以供参考. 一、化简代入法 化简代入法是指把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简,然后再代入求值. 例1先化简,再求值: () 11b a b b a a b ++ ++,其中512a +=,51 2b -=. 解:由512a += ,51 2 b -=得,5,1a b ab +==. ∴原式()()22()()5()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab a b ab a b ab +++=++===++++. 二、整体代入法 当单个字母的值不能或不用求出时,可把已知条件作为一个整体,代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法. 通过整体代入,实现降次、归零、约分,快速求得其值. 例2已知 114a b -=,则2227a ab b a b ab ---+的值等于( ). A .6 B .-6 C .215 D .2 7 - 解:由114a b -=得, 4b a ab -=,即4a b ab -=-. ∴()()2242662272787a b ab a ab b ab ab ab a b ab a b ab ab ab ab -------====-+-+-+-.故选A. 例3若 1233215,7x y z x y z ++=++=,则111 x y z ++= . 解:把 1235x y z ++=与3217x y z ++=两式相加得,444 12x y z ++=, 即111412x y z ??++= ??? ,化简得,111 3x y z ++=.故填3. 三、赋值求值法 赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定,然后求出所提供的代数式的值的一种方法.这是一种开放型题目,答案不唯一,在赋值时,要注意取值范围. 例4先化简2332 11 x x x +---,然后选择一个你最喜欢的x 的值,代入求值. 解:原式()()()312321 111111 x x x x x x x += -=-= +-----.

代数式求值的十种常用方法

代数式求值的十种常用方法 一、利用非负数的性质 若已知条件是几个非负数的和的形式,则可利用“若几个非负数的和为零,则每个非负数都应为零”来确定字母的值,再代入求值。目前,经常出现的非负数有,,等。 例1、若和互为相反数,则 =_______。 解:由题意知,,则且,解得 ,。因为,所以,故填37。 二、化简代入法 化简代入法是指先把所求的代数式进行化简,然后再代入求值,这是代数式求值中最常见、最基本的方法。 例2、先化简,再求值:,其中 ,。 解:原式。 当,时, 原式。 三、整体代入法 当单个字母的值不能或不用求出时,可把已知条件作为一个整体,代入到待求的代数式中去求值的一种方法。

通过整体代入,实现降次、归零、约分的目的,以便快速求得其值。 例3、已知,则=_______。 解:由,即。 所以原式 。 故填1。 四、赋值求值法 赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定,然后求出所提供的代数式的值的一种方法。这是一种开放型题目,答案不唯一,在赋值时,要注意取值范围。 例4、请将式子化简后,再从0,1,2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x的值代入求值。 解:原式 。 依题意,只要就行,当时,原式或当时,原式。 五、倒数法 倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形,从而求出代数式的值的一种方法。 例5、若的值为,则的值为

A. 1 B. –1 C. D. 解:由,取倒数得, ,即。 所以 , 则可得,故选A。 六、参数法 若已知条件以比值的形式出现,则可利用比例的性质设比值为一个参数,或利用一个字母来表示另一个字母。 例6、如果,则的值是 A. B. 1 C. D. 解:由得,。 所以原式 。

初中数学方法篇一:配方法

数学方法篇一:配方法 把代数式通过凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的,这种解题方法叫配方法. 【范例讲析】 1.配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用 在求二次根式中的字母的取值范围时,经常可以借助配方法,通过平方项是非负数的性质而求解。 例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评:经过配方,观察被开方数,然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。 2.配方法在化简二次根式中的应用 在二次根式的化简中,也经常使用配方法。 例2、化简526-的结果是___________________. 点评:题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2 )((其中? ??==+b xy a y x )来化简。 3.配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用 在证明代数式的值为正数或负数,配方法也是一种重要的方法。 例3、不管x 取什么实数,322-+-x x 的值一定是个负数,请说明理由。 点评:证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。 4.配方法在解某些二元二次方程中的应用 解二元二次方程,在课程标准中不属于考试内容,但有些问题,还是可以利用我们所学的方法得以解决。 例4、解方程052422=+-++y x y x 。 点评:把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组???=-=+010 2y x 问题,把生疏问题转化为熟悉 问题,体现了数学的转化思想,正是我们学习数学的真正目的。 5.配方法在求最大值、最小值中的应用 在代数式求最值中,利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们求出所要求的最值。 例5、若x 为任意实数,则742++x x 的最小值为_______________________. 点评:配方法是求一元二次方程根的一种方法,也是推导求根公式的工具,同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。 6.配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 配方法是求一元二次方程根的一种方法,也是推导求根公式的工具,并且也是解决其他问题的方法,其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。 例6、证明:对于任何实数m ,关于x 的方程()22231470x m x m m +-+--=都有两个不相等的实数根。 点评:利用判别式证明方程根的情况是一种常见的题型,其实质上判断判别式的正负,一般都可以利用配方法解决。 7.配方法在恒等变形中的应用 配方法在等式的恒等变形中也经常用到,特别是含有多个二次式时,经常把他们分别配方,转变为平方式。然后再进行解决。 例7、已知ac bc ab c b a ++=++222又知a 、b 、c 为三角形的三条边, 求证:该三角形是等边三角形。 点评:配方法在等式恒等变形中的应用,经常会让我们收到意想不到的效果。

