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2010年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试卷

2010年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题

一、选择题

1．已知O 为ABC ?内一点，若对任意k R ∈，有|,|||AC BC k OB OA ≥--则ABC ?一定是

（）

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定 2．已知(1,1)1,(,)*(,*)f f m n N m n N =∈∈，且对任意,*m n N ∈都有

①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=

则(2010,2008)f 的值为（） A ．2009

2007+ B ．200924014+ C ．201022007+ D ．201024014+

3．已知函数

34)(2+-=x x x f ,集合}0)()(|),{(≤+=y f x f y x M ,集合

}0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ,则在平面直角坐标系内集合N M 所表示的区域的面积是

（）

4π B. 2

C.π

D.π2 4.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个

多面体的内切球的半径之比是一个最简分数n

,那么积n m ?等于（）

A ．3

B ．4

C ．6

D ．12 5．设函数)(x f 满足下列条件：

①

)(x f 是定义在R 上的奇函数；

②对任意的],1[,21a x x ∈（其中常数1>a ），当12x x >时，有.0)()(12>>x f x f

则下列不等式不一定成立的是（） A ．)0()(f a f >

B ．

)()21(a f a

f >+

C ．

)3()131(->+-f a

a f D ．)()131(a f a

f ->+- 6.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为（）

A ．821

B ．421

C ．1126

D ．27

二、填空题

1．已知函数???>-≤=2

),1(2

,3)(x x f x x f x ，则=+)2log 2(3f _________．

2．不等式

121

+-≥+

a x

x 对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________．3．已知*),()1(0111N n a x a x a x a ax n n n n n

∈++++=+--

点列),(i i a i A ),,2,1,0(n i =部分图象如图所示，则实数a

的值为________．

4．若Ax x Bx ≥≥sin 为常数）

B A ,(对2

0π

≤≤x 恒成立，则常数A B -的最小值为_________；

对任意锐角ABC ?，均有M C B A >++sin sin sin 成立，则M 的最大值为_________． 5．已知圆O 的半径为1，半径OA 、OB 夹角为()0?

?π<<，?为常数，点C 为圆上动点，若

OC xOA yOB =+

(,x y R ∈)，则x y +的最大值为_________．

6.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,

0[对应的线段，对

折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,

0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ）

，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为___________________________．

三、解答题

1．（1）设,0,0>>y x 求证：

32y

x y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x 求证：

333zx

yz xy x z z z y y y x x ++≥+++++ ??

? 2

2．已知数列).1(1,),1,0(}{1n n n n a a

S S n a a a a a --=

≠≠=且项和为前且满足记3

),(||lg *-

=∈=a n a a b n n n

当N 时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．

3．如图，四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，DCO ∠的平分线CQ 交线段OD 于Q ，连

接AQ ，作.N AQ ON M BC OM

于，于⊥⊥且P 为AB 边的中点，CD OC OD

OB OA +?=

求证：.PN PM =

4．在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；

（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（横纵坐标均为整数的点称为整点）

问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由．

A B C O Q N

参考答案

一、选择题 1．A 2．B

3．C

提示：由已知可得M ={（x ,y )|f (x )+f (y )≤0}=

{(x ,y )|(x -2)2+(y -2)2

≤2},N ={(x ,y )|f (x )-f (y )≥0} ={(x ,y )|(x -y )(x +y -4)≥0}.

则M ∩N =??

