高考数学冲刺专题复习之均值不等式教师版
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文档大全高考数学（文）冲刺专题复习之——均值不等式
一、知识点梳理
1、均值不等式
（1）基本不等式：若a,b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）
（2）均值不等式：若a,b∈R+，则2211222babaabba??????（当且仅当a=b时取“=”号）
①（一正）0,0??ba；
②（二定：积定和最小，和定积最大）若sba??，则ab有最大42s值；若pab?，则ba?有最小p2值；
③（三相等）当且仅当a=b时取“=”号；
（3）均值不等式的推广（三个数的均值不等式）：若,,abcR??，则abc??
≥33abc（等号仅当abc??时成立）
2、均值不等式的变形
①ab≤22ab???????≤222ab?；②abc
≤33abc????????；
3、二个重要不等式：
①若a,b同号，则2??baab（当且仅当a=b时取“=”号）
②若x∈R+，则12xx??（当且仅当1x?时取“=”号）
4、由不等式求最值的方法：
（1）、积定，求和最小值：①基本不等式a2+b2≥2ab ②
2abab??
（2）、和定，求积最大值：ab≤2ab?ab（≤22ab???????）（3）、和定，求和与积的最大、最小：①2ab?≤222ab?
②ab≤222ab?
5. 不等式解法⑴整式不等式：①??0axba??；②????200axbxca?????——图
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文档大全像法
③高次不等式：()()()0mxaxbxc????——穿根法(系数正化、轴上标根、穿根取解)
⑵分式不等式：①()()0()0()0()fxgxfxgxgx???????（分→整）；
②()()()fxhxgx?()()()0()fxgxhxgx???；
⑶绝对值不等式：①()fxa?（0a?）()afxa????；
②()fxa?（0a?）()fxa??或()fxa??．（若a换为()gx可仿上处理）．
6.简单的线性规划
⑴二元一次不等式（组）表示的平面区域及判定方法；
⑵可行域：满足约束条件（不等式组）所表示的平面区域；
⑶目标函数：关于,xy的函数解析式；
⑷线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。
⑸解线性规划问题的一般步骤：设未知数、列出约束条件、建立目标函数、求最优解。
二、考点、题型及方法
考点1 均值不等式
1、设,xyR?,且0xy?，则222211()(4)xyyx??的最小值为
。
2、（重庆）已知0,0,2abab????，则14yab??的最小值是
（A）72（B）4 （C）92（D）5
（C）
3、（10 山东）若对任意0x?，231xaxx??≤，则实数a的取值范围是 . 【解】因为0x?，所以12xx?≥（当且仅当1x?时等号成立），
则21111312353xxxxx??????≤=，即231xxx??的最大值为15，故15a≥. 4、（四川）设0abc???，则
221121025()aaccabaab?????的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m
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文档大全（A）2 （B）4 （C）25（D）5 【解】221121025()aaccabaab?????
＝2211(5)()acaabababaab??????? w_w_w.k*s 5*u.c o*m
＝211(5)()()acabaababaab???????
0224????
当且仅当??50,1,1acabaab?????时等号成立
如取222,,25abc???满足条件. （B）
5、（上海）若,abR?，且0ab?，则下列不等式中，恒成立的是（）（A）222abab??（B）2abab??
（C）112abab??（D）2baab??
（D）
6、（重庆）已知0,0,228xyxyxy?????，则2xy?的最小值是（）
（A）3 （B）4 （C）92（D）112
【解】考察均值不等式
????0322422?????yxyx
2228)2(82?????????????yxyxyx，整理得
即????08242?????yxyx，又02??yx，42???yx
7、（1）求22614xyx???的最大值。（2）求函数2241yxx???
的最小值。
【解】（1）222222616166334(1)32311xxyxxxx?????????????，
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文档大全即y的最大值为3，当且仅当2311xx???时，即22x?，2x??时取得最大值。
（2）222244112413.11yxxxx????????????
?y的最小值为3，当且仅当22411xx???，即22(1)4x??，212x??，1x??时取得最小值。
8、已知125xy????，求xy?的最小值
【解】法1：（换元法）令1,2uxvy????，即在5uv??时，
??22212uvuv???，所以
2222121xyuvuv????????取最小值。因为
22252uv??。所以222712uv???。当uv??52，即2133,44xy??时，xy?有最小值是272
法2：
??????????1212=25112=22xyxyxyxyxy??????????????????
所以，272xy??
训练xyR?、,1x y??，求21+21xy??的最大值。
提示：2a b?≤222ab?
9、若实数a，b满足2ab??，则33ab?的最小值为（）
（A）18 （B） 6 （C）23
（D）23
（B）
10、当,xyR?时，函数221(,)()()fxyxy yx????的最小值是。
11、已知01x??，求531xx??的最小值。
12、已知0ab??，求??211aabaab???的最小值。
提示：??2211aabababaab?????
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文档大全13、已知tan4tanAB?，A为锐角，求
??2tantan3tantan1tantan14tanABBABABB??????的最大值
提示：利用公式，得到314tantanBB??
考点2 线性规划
1、（四川）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，
乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱
则70106480,xyxyxyN
目标函数z＝280x＋300y
结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大
本题也可以将答案逐项代入检验. 答案：B 训练（四川）某企业生产甲、
乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用
A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.
那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元
B. 20万元
C. 25万元
D. 27万元
【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：
A原料 B原料
甲产品x吨 3x乙产品y吨y 3y y
0 48
80 70
(15,55) （3，4）（0，6）
O
（313，0）y
x 9 13
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文档大全则有：?????????????183213300yxyxyx
目标函数yxz35??
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当x＝3，y＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
三、高考链接
1、（浙江））若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）A245B285C．5 D．6