专题10 求代数式的值(学案)

专题10 求代数式的值(学案) 前言: 由数与字母经有限次代数运算(加、减、乘、除、乘方、开方)所组成的表达式叫做代数式。 已知一个代数式,把式中的字母用给定数值代替后,运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。 一、专题知识 1. 基本公式 (1)立方和公式:2233()()a b a ab b a b +-+=+ (2)立方差公式:2233()()a b a ab b a b -++=- (3)完全立方和:33223()33a b a a b ab b +=+++ (4)完全立方差:33223()33a b a a b ab b -=-+- 2. 基本结论 (1)33322()33a b a b a b ab +=+-- (2)33322()33a b a b a b ab -=-+- (3)22()()4a b a b ab -=+- 二、例题分析 例题1 已知y z x z x y x y z +++==求代数式y z x +的值。 【解】 例题2 已知234100x y +-=,求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。 【解】 例题3 实数,,a b c 满足条件:23122,24 a b ab c -= +=-,求代数式2a b c ++的值。 【解】

例题 4 已知,,,m n p q 为非负整数,且对于任意正数x ,()()111m p n q x x x x ++-=恒成立,求代数式()222q m n p ++的值。 【解】 三、专题训练 专题练习 1. 已知,,a b c 为实数,且 111,,345ab bc ac a b b c a c ===+++,求代数式abc ab bc ca ++的值。 2. 已知实数,x y 满足条件:()33120041002(1)20043006x y y x ?-+=??-+=??,求代数式x y +的值。 3. 已知,a b 都是正整数,且满足5659,0.90.91a a b b ≤+≤<<,求代数式22b a -的值。 4. 已知2223334441,2,3,a b c a b c a b c a b c ++=++=++=++求的值。 5. 已知1,0x y z a b c a b c x y z ++=++=,求代数式222222x y z a b c ++的值。

高中数学专题讲义-最值问题 代数式的最值

【例1】 若0x >,则4 23x x ++的最小值是_________. 【例2】 设a 、b ∈R ,则3a b +=,则22a b +的最小值是_________. 【例3】 若a 、b +∈R ,且1a b +=,则ab 的最大值是 . 典例分析 代数式的最值

【例4】 已知不等式()19a x y x y ?? ++ ??? ≥对任意正实数x y ,恒成立,则正实数a 的最小值 为( ) A .8 B .6 C .4 D .2 【例5】 当___x =时,函数22(2)y x x =-有最 值,其值是 . 【例6】 正数a 、b 满足9a b =,则1 a b +的最小值是 . 【例7】 若x 、*y ∈R 且41x y +=,则x y ?的最大值是_____________.

【例8】 设0,0x y ≥≥,2 2 12 y x +=,则的最大值为 . 【例9】 已知0x >,0y >,1x y +=,则1111x y ? ???++ ? ?? ???的最小值为 【例10】 设0a b >>,那么21 ()a b a b + -的最小值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5

【例11】 设221x y +=,则()()11xy xy -+的最大值是 最小值 是 . 【例12】 已知 ()23 200x y x y +=>>,,则xy 的最小值是 . 【例13】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >,且a b ≠,求mx ny +的最大值. 【例14】 0,0,4,a b a b >>+=求2 2 11a b a b ? ???+++ ? ?? ???的最小值.

代数式求值方法

点击代数式求值方法 运用已知条件,求代数式的值是数学学习的重要内容之 一。它除了按常规代入求值法,还要根据题目的特点,灵活运用恰当的方法和技巧,才能达到预期的目的。下面举数例介绍常用的几种方法和技巧。 一、常值代换求值法 常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换,然后通过计算或化简,求得代数式的值。 例1 已知ab=1,求221111b a +++的值 [解] 把ab=1代入,得 2 21111b a +++ =22b ab ab a ab ab +++ = b a a b a b +++ =1 [评注] 将待求的代数式中的常数1,用a ·b 代入是解决该问题的技巧。而运用分式的基本性质及运用法则,对代入后所得的代数式进行化简是解决该问题的保证。 二、运用“非负数的性质”求值法 该法是指运用“若几个非负数的和为零,则每一个非负数应为零”来确定代数式中的字母的值,从而达到求代数式的值