???≥-+-≤-+-0)4)((2

)2()2(22y x y x y x

作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，

即为

21π·（2）2=π，故应选C. 4．C

提示：利用等体积法，可以求出3

=n m ，所以m ·n 等于6 5．C 6．D

任选4点，共有4

210C =个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平

行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为27

．

二、填空题

1．6 2．33．

31 4．π21-； 2 5．1cos 2

?．

中的所有奇数为这里]2,1[,2

n n j j -

三、解答题

1．（1）设,0,0>>y x 求证：

32y

x y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x 求证：

.2333zx

yz xy x z z z y y y x x ++≥+++++ 证明：（1）0)(4)(4322≥+-=--+y x y x y x y x x

32y

x y x x -≥+∴

（2）由（1）得.4323xy

x y x x -≥+

类似的,

323yz y z y y -≥+,4323

zx z x z z -≥+ 2

)(34)(34333222222333zx yz xy zx yz xy zx yz xy zx yz xy z y x zx

z yz y xy x x z z z y y y x x ++=

---++≥

---++=

-+-+-≥+++++∴

2．已知数列).1(1,),1,0(}{1n n n n a a

S S n a a a a a --=

≠≠=且项和为前且满足记3

),(||lg *-

=∈=a n a a b n n n

当N 时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由。

解：当)1(1),1(1,211----=--=

≥n n n n

a a

a S a a a S n 时， )(1)]1()1[(1111n n n n n n n a a a

a a a a S S a --=----=-=∴---，

即0.11≠==-a a aa a n n

又，

所以，a a n 是首项和公比都为}{的等比数列。

.||lg ||lg ,a na a a b a a n n n n n n ===

.0,;0||lg ,,.

0||lg ),0,1(3

><=<-∈-

=n n n b n a na b n a a 为奇数时为偶数时当所以则又可见，若存在满足条件的正整数m ，则m 为偶数。

,8.

,,2

;

,,27

271.0||lg )1(2,921,37).

(||lg )1)(1(2|

|lg ]11

)1([2|

|lg ])1[(2|

|lg ]2)22[(246822212108222222

222

2222

222222222m n k k k k k k k

k k k k k b b n m b b b b b b k b b b b b k a a a a a a a k a a a k a a a a a a a k a a k a k a a ka a k b b ≥=<<<<<<<<>>=->-∴-=--=∈---=--?+-=-+=-+=-+++++都有使得对于任意正整数故存在正整数即时当即时当又时当 N 3．如图，四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，DCO ∠的平分线CQ 交线段OD 于Q ，连接AQ ，作.N AQ ON M BC OM 于，于⊥⊥且P 为AB 边的中点，CD

OC OD

OB OA +?=

求证：.PN PM

证明： CQ 平分DCO ∠

CO DC QO DQ =∴ DC DQ QO

CO ?=∴ ① 又CD

OC OD OB OA +?= OD OB CD OC OA ?=+?∴)( ②

将①代入②，得

OB CD DQ DO OA OD OB CD DQ

DQ OA ?=??∴?=+?∴)(

OB CD DQ OA =??

∴1 OB QO

CO OA =?∴ 即OB OQ OC OA ?=? ∴B C Q A ,,,四点共圆.

得CBO QAO ∠=∠

分别取OB OA ,的中点Y X ,，连接,,,,PY MY PX NX 则OXPY 为平行四边形.

OB YO PX MYP

OYP MYO OYP CBO OXP QAO OXP NXO PXN PY XO AO NX ===∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠===

∴2

222

PXN ?∴≌MYP ? .PN PM =∴

4．在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；

（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（横、纵坐标均为整数的点称为整点）

问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由。证明：（1）先证明这样的矩形不超过2025个。

任取定100个整点。设O 为所取定的100个整点中的一个，我们称以O 为一个顶点，另外三个也取自100个整点，且边均与两坐标轴平行或重合的矩形为“好的”。下证：至多有81个“好的”矩形。

事实上，过O 作平行于两坐标轴的直线1l ，2l ，并设}{\1O l 上有m 个点取自所取定的100

个整点，}{\2

O l 上有n 个点取自所取定的100个整点，设点P 为所取定的100个整点中的一个，

且不在1l 和2l 上，则至多有一个“好的”矩形以P 为其一个顶点，而这样的点至多有n m --99个，且每一个“好的”矩形必有一个顶点为这样的点，于是

①若18≥+n m ,则“好的”矩形至多有8199≤--n m 个；

②若,18≤+n m 考虑点对),(Q P ，其中}{\1

O l P ∈，}{\2O l Q ∈，可知每一对),(Q P 至

多形成一个“好的”矩形，故“好的”矩形的个数8199)18(=?≤-≤≤m m mn 个。综上可知，对所取定的100个整点中的任意一点O ，以O 为其一个顶点的“好的”矩形至多81个，于是，满足条件的矩形的个数20254

100

81=?≤

（这里除以4是因为每个矩形有4个顶点）。（2）设点集},,101,101|),{(N y x y x y x A ∈≤≤≤≤=，取点集A 中的100个点，则恰好可以

画出满足题设的2025个矩形。

综上可知最多能画出2025个这样的矩形。 www.zxsx.co m