函数图像、导数及应用

高三文科数学辅导 三、函数图象、导数及其应用

1、函数2

2log 2x

y x

-=+的图像关于 ( ) A 原点对称 B 直线y x =-对称 C y 轴对称 D 直线y x =对称

2、为了得到函数12

3

-=-x y 的图像，只需把函数x y 2=的图像上所有的点 （ ）

A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 3、函数ln |1|y x =-的图象大致是

（ ）

A

B

C

D

4、函数函数2222x x

x x

y --+=-的图像大致为 ( ).

5、已知函数()log (21)(01)x

a f x

b a a =+->≠，的图象

如图所示，则a b ，满足的关系是 （ ） A ．1

01a b -<<< B ．1

01b a -<<<

C ．1

01b

a -<<<-

D ．1

1

01a

b --<<<

6、函数y = x 2 －2x 在区间[a ,b ]上的值域是[－1,3], 则点(a ,b )的轨迹是右图中的 （ ）

A ．线段A

B 和线段AD B ．线段AB 和线段CD

C ．线段A

D 和线段BC D ．线段AC 和线段BD

7、 函数y = x 3 与y =2

12x -??

?

??

的图象交点所在区间是 （ ）

D

A ．（0，1）

B ．（1，2）

C ．（2，3）

D ．（3，4）

8、在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x

y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（ ） A ．e -

B ．1

e

-

C ．e

D ．

1e

9、函数x

x g x

x f -=+=122

)(log 1)(与在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )

A

B C D

10、已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示，下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 （ ）

A B C D

11、函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图像大致是 （ ）

A. B. C. D. 12、下列求导运算中正确的是（ ） A 211)1(x

x x +='+

B 2ln 1)(log 2x x ='

C e x x 3log 3)3(='

D x x x x sin 2)cos (2-=' 13、函数2

2

3

)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ） A.)3,3(- B.)11,4(- C. )3,3(-或)11,4(- D.不存在

14、函数512322

3

+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ） A. 5，15 B. 5，4- C. 5，15- D. 5，16-

15、过曲线23

-+=x x y 上一点0P 处的切线平行于直线41y x =+，则点0P 的一个坐标是（ ） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) 16、)1,0(33)(3

在b bx x x f +-=内有极小值，则 （ B ）

A ．0>b

B ．10<

C ．1

D ．2

1

<

b 17、某物体的运动方程是+

=t S 9

13

t , 则当s 3t =时的瞬时速度是 ( ) A. 10m /s B. 9m /s C. 4m /s D. 3m /s

18、已知函数1)(2

3

--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A.),3[]3,(+∞--∞ B.]3,3[- C. ),3()3,(+∞--∞ D.)3,3(- 19、下列说法正确的是 （ ）

A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大

B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C. 对于12)(2

3+++=x px x x f ,若6||<

p ,则)(x f 无极值;

D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.

20、函数2sin y x x =+在区间[,]2

π

π上的最大值是（ ）

A.

23

π

B.23π

D.以上都不对 21、若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．

22、设)(),(x g x f 在[a ，b]上可导，且)()(x g x f '>'，则当b x a <<时有 （ ）

A ．)()(x g x f >

B ．)()(x g x f <

C ．)()()()(a f x g a g x f +>+

D ．)()()()(b f x g b g x f +>+

23.、曲线122

-=x y 在点（1,1-）的切线方程为 . 24.、函数2ln y x x =-的递减区间是 .

25、如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，给出下列判断： (1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增；

a

b a b a

(2) 函数y=f(x)在区间（－

2

1

，3）内单调递减；

(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2

(4) 当x= －

2

1

时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;

则上述判断中正确的是 .

26、 设函数,522

1)(2

3

+--=x x x x f 若对于任意]2,1[-∈x 都有m x f <)(成立, 求实数m 的取值范围.

27、 已知函数()ln f x x x =． （1）求()f x 的最小值；

（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围．

28、设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.

29、已知函数)1ln(2)(2x ax x f -+=（a 为实数）. （I ）若)(x f 在1-=x 处有极值，求a 的值；

（II ）若)(x f 在[32]--，

上是增函数，求a 的取值范围.