的一种方法。 例 2 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0,求 b a a b +之值。 [解] ∵a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1 =(a 2b 2-2ab+1)(a 2-2ab+b 2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴???==-. 1,0ab b a 解得???==;1,1b a ? ??-=-=.1,1b a 当a=1,b=1时,b a a b +=1+1=2 当a=-1,b=-1时, b a a b +=1+1=2 [评注] 根据已知条件提供的有价信息,对其进行恰当的分组分解,达到变形为几个非负数的和为零,这一新的“式结构”是解决本题的有效策略,解决本题要注意分类讨论的方法的运用。 三、整体代入求值法 整体代入法是将已条件不作任何变换变形,把它作为一个整体,代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法。 例3 若x 2+x+1=0,试求x 4+2003x 2+2002x+2004的值。

如何求代数式的值

1 如何求代数式的值 1.直接求值法 先把整式化简,然后代入求值. 例1 先化简,再求值:3-2xy+2yx 2+6xy-4x 2y ,其中x=-1,y=-2. 2.隐含条件求值法 先通过隐含条件将字母取值求出,然后化简求值. 例2 若单项式-3a 2-m b 与b n+1a 2是同类项,求代数式m 2-(-3mn+3n 2)+2n 2的值. 例3 已知2-a +(b+1)2=0,求5ab 2-[2a 2b-(4ab 2-2a 2 b)]的值. 3.整体代入法 不求字母的值,将所求代数式变形为与已知条件有关的式子,如倍差关系、 和差关系等. 例4 已知x 2+4x-1=0,求2x 4+8x 3-4x 2-8x+1的值. 例5 已知x 2-x-1=0,求x 2+21 x 的值. 4.换元法 出现分式或某些整式的幂的形式时,常常需要换元. 例6 已知b a b a +-2=6,求代数式b a b a +-)2(2+)2() (3b a b a -+的值. 5.特值代入求值 在选择题与填空题中,由于不用计算过程,也可以用特殊值法来计算,即选取符合条件的字母的值,直接代入代数式得出答案. 例7 已知-1<b <0, 0<a <1,那么在代数式a -b 、a+b 、a+b 2、a 2+b 中,对任意的a 、 b ,对应的代数式的值最大的是 (A) a+b (B) a -b (C) a+b 2 (D) a 2+b 解:取21-=b ,2 1=a ,分别代入四个选择支计算得:(A)的值为0;(B)的值1;(C) 的值为43;(D)的值为4 3,所以选(B) 例8 设,)1()1(322dx cx bx a x x +++=-+则=+++d c b a 析解:d c b a +++恰好是32dx cx bx a +++当1=x 时的值。故取1=x 分别代入等 式,)1()1(322dx cx bx a x x +++=-+左边是0,右边是d c b a +++,所以

求代数式的值

代数式求值的十种常用方法 代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型,它除了按常规直接代入求值外,还要根据其形式多样,思路多变的特点,灵活运用恰当的方法和技巧,本文结合近两年各地市的中考试题,介绍十种常用的求值方法,以供参考。 一、利用非负数的性质 若已知条件是几个非负数的和的形式,则可利用“若几个非负数的和为零,则每个非负数都应为零”来确定字母的值,再代入求值。 1、若a 31-和38-b 互为相反数,则2712 -??? ??ab =_______。 解:由题意知, ,则且,解得,。因为,所以,故填37。 练习:若()0322=++-b a ,则()2007b a +的值是( ) A.0 B.1 C.–1 D.2007 提示:,,选C 。 二、化简代入法 化简代入法是指先把所求的代数式进行化简,然后再代入求值,这是代数式求值中最常见、最基本的方法。 例2、先化简,再求值:()()()b a b a b b ab b a -+-÷--3222,其中2 1=a ,1-=b 。 解:原式 。 当2 1= a ,1-= b 时, 原式=1。 练习:已知3=a ,2-=b ,求22211b ab a ab b a ++??? ??+的值。 提示:原式。 当3=a ,2-=b 时,原式=1。

三、整体代入法 当单个字母的值不能或不用求出时,可把已知条件作为一个整体,代入到待求的代数式中去求值的一种方法。通过整体代入,实现降次、归零、约分的目的,以便快速求得其值。 例3、已知,则=_______。 解:由,即。 所以原式 故填1。 练习:代数式6432+-x x 的值为9,则63 42+-x x 的值为( ) A.7 B. 18 C. 12 D. 9 提示:13 42=-x x ,选A 。 四、赋值求值法 赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定,然后求出所提供的代数式的值的一种方法。这是一种开放型题目,答案不唯一,在赋值时,要注意取值范围。 例4、请将式子 化简后,再从0,1,2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意 义的x 的值代入求值。 解:原式 。 依题意,只要就行,当时,原式或当时,原式。 练习:先将式子化简,然后请你自选一个理想的x 值求出原式的值。 提示:原式 。只要和的任意实数均可求得其值。 五、倒数法 倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形,从而求出代数式的值的一种方法。 例5、若的值为,则的值为 A. 1 B. –1 C.71- D.5 1

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