30、已知函数x x x f ln 2

1)(2

+=

（1）求函数)(x f 在[1，e]上的最大值，最小值；

（2）求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在函数3

3

2)(x x g =图象的下方

1、A 2D 3C 4A 5、A 6A 7B 8B 9 10D 11C 12A 26、 设函数,522

1)(2

3

+--

=x x x x f 若对于任意]2,1[-∈x 都有m x f <)(成立, 求实数m 的取值范围.

解: ,23)(2

--='x x x f 令,0)(='x f 得3

2

-=x 或1=x . ∵当32-

x 时, ,0)(>'x f 当13

2

<<-x 时, ,0)(<'x f ∴)(x f y =在)32,(--∞ 和),1(∞+ 上为增函数,在)1,32

( -上为减函数,

∴)(x f 在32

-=x 处有极大值, 在1=x 处有极小值.

极大值为27

22

5)32(=-f , 而7)2(=f , ∴)(x f 在]2,1[ -上的最大值为7.

若对于任意x ]2 ,1[-∈都有m x f <)(成立, 得m 的范围 7>m . 27、 已知函数()ln f x x x =． （1）求()f x 的最小值；

（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围

解：（1） ()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+．

令()0f x '>，解得1e x >

；令()0f x '<，解得1

0e

x <<． 从而()f x 在10e ?? ???

，单调递减，在1

e

??∞ ???

，+单调递增． 所以，当1e x =

时，()f x 取得最小值1e

-． （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立，

即不等式1

ln a x x

≤+对于[1)x ∈+∞，恒成立 ． 令1

()ln g x x x

=+

， 则21111()1g x x x x x ??'=-=- ???．

当1x >时，因为11()10g x x x ??

'=

-> ???

， 故()g x 是(1)+∞，

上的增函数 所以()g x 的最小值是(1)1g =，从而a 的取值范围是(1]-∞，

． 28、设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.

解:（Ⅰ）2,2,0)(),2(3)(212

=

-=='-='x x x f x x f 得令

∴当0)(,22,0)(22<'<<->'>-

∴)(x f 的单调递增区间是),2()2,(+∞--∞及，单调递减区间是)2,2(- 当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=

有极小值x f x

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略）

∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点， 即方程α=)(x f 有三解（

（Ⅲ）)1()5)(1()1()(2

-≥-+--≥x k x x x x k x f 即 ∵),1(5,12

+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立

令5)(2

-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数， ∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k 29、已知函数)1ln(2)(2

x ax x f -+=（a 为实数）. （I ）若)(x f 在1-=x 处有极值，求a 的值；

（II ）若)(x f 在[32]--，

上是增函数，求a 的取值范围. 解：（I ）由已知得f x ()的定义域为()-∞，1

又f x ax x

'()=-

-22

1

∴由题意得f a '()-=--=1210 ∴=-a 12

（II ）依题意得

f x '()>0对x ∈--[]32，恒成立，∴2-

->ax x

2

10

∴>

-<-+=--+

22111

1214

22ax x a x x

x ，()

x x ∈--∴--+[]()3212142，，的最大值为---+=-()2121

4

62

∴--+

112142()x 的最小值为-1

6

又因a =-16时符合题意∴≤-a 1

6

为所求

30、已知函数x x x f ln 2

1)(2

+=

（1）求函数)(x f 在[1，e]上的最大值，最小值；

（2）求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在函数3

3

2)(x x g =图象的下方

（1）由x x x f ln 21)(2+= 有x

x x f 1

)(+='（2分）

当[]0,1∈x 时，)(x f '＞0增

∴121)()(2max +==e e f x f ，2

1

)1()(max ==f x f （2）设323

2

ln 21)(x x x x F -+=

，则x x x x x x x x F )21)(1(21)(2++-=

-+=' 当[]+∞∈,1x 时，)(x F '＜0减，且6

1

)1(-

=F ＜0 故[]+∞∈,1x 时)(x F ＜0

∴x x ln 212+＜33

2

x ，